第六章經(jīng)典聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學模型：理論與方法

1、第六章 經(jīng)典聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學模型：理論與方法一、內(nèi)容提要聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學模型是相對于單一方程模型提出來的，旨在在討論多個經(jīng)濟變量相互影響的錯綜復雜的運行規(guī)律，或者說討論多個內(nèi)生變量被聯(lián)立決定的問題。本章學習內(nèi)容的一個重點是關于聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學模型區(qū)別于單方程模型的若干基本概念，包括內(nèi)生變量、外生變量、前定變量的概念；結構式模型、簡化式模型的概念；隨機方程、恒等方程的概念；行為方程、技術方程、制度方程、統(tǒng)計方程、定義方程、平衡方程等相關概念。本章學習的另一個重點是聯(lián)立模型的識別問題。需掌握模型識別的基本概念、模型識別的類型（不可識別、恰好識別、過渡識別）、模型的結構式識別條件、模型的簡化式

2、識別條件以及實際應用中的經(jīng)驗識別方法。本章學習的第三個重點是聯(lián)立模型的估計問題。首先明確聯(lián)立模型估計時會遇到的三個方面的問題。一是隨機解釋變量問題，即模型中的某些解釋變量也能是與隨機擾動項相關的隨機解釋變量；二是損失變量信息的問題，即以單方程方法估計模型時會損失其他方程變量所提供的信息；三是損失方程之間的相關性信息問題，即以單方程方法估計模型時會損失不同方程隨機擾動項間的相關性方面的一些信息。其次，需要掌握聯(lián)立模型兩大類估計方法中的主要估計方法，如單方程估計方法中的狹義工具變量法（IV）、間接最小二乘法（ILS）、二階段最小二乘法（2SLS），系統(tǒng)估計方法中的三階段最小二乘法（3SLS）等。

3、本章學習中不容忽視的還有聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學模型估計方法的比較，以及聯(lián)立方程模型的檢驗問題。前者需要考察大樣本估計量特性與小樣本估計量的特性；后者包括擬合效果檢驗、預測性檢驗、方程間誤差傳遞檢驗等方面的內(nèi)容。二、典型例題分析 1、如果我們將“供給”與“需求”寫成如下的聯(lián)立方程的形式：其中，、為外生變量。 （1）若或，解釋為什么存在的簡化式？若、，寫出的簡化式。 （2）若、，且，求的簡化式。這時，有簡化式嗎？ （3）在“供給-需求”的模型中，的條件有可能滿足嗎？請解釋。解答：（1）若，則由第1個方程得：，這就是一個的簡化式； 若，則由第2個方程得：，這也是一個的簡化式。若、，則將代入第1個方程得：

4、整理得： （2）由第二個方程得：代入第一個方程得：整理得這就是的簡化式。也有簡化式，由兩個方程易得：整理得（3）在“供給-需求”模型中，的條件可以滿足。例如，如果第一個方程是供給方程，而第二個方程是需求方程，則這里的就代表供給量或需求量，而就代表這市場價格。于是，應有，。2一個由兩個方程組成的聯(lián)立模型的結構形式如下（省略t-下標）（1）指出該聯(lián)立模型中的內(nèi)生變量與外生變量。（2）分析每一個方程是否為不可識別的，過度識別的或恰好識別的？（3） 有與相關的解釋變量嗎？有與相關的解釋變量嗎？（4）如果使用OLS方法估計，會發(fā)生什么情況？（5）可以使用ILS方法估計嗎？如果可以，推導出估計值。對回答同

5、樣的問題。（6）逐步解釋如何在第2個方程中使用2SLS方法。解答： （1）內(nèi)生變量：P、N；外生變量：A、S、M（2）容易寫出聯(lián)立模型的結構參數(shù)矩陣 P N 常量 S A M 對第1個方程，因此，即等于內(nèi)生變量個數(shù)減1，模型可以識別。進一步，聯(lián)立模型的外生變量個數(shù)減去該方程外生變量的個數(shù)，恰等于該方程內(nèi)生變量個數(shù)減1，即4-3=1=2-1，因此第一個方程恰好識別。對第二個方程，因此，即等于內(nèi)生變量個數(shù)減1，模型可以識別。進一步，聯(lián)立模型的外生變量個數(shù)減去該方程外生變量的個數(shù)，大于該方程內(nèi)生變量個數(shù)減1，即4-2=2>=2-1，因此第二個方程是過渡識別的。該模型對應于13.3屆中的模型4。

6、我們注意到該模型為過渡識別的。綜合兩個方程的識別狀況，該聯(lián)立模型是過渡識別的。 （3）S,A,M為外生變量，所以他們與，都不相關。而P,N為內(nèi)生的，所以他們與，都相關。具體說來，N與P同期相關，而P與同期相關，所以N與同期相關。另一方面，N與v同期相關，所以P與v同期相關。（4）由（3）知，由于隨機解釋變量的存在，與的OLS估計量有偏且是不一致的。（5）對第一個方程，由于是恰也識別的，所以間可用接最小二乘法（ILS）進行估計。對第二個方程，由于是過渡識別的，因此ILS法在這里并不適用。（6）對第二個方程可采用二階段最小二乘法進行估計，具體步驟如下：第1階段，讓P對常量，S,M,A回歸并保存預測

7、值；同理，讓N對常量，S,A,M回歸并保存預測值。第2階段，讓對常量、作回歸求第2個方程的2SLS估計值。三、習題6-1解釋下列概念：1) 聯(lián)立問題2) 行為方程3) 間接最小二乘法4) 識別問題5) 二階段最小二乘法6) 三階段最小二乘法7) 簡化式模型8) 不可識別9) 恰度識別10) 過度識別11) 結構式模型12) 遞歸系統(tǒng)模型13) 先決變量14) 參數(shù)關系體系6-2為什么要建立聯(lián)立方程模型，聯(lián)立方程模型適用于什么樣的經(jīng)濟現(xiàn)象？6-3聯(lián)立方程模型中的變量可以分為幾類？其含義各是什么？6-4聯(lián)立方程模型中的方程可以分為幾類？其含義各是什么？6-5聯(lián)立方程模型可以分為幾類？其含義各是什么

8、？6-6聯(lián)立方程模型的識別狀況可以分為幾類？其含義各是什么？6-7結構方程可識別和不可識別的等價定義是什么？6-8簡述結構方程識別的階條件和秩條件的步驟。6-9聯(lián)立方程模型的估計有哪些方法？其適用條件、統(tǒng)計性質各是什么？6-10聯(lián)立方程計量經(jīng)濟模型中結構方程的結構參數(shù)為什么不能直接應用OLS估計？6-11已知一個聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學模型的完備的結構式模型，如何確定其中的內(nèi)生變量、先決變量、外生變量？6-12如何對不可識別的方程進行簡單的修改使之可以識別？6-13為什么說ILS、IV、2SLS方法都可以認為是工具變量方法？它們在工具變量的選取上有什么區(qū)別？6-14證明對于恰好識別的結構方程ILS、

9、IV、2SLS的參數(shù)估計量是等價的。6-153SLS的方法步驟是什么？為什么3SLS的參數(shù)估計量比2SLS的參數(shù)估計量更有效？6-16理解聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學模型單方程估計方法與系統(tǒng)估計方法的概念。6-17寫出結構模型的一般形式和結構參數(shù)矩陣。6-18寫出簡化模型的一般形式和參數(shù)關系式的表達式。6-19已知簡單的Keynesian收入決定模型如下： （消費方程） （投資方程） （定義方程）要求：（1）導出簡化型方程；（2）試證明：簡化型參數(shù)是用來測定外生變量變化對內(nèi)生變量所起的直接與間接的總影響（以投資方程的簡化型為例來加以說明）。（3）試用階條件與秩條件確定每個結構方程的識別狀態(tài)；整個模型的識

10、別狀態(tài)如何？6-20為什么間接最小二乘法（ILS）只適用于恰好識別的結構模型？ 6-21簡述二階段最小二乘法（2SLS）的兩個階段6-22在聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學模型Y+X=U 中，每個結構方程的隨機誤差項具有0均值、同方差且存在一階序列相關，每個結構方程的隨機誤差項之間具有同期相關。要求：寫出該聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學模型隨機誤差項的方差協(xié)方差矩陣。6-23某聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學模型有3個方程、3個內(nèi)生變量（，）、3個外生變量（，）和樣本觀測值始終為1的虛變量C，樣本容量為n。其中第2個方程：為恰好識別的結構方程。要求：（1）寫出用IV法估計該方程參數(shù)的正規(guī)方程組；（2）用ILS方法估計該方程參數(shù)，也可

11、以看成一種工具變量方法，指出工具變量是如何選取的，并寫出參數(shù)估計量的矩陣表達式；（3）用2SLS方法估計該方程參數(shù)，也也可以看成一種工具變量方法，指出的工具變量是什么，并寫出參數(shù)估計量的矩陣表達式；6-24下列為一完備的聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學模型：其中：M為貨幣供給量，Y為國內(nèi)生產(chǎn)總值，P為價格總指數(shù)。要求：（1）指出模型的內(nèi)生變量、外生變量、先決變量；（2）寫出簡化式模型，并導出結構式參數(shù)與簡化式參數(shù)之間的關系；（3）用結構式條件確定模型的識別狀態(tài)；（4）從方程之間的關系出發(fā)確定模型的識別狀態(tài)；（5）如果模型不可識別，試作簡單的修改使之可以識別；（6）指出ILS、IV、2SLS中哪些可用于原模型

12、第1、2個方程的參數(shù)估計。6-25獨立建立一個包含34個方程的中國宏觀經(jīng)濟模型，并完成模型的識別和估計（可以采取本章中第五節(jié)的例子，將樣本觀測值擴大到2000年之后，自己獨立完成）。四、習題解答6-11) 聯(lián)立問題：經(jīng)濟現(xiàn)象是極為復雜的，其中諸因素之間的關系，在很多情況下，不是單一方程所能描述的那種簡單的單向因果關系，而是相互依存，互為因果的，這時，就必須用聯(lián)立的計量經(jīng)濟學方程才能描述清楚。聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學模型以經(jīng)濟系統(tǒng)為研究對象，揭示經(jīng)濟系統(tǒng)中各部分、各因素之間的數(shù)量關系和系統(tǒng)的數(shù)量特征。2) 行為方程：行為方程描述經(jīng)濟系統(tǒng)中變量之間的行為關系，主要是因果關系，例如用收入作為消費的解釋變量

13、建立的方程。3) 間接最小二乘法：先對關于內(nèi)生解釋變量的簡化式方程采用普通最小二乘法估計簡化式參數(shù)，得到簡化式參數(shù)估計量，然后通過參數(shù)關系體系，計算得到結構式參數(shù)的估計量。4) 識別問題：聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學模型是由多個方程組成，對方程之間的關系有嚴格的要求，否則模型就可能無法估計。所以在進行模型估計之前首先要判斷它是否可以估計，這就是模型的識別。如果聯(lián)立方程模型中某個結構方程不具有確定的統(tǒng)計形式，則稱該方程為不可識別。如果一個模型中的所有隨機方程都是可以識別的，則認為該聯(lián)立方程模型系統(tǒng)是可以識別的。反過來，如果一個模型系統(tǒng)中存在一個不可識別的隨機方程，則認為該聯(lián)立方程模型系統(tǒng)是不可以識別的。5

14、) 二階段最小二乘法：估計聯(lián)立方程模型中的某個結構式方程時，先用普通最小二乘法對其中內(nèi)生解釋變量的簡化式進行估計，得到內(nèi)生解釋變量的估計值，用此估計值代替原結構式方程中的內(nèi)生解釋變量，再對變換了的結構式方程用普通最小二乘法進行估計。6) 三階段最小二乘法：三階段最小二乘法是估計聯(lián)立方程模型全部結構方程的系統(tǒng)估計方法，基本思路是3SLS=2SLS+GLS，即首先用兩階段最小二乘法估計模型系統(tǒng)中的每一個結構方程，然后再用廣義最小二乘法估計模型系統(tǒng)。7) 簡化式模型：將聯(lián)立方程模型的每個內(nèi)生變量表示成所有先決變量和隨機誤差項的函數(shù)，即用所有先決變量作為每個內(nèi)生變量的解釋變量，所形成的模型稱為簡化式模

15、型。8) 不可識別：如果聯(lián)立方程模型中某個結構方程不具有確定的統(tǒng)計形式，則稱該方程為不可識別。如果一個模型系統(tǒng)中存在一個不可識別的隨機方程，則認為該聯(lián)立方程系統(tǒng)是不可識別的。9) 恰度識別：如果某一個隨機方程具有一組參數(shù)估計量，稱其為恰度識別。10) 過度識別：如果某一個隨機方程具有多組參數(shù)估計量，稱其為過度識別。11) 結構式模型：根據(jù)經(jīng)濟理論和行為規(guī)律建立的描述經(jīng)濟變量之間直接關系結構的計量經(jīng)濟學方程系統(tǒng)稱為結構式模型。結構式模型中的每一個方程都是結構方程，將一個內(nèi)生變量表示為其它內(nèi)生變量、先決變量和隨機誤差項的函數(shù)形式，被稱為結構方程的正規(guī)形式。12）遞歸系統(tǒng)模型：聯(lián)立方程模型，如果即在

16、第1個方程中被解釋變量為，解釋變量全部為先決變量；在第2個方程中被解釋變量為，解釋變量中除了作為第1個方程被解釋變量的內(nèi)生變量外，全部為先決變量；第3個方程，依次類推。這類模型稱為遞歸系統(tǒng)模型。13）先決變量：外生變量與滯后內(nèi)生變量統(tǒng)稱為先決變量。14）參數(shù)關系體系：簡化式參數(shù)與結構式參數(shù)之間的關系，稱為參數(shù)關系體系。6-2經(jīng)濟現(xiàn)象是極為復雜的，其中諸因素之間的關系，在很多情況下，不是單一方程所能描述的那種簡單的單向因果關系，而是相互依存，互為因果的，這時，就必須用聯(lián)立的計量經(jīng)濟學方程才能描述清楚。所以與單方程適用于單一經(jīng)濟現(xiàn)象的研究相比，聯(lián)立方程模型適用于描述復雜的經(jīng)濟現(xiàn)象，即經(jīng)濟系統(tǒng)。6-

17、3對于聯(lián)立方程模型系統(tǒng)而言，將變量分為內(nèi)生變量和外生變量兩大類，外生變量與滯后內(nèi)生變量又被統(tǒng)稱為先決變量。內(nèi)生變量是具有某種概率分布的隨機變量，它是由模型系統(tǒng)決定的，同時也對模型系統(tǒng)產(chǎn)生影響，內(nèi)生變量一般都是經(jīng)濟變量。外生變量一般是確定性變量，或者是具有臨界概率分布的隨機變量。外生變量影響系統(tǒng)，但本身不受系統(tǒng)的影響。外生變量一般是經(jīng)濟變量、條件變量、政策變量、虛變量。6-4聯(lián)立方程模型中，結構式模型中的每一個方程都是結構方程，簡化式模型中每個方程稱為簡化式方程，結構方程的方程類型如下：其中，行為方程描述經(jīng)濟系統(tǒng)中變量之間的行為關系，主要是因果關系，例如用收入作為消費的解釋變量建立的方程；技術方

18、程描述由技術決定的變量之間的關系，例如用總產(chǎn)值作為凈產(chǎn)值的解釋變量建立的方程；制度方程描述由制度決定的變量之間的關系，例如用進口總額作為關稅收入的解釋變量建立的方程；統(tǒng)計方程描述由數(shù)據(jù)之間的相關性決定的變量之間的關系，例如描述城鎮(zhèn)居民收入與農(nóng)村居民收入之間關系的方程。定義方程是由經(jīng)濟學或經(jīng)濟統(tǒng)計學的定義決定的，例如國內(nèi)生產(chǎn)總值等于第一、二、三產(chǎn)業(yè)增加值之和；平衡方程是由變量所代表的指標之間的平衡關系決定的，例如政府消費等于消費總額減去居民消費。經(jīng)驗方程僅描述由經(jīng)驗得到的數(shù)據(jù)之間的確定性關系，沒有什么實質性意義。6-5聯(lián)立方程模型可以分為結構式模型和簡化式模型。根據(jù)經(jīng)濟理論和行為規(guī)律建立的描述經(jīng)

19、濟變量之間直接關系結構的計量經(jīng)濟學方程系統(tǒng)稱為結構式模型。結構式模型中的每一個方程都是結構方程，將一個內(nèi)生變量表示為其它內(nèi)生變量、先決變量和隨機誤差項的函數(shù)形式，被稱為結構方程的正規(guī)形式。將聯(lián)立方程模型的每個內(nèi)生變量表示成所有先決變量和隨機誤差項的函數(shù)，即用所有先決變量作為每個內(nèi)生變量的解釋變量，所形成的模型稱為簡化式模型。6-6聯(lián)立方程模型的識別狀況可以分為可識別和不可識別，可識別又分為恰好識別和過度識別。如果聯(lián)立方程模型中某個結構方程不具有確定的統(tǒng)計形式，則稱該方程為不可識別，或者根據(jù)參數(shù)關系體系，在已知簡化式參數(shù)估計值時，如果不能得到聯(lián)立方程模型中某個結構方程的確定的結構參數(shù)估計值，稱該

20、方程為不可識別。如果一個模型中的所有隨機方程都是可以識別的，則認為該聯(lián)立方程模型系統(tǒng)是可以識別的。反過來，如果一個模型系統(tǒng)中存在一個不可識別的隨機方程，則認為該聯(lián)立方程模型系統(tǒng)是不可以識別的。如果某一個隨機方程具有一組參數(shù)估計量，稱其為恰好識別；如果某一個隨機方程具有多組參數(shù)估計量，稱其為過度識別。6-7定義一：如果聯(lián)立方程模型中某個結構方程不具有確定的統(tǒng)計形式，則稱該方程為不可識別。定義二：如果聯(lián)立方程模型中某些方程的線性組合可以構成與某一個方程相同的統(tǒng)計形式，則稱該方程為不可識別。定義三：根據(jù)參數(shù)關系體系，在已知簡化式參數(shù)估計值時，如果不能得到聯(lián)立方程模型中某個結構方程的確定的結構參數(shù)估計

21、值，則稱該方程為不可識別。6-8聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學模型的結構式中的第i個方程中包含個內(nèi)生變量（含被解釋變量）和個先決變量（含常數(shù)項），模型系統(tǒng)中內(nèi)生變量和先決變量的數(shù)目用和表示，矩陣表示第i個方程中未包含的變量（包括內(nèi)生變量和先決變量）在其它個方程中對應系數(shù)所組成的矩陣。于是，判斷第i個結構方程識別狀態(tài)的結構式條件為：如果，則第i個結構方程不可識別；如果，則第i個結構方程可以識別，并且如果，則第i個結構方程恰好識別，如果，則第i個結構方程過度識別。其中符號R表示矩陣的秩。一般將該條件的前一部分稱為秩條件，用以判斷結構方程是否識別；后一部分稱為階條件，用以判斷結構方程恰好識別或者過度識別。6-9

22、單方程估計方法有：狹義的工具變量法（IV），間接最小二乘法(ILS)，兩階段最小二乘法（2SLS）；系統(tǒng)估計方法有：三階段最小二乘法（3SLS），完全信息最大或然法（FIML）。狹義的工具變量法（IV）和間接最小二乘法(ILS)只適用于恰好識別的結構方程的估計。兩階段最小二乘法（2SLS）、三階段最小二乘法（3SLS）、完全信息最大或然法（FIML）既適用于恰好識別的結構方程，又適用于過度識別的結構方程。工具變量法參數(shù)估計量，一般情況下，在小樣本下是有偏的，但在大樣本下是漸近無偏的。如果選取的工具變量與方程隨機誤差項完全不相關，那么其參數(shù)估計量是無偏性估計量。對于間接最小二乘法，對簡化式模型應

23、用普通最小二乘法得到的參數(shù)估計量具有線性、無偏性、有效性。通過參數(shù)關系體系計算得到結構方程的結構參數(shù)估計量在小樣本下是有偏的，在大樣本下是漸近無偏的。采用二階段最小二乘法得到結構方程的結構參數(shù)估計量在小樣本下是有偏的，在大樣本下是漸近無偏的。3SLS估計量的統(tǒng)計性質主要有：如果聯(lián)立方程模型系統(tǒng)中所有結構方程都是可以識別的，并且非奇異，則3SLS估計量是一致性估計量。為了保證非奇異，必須將模型系統(tǒng)中的恒等式排除在外，不參加估計過程。因為恒等式的隨機誤差項為0，將使矩陣中出現(xiàn)0行和0列，使之成為奇異矩陣。 3SLS估計量比2SLS估計量更有效，但是這是對大樣本而言。對于有限樣本情況下3SLS估計量

24、和2SLS估計量的有效性比較，無法從數(shù)學上加以證明，可以通過Monte Carlo試驗進行統(tǒng)計上的說明。如果是對角矩陣，即模型系統(tǒng)中不同結構方程的隨機誤差項之間無相關性，那么可以證明3SLS估計量與2SLS估計量是等價的。在大樣本時，一般情況下，3SLS與FIML具有相同的漸近有效性。但是，在特殊情況下，例如，如果在開始估計之前已經(jīng)知道方程系統(tǒng)隨機誤差項的方差、協(xié)方差信息，F(xiàn)IML就可以充分利用這些信息，因而比3SLS更有效。6-10第一，結構方程解釋變量中的內(nèi)生解釋變量是隨機解釋變量，不能直接用OLS來估計；第二，損失變量信息問題：在估計聯(lián)立方程系統(tǒng)中某一個隨機方程參數(shù)時，必須考慮沒有包含在

25、該方程中的變量的數(shù)據(jù)信息；第三，聯(lián)立方程模型系統(tǒng)中每個隨機方程之間往往存在某種相關性，表現(xiàn)于不同方程隨機誤差項之間，如果采用單方程模型方法估計某一個方程，是不可能考慮這種相關性的，造成信息的損失。6-11內(nèi)生變量：內(nèi)生變量是具有某種概率分布的隨機變量，它的參數(shù)是聯(lián)立方程系統(tǒng)估計的元素，內(nèi)生變量是由模型系統(tǒng)決定的，同時也對模型系統(tǒng)產(chǎn)生影響。內(nèi)生變量一般都是經(jīng)濟變量。一般情況下，內(nèi)生變量滿足：即因為外生變量：外生變量一般是確定性變量，或者是具有臨界概率分布的隨機變量，其參數(shù)不是模型系統(tǒng)研究的元素。外生變量影響系統(tǒng)，但本身不受系統(tǒng)的影響。外生變量一般是經(jīng)濟變量、條件變量、政策變量、虛變量。外生變量一

26、般滿足：外生變量與滯后內(nèi)生變量統(tǒng)稱為先決變量。6-12修改方程使得其余每一個方程中都包含至少1個該方程所未包含的變量，并且互不相同，那么所有方程的任意線性組合都不能構成與該方程相同的統(tǒng)計形式，則該方程變?yōu)榭梢宰R別的方程。6-13狹義工具變量法用結構方程中未包含的先決變量作為的工具變量，用結構方程中包含的先決變量作為自己的工具變量；而間接最小二乘法則將先決變量按自己的順序作為的工具變量；二階段最小二乘法選取的線性組合作為結構方程中內(nèi)生解釋變量的工具變量，選取作為自己的工具變量。6-14分別采用三種單方程估計方法得到的參數(shù)估計量如下： (1) (2) (3)可以看到，三種結果是用不同的工具變量方法

27、估計得到的，區(qū)別僅在于工具變量選取不同。比較狹義工具變量法和間接最小二乘法的參數(shù)估計量(1)與(2)，它們選取了同樣一組變量作為結構方程中解釋變量的工具變量，只是次序不同。狹義工具變量法用結構方程中未包含的先決變量作為的工具變量，用結構方程中包含的先決變量作為自己的工具變量；而間接最小二乘法則將先決變量按自己的順序作為的工具變量，這就使得結構方程中包含的先決變量也選擇了其它先決變量作為工具變量，而不是自身，這兩種不同的選取只影響正規(guī)方程組中方程的次序，并不影響方程組的解。所以狹義工具變量法和間接最小二乘法的參數(shù)估計量是等價的。比較二階段最小二乘法和間接最小二乘法的參數(shù)估計量(3)與(2)。間接

28、最小二乘法選取作為結構方程中解釋變量的工具變量，二階段最小二乘法選取的線性組合作為結構方程中內(nèi)生解釋變量的工具變量，選取作為自己的工具變量。這樣使得關于二者參數(shù)估計量的正規(guī)方程組是不同的，分別為比較該兩個正規(guī)方程組發(fā)現(xiàn)，后者可以由前者經(jīng)過初等線性變換得到。而根據(jù)代數(shù)知識，初等線性變換不影響方程組的解。所以二階段最小二乘法和間接最小二乘法的參數(shù)估計量是等價的。也可以對此進行嚴格證明。假設即兩邊同時左乘，有兩邊同時右乘，有該式顯然成立。所以兩種參數(shù)估計量是等價的的假設成立。結論是，對于恰好識別的結構方程，狹義工具變量法、間接最小二乘法和二階段最小二乘法三種方法是等價的。6-15三階段最小二乘法的步

29、驟1 用兩階段最小二乘法估計結構方程（1）得到方程隨機誤差項的估計值。首先采用OLS估計結構方程中內(nèi)生解釋變量的簡化式模型得到于是用替換(1)中的，進行2SLS的第二階段估計，得到的2SLS估計量和的2SLS估計量計算殘差估計值為2 求的估計量根據(jù)計算公式計算得到：對方程系統(tǒng) (2)其中應用廣義最小二乘法，得到結構參數(shù)的3SLS估計量為：至此，完成了三階段最小二乘法估計，同時得到所有方程的結構參數(shù)估計量。3SLS估計量比2SLS估計量更有效。3SLS方法主要優(yōu)點是考慮了模型系統(tǒng)中不同結構方程的隨機誤差項之間的相關性。將3SLS估計量和2SLS估計量的分布進行比較，并根據(jù)Gauss-Markov

30、定理，即可清楚看到這點。但是這是對大樣本而言。對于有限樣本情況下3SLS估計量和2SLS估計量的有效性比較，無法從數(shù)學上加以證明，可以通過Monte Carlo試驗進行統(tǒng)計上的說明。6-16聯(lián)立方程計量經(jīng)濟學模型的估計方法分為兩大類：單方程估計方法與系統(tǒng)估計方法。所謂單方程估計方法，指每次只估計模型系統(tǒng)中的一個方程，依次逐個估計。單方程估計方法主要解決的是聯(lián)立方程模型系統(tǒng)中每一個方程中的隨機解釋變量問題，同時盡可能地利用單個方程中沒有包含的、而在模型系統(tǒng)中包含的變量樣本觀測值的信息，沒有考慮模型系統(tǒng)方程之間的相關性對單個方程參數(shù)估計量的影響。所謂系統(tǒng)估計方法，指同時對全部方程進行估計，同時得到

31、所有方程的參數(shù)估計量，利用了模型系統(tǒng)的全部信息。顯然，從模型估計的性質來講，系統(tǒng)估計方法必然優(yōu)于單方程方法，但從方法的復雜性來講，單方程方法又優(yōu)于系統(tǒng)估計方法。6-17一個完備的結構式模型可以寫成：或其中用n表示樣本容量，則參數(shù)矩陣為：為結構參數(shù)矩陣。6-18簡化式模型的矩陣形式為： (1)其中表示簡化式參數(shù)矩陣。將結構式模型作如下變換：與(1)比較，可以得到： (2)該式描述了簡化式參數(shù)與結構式參數(shù)之間的關系，稱為參數(shù)關系體系。6-19（1）將題中結構式模型進行變量連續(xù)替代后得到（2）例如表示對的影響，即增加1個單位時對的影響。這種影響被分成兩部分，其中前一項正是結構式方程中反映對的直接影響

32、的參數(shù)，后一項反映對的間接影響。（3）結構參數(shù)矩陣為：模型系統(tǒng)中內(nèi)生變量的數(shù)目為g=3，先決變量的數(shù)目為=3。首先判斷第1個結構方程的識別狀態(tài)。對于第1個方程，有又因為有：所以，第1個結構方程為過度識別的結構方程。再看第2個結構方程，有所以，該方程可以識別。并且所以，第2個結構方程為恰好識別的結構方程。第3個方程是平衡方程，不存在識別問題。綜合以上結果，該聯(lián)立方程模型是可以識別的。6-20間接最小二乘法只適用于恰好識別的結構方程的參數(shù)估計，因為只有恰好識別的結構方程，才能從參數(shù)關系體系中得到唯一一組結構參數(shù)的估計量。6-21對于聯(lián)立方程模型的第1個結構方程(1)由于內(nèi)生解釋變量是隨機變量，不能

33、直接采用普通最小二乘法。但是對于的簡化式方程，即簡化式模型中的每個方程，不存在隨機解釋變量問題，可以直接采用普通最小二乘法估計其參數(shù)，并得到關于的估計值：這就是二階段最小二乘法的第一階段，即對簡化式方程第一次使用普通最小二乘法。用的估計量替換(1)中的，得到新的方程顯然，該方程中不存在隨機解釋變量問題，可以直接采用普通最小二乘法估計其參數(shù)，得到：這就是二階段最小二乘法的第二階段，即對變換了的結構式方程使用普通最小二乘法。得到的參數(shù)估計量即為原結構方程參數(shù)的二階段最小二乘估計量。6-22 j=1,2g其中g為內(nèi)生變量數(shù)目，n為每個結構方程樣本數(shù)目。6-23（1）將方程寫成標準形式：（2）用ILS

34、方法估計方程參數(shù)，用（C，）依次作為（，C，）的工具變量參數(shù)估計量的矩陣表達式為其中 j=1，2，3 j=2，3 （3）用2SLS方法估計方程參數(shù)，的工具變量為C，的線性組合其中X= C 參數(shù)估計量的矩陣表達式為6-24（1）內(nèi)生變量為，；外生變量為和常數(shù)項；先決變量為和常數(shù)項。（2）簡化式模型為結構式參數(shù)與簡化式參數(shù)之間的關系體系為（3）用結構式條件確定模型的識別狀態(tài)；結構參數(shù)矩陣為：模型系統(tǒng)中內(nèi)生變量的數(shù)目為g=2，先決變量的數(shù)目為=2（包括常數(shù)項）。首先判斷第1個結構方程的識別狀態(tài)。對于第1個方程，有所以，第1個結構方程為不可識別的結構方程。再看第2個結構方程，有所以，該方程可以識別。并

35、且所以，第2個結構方程為恰好識別的結構方程。綜合以上結果，該聯(lián)立方程模型是不可識別的。（4）第一個結構方程包含了第二個結構方程所未包含的變量，這使得這兩個方程的任意線性組合都不能構成與第二個方程相同的統(tǒng)計形式，所以第二個方程是可以識別的；而第二個結構方程沒有包含第一個方程中所未包含的變量，這使得這兩個方程的某些線性組合能構成與第一個方程相同的統(tǒng)計形式，導致第一個方程不可識別。例如，將兩個方程相加并整理，得到：這與方程一有相同的統(tǒng)計形式。當我們收集了、和的樣本觀測值進行參數(shù)估計后，很難判斷得到的是第一個方程的參數(shù)估計量還是新組合方程的參數(shù)估計量。（5）為了使模型可以識別，需要第二個方程包含一個第

36、一個方程所未包含的變量，所以引入滯后一期的國內(nèi)生產(chǎn)總值，模型變?yōu)榭梢耘袆e，此時兩個結構方程都是恰好識別的，這樣模型是可以識別的。（6）如前所述，第一個方程式不可識別的，第二個方程是恰好識別的，所以可以用以上三種方法來估計第二個方程。6-25下面為一個包含3個方程的中國宏觀經(jīng)濟模型。此模型包含3個內(nèi)生變量：國內(nèi)生產(chǎn)總值、居民消費總額和投資總額；3個先決變量：政府消費（將凈出口也包含其中，為了實現(xiàn)數(shù)據(jù)的平衡）、前期居民消費總額和常數(shù)項。完備的結構式模型為： t=1978,1979,2002樣本觀測值見表1,數(shù)據(jù)來自中國統(tǒng)計年鑒。表1 中國宏觀經(jīng)濟數(shù)據(jù)單位：億元年份YCIG19783605.6175

37、9.11377.9468.6197940742005.41474.2594.419804551.32317.11590644.219814901.42604.11581716.319825489.22867.91760.2861.119836076.33182.52005888.819847164.43674.52468.61021.319858792.145893386817.1198610132.8517538461111.8198711784.75961.243221501.51988147047633.154951575.91989164668523.560951847.5199018319.59113.264442762.3199121280.410315.975173447.5199225863.712459.896363767.9199334500.715682.4149983820.3199446690.720809.819260.66620.3199558510.526944