第六講定積分的應用

1、第六章 定積分應用一、學習目的與要求1、能正確應用定積分計算平面圖形的面積、立體的體積、平面曲線的弧長。2、能應用定積分計算一些簡單的物理量，如功、水壓力等。二、學習重點應用定積分的元素法建立積分表達式三、內容提要（I）求平面圖形的面積由所圍成的平面面積為：由所圍成的平面面積為：（II）立體的體積設為幾何體在點處垂直于軸的橫截面面積，則此幾何體積為。特別，平面區(qū)域繞軸旋轉一周所形成的旋轉體體積為平面區(qū)域繞軸旋轉一周所形成的旋轉體體積為（III）曲線弧長若曲線方程為，則曲線弧長為若曲線方程為，則曲線弧長為若曲線方程為，則曲線弧長為（）定積分的物理應用（1）變力沿直線作功 其中為變力，物體從運動到

2、（2）液體的靜壓力 垂直于液體中的平面域一側所受液體靜壓力其中為液體密度，平面域由曲線所圍，水面與軸平齊（3）函數的平均值 四、思考題1、由定積分的幾何意義可知2、曲線與軸所圍圖形面積為 對嗎？為什么？應如何改正？3、函數、在區(qū)間、上連續(xù)，且，則由曲線， 及直線，所圍成圖形繞軸旋轉的體積是 還是 4、你能用兩種方法求曲線與軸圍成的圖形繞軸旋轉所成的旋轉體的體積嗎？五、典型例題分析例1 求曲線及所圍成圖形的公共部分的面積（圖6-1）。解 由 得交點及。 圖6-1由于圖形關于極軸（即軸的正半軸）對稱，所以，所求面積小結 求平面曲線所圍圖形的面積，一般步驟為：（1）先畫草圖，求出邊界曲線有關交點 的

3、坐標。（2）確定積分變量與積分區(qū)間。（3）求出面積元素。（4）以面積元素為被積表達式在積分區(qū)間上作定積分。例2 求曲線在2，6內的一條切線，使得該切線與直線和曲線 所圍成的面積最小。分析 這是利用定積分求平面圖形面積與求函數最值的綜合應用題。首先應求得曲線上任一點M處的切線方程，然后利用定積分求出切線與直線及曲線所圍圖形面積的最小值。解 曲線上過點的切線方程為由于切點在曲線上，,所以,此切線與直線和曲線所圍面積為 令由于 所以在點取得最小值。故在曲線上，過點（4,ln4）的切線即為所求。所求切線方程為 即 小結 解此類題，易出現(xiàn)的問題是，求得切線方程之后，忽略了切點在曲線上。正確的是，滿足曲線

4、方程，應該用來表示，進而才能將表達成關于的一元函數。例3 在橢圓上繞其長軸旋轉成的橢球體上，沿長軸方向打一圓孔，使剩下部分的體積恰好等于橢球體積的一半，試求該圓孔的直徑。分析 如圖6-2所示，此橢球的長半軸在軸上，沿軸所打掉體積分三部分。上、下兩部分為體積相等的橢球冠，上橢球冠的體積，可視為以橢圓弧AM為曲邊的曲邊三角形繞軸旋轉而成，計算此體積時，應選為積分變量。中間部分為圓柱體。解 設孔之直徑為，則A點坐標為，則打掉部分體積 A 圖6-2球體積 根據題意，有 故孔的直徑時的符合題意要求。小結 用定積分求旋轉體的體積，關鍵是恰當選取積分變量。求繞軸或平行于軸的直線旋轉的旋轉體體積，一般選為積分

5、變量。求繞軸或平行于軸的直線旋轉的旋轉體的體積，一般選用為積分變量。例4 求由曲線所圍圖形分別繞直線軸旋轉，所成旋轉體的體積（圖6-3）。 分析 繞直線旋轉時，因旋轉軸平行于軸，故選為積分變量。所求旋轉體積V，可視為以曲線為曲線，AD為底邊的曲邊梯形繞直線旋轉一周所得體積與 曲線為曲邊，AD為底邊的曲邊三角形繞直線旋轉一周所得體積之差。繞軸 y旋轉，選為積分變量。所求體積V可視為矩形y=pDAABCD繞軸旋轉所得圓柱體體積與拋物線為曲邊，AB為底邊的曲邊梯形繞軸旋轉所得體積之差。解 （1）繞直線旋轉xO =（2）繞軸旋轉 圖6-3CB例5 求截錐體的體積，其上、下底為半軸長分別等于A，B和a,

6、b的橢圓，而高等于。分析 這是截錐體，實際為一橢圓臺（6-4）。上、下底相互平行，且上、下底橢圓中心的聯(lián)線垂直于底面，即為截錐體的高。垂直于高線的任一截面均為橢圓，其面積易于求出。因此，這是一平行截面面積為已知的立體。解 建立坐標系如圖。選為積分變量。積分區(qū)間為0，。任取，過點且垂直于軸的橢圓半軸分別為。則 截面面積故所求體積為： y 圖 6-4 圖6-5 0 0 x 例6 求曲線的全長。分析 所研究曲線是一積分上限函數的圖形，要能求出此曲線的全長，首先需確定函數的定義域。而積分上限的函數其定義域應是使被積函數連續(xù)的那些自變量的全體。此題由0，及下限為，推出函數定義域為。解 所以 注意 ,因為

7、 ，所以又因積分區(qū)間是關于原點對稱的區(qū)間，被積函數關于是偶函數故 小結 求曲線的弧長時，注意公式中的被積函數總是正的，為使弧長取正值，確定定積分限時，應取上限大于下限。對于封閉曲線，其終點與端點重合，要注意函數的單值性，對直角坐標方程，要分段計算；對參數方程，定限時，應取動點沿曲線轉一周的參數值。例7 求由曲線所圍圖形邊界的周長。分析 曲線表示圓心在（0，0），半徑為的上半圓周。方程中，換成（-）表達式不變，曲線關于軸對稱。又因為0，所以0。圖形在軸上方，再由解出交點A(1,1)、B（-1，1），畫出簡單草圖如圖6-5。由于曲線關于軸對稱，只需求出第一象限部分圖形邊界的弧長，再2倍即可。解 =

8、 所以 說明 求平面曲線的弧長，公式并不難掌握，需要指出的是，由于弧長元素，而是一個有理式的情形并不多，所以積分要麻煩一些，而此例是屬于積分比較容易的情形。例8 設有一半徑為R，長為l的圓柱體，平放在深度為2R的水池中（圓柱體的側面與水面相切），設圓柱體的比重為，現(xiàn)將圓柱體從水中移出水面，問需作多少功？分析 建立坐標系如圖6-6。設想將柱體分層，在水深處，厚度為的一層柱體提出水面所作之功，應分為兩部分，一部分是將此薄層提至與水面相切時所作功的近似值R-x y oR+x O y dx x 圖6-6 圖 6-7 其中是此薄層的體積的近似值。另一部分是將此薄層由與水面相切之處提至現(xiàn)有位置所作功的近似值所以功元素 解 其中 因為積分區(qū)間關于原點對稱，被積函數為奇函數。其次，若坐標原點選擇在與水平面相切處，圓的方程為：（如圖6-7）。因為積分區(qū)間關于原點不對稱，所以計算工作量比前所建立坐標系時大，故對一些應用問題注意恰當選擇坐標系，以使計算簡便。 y例9 設某水庫閘門為橢圓形水泥板，橢圓的長軸平行 h水面，且離水面的距