第3章空間力系

1、12第三章第三章 空間一般力系空間一般力系 31 力對軸的矩力對軸的矩 32 空間一般力系的簡化與平衡空間一般力系的簡化與平衡 33 物體的重心和形心物體的重心和形心 3本章重點：本章重點：力對軸的矩的計算，空間一般力系的平衡條件力對軸的矩的計算，空間一般力系的平衡條件及其應用，重心的求法。及其應用，重心的求法。本章難點：本章難點：力對軸的矩的計算，平衡方程的應用。力對軸的矩的計算，平衡方程的應用。 4空間一般力系：各力的作用線不全在同一平面內(nèi)且任意分布的空間一般力系：各力的作用線不全在同一平面內(nèi)且任意分布的力系。也稱空間任意力系。力系。也稱空間任意力系。所謂任意分布是指各力的作用線既不完全相

2、交也不完全相互平行。物體受空間一般力系作用是物體受力最一般的情況，在工程實際中很普遍。地面反力自重側風力迎風力摩擦力5空間一般力系有以下三種三種特殊力系特殊力系：空間匯交力系：空間匯交力系：各力的作用線不全在同一平面內(nèi)且匯交于一點的力系。空間平行力系：空間平行力系：各力的作用線不全在同一平面內(nèi)且相互平行的力系?？臻g力偶系：空間力偶系：各力偶作用面不全在同一平面內(nèi)的力偶系。6一、定義一、定義為了度量力使物體繞軸轉動的效應，引用力對軸的矩。圖示門，求力 對z（矩軸矩軸）的矩。zFF將力分解：3-1 3-1 力對軸的矩力對軸的矩AxyFzFOd z 軸z 軸ZFxyF7于是：于是：的面積2)()(B

3、OAdFFmFmxyxyOz結論結論：力對軸的矩等于該力在垂直于力對軸的矩等于該力在垂直于此軸的平面上的投影對此軸與這個平此軸的平面上的投影對此軸與這個平面交點的矩面交點的矩。（1）力對軸的矩是代數(shù)量。）力對軸的矩是代數(shù)量。正負號規(guī)定：右手螺旋法則。正負號規(guī)定：右手螺旋法則。8即力即力 與軸共面時，力對軸之與軸共面時，力對軸之矩為零矩為零。（2）若力與軸空間垂直，則無須投影。（3）若 / z 軸與z軸相交FFF（4）力沿作用線移動，力對軸的矩不變。9二、力對點的矩與力對通過該點的軸之矩的關系二、力對點的矩與力對通過該點的軸之矩的關系前面我們討論了力對點的矩與力對軸的矩：力對點的矩是矢量，力對軸

4、的矩是代數(shù)量另一方面：力對平面內(nèi)一點的矩與力對通過該點而垂直于平面的軸的矩的大小相等，符號可能或同或異。可見，在概念上，力對點的矩與力對軸的矩不盡相同但又相互聯(lián)系。那么，在一般情況下，力對點的矩與力對通過該點的軸之矩有什么關系呢？10即：)(cos)(FmFmzO)()(FmFmzzO面積由于AOBFmO2)(2)()(BOAFmFmxyOz通過O點作任一軸Z，則：cosBOAOAB由幾何關系：2cos2BOAOAB所以：11 結論結論：力對點的矩矢在通過該點的任意軸上的投影等于這力力對點的矩矢在通過該點的任意軸上的投影等于這力對于該軸的矩。對于該軸的矩。這就是力對點之矩與對通過該點軸之矩的關

5、系，簡稱力矩關系式。 kFmjFmiFmFrFmzOyOxOO)()()()(kFmjFmiFmzyx)()()(由于又由第一章知：)(FmOZYXzyxkjikyXxYjxZzXizYyZ)()()(yXxYFmxZzXFmzYyZFmzyx)(,)(,)(這就是力對直角坐標軸的矩的解析表達式解析表達式。12力對軸的矩的計算方法：（1）定義法；（2）解析式；（4）合力矩定理。（3）力矩關系式；例例1已知已知P=20N，求，求 對對z軸的矩。軸的矩。解解：方法一：定義法dPPmPmxyxyOz)()(205. 05 . 02060cos0dPmN22P13方法二：解析式X=Pcos600sin

6、450=5Y=Pcos600cos450 = 5Z= Psin600= 10 x= 0.4my=0.2+0.3=0.5mz=0.3mN2N2N3yXxYPmz)(mN25 . 0255 . 0)25(4 . 014方法三：力矩關系式)(PmOZYXzyxkji31025253 . 05 . 04 . 0kjikji25 . 0)3425 . 1 ()3525 . 1 ()(Pmx)(Pmy)(Pmz15方法四：合力矩定理)()(xzzPmPm)()(zzyzPmPm=05 . 045sin60cos00P4 . 045cos60cos00 PmN25 . 0163-2 3-2 空間一般力系的簡

7、化與平衡空間一般力系的簡化與平衡一、空間匯交力系的合成一、空間匯交力系的合成同平面匯交力系一樣，作力多邊形（此時是空間的），得：空間匯交力系合成的結果是一個合力，合力的大小和方向等空間匯交力系合成的結果是一個合力，合力的大小和方向等于力系中各力的矢量和，即于力系中各力的矢量和，即inFFFFR.21二、空間力偶系的合成二、空間力偶系的合成空間力偶是自由矢量，所以可以將空間力偶系中各力偶矩矢搬移到某一點，得到一組空間匯交的力偶矩矢。應用空間匯交力系的合成方法，得空間力偶系合成的結果是一個合力偶，合力偶矩矢等于各空間力偶系合成的結果是一個合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和，即分力偶矩矢的矢

8、量和，即inmmmmm.2117 把研究平面一般力系的簡化方法拿來研究空間一般力系的簡化問題，但須把平面坐標系擴充為空間坐標系。 nFFFF321, 設作用在剛體上有空間一般力系任選任選O點點簡化中心簡化中心三、空間一般力系向一點的簡化三、空間一般力系向一點的簡化18根據(jù)力的平移定理，將各力向O點平移，1F1m2F2mnFnm=得到一空間匯交力系：, , 321nFFFF和一附加空間力偶系：nmmm,21.),(),(.,22112211FmmFmmFFFFOO19將 合成，得將 合成，得1F1m2F2mnFnm=, , , 321nFFFFiiFFRnmmm,21)(iOiOFmmM稱為原力

9、系的主矢量，過簡化中心O。稱為原力系的主矩。 ROM=20結論結論：空間一般力系向一點簡化，一般可得一個力和一個力偶，空間一般力系向一點簡化，一般可得一個力和一個力偶，這個力作用在簡化中心，大小和方向等于原力系的主矢，這個力作用在簡化中心，大小和方向等于原力系的主矢，即等于原力系各力的矢量和；這個力偶的矩矢等于原力系即等于原力系各力的矢量和；這個力偶的矩矢等于原力系對簡化中心的主矩，即等于原力系各力對簡化中心矩的矢對簡化中心的主矩，即等于原力系各力對簡化中心矩的矢量和。量和。主矢與簡化中心O點的位置無關，而主矩一般與簡化中心的位置有關。21若取簡化中心簡化中心O點為坐標原點建立直角坐標系，則：

10、 主矢大小主矢大小 主矢方向主矢方向 根據(jù)力對點之矩與力對軸之矩的關系: 則主矩大小主矩大小為： 主矩方向主矩方向：222222)()()(iiizyxZYXRRRRcos,cos,cosRZRYRXiii)( ; )( ; )( )(izOziyOyixxiOOxFmMFmMFmFmM222OzOyOxOMMMMOOzOOyOOxMMMMMMcos,cos,cos222)()( )(iziyixFmFmFm22 空間一般力系向一點簡化的最后結果有以下幾種情況：2 2、 則原力系簡化為一個合力偶合力偶，其矩等于原力系對于簡化中心的主矩MO。此時主矩與簡化中心的位置無此時主矩與簡化中心的位置無關

11、。關。0, 0OMR1 1、 則原力系簡化為一個合力合力，主矢 等于原力系合力矢 ，合力 通過簡化中心O點。 （換個簡化中心，主矩不為零）0, 0OMRRRR四、四、簡化結果的討論簡化結果的討論230M,0 RO3 3、R ROM ，此時可以進一步簡化為一個合力此時可以進一步簡化為一個合力 。將將 用用 代替代替OMRR RRR RMd,Rdd RMOO根據(jù)根據(jù) 、 的轉向與的轉向與 一致的原則確定一致的原則確定 在在O點的那一側。點的那一側。RROMR24)()(iOOFmRm)()(izzFmRm)(RmMOO由此知又)(iOOFmM即：如果空間一般力系簡化為一合力，則合力對任一點的如果空

12、間一般力系簡化為一合力，則合力對任一點的矩等于力系中各力對同一點矩的矢量和矩等于力系中各力對同一點矩的矢量和這就是空間一空間一般力系的合力矩定理般力系的合力矩定理。將上式向過O點的任一軸z軸投影，得即合力對任一軸的矩等于各分力對同一軸的矩的合力對任一軸的矩等于各分力對同一軸的矩的代數(shù)和代數(shù)和。25 ，力螺旋力螺旋例例 擰螺絲 炮彈出膛時炮彈螺旋線OMR / 與 成任意角（不平行也不垂直） 把 分解為平行于 的 和垂直于 的 。 分別按、處理。 ROMOM R1M2M R若力與力偶矩矢同向，稱為右手螺旋；反之，稱為左手螺旋。26即原力系簡化的結果為O點的一個力螺旋力螺旋。 （自由矢量）平移到O點

13、sin2RMRMdO 使主矢 搬家，搬家的矩離：2M R1M4 4、 , 則原力系平衡平衡。0, 0OMR27 1 1、空間一般力系的平衡方程、空間一般力系的平衡方程222)()()(iiiZYXR222 )( )( )(iziyixOFmFmFmM五、五、空間一般力系的平衡方程空間一般力系的平衡方程空間一般力系平衡的充分必要條件是：0, 0OMR0)(, 0)(, 0)(, 0, 0, 0iziyixiiiFmFmFmZYX空間一般力系的平衡方程空間一般力系的平衡方程為：280)(, 0)(, 0)(, 0, 0, 0iziyixiiiFmFmFmZYX空間一般力系的平衡方程的基本形式基本形

14、式（1）有六個獨立的平衡方程，對一個剛體最多只能求解六個未知量；（2）各軸可以不垂直，投影軸和矩軸也可以不為同一個軸。（3）其他形式：四力矩式，五力矩式和六力矩式。290, 0, 0iiiZYX2、空間匯交力系的平衡方程、空間匯交力系的平衡方程以匯交點為簡化中心，則3、空間平行力系的平衡方程、空間平行力系的平衡方程取z軸平行于各力，則0)(, 0, 0iziiFmYX0)(, 0)(, 0iyixiFmFmZ于是由空間一般力系的平衡方程得：0)(, 0)(, 0)(iziyixFmFmFm于是由空間一般力系的平衡方程得：304、空間力偶系的平衡方程、空間力偶系的平衡方程0, 0, 0iiiZY

15、X于是由空間一般力系的平衡方程得：000iziyixmmm注意：力偶對某軸的矩是把力偶當成矢量后，將該矢注意：力偶對某軸的矩是把力偶當成矢量后，將該矢量向該軸投影量向該軸投影（類似力在軸上的投影），見例3。31(1)球鉸（球形鉸鏈）球鉸（球形鉸鏈）5、空間約束、空間約束 觀察物體在空間的六種（沿三軸移動和繞三軸轉動）可能的運動中，有哪幾種運動被約束所阻礙，有阻礙就有約束反力。阻礙移動為反力，阻礙轉動為反力偶。3233光滑球鉸鏈約束實例光滑球鉸鏈約束實例34（2）軸承）軸承(滾珠軸承滾珠軸承)，蝶鉸鏈，蝶鉸鏈軸承蝶鉸AXAZ353637（3）止推軸承）止推軸承 38（4）空間固定端）空間固定端3

16、940 例例2 圖示起重機自重不計，已知：圖示起重機自重不計，已知：AB=3m,AE=AF=4m, Q=200kN，起重臂，起重臂AC位于拉索位于拉索BE、BF的對稱平面內(nèi)。求的對稱平面內(nèi)。求:索索BE、BF的拉力和桿的拉力和桿AB的內(nèi)力。的內(nèi)力。解解（1）以以C點為研究對象點為研究對象 （平面匯交力系）)kN(546, 045sin15sin, 011TQTYi4153 sin ,54434 cos22(2)以以B點為研究對象點為研究對象（空間匯交力系）：3232045sin cos45sin cos , 0TTTTXi )kN( 419 045cos cos45cos cos60sin ,

17、 032321TTTTTYi)kN( 2300 sin sin60cos , 0321BABAiSTTTSZ42注意：注意：力偶不出現(xiàn)在投影式中力偶對某軸的矩是把力偶當成矢量后，將該矢量向該軸投影（類似力在軸上的投影）例例3 曲桿曲桿ABCD, ABC=BCD=900,已知已知, m2, m3 求：求：支座反力及支座反力及m1=?43解解：321macmabcYbZmDD0 , 0DiXXamZaZmmAAy22 , 0 , 0amYaYmmAAz33 , 0 , 0amYYYYYADDAi3 , 0 , 0amZZZZZADDAi2 , 0 , 00 , 011DDxYcbZmm44例例4重

18、為重為W 的均質正方形板的均質正方形板水平支承在鉛垂墻壁上，求水平支承在鉛垂墻壁上，求桿桿1 1、2 2及及BC的內(nèi)力和球鉸的內(nèi)力和球鉸A的約束力。的約束力。解：取板為研究對象解：取板為研究對象ABC12xyzW202, 0WZaWaZmAACE設正方形板的邊長為設正方形板的邊長為a，則：，則：BC1F2FCFAXAYAZxyzWED45sin202sin, 022WFaWaFmx)cos(sinsin2cos0cossincos, 02WFaFaFaFmCCCz002/sinsin, 0121FaWaFaFmy)cos(sinsin2sincos0sincos, 01WXaFaFaXmACA

19、DzAAAACzXYaFaXaYm0cos, 01BC1F2FCFAXAYAZxyzWED46 例例55絞車的軸安裝于水平位置。絞車的軸安裝于水平位置。已知已知絞車筒半徑絞車筒半徑r1=10cm，膠帶輪半徑膠帶輪半徑r2=40cm，a=c=80cm，b=120cm，重物重重物重P=10kN。設膠帶在垂直于轉軸的平面內(nèi)與水平成。設膠帶在垂直于轉軸的平面內(nèi)與水平成=300角，且角，且T1=3.5T2，求，求勻速吊起重物時軸承勻速吊起重物時軸承A、B處的約束力及處的約束力及T1、T2的大小。的大小。 47解：以絞車為研究對象解：以絞車為研究對象AXAZBX聯(lián)立T1=3.5T2，得XB=1.56kN

20、得ZB=5.1kN BZ得T2=1kN，T1=3.5kN , 0)(izFm0sinsin)(, 0)(21PbaTaTZcbFmBixxzy0, 0)(22211rTrTrPFmiy0coscos)(21aTaTXcbB48得XA=-5.46kN 得ZA=7.15kN 絞車在AB方向沒有約束，可以運動，稱為不完全約束系統(tǒng)。但仍然是平衡的（Yi=0）。若在B端換成止推軸承，則系統(tǒng)是完全約束系統(tǒng)。0coscos, 021TTXXXBAi0sinsin, 021PTTZZZBAiAXAZBXBZxzy49例例6均質薄板，單位面積重均質薄板，單位面積重 =0.5kN/m2，在薄板平面內(nèi)作用，在薄板平

21、面內(nèi)作用一力偶，其矩一力偶，其矩M=100kN.m。在過邊。在過邊DE的鉛直平面內(nèi)的的鉛直平面內(nèi)的D點作點作用用F=10kN的力，與邊的力，與邊DE成成300角。試求球鉸角。試求球鉸A及三根連桿的及三根連桿的約束力。約束力。 解：解：以板為研究對象將板視為正方形ABCD減去三角形CDE。正方形ABCD重P0=62 =18kN，三角形CDE重P1=63 /2=4.5kN（負值，即P1向上），作用在各自的重心。 50, 0)(izFm0645cos645sin30cosBCSMFkN9 .14BCS53, 0)(10PPFmixkN25. 0DDS06630sin DDSF, 0)(iyFm064

22、5sin63310 BCBBSSPPkN79. 3BBSkN12. 6AX045sin30cos, 0 FXXAiBCDxyzAXAYAZBBSBCSDDS0P1P4551045cos45cos30cos, 0 BCAiSFYYkN7 .16AYkN5 . 1AZ本題也可以不將板處理成P0、P1而是用求板ABCDE的重心來計算。 045sin30sin, 00001DDBBBCAiSSSFPPZZBCDxyzAXAYAZBBSBCSDDS0P1P4552 靠近地球的物體都受到地球引力的作用。如果把物體看成是由無數(shù)微小部分組成，則其每一部分都受到地球引力的作用，這些重力可以看成是空間平行力系。整

23、個物體的重力就是各微小部分重力的合力，合力的大小即為物體的重量。 對于剛體而言，無論怎樣擱置，物體重力的作用線都會通過物體某個固定不變的點，這個點就是物體的重心重心。 重心在工程中有重要意義意義：起重機、船舶等的重心過高容易傾翻；重力壩的重心越靠近上游，抗傾穩(wěn)定性越好；高速轉動的部件，若其重心不在轉軸上就會發(fā)生振動等等。3-4 3-4 物體的重心和形心物體的重心和形心一、重心坐標公式一、重心坐標公式：53由合力矩定理： iiCxPxPy軸：x軸：iiCyPyPP=Pi物體的重量將系統(tǒng)繞x軸旋轉90，使力線與y軸平行，再對x 軸應用合力矩定理得：iiCzPPz54于是得重心坐標公式重心坐標公式：

24、PzPzPyPyPxPxiiCiiCiiC ,若以Pi= mig , P=Mg 代入上式可得質心公式質心公式MzmzMymyMxmxiiCiiCiiC ,對于均質物體均質物體，單位體積的重量 =恒量恒量，設 Vi為第i個小體積，V為物體的總體積，則：VzVzVyVyVxVxiiCiiCiiC,二、均質物體的重心坐標公式二、均質物體的重心坐標公式：Pi= Vi， P= V于是得：55（2）有對稱面（軸、點）的均質物體，其重心必在對稱面（軸、點）上。令Vi0，則上式可寫成積分形式積分形式：VxdVxVCVydVyVCVzdVzVC均質物體的重心與其重量無關，只與物體的體積（幾何形狀）有關，這個只由

25、物體的幾何形狀決定的點稱為物體的形心只由物體的幾何形狀決定的點稱為物體的形心。上式又稱為物體的形心公式形心公式。（1）形心與重心是兩個不同的概念。對于均質物體，重心和形心是重合的。56A面積AzAzAyAyAxAxiiCiiCiiC,lzlzlylylxlxiiCiiCiiC,同理可得均質薄殼（板）的重心公式：均質薄殼（板）的重心公式：均質空間曲線的重心公式：均質空間曲線的重心公式：l長度同樣可得它們的積分形式。57解解：由于對稱，該圓弧重心必在Ox軸，即yC=0。取微段dRdLRdRLdLxxLC2cos 2sinRxC積分法積分法（簡單形體）例例7 求半徑為求半徑為R，頂角為，頂角為2 的均質圓弧的重心。的均質圓弧的重心。三、確定均質物體重心的方法三、確定均質物體重心的方法常見簡單形狀的均質物體的重心公式見教材P97 cos Rx58 分割法分割法（由簡單形體組成的復雜形體）解法一：解法一：例例8求圖示均質薄板的重心，尺寸如圖，長度單位：求圖示均質薄板的重心，尺寸如圖，長度單位：cm。（1）建坐標系（盡量利用對稱性）（2）將圖形分成、三個部分，則21cm25200120210Acm60120211xcm10