第三章 3.3.2 第2課時

1、第2課時線性規(guī)劃的整數(shù)解和非線性規(guī)劃問題學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解實(shí)際線性規(guī)劃中的整數(shù)解求法.2.會求一些簡單的非線性規(guī)劃的最優(yōu)解.知識點(diǎn)一非線性約束條件思考類比探究二元一次不等式表示平面區(qū)域的方法，畫出約束條件(xa)2(yb)2r2的可行域.答案梳理非線性約束條件的概念：約束條件不是二元一次不等式，這樣的約束條件稱為非線性約束條件.知識點(diǎn)二非線性目標(biāo)函數(shù)思考在問題“若x，y滿足求z的最大值”中，你能仿照目標(biāo)函數(shù)zaxby的幾何意義來解釋z的幾何意義嗎？答案z的幾何意義是點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(1,1)連線的斜率.梳理下表是一些常見的非線性目標(biāo)函數(shù).目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)變形幾何意義最優(yōu)解求法zaxby (ab0

2、)yx在y軸上的截距是平移直線yx，使在y軸上的截距最大(或最小)(xa)2(yb)2令m(xa)2(yb)2，則目標(biāo)函數(shù)為()2點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)距離的平方改變圓(xa)2(yb)2r2的半徑，尋求可行域最先(或最后)與圓的交點(diǎn)點(diǎn)(x，y)與定點(diǎn)(a，b)連線的斜率繞定點(diǎn)(a，b)旋轉(zhuǎn)直線，尋求與可行域最先(或最后)相交時的直線的斜率1.可行域內(nèi)的整點(diǎn)指橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn).()2.目標(biāo)函數(shù)zx2y2的幾何意義為點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)(0,0)的距離.()3.目標(biāo)函數(shù)zaxby(b0)中，z的幾何意義是直線axbyz0在y軸上的截距.()類型一生活實(shí)際中的線性規(guī)劃問題例1某工廠制造甲

3、、乙兩種家電產(chǎn)品，其中每件甲種家電需要在電器方面加工6小時，裝配加工1小時，每件甲種家電的利潤為200元；每件乙種家電需要在外殼配件方面加工5小時，在電器方面加工2小時，裝配加工1小時，每件乙種家電的利潤為100元.已知該工廠可用于外殼配件方面加工的能力為每天15小時，可用于電器方面加工的能力為每天24小時，可用于裝配加工的能力為每天5小時.問該工廠每天制造兩種家電各幾件，可使獲取的利潤最大？(每天制造的家電件數(shù)為整數(shù))考點(diǎn)線性規(guī)劃中的整點(diǎn)問題題點(diǎn)線性規(guī)劃中的整點(diǎn)問題解設(shè)該工廠每天制造甲、乙兩種家電分別為x件，y件，獲取的利潤為z百元，則z2xy(百元)，即作出可行域，如圖陰影部分中的整點(diǎn)，由

4、圖可得O(0,0)，A(0,3)，B(2,3)，C，D(4,0).平移直線y2xz，又x，yN，所以當(dāng)直線過點(diǎn)(3,2)或(4,0)時，z有最大值.所以工廠每天制造甲種家電3件，乙種家電2件或僅制造甲種家電4件，可獲利最大.反思與感悟在實(shí)際應(yīng)用問題中，有些最優(yōu)解往往需要整數(shù)解(比如人數(shù)、車輛數(shù)等)，而直接根據(jù)約束條件得到的不一定是整數(shù)解，可以運(yùn)用列舉法驗(yàn)證求最優(yōu)整數(shù)解，或者運(yùn)用平移直線求最優(yōu)整數(shù)解.最優(yōu)整數(shù)解有時并非只有一個，應(yīng)具體情況具體分析.跟蹤訓(xùn)練1預(yù)算用2 000元購買單價為50元的桌子和20元的椅子，希望使桌子和椅子的總數(shù)盡可能的多，但椅子數(shù)不少于桌子數(shù)，且不多于桌子數(shù)的1.5倍，問

5、桌子、椅子各買多少才是最好的選擇？考點(diǎn)線性規(guī)劃中的整點(diǎn)問題題點(diǎn)線性規(guī)劃中的整點(diǎn)問題解設(shè)桌子、椅子分別買x張，y把，目標(biāo)函數(shù)zxy，把所給的條件表示成不等式組，即約束條件為由解得所以A點(diǎn)的坐標(biāo)為.由解得所以B點(diǎn)坐標(biāo)為.所以滿足條件的可行域是以A，B，O為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域(含邊界)(如圖)，由圖形可知，目標(biāo)函數(shù)zxy在可行域內(nèi)經(jīng)過點(diǎn)B時取得最大值，但注意到xN，yN，故取故買桌子25張，椅子37把是最好的選擇.類型二非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題例2已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件試求z的最大值和最小值.考點(diǎn)非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題題點(diǎn)求斜率型目標(biāo)函數(shù)的最值解作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分(包含邊界)

6、所示，由于z，故z的幾何意義是點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)M(1，1)連線的斜率，因此的最值是點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)M(1，1)連線的斜率的最值，由圖可知，直線MB的斜率最大，直線MC的斜率最小，又B(0,2)，C(1,0)，zmaxkMB3，zminkMC.z的最大值為3，最小值為.引申探究1.把目標(biāo)函數(shù)改為z，求z的取值范圍.解z，其中k的幾何意義為點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)N連線的斜率.由圖易知，kNCkkNB，即k，k7，z的取值范圍是.2.把目標(biāo)函數(shù)改為z，求z的取值范圍.解z2.設(shè)k，仿例2解得k1.z.反思與感悟?qū)τ谛稳绲哪繕?biāo)函數(shù)，可變形為定點(diǎn)到可行域上的動點(diǎn)連線斜率問題.跟蹤訓(xùn)練2實(shí)數(shù)x，y滿足則z的取值

7、范圍是()A.1,0 B.(，0C.1，) D.1,1)考點(diǎn)題點(diǎn)答案D解析作出可行域陰影部分，如圖所示，的幾何意義是點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(0,1)連線l的斜率，當(dāng)直線l過B(1,0)時kl最小，最小為1.又直線l不能與直線xy0平行，kl1.綜上，k1,1).例3已知x，y滿足約束條件試求zx2y2的最大值和最小值.考點(diǎn)非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題題點(diǎn)求距離型目標(biāo)函數(shù)的最值解zx2y2表示可行域內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方，結(jié)合圖形(例2圖)知，原點(diǎn)到點(diǎn)A的距離最大，原點(diǎn)到直線BC的距離最小.故zmax|OA|213，zmin22.反思與感悟當(dāng)兩點(diǎn)間的距離、點(diǎn)到直線的距離與可行域相結(jié)合求最值時，注意數(shù)形結(jié)

8、合思想方法的靈活運(yùn)用.跟蹤訓(xùn)練3變量x，y滿足約束條件(1)設(shè)z，求z的最小值；(2)設(shè)zx2y2，求z的取值范圍；(3)設(shè)zx2y26x4y13，求z的取值范圍.考點(diǎn)非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題題點(diǎn)求距離型目標(biāo)函數(shù)的最值解由約束條件作出可行域如圖陰影部分(含邊界)所示.由解得A；由解得C(1,1)；由解得B(5,2).(1)因?yàn)閦，所以z的值即是可行域中的點(diǎn)與原點(diǎn)O連線的斜率.觀察圖形可知zminkOB.(2)zx2y2的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離的平方.結(jié)合圖形可知，可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離中，dmin|OC|，dmax|OB|，即2z29.(3)zx2y26x4y13(x3)2(y

9、2)2的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到點(diǎn)(3,2)的距離的平方.結(jié)合圖形可知，可行域上的點(diǎn)到點(diǎn)(3,2)的距離中，dmin1(3)4，dmax5(3)8.所以16z64.1.某電腦用戶計(jì)劃使用不超過500元的資金購買單價分別為60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤.根據(jù)需要，軟件至少買3片，磁盤至少買2盒，則不同的選購方式共有()A.5種 B.6種 C.7種 D.8種考點(diǎn)線性規(guī)劃中的整點(diǎn)問題題點(diǎn)線性規(guī)劃中的整點(diǎn)問題答案C解析設(shè)購買軟件x片，磁盤y盒，則畫出線性約束條件表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分(含邊界)所示.落在陰影部分(含邊界)區(qū)域的整點(diǎn)有(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，

10、(5,2)，(6,2)共7個整點(diǎn).即有7種選購方式.2.已知點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)滿足約束條件則x2y2的最大值為()A. B.8 C.16 D.10考點(diǎn)非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題題點(diǎn)求距離型目標(biāo)函數(shù)的最值答案D解析畫出不等式組對應(yīng)的可行域如圖(陰影部分含邊界)所示，易得A(1,1)，|OA|，B(2,2)，|OB|2，C(1,3)，|OC|.(x2y2)max|OC|2()210.3.若x，y滿足約束條件則z的最大值是_.考點(diǎn)非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題題點(diǎn)求斜率型目標(biāo)函數(shù)的最值答案3解析作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示(包括邊界).z可看作可行域上的點(diǎn)(x，y)與定點(diǎn)B(1,1)連線的

11、斜率.由圖可知z的最大值為kAB3.4.已知實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件則zx2y2的最小值為_.考點(diǎn)非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題題點(diǎn)求距離型目標(biāo)函數(shù)的最值答案解析實(shí)數(shù)x，y滿足的可行域如圖中陰影部分(含邊界)所示，則z的最小值為原點(diǎn)到直線AB的距離的平方，故zmin2.1.畫圖對解決線性規(guī)劃問題至關(guān)重要，關(guān)鍵步驟基本上是在圖上完成的，所以作圖應(yīng)盡可能準(zhǔn)確，圖上操作盡可能規(guī)范.2.在實(shí)際應(yīng)用問題中，有些最優(yōu)解往往需要整數(shù)解(比如人數(shù)、車輛數(shù)等)，應(yīng)結(jié)合可行域與目標(biāo)函數(shù)微調(diào).3.對于非線性目標(biāo)函數(shù)，應(yīng)準(zhǔn)確翻譯其幾何意義，如x2y2是點(diǎn)(x，y)到點(diǎn)(0,0)的距離的平方，而非距離.一、選擇題1.在“家電下

12、鄉(xiāng)”活動中，某廠要將100臺洗衣機(jī)運(yùn)往鄰近的鄉(xiāng)鎮(zhèn).現(xiàn)有4輛甲型貨車和8輛乙型貨車可供使用.每輛甲型貨車運(yùn)輸費(fèi)用400元，可裝洗衣機(jī)20臺；每輛乙型貨車運(yùn)輸費(fèi)用300元，可裝洗衣機(jī)10臺.若每輛車至多只運(yùn)一次，則該廠所花的最少運(yùn)輸費(fèi)用為()A.2 000元 B.2 200元C.2 400元 D.2 800元考點(diǎn)線性規(guī)劃中的整點(diǎn)問題題點(diǎn)線性規(guī)劃中的整點(diǎn)問題答案B解析設(shè)需使用甲型貨車x輛，乙型貨車y輛，運(yùn)輸費(fèi)用z元，根據(jù)題意，得線性約束條件求線性目標(biāo)函數(shù)z400x300y的最小值，可行域如圖陰影部分(含邊界)所示，解得當(dāng)時，z有最小值，且zmin2 200(元).2.已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(1,1)

13、，若點(diǎn)M(x，y)為平面區(qū)域上的一個動點(diǎn)，則的取值范圍是()A.1,0 B.0,1C.0,2 D.1,2考點(diǎn)線性目標(biāo)最優(yōu)解題點(diǎn)求線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解答案C解析作出可行域，如圖陰影部分(含邊界)所示，因?yàn)閤y.所以設(shè)zxy，作l0：xy0，易知過點(diǎn)P(1,1)時，z有最小值，zmin110；過點(diǎn)Q(0,2)時，z有最大值，zmax022，所以的取值范圍是0,2.3.某公司有60萬元資金，計(jì)劃投資甲、乙兩個項(xiàng)目，按要求對項(xiàng)目甲的投資不小于對項(xiàng)目乙投資的，且對每個項(xiàng)目的投資不能低于5萬元，對項(xiàng)目甲每投資1萬元可獲得0.4萬元的利潤，對項(xiàng)目乙每投資1萬元可獲得0.6萬元的利潤，該公司正確規(guī)劃投資后，在

14、這兩個項(xiàng)目上共可獲得的最大利潤為()A.36萬元 B.31.2萬元C.30.4萬元 D.24萬元考點(diǎn)線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題題點(diǎn)求線性目標(biāo)函數(shù)的最值答案B解析設(shè)投資甲項(xiàng)目x萬元，投資乙項(xiàng)目y萬元，可獲得利潤z萬元，則z0.4x0.6y.可行域如圖陰影部分(含邊界)所示，由圖象知，目標(biāo)函數(shù)z0.4x0.6y在A點(diǎn)取得最大值.由得A(24,36)，zmax0.4240.63631.2(萬元).4.設(shè)x，y滿足約束條件則的最大值是()A.5 B.6 C.8 D.10考點(diǎn)非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題題點(diǎn)求斜率型目標(biāo)函數(shù)的最值答案D解析畫出可行域如圖陰影部分(含邊界)所示，的幾何意義是點(diǎn)M(1，1)與可行域內(nèi)

15、的點(diǎn)P(x，y)連線的斜率，當(dāng)點(diǎn)P移動到點(diǎn)N(0,4)時，斜率最大，最大值為5，max2510.故選D.5.設(shè)zxy，其中實(shí)數(shù)x，y滿足若z的最大值為6，則z的最小值為()A.3 B.2 C.1 D.0考點(diǎn)線性規(guī)劃中的參數(shù)問題題點(diǎn)線性規(guī)劃中的參數(shù)問題答案A解析作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，由zxy，得yxz，由圖可知當(dāng)直線yxz經(jīng)過點(diǎn)A時，直線yxz在y軸上的截距最大，此時z最大為6，由得即點(diǎn)A(k，k)，zkk6，得k3.當(dāng)直線yxz經(jīng)過點(diǎn)B時，z取得最小值，由解得即點(diǎn)B(6,3)，此時z的最小值為633.6.設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足則z的取值范圍是()A. B.C. D.考點(diǎn)非線性

16、目標(biāo)函數(shù)的最值問題題點(diǎn)求非線性目標(biāo)函數(shù)最值問題綜合答案D解析令k，則ykx(因?yàn)閤0，所以k存在)，直線ykx恒過原點(diǎn)，不等式組表示的可行域如圖中陰影部分(含邊界)所示，當(dāng)直線ykx過點(diǎn)A(1,2)時，斜率有最大值2；當(dāng)直線ykx過點(diǎn)B(3,1)時，斜率有最小值，所以斜率k的取值范圍為，又zk，當(dāng)k時，zk為減函數(shù)；當(dāng)k1,2時，zk為增函數(shù)，可得z的取值范圍為，故選D.7.若滿足條件的整點(diǎn)(x，y)(整點(diǎn)是指橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn))恰有9個，則整數(shù)a的值為()A.3 B.2C.1 D.0考點(diǎn)線性規(guī)劃中的整點(diǎn)問題題點(diǎn)線性規(guī)劃中的整點(diǎn)問題答案C解析不等式組所表示的平面區(qū)域如圖陰影部分(含邊界)所

17、示，當(dāng)a0時，只有4個整點(diǎn)(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0).當(dāng)a1時，正好增加(1，1)，(0，1)，(1，1)，(2，1)，(3，1)，5個整點(diǎn).再加上a0時的四個整點(diǎn)，共9個整點(diǎn)，故選C.二、填空題8.某公司招收男職員x名，女職員y名，x和y需滿足約束條件則z10x10y的最大值是_.考點(diǎn)線性規(guī)劃中的整點(diǎn)問題題點(diǎn)線性規(guī)劃中的整點(diǎn)問題答案90解析先畫出滿足約束條件的可行域，如圖中陰影部分(含邊界)所示，由解得但xN*，yN*，結(jié)合圖知當(dāng)x5，y4時，zmax90.9.實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組則的取值范圍是_.考點(diǎn)非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題題點(diǎn)求斜率型目標(biāo)函數(shù)的最值答案解析如圖，畫出

18、滿足不等式組的解(x，y)構(gòu)成的可行域ABO，求得B(2,2)，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是可行域上一點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(1,1)連線的斜率，可求得目標(biāo)函數(shù)的最小值為1，最大值為.故的取值范圍是.10.已知則x2y2的最小值是_.考點(diǎn)非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題題點(diǎn)求距離型目標(biāo)函數(shù)的最值答案5解析令zx2y2，畫出可行域，如圖陰影部分(含邊界)所示，令d，即可行域中的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，由圖得dmin，zmind25.三、解答題11.某超市要將甲、乙兩種大小不同的袋裝大米分裝成A，B兩種規(guī)格的小袋，每袋大米可同時分得A，B兩種規(guī)格的小袋大米的袋數(shù)如表所示：規(guī)格類型袋裝大米類型AB甲21乙13已知庫房中現(xiàn)有甲

19、、乙兩種袋裝大米的數(shù)量分別為5袋和10袋，市場急需A，B兩種規(guī)格的成品數(shù)分別為15袋和27袋.問分甲、乙兩種袋裝大米各多少袋可得到所需A，B兩種規(guī)格的成品數(shù)，且使所用的甲、乙兩種袋裝大米的袋數(shù)最少？(要求畫出可行域)考點(diǎn)線性規(guī)劃中的整點(diǎn)問題題點(diǎn)線性規(guī)劃中的整點(diǎn)問題解設(shè)需分甲、乙兩種袋裝大米的袋數(shù)分別為x，y，所用的袋裝大米的總袋數(shù)為z，則zxy(x，y為整數(shù))，作出可行域D如圖陰影部分(含邊界)所示.從圖中可知，可行域D的所有整數(shù)點(diǎn)為(3,9)，(3,10)，(4,8)，(4,9)，(4,10)，(5,8)，(5,9)，(5,10)，共8個點(diǎn).因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)為zxy(x，y為整數(shù))，所以在一組平

20、行直線xyt(t為參數(shù))中，過可行域內(nèi)的整點(diǎn)且與原點(diǎn)距離最近的直線是xy12，其經(jīng)過的整點(diǎn)是(3,9)和(4,8)，它們都是最優(yōu)解.所以，需分甲、乙兩種袋裝大米的袋數(shù)分別為3,9或4,8可使所用的袋裝大米的袋數(shù)最少.12.設(shè)非負(fù)實(shí)數(shù)x，y滿足(2,1)是目標(biāo)函數(shù)zax3y(a0)取最大值時的最優(yōu)解，求a的取值范圍.考點(diǎn)線性規(guī)劃中的參數(shù)問題題點(diǎn)線性規(guī)劃中的參數(shù)問題解作出不等式組所表示的平面區(qū)域(陰影部分含邊界)，由zax3y(a0)，得yx，因?yàn)楫?dāng)直線zax3y(a0)過P(2,1)時，z取最大值，所以由圖可知2，所以a6，所以a的取值范圍是6，).13.已知求：(1)zx2y210y25的最小值；(2)z的取值范圍