競賽講座10極限與導數(shù)

1、第十章 極限與導數(shù)一、 基礎(chǔ)知識1極限定義：（1）若數(shù)列un滿足，對任意給定的正數(shù)，總存在正數(shù)m，當n>m且nN時，恒有|un-A|<成立（A為常數(shù)），則稱A為數(shù)列un當n趨向于無窮大時的極限，記為，另外=A表示x大于x0且趨向于x0時f(x)極限為A，稱右極限。類似地表示x小于x0且趨向于x0時f(x)的左極限。2極限的四則運算：如果f(x)=a, g(x)=b，那么f(x)±g(x)=a±b, f(x)g(x)=ab, 3.連續(xù)：如果函數(shù)f(x)在x=x0處有定義，且f(x)存在，并且f(x)=f(x0)，則稱f(x)在x=x0處連續(xù)。4最大值最小值定理：如

2、果f(x)是閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)，那么f(x)在a,b上有最大值和最小值。5導數(shù)：若函數(shù)f(x)在x0附近有定義，當自變量x在x0處取得一個增量x時（x充分小），因變量y也隨之取得增量y(y=f(x0+x)-f(x0).若存在，則稱f(x)在x0處可導，此極限值稱為f(x)在點x0處的導數(shù)（或變化率），記作(x0)或或，即。由定義知f(x)在點x0連續(xù)是f(x)在x0可導的必要條件。若f(x)在區(qū)間I上有定義，且在每一點可導，則稱它在此敬意上可導。導數(shù)的幾何意義是：f(x)在點x0處導數(shù)(x0)等于曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0)處切線的斜率。6幾個常用函數(shù)的導數(shù)：（1）=0（c為

3、常數(shù)）；（2）（a為任意常數(shù)）；（3）(4);(5);(6);（7）；（8）7導數(shù)的運算法則：若u(x),v(x)在x處可導，且u(x)0,則（1）；（2）；（3）（c為常數(shù)）；（4）；（5）。8復(fù)合函數(shù)求導法：設(shè)函數(shù)y=f(u),u=(x)，已知(x)在x處可導，f(u)在對應(yīng)的點u(u=(x)處可導，則復(fù)合函數(shù)y=f(x)在點x處可導，且（f(x)=.9.導數(shù)與函數(shù)的性質(zhì)：（1）若f(x)在區(qū)間I上可導，則f(x)在I上連續(xù)；（2）若對一切x(a,b)有，則f(x)在(a,b)單調(diào)遞增；（3）若對一切x(a,b)有，則f(x)在(a,b)單調(diào)遞減。10極值的必要條件：若函數(shù)f(x)在x0處

4、可導，且在x0處取得極值，則11.極值的第一充分條件：設(shè)f(x)在x0處連續(xù)，在x0鄰域(x0-,x0+)內(nèi)可導，（1）若當x(x-,x0)時，當x(x0,x0+)時，則f(x)在x0處取得極小值；（2）若當x(x0-，x0)時，當x(x0,x0+)時，則f(x)在x0處取得極大值。12極值的第二充分條件：設(shè)f(x)在x0的某領(lǐng)域(x0-,x0+)內(nèi)一階可導，在x=x0處二階可導，且。（1）若，則f(x)在x0處取得極小值；（2）若，則f(x)在x0處取得極大值。13羅爾中值定理：若函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)上可導，且f(a)=f(b)，則存在(a,b)，使證明 若當x(a,b)

5、，f(x)f(a)，則對任意x(a,b)，.若當x(a,b)時，f(x)f(a)，因為f(x)在a,b上連續(xù)，所以f(x)在a,b上有最大值和最小值，必有一個不等于f(a)，不妨設(shè)最大值m>f(a)且f(c)=m，則c(a,b)，且f(c)為最大值，故，綜上得證。14Lagrange中值定理：若f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)上可導，則存在(a,b)，使證明 令F(x)=f(x)-,則F(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)上可導，且F(a)=F(b)，所以由13知存在(a,b)使=0，即15曲線凸性的充分條件：設(shè)函數(shù)f(x)在開區(qū)間I內(nèi)具有二階導數(shù)，（1）如果對任意xI,則曲線y=f(

6、x)在I內(nèi)是下凸的；（2）如果對任意xI,則y=f(x)在I內(nèi)是上凸的。通常稱上凸函數(shù)為凸函數(shù)，下凸函數(shù)為凹函數(shù)。16琴生不等式：設(shè)1,2,nR+，1+2+n=1。（1）若f(x)是a,b上的凸函數(shù)，則x1,x2,xna,b有f(a1x1+a2x2+anxn)a1f(x1)+a2f(x2)+anf(xn).二、方法與例題1極限的求法。例1 求下列極限：（1）；（2）；（3）；（4）解（1）=；（2）當a>1時，當0<a<1時， 當a=1時，（3）因為而所以（4）例2 求下列極限：（1）(1+x)(1+x2)(1+)(1+)(|x|<1)；（2）；（3）。解 （1）(1+

7、x)(1+x2)(1+)(1+)=（2）=（3）=2連續(xù)性的討論。例3 設(shè)f(x)在(-,+)內(nèi)有定義，且恒滿足f(x+1)=2f(x)，又當x0,1)時，f(x)=x(1-x)2，試討論f(x)在x=2處的連續(xù)性。解 當x0,1)時，有f(x)=x(1-x)2，在f(x+1)=2f(x)中令x+1=t，則x=t-1，當x1,2)時，利用f(x+1)=2f(x)有f(t)=2f(t-1)，因為t-10,1),再由f(x)=x(1-x)2得f(t-1)=(t-1)(2-t)2,從而t1,2)時,有f(t)=2(t-1)(2-t)2；同理，當x1,2)時，令x+1=t，則當t2,3)時，有f(t)

8、=2f(t-1)=4(t-2)(3-t)2.從而f(x)=所以 所以 ，所以f(x)=f(x)=f(2)=0，所以f(x)在x=2處連續(xù)。3利用導數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程。解 因為點(2,0)不在曲線上，設(shè)切點坐標為(x0,y0)，則，切線的斜率為，所以切線方程為y-y0=，即。又因為此切線過點（2,0），所以，所以x0=1，所以所求的切線方程為y=-(x-2)，即x+y-2=0.4導數(shù)的計算。例5 求下列函數(shù)的導數(shù)：（1）y=sin(3x+1)；（2）；（3）y=ecos2x；（4）；（5）y=(1-2x)x(x>0且)。解 （1）3cos(3x+1).(2)（3）（4）（5）5用

9、導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性。例6 設(shè)a>0，求函數(shù)f(x)=-ln(x+a)(x(0,+)的單調(diào)區(qū)間。解 ，因為x>0,a>0，所以x2+(2a-4)x+a2>0；x2+(2a-4)x+a+<0.（1）當a>1時，對所有x>0，有x2+(2a-4)x+a2>0，即(x)>0,f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增；（2）當a=1時，對x1,有x2+(2a-4)x+a2>0，即，所以f(x)在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，在（1，+）內(nèi)遞增，又f(x)在x=1處連續(xù)，因此f(x)在(0,+)內(nèi)遞增；（3）當0<a<1時，令，即x2+(2a-4)x

10、+a2>0，解得x<2-a-或x>2-a+，因此，f(x)在(0,2-a-)內(nèi)單調(diào)遞增，在(2-a+,+)內(nèi)也單調(diào)遞增，而當2-a-<x<2-a+時，x2+(2a-4)x+a2<0，即，所以f(x)在(2-a-,2-a+)內(nèi)單調(diào)遞減。6利用導數(shù)證明不等式。例7 設(shè)，求證：sinx+tanx>2x.證明 設(shè)f(x)=sinx+tanx-2x，則=cosx+sec2x-2，當時，（因為0<cosx<1），所以=cosx+sec2x-2=cosx+.又f(x)在上連續(xù)，所以f(x)在上單調(diào)遞增，所以當x時，f(x)>f(0)=0，即sinx

11、+tanx>2x.7.利用導數(shù)討論極值。例8 設(shè)f(x)=alnx+bx2+x在x1=1和x2=2處都取得極值，試求a與b的值，并指出這時f(x)在x1與x2處是取得極大值還是極小值。解 因為f(x)在(0,+)上連續(xù)，可導，又f(x)在x1=1，x2=2處取得極值，所以，又+2bx+1，所以解得所以.所以當x(0,1)時，所以f(x)在(0,1上遞減；當x(1,2)時，所以f(x)在1，2上遞增；當x(2,+)時，所以f(x)在2，+）上遞減。綜上可知f(x)在x1=1處取得極小值，在x2=2處取得極大值。例9 設(shè)x0,y0,1，試求函數(shù)f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)s

12、in(1-y)x的最小值。解 首先，當x0,y0,1時，f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y)2x=(1-y)2x，令g(x)=,當時，因為cosx>0,tanx>x，所以；當時，因為cosx<0,tanx<0,x-tanx>0，所以；又因為g(x)在(0,)上連續(xù)，所以g(x)在(0,)上單調(diào)遞減。又因為0<(1-y)x<x<，所以g(1-y)x>g(x)，即，又因為，所以當x(0,),y(0,1)時，f(x,y)>0.其次，當x=0時，f(x,y)=0；當x=時，f(x,y)=(1-y)sin

13、(1-y)0.當y=1時，f(x,y)=-sinx+sinx=0；當y=1時，f(x,y)=sinx0.綜上，當且僅當x=0或y=0或x=且y=1時，f(x,y)取最小值0。三、基礎(chǔ)訓練題1=_.2已知，則a-b=_.3_.4_.5計算_.6若f(x)是定義在(-,+)上的偶函數(shù)，且存在，則_.7函數(shù)f(x)在(-,+)上可導，且，則_.8若曲線f(x)=x4-x在點P處的切線平行于直線3x-y=0，則點P坐標為_.9函數(shù)f(x)=x-2sinx的單調(diào)遞增區(qū)間是_.10函數(shù)的導數(shù)為_.11若曲線在點處的切線的斜率為，求實數(shù)a.12.求sin290的近似值。13設(shè)0<b<a<,

14、求證：四、高考水平練習題1計算=_.2計算_.3函數(shù)f(x)=2x3-6x2+7的單調(diào)遞增區(qū)間是_.。4函數(shù)的導數(shù)是_.5函數(shù)f(x)在x0鄰域內(nèi)可導，a,b為實常數(shù)，若，則_.6函數(shù)f(x)=ex(sinx+cosx),x的值域為_.7過拋物線x2=2py上一點(x0,y0)的切線方程為_.8當x>0時，比較大?。簂n(x+1) _x.9.函數(shù)f(x)=x5-5x4+5x3+1,x-1,2的最大值為_，最小值為_.10曲線y=e-x(x0)在點M(t,e-t)處的切線l與x軸、y軸所圍成的三角形面積為S(t)，則S(t)的最大值為_.11若x>0，求證：(x2-1)lnx(x-1

15、)2.12函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(0,+)內(nèi)可導。導函數(shù)是減函數(shù)，且>0，x0(0,+).y=kx+m是曲線y=f(x)在點(x0,f(x0)處的切線方程，另設(shè)g(x)=kx+m，（1）用x0,f(x0),表示m；（2）證明：當x(0,+)時，g(x)f(x)；（3）若關(guān)于x的不等式x2+1ax+b在(0,+)上恒成立，其中a,b為實數(shù)，求b的取值范圍及a,b所滿足的關(guān)系。13.設(shè)各項為正的無窮數(shù)列xn滿足lnxn+,證明：xn1(nN+).五、聯(lián)賽一試水平訓練題1設(shè)Mn=（十進制）n位純小數(shù)0只取0或1（i=1,2,n-1），an=1，Tn是Mn中元素的個數(shù)，Sn是Mn中所有元素的和，

16、則_.2若(1-2x)9展開式的第3項為288，則_.3設(shè)f(x),g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當x<0時，且g(-3)=0，則不等式f(x)g(x)<0的解集為_.4曲線與的交點處的切線夾角是_.5已知aR+，函數(shù)f(x)=x2eax的單調(diào)遞增區(qū)間為_.6已知在(a,3-a2)上有最大值，則a的取值范圍是_.7當x(1,2時，f(x)=恒成立，則y=lg(a2-a+3)的最小值為_.8已知f(x)=ln(ex+a)(a>0)，若對任意xln(3a),ln(4a)，不等式|m-f-1(x)|+ln<0恒成立，則實數(shù)m取值范圍是_.9.已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,（1）求函數(shù)f(x)的最大值；（2）設(shè)0<a<b，證明：0<g(a)+g(b)-<(b-a)ln2.10.(1)設(shè)函數(shù)f(x)=xlog2x+(1-x)log2(1-x) (0<x<1)，求f(x)的最小值；（