第二章極限

1、第一節(jié) 數(shù)列的極限教學目的：理解數(shù)列極限的概念、計算，為研究微積分作好工具準備教學重點：數(shù)列的極限定義與計算教學難點：數(shù)列極限概念的理解教學內(nèi)容：1. 數(shù)列的極限極限概念是由于求某些實際問題的精確解答而產(chǎn)生的。例如，我國古代數(shù)學家劉徽（公元3世紀）利用圓內(nèi)接正多邊形來推算圓面積的方法割圓術(shù)，就是極限思想在幾何學上的應(yīng)用。設(shè)有一圓，首先作內(nèi)接正六邊形，把它的面積記為；再作內(nèi)接正十二邊形，其面積記為；再作內(nèi)接正二十四邊形，其面積記為；循此下去，每次邊數(shù)加倍，一般地把內(nèi)接正邊形的面積記為。這樣，就得到一系列內(nèi)接正多邊形的面積：它們構(gòu)成一列有次序的數(shù)。當越大，內(nèi)接正多邊形與圓的差別就越小，從而以作為圓

2、面積的近似值也越精確。但是無論取得如何大，只要取定了，終究只是多邊形的面積，而還不是圓的面積。因此，設(shè)想無限增大（記為，讀作趨于無窮大），即內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加，在這個過程中，內(nèi)接正多邊形無限接近于圓，同時也無限接近于某一確定的數(shù)值，這個確定的數(shù)值就理解為圓的面積。這個確定的數(shù)值在數(shù)學上稱為上面這列有次序的數(shù)（所謂數(shù)列）當時的極限。在圓面積問題中我們看到，正是這個數(shù)列的極限才精確地表達了圓的面積。在解決實際問題中逐漸形成的這種極限方法，已成為高等數(shù)學中的一種基本方法，因此有必要作進一步的闡明。先說明數(shù)列的概念。如果按照某一法則，有第一個數(shù)，第二個數(shù)，這樣依次序排列著，使得對應(yīng)著任何一個正

3、整數(shù)有一個確定的數(shù)，那么，這列有次序的數(shù)就叫做數(shù)列。數(shù)列中的每一個數(shù)叫做數(shù)列的項，第項叫做數(shù)列的一般項。例如：都是數(shù)列的例子，它們的一般項依次為。以后，數(shù)列也簡記為數(shù)列。如果數(shù)列，當無限增大時，數(shù)列的取值能無限接近常數(shù)，我們就稱是當時的極限，記作它的解析定義是：如果數(shù)列與常數(shù)有下列關(guān)系：對于任意給定的正數(shù)（不論它多么?。?，總存在正整數(shù)，使得對于時的一切，不等式都成立，則稱常數(shù)是數(shù)列的極限，或者稱數(shù)列收斂于，記為或。如果數(shù)列沒有極限，就說數(shù)列是發(fā)散的。顯然收斂數(shù)列有下述3個性質(zhì)性質(zhì)1（極限的唯一性）數(shù)列不能收斂于兩個不同的極限。性質(zhì)2（收斂數(shù)列的有界性）如果數(shù)列收斂，那么數(shù)列一定有界。性質(zhì)3（收

4、斂數(shù)列與其子數(shù)列間的關(guān)系）如果數(shù)列收斂于，那么它的任一子數(shù)列也收斂，且極限也是。小結(jié)：本節(jié)講述了函數(shù)在各種趨勢下的極限定義，熟練計算函數(shù)的極限。作業(yè)： P38第二節(jié) 函數(shù)的極限教學目的：理解函數(shù)極限的概念、左右極限的概念，為研究微積分作好工具準備教學重點：各種趨勢下的極限定義，左右極限存在與極限存在的關(guān)系教學難點：函數(shù)極限概念的理解教學內(nèi)容： 數(shù)列作為定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，它的自變量在數(shù)軸上不是連續(xù)變動的.因此說數(shù)列反映的是一種“整標函數(shù)”.但是，自然現(xiàn)象和社會科學及工程實際中的很多問題存在著“連續(xù)性”的變化過程，為了研究這類變化過程，就需要討論函數(shù)的極限.在實踐中，有時需要討論當自變量的絕

5、對值無限增大（記作）時對應(yīng)的函數(shù)值的變化情況；有時需要討論當自變量在數(shù)軸上連續(xù)地變動而無限接近于(記作)時對應(yīng)的函數(shù)值的變化情況.總之，經(jīng)常需要研究在自變量的某一變化過程中，對應(yīng)的函數(shù)值的變化趨勢問題.如果在自變量的某一變化過程中，對應(yīng)的函數(shù)值無限接近于某個確定的數(shù)，那么這個確定的數(shù)就稱為在該自變量變化過程中的函數(shù)的極限.本節(jié)先討論函數(shù)在無窮大處的極限，即時的極限，然后再討論函數(shù)在點處的極限，即時的極限.一、函數(shù)在無窮大處的極限對于函數(shù)= (0)，當自變量的絕對值無限增大時，對應(yīng)的函數(shù)值=無限接近于常數(shù)3.一般地，設(shè)函數(shù)在>處有定義，如果當自變量的絕對值無限增大(記作)時，對應(yīng)的函數(shù)值無

6、限接近某個確定的常數(shù)，則稱為函數(shù)當時的極限.時函數(shù)的極限可視為數(shù)列=當時的極限的推廣，為此仿照數(shù)列極限的定義，可以給出時，函數(shù)極限的精確定義如下：定義1 設(shè)函數(shù)在>處有定義，如果對于任意給定的正數(shù)(無論它多么小)，總存在正數(shù)()，使得適合不等式>的所有，對應(yīng)的函數(shù)值都滿足<，那么常數(shù)就稱為函數(shù)當時的極限，記作=或（當時）.如果>0且無限增大(記作+)，將上述定義中的>改寫為>，就得=的定義；同樣，<0而絕對值無限增大(記作)，將>改寫為<，就得=的定義.從幾何上來看，=的意義是：作直線和，則總存在一個正數(shù)，使當<一或>時，函數(shù)的

7、圖形位于這兩條平行直線和之間(圖22).圖22由上述這些極限定義不難得到如下結(jié)論： 存在當且僅當與都存在且相等.例1證明：.證這里，要使只要<，即>，因而對于任意給定的正數(shù)，取=，當>時，就有<，故 .例2 證明：.證這里，要使<，只要<，即<，對于任意的正數(shù)0<<1，取=，當<時，就有<，因此 .如果=或=，則直線是函數(shù)的圖形的水平漸近線.由以上兩例可知，是和的圖形的水平漸近線.二、函數(shù)在有限點處的極限1.函數(shù)在有限點處的極限 先考察如下例子：例3 函數(shù)在（，+）內(nèi)有定義，如圖23所示.考察當時，函數(shù)的變化情況.圖23為更直觀

8、些，列表21如下：表2-10-0.1-0.3-0.4-0.49-0.5-0.51-0.6-0.8-0.9-1-1-1.2-1.6-1.8-1.98-2-2.02-2.2-2.6-2.8-3由上表可以看出，當越來越接近時，與2的差值越來越接近于0，當無論從大于還是從小于兩側(cè)趨向于時，可以任意小，即對于任意給定的正數(shù)，要使，只要取就可以，換句話說，當在點=的的鄰域（，）內(nèi)時，<恒成立.對于這種情形，我們可以稱當時，=21有極限2.例4 函數(shù)=在（，1）（1，+）內(nèi)有定義，考察當1時，函數(shù)的變化情況，列表22如下：表2-20.90.990.9991.00011.0011.011.11.91.9

9、91.9992.00012.0012.012.1由上表可以看出，當越來越接近1時，與2的差值越來越接近于0，無論是從大于1還是小于1的兩側(cè)趨向于1時，可以任意小，即對于任意給定的正數(shù)，恒成立.對于這種情形，我們可以稱當1時，有極限2.從上面兩個實例考察看到，研究趨向于時函數(shù)的極限，是指充分接近于時，函數(shù)值的變化趨勢，而不是求在處的函數(shù)值.因此，研究趨向于時的極限問題，與函數(shù)在=處是否有定義無關(guān).一般地，設(shè)函數(shù)在點的某個去心鄰域內(nèi)有定義，為常數(shù)，如果在自變量的變化過程中，對應(yīng)的函數(shù)值無限接近于，就稱是函數(shù)當時的極限.在的過程中，函數(shù)值無限接近于，就是無限接近于0.由于函數(shù)值無限接近于是在過程中實

10、現(xiàn)的，所以對任意給定的無論多么小的正數(shù)，要求充分接近于的所對應(yīng)的函數(shù)值都滿足<，而自變量充分接近于可表達為落在某個去心的鄰域內(nèi)，即0<<或（，）（，+），為某個正數(shù).下面給出時函數(shù)極限的精確定義：定義2設(shè)函數(shù)在點的某個去心鄰域內(nèi)有定義，為常數(shù)，如果對于任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)，使得適合不等式0<<的一切，對應(yīng)的函數(shù)值都滿足不等式<，那么常數(shù)稱為函數(shù)當時的極限，簡稱是在處的極限，記作=或（當時）.應(yīng)該注意如下兩點：（1）定義中0<表示.它揭示了時有沒有極限與在點是否有定義無關(guān)；<揭示了與距離小于，所以0<<表示（，）（，+），其中（，

11、）是的左鄰域，（，+）是右鄰域，這兩個鄰域的并集就是的去心鄰域，通常記為（，）或0<<；（2）定義2中的是隨的給定而選定的，這個可以小于從<中解出的數(shù)，但不能比它大.函數(shù)當時的極限為的幾何意義是：對于任意給定的正數(shù)，在直線的上方和下方各作一條直線和，則總有正數(shù)，使得在區(qū)間（，）與（，+）內(nèi)函數(shù)的曲線介于這兩條平行直線和之間.也就是說，這些點落在上面所作的矩形內(nèi)（圖24）.圖24例5設(shè)c是常數(shù)，是定點，證明：.證因為=0，因此，對于任意給定的正數(shù)，可任取一個正數(shù)，例如取=1，當0<<1時，有=0<，所以.例6 證明：.證因為=，要使<，只要<，因此

12、可取=，這樣，對于任意給定的正數(shù)，取=，當0<<時，有=<，所以.例7證明：.證因為=，所以對于任意給定的正數(shù)，要使=<，只要<，因此可取=，則當適合不等式0<<時，對應(yīng)的函數(shù)值就滿足不等式<，故 .例8 證明.證=，要使=<，即<sin<，只要.由于只需對充分小的，能找出滿足條件的，因此不妨就小于1的正數(shù)來論證.對于任意給定的正數(shù)（0<<1），取，當0<<時，就有<，所以.利用函數(shù)極限的定義可以驗證某個常數(shù)是在處的極限，但不是求函數(shù)在處的極限是的方法，求函數(shù)極限問題將在以后的章節(jié)中討論.但可以證明

13、：冪函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)和反三角函數(shù)等基本初等函數(shù)在其各自的定義域內(nèi)任意點處的極限都存在，且等于該點處的函數(shù)值.例9指數(shù)函數(shù)，證明：.證因為=，要使<，即,只要 .所以只需要對充分小的正數(shù)，找出滿足條件的正數(shù)，就可以對小于的任意正數(shù)進行論證.對于任意給定的（0<<），取=，當0<時，有<，故.例10 證明：.證 函數(shù)在點=1是沒有定義的，但是函數(shù)當時的極限是否存在與函數(shù)在=1處有無定義無關(guān).事實上，對于任意給定的正數(shù)，不等式，當約去因子后，化為，因此，只要取，當時，就有，故 .2.函數(shù)在有限點處的左、右極限在時函數(shù)的極限概念中，自變量可以是左側(cè)的點（

14、即<），也可以是右側(cè)的點（即>）.但有的函數(shù)僅在的左鄰域有定義或者實際問題只需要討論函數(shù)在左鄰域的變化情況.為明確起見，引入函數(shù)的“左極限”的概念，它是指從左側(cè)趨向于時，對應(yīng)的函數(shù)值接近于一個常數(shù).類似地有“右極限”的概念，其定義如下：設(shè)函數(shù)在某個左（右）鄰域內(nèi)有定義，如果對于任意給定的正數(shù)，存在正數(shù)，使得對滿足不等式的一切，對應(yīng)的函數(shù)值適合不等式<，那么常數(shù)稱為函數(shù)在點處的左(右)極限.左極限記作或或；右極限記作或或.根據(jù)時函數(shù)的極限定義和左、右極限的定義，容易證明：函數(shù)當時極限存在的充分必要條件是左極限和右極限都存在且相等，即=（記號“”表示等價）因此，當及都存在，但不相

15、等，或者與中至少有一個不存在時，就可斷言在處極限不存在.例11 設(shè)函數(shù)=證明：當0時，的極限不存在.證因為=1，=1，即，所以不存在（圖25）.圖25例12 設(shè)函數(shù)=求，并由此判斷是否存在.解=，因為，所以由函數(shù)在=處極限存在的充要條件知，=5.三、函數(shù)極限的性質(zhì) 1.函數(shù)極限的唯一性如果（或）存在，那么該極限是唯一的，它的證明方法與上節(jié)證明數(shù)列極限的唯一性類似. 2.局部有界性與局部保號性如果=，則有(1)局部有界性：在的某個去心鄰域內(nèi)，函數(shù)有界；(2)局部保號性：當0（或0）時，在某個去心鄰域內(nèi)0(或0).證（1）由函數(shù)在有限點的極限定義知，對于=1時，存在一個正數(shù)，當0<<時

16、，就有<1，即，從而證得在的去心鄰域（0，）內(nèi)有界.（2）當0時，就取，則相應(yīng)地存在一個正數(shù)0，在（0，）內(nèi)，=0.當0時，取=，則相應(yīng)地存在一個正數(shù)0，在U（0，）內(nèi)，有+=+=0，這就證明了局部保號性. 3.局部不等式性如果=，且在的某個去心鄰域內(nèi)，函數(shù)0（或0），那么0（或0）.證設(shè)=，0，要證0.用反證法，假設(shè)0，則按局部保號性，在的某個去心鄰域內(nèi)應(yīng)有0，與所給條件矛盾.局部保號性和局部不等式性指出了函數(shù)極限的符號與函數(shù)符號之間的對應(yīng)關(guān)系.小結(jié)：本節(jié)講述了函數(shù)在各種趨勢下的極限定義，熟練計算函數(shù)的極限。作業(yè)：P43第三節(jié) 無窮大與無窮小教學目的：理解無窮小量和無窮大量的概念，掌握

17、無窮小量、無窮大量以及有量之間的關(guān)系，掌握它們的性質(zhì)教學重點：無窮小量和無窮大量的概念教學難點：無窮小量和無窮大量有關(guān)性質(zhì)教學內(nèi)容：前面我們研究了數(shù)列的極限、函數(shù)的極限、函數(shù)的極限、函數(shù)的極限、函數(shù)的極限、函數(shù)的極限、函數(shù)的極限，這七種趨近方式。下面我們用表示上述七種的某一種趨近方式，即定義1 當在給定的下，以零為極限，則稱是下的無窮小量，即。定義2 當在給定的下，無限增大，則稱是下的無窮大量，記作。顯然，時，都是無窮大量，時，都是無窮小量。注：無窮大量、無窮小量的概念是反映變量的變化趨勢，因此任何常量都不是無窮大量，任何非零常量都不是無窮小，談及無窮大量、無窮小量之時，首先應(yīng)給出自變量的變化

18、趨勢。關(guān)于無窮大、無窮小有如下一些結(jié)論：定理1 在自變量的同一變化過程（或）中，具有極限的函數(shù)等于它的極限與一個無窮小之和；反之，如果函數(shù)可表示為常數(shù)與無窮小之和，那么該常數(shù)就是這函數(shù)的極限。定理2 在自變量的同一變化過程中，如果為無窮大，則為無窮??；反之，如果為無窮小，且，則為無窮大。定理3 有限個無窮小的和也是無窮小。定理4 有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小。推論1 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小。推論2 有限個無窮小的乘積也是無窮小。定理5 如果，則存在，且。在這里應(yīng)該注意：（1）無窮多個無窮小量之和不一定是無窮小量。（2）無窮多個無窮小量之積也不一定是無窮小量。例如，當時，是無窮小，個這種無

19、窮小之和的極限顯然為2。（3）無窮大量乘以有界量不一定是無窮大量。例如，當時，是無窮大量，是有界量，顯然。（4）下，其極限未必大于0。例如，顯然，但。（5）無窮多個無窮小量之積也未必是無窮小量。小結(jié)：本節(jié)給出了無窮小量和無窮大量的概念和它們的相關(guān)性質(zhì)，注意不要錯誤的利用這些性質(zhì)。作業(yè)：作業(yè) P3第四節(jié) 極限的運算法則教學目的：掌握極限的性質(zhì)及運算法則教學重點：掌握不同類型的未定式的不同解法教學難點：計算教學內(nèi)容：在給定的趨勢下，和都存在的情況下，有如下運算法則成立（1）（2）（3）（4）這些極限的運算法則在實際運算中未必逐一使用，例如是一目了然的，下面就將幾種常用的方法總結(jié)一下。1. 代入法：

20、直接將的代入所求極限的函數(shù)中去，若存在，即為其極限，若不存在，我們也能知道屬于哪種未定式，便于我們選擇不同的方法。例如，就代不進去了，但我們看出了這是一個型未定式，我們可以用以下的方法來求解。2. 分解因式，消去零因子法例如，。3. 分子（分母）有理化法例如，又如，4. 化無窮大為無窮小法例如，實際上就是分子分母同時除以這個無窮大量。由此不難得出又如，（分子分母同除）。再如，（分子分母同除）。5. 利用定理求極限例如，（無窮小量乘以有界量）。6. 復合函數(shù)的極限運算設(shè)函數(shù)當時的極限存在且等于，即，但在點的某去心鄰域內(nèi)，又，則復合函數(shù)當時的極限也存在，且小結(jié)：本節(jié)介紹了不同類型的未定式的不同解法

21、，要熟練掌握這些方法作業(yè)：作業(yè) P3P5第五節(jié) 兩個重要極限、無窮小的比較教學目的：掌握兩個極限的存在準則，并會利用它們求極限，掌握利用兩個重要極限求極限的方法教學重點：利用兩個重要極限求極限教學難點：利用第二重要極限求極限的方法教學內(nèi)容：下面我們來介紹極限存在的兩個準則：1. 準則1 如果數(shù)列及滿足下列條件：（1），（2）那么數(shù)列的極限存在，且。準則2 單調(diào)有界數(shù)列必有極限如果數(shù)列滿足條件，就稱數(shù)列是單調(diào)增加的；如果數(shù)列滿足條件，就稱數(shù)列是單調(diào)減少的。單調(diào)增加和單調(diào)減少的數(shù)列統(tǒng)稱為單調(diào)數(shù)列。例求解：而所以原式極限為1。2. 第一個重要極限：利用收斂準則1，我們?nèi)菀鬃C得第一個重要極限（詳見教材

22、）注1 為了更好利用第一個重要極限求極限，應(yīng)掌握好如下模型：成立的條件是在給定的趨勢下，兩個應(yīng)該是一模一樣的無窮小量。例如，。注2 第一個重要極限可以解決型，含三角函數(shù)的未定式。自我練習：（1）（2）（3）（4）2第二個重要極限：注1 上述三種形式也可統(tǒng)一為模型成立的條件是在給定趨勢下，兩個是一模一樣的無窮小量。注2 第二個重要極限解決的對象是型未定式。例如，自我練習：（1）（2）（3）（4）（5）3. 無窮小的比較當在給定的趨勢下，變量、都是無窮小量，那么，它們誰趨近于零的速度更快呢，我們給出如下定義：如果，就說是比高階的無窮小，記作；如果，就說是比低階的無窮小。如果，就說是和同階無窮??；如

23、果，就說是關(guān)于的階無窮小。如果，就說與是等價無窮小，記作。注：求極限過程中，一個無窮小量可以用與其等價的無窮小量代替，但只能在因式情況下使用，和、差情況不能用。小結(jié)：本節(jié)講述了兩個極限的收斂準則，兩個重要極限及利用兩個重要極限求限的方法，對無窮小量進行了分類。作業(yè)：P5P7第六節(jié) 函數(shù)的連續(xù)與間斷教學目的：理解函數(shù)連續(xù)的概念，會判斷函數(shù)間斷點的類型，了解初等函數(shù)的連續(xù)性和閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，并會應(yīng)用這些性質(zhì)教學重點：連續(xù)的定義，間斷點的分類教學難點：連續(xù)的定義，間斷點的分類教學內(nèi)容：1 數(shù)的連續(xù)性對，當自變量從變到，稱叫自變量的增量，而叫函數(shù)的增量。定義 設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，如果

24、當自變量的增量趨于零時，對應(yīng)的函數(shù)的增量也趨于零，那么就稱函數(shù)在點連續(xù)。它的另一等價定義是：設(shè)函數(shù)在點的某一鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)當時的極限存在，且等于它在點處的函數(shù)值，即，那么就稱函數(shù)在點連續(xù)。下面給出左連續(xù)及右連續(xù)的概念。如果存在且等于，即，就說函數(shù)在點左連續(xù)。如果存在且等于，即，就說函數(shù)在點右連續(xù)。在區(qū)間上每一點都連續(xù)的函數(shù)，叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，或者說函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)。如果區(qū)間包括端點，那么函數(shù)在右端點連續(xù)是指左連續(xù)，在左端點連續(xù)是指右連續(xù)。連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線。2 數(shù)的間斷點設(shè)函數(shù)在點的某去心鄰域內(nèi)有定義。在此前提下，如果函數(shù)有下列三種情形之一：（1）在沒有定義；（2）雖在有定義，但不存在；（3）雖在有定義，且存在，但；則函數(shù)在點為不連續(xù)，而點稱為函數(shù)的不連續(xù)點或間斷點。下面我們來觀察下述幾個函數(shù)的曲線在點的情況，給出間斷點的分類： 在連續(xù)。 在間斷，極限為2。 在間斷，極限為2。 在間斷，左極限為2，右極限為1。 在 間斷在間斷，極限不存在。像這樣在點左右極限都存在的間斷，稱為第一類間