必修二立體幾何典型例題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上必修二立體幾何典型例題【知識(shí)要點(diǎn)】1空間直線和平面的位置關(guān)系：(1)空間兩條直線：有公共點(diǎn)：相交，記作：abA，其中特殊位置關(guān)系：兩直線垂直相交無(wú)公共點(diǎn)：平行或異面平行，記作：ab異面中特殊位置關(guān)系：異面垂直(2)空間直線與平面：有公共點(diǎn)：直線在平面內(nèi)或直線與平面相交直線在平面內(nèi)，記作：aa 直線與平面相交，記作：aa A，其中特殊位置關(guān)系：直線與平面垂直相交無(wú)公共點(diǎn)：直線與平面平行，記作：aa (3)空間兩個(gè)平面：有公共點(diǎn)：相交，記作：a b l，其中特殊位置關(guān)系：兩平面垂直相交無(wú)公共點(diǎn)：平行，記作：a b 2空間作為推理依據(jù)的公理和定理：(1)四個(gè)公理與等角定理：

2、公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi)公理2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行定理：空間中如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)(2)空間中線面平行、垂直的性質(zhì)與判定定理：判定定理：如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面平行如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面

3、的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直性質(zhì)定理：如果一條直線與一個(gè)平面平行，那么經(jīng)過(guò)該直線的任一個(gè)平面與此平面的交線與該直線平行如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線相互平行垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行如果兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線與另一個(gè)平面垂直(3)我們把上述判定定理與性質(zhì)定理進(jìn)行整理，得到下面的位置關(guān)系圖：【例題分析】例2 在四棱錐PABCD中，底面ABCD是平行四邊形，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，求證：MN平面PAD 【分析】要證明“線面平行”，可通過(guò)“線線平行”或“面面平行”進(jìn)行轉(zhuǎn)化；題目中出現(xiàn)了中點(diǎn)的條件，因此可考慮構(gòu)造(添加)中位線輔助證明證明

4、：方法一，取PD中點(diǎn)E，連接AE，NE底面ABCD是平行四邊形，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，MACD，E是PD的中點(diǎn)，NECD，MANE，且MANE，AENM是平行四邊形，MNAE又AE平面PAD，MN 平面PAD，MN平面PAD方法二取CD中點(diǎn)F，連接MF，NFMFAD，NFPD，平面MNF平面PAD，MN平面PAD【評(píng)述】關(guān)于直線和平面平行的問(wèn)題，可歸納如下方法：(1)證明線線平行：ac，bc，a，aa，bbg a，g babababab(2)證明線面平行：aabb，aaaaa(3)證明面面平行：a，ba，ag ，g a，b，abA例3 在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1AC，ABA

5、C，求證：A1CBC1 【分析】要證明“線線垂直”，可通過(guò)“線面垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化，因此設(shè)法證明A1C垂直于經(jīng)過(guò)BC1的平面即可證明：連接AC1ABCA1B1C1是直三棱柱，AA1平面ABC，ABAA1又ABAC，AB平面A1ACC1，A1CAB又AA1AC，側(cè)面A1ACC1是正方形，A1CAC1由，得A1C平面ABC1，A1CBC1【評(píng)述】空間中直線和平面垂直關(guān)系的論證往往是以“線面垂直”為核心展開(kāi)的如本題已知條件中出現(xiàn)的“直三棱柱”及“ABAC”都要將其向“線面垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化例4 在三棱錐PABC中，平面PAB平面ABC，ABBC，APPB，求證：平面PAC平面PBC【分析】要證明“面面垂直”

6、，可通過(guò)“線面垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化，而“線面垂直”又 可以通過(guò)“線線垂直”進(jìn)行轉(zhuǎn)化證明：平面PAB平面ABC，平面PAB平面ABCAB，且ABBC，BC平面PAB，APBC又APPB，AP平面PBC，又AP平面PAC，平面PAC平面PBC【評(píng)述】關(guān)于直線和平面垂直的問(wèn)題，可歸納如下方法：(1)證明線線垂直：ac，bc，ababab(1)證明線面垂直：am，anab，b，a，lm，n，mnAa，alaaaa(1)證明面面垂直：a，a例5 如圖，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面A1ABB1是菱形，且垂直于底面ABC，A1AB60°，E，F(xiàn)分別是AB1，BC的中點(diǎn) ()求證：直線EF平面A1

7、ACC1；()在線段AB上確定一點(diǎn)G，使平面EFG平面ABC，并給出證明證明：()連接A1C，A1E側(cè)面A1ABB1是菱形， E是AB1的中點(diǎn)，E也是A1B的中點(diǎn)，又F是BC的中點(diǎn)，EFA1CA1C平面A1ACC1，EF平面A1ACC1，直線EF平面A1ACC1(2)解：當(dāng)時(shí)，平面EFG平面ABC，證明如下：連接EG，F(xiàn)G側(cè)面A1ABB1是菱形，且A1AB60°，A1AB是等邊三角形E是A1B的中點(diǎn)，EGAB平面A1ABB1平面ABC，且平面A1ABB1平面ABCAB，EG平面ABC又EG平面EFG，平面EFG平面ABC例6 如圖，正三棱柱ABCA1B1C1中，E是AC的中點(diǎn)()求證

8、：平面BEC1平面ACC1A1；()求證：AB1平面BEC1【分析】本題給出的三棱柱不是直立形式的直觀圖，這種情況下對(duì)空間想象能力提出了更高的要求，可以根據(jù)幾何體自身的性質(zhì)，適當(dāng)添加輔助線幫助思考證明：()ABCA1B1C1是正三棱柱，AA1平面ABC，BEAA1ABC是正三角形，E是AC的中點(diǎn)，BEAC，BE平面ACC1A1，又BE平面BEC1，平面BEC1平面ACC1A1()證明：連接B1C，設(shè)BC1B1CDBCC1B1是矩形，D是B1C的中點(diǎn)， DEAB1又DE平面BEC1，AB1平面BEC1，AB1平面BEC1例7 在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，ABDC，PAD是等邊三

9、角形，已知BD2AD8， ()設(shè)M是PC上的一點(diǎn)，證明：平面MBD平面PAD；()求四棱錐PABCD的體積【分析】本題中的數(shù)量關(guān)系較多，可考慮從“算”的角度入手分析，如從M是PC上的動(dòng)點(diǎn)分析知，MB，MD隨點(diǎn)M的變動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，因此可考慮平面MBD內(nèi)“不動(dòng)”的直線BD是否垂直平面PAD證明：()在ABD中，由于AD4，BD8，所以AD2BD2AB2故ADBD又平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，BD平面ABCD，所以BD平面PAD，又BD平面MBD，故平面MBD平面PAD()解：過(guò)P作POAD交AD于O，由于平面PAD平面ABCD，所以PO平面ABCD因此PO為四棱錐PABCD的高

10、，又PAD是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形因此在底面四邊形ABCD中，ABDC，AB2DC，所以四邊形ABCD是梯形，在RtADB中，斜邊AB邊上的高為，即為梯形ABCD的高，所以四邊形ABCD的面積為故練習(xí)一、選擇題：1已知m，n是兩條不同直線，a ，b ，g 是三個(gè)不同平面，下列命題中正確的是( )(A)若ma ，na ，則mn(B)若ma ，na ，則mn(C)若a g ，b g ，則a b (D)若ma ，mb ，則a b 2已知直線m，n和平面a ，b ，且mn，ma ，a b ，則( )（一）上海的經(jīng)濟(jì)環(huán)境對(duì)飾品消費(fèi)的影響(A)nb (B)nb ，或nb (C)na (D)na ，或na 3

11、設(shè)a，b是兩條直線，a 、b 是兩個(gè)平面，則ab的一個(gè)充分條件是( )(A)aa ，bb ，a b (B)aa ，bb ，a b (C)aa ，bb ，a b (D)aa ，bb ，a b 4設(shè)直線m與平面a 相交但不垂直，則下列說(shuō)法中正確的是( )“碧芝”隸屬于加拿大的公司。這家公司原先從事首飾加工業(yè)，自助首飾的風(fēng)行也自西方，隨著人工飾品的欣欣向榮，自制飾品越來(lái)越受到了人們的認(rèn)同。年'碧芝自制飾品店'在迪美購(gòu)物中心開(kāi)張，這里地理位置十分優(yōu)越，交通四八達(dá)，由于是市中心，匯集了來(lái)自各地的游客和時(shí)尚人群，不用擔(dān)心客流量問(wèn)題。迪美有多家商鋪，不包括柜臺(tái)，現(xiàn)在這個(gè)商鋪的位置還是比較合適

12、的，位于中心地帶，左邊出口的自動(dòng)扶梯直接通向地面，從正對(duì)著的旋轉(zhuǎn)式樓拾階而上就是人民廣場(chǎng)中央，周邊、條地下通道都交匯于此，從自家店鋪門口經(jīng)過(guò)的的顧客會(huì)因?yàn)楹闷娑M(jìn)看一下。(A)在平面a 內(nèi)有且只有一條直線與直線m垂直(B)過(guò)直線m有且只有一個(gè)平面與平面a 垂直調(diào)研結(jié)論：綜上分析，我們認(rèn)為在學(xué)院內(nèi)開(kāi)發(fā)“DIY手工藝品”商店這一創(chuàng)業(yè)項(xiàng)目是完全可行的。(C)與直線m垂直的直線不可能與平面a 平行1/artide/98897。shtml。(D)與直線m平行的平面不可能與平面a 垂直二、填空題：5在三棱錐PABC中，平面PAB平面ABC，PAPB，ABBC，BAC30°，

13、則PC_6在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，當(dāng)?shù)酌鍭BCD滿足條件_時(shí)，有A1CB1D1(只要求寫出一種條件即可)（4） 信息技術(shù)優(yōu)勢(shì)7設(shè)a ，b 是兩個(gè)不同的平面，m，n是平面a ，b 之外的兩條不同直線，給出四個(gè)論斷：mn a b nb ma “碧芝自制飾品店”擁有豐富的不可替代的異國(guó)風(fēng)采和吸引人的魅力，理由是如此的簡(jiǎn)單：世界是每一個(gè)國(guó)家和民族都有自己的飾品文化，將其匯集進(jìn)行再組合可以無(wú)窮繁衍。以其中三個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出正確的一個(gè)命題_8已知平面a 平面b ，a b l，點(diǎn)Aa ，Al，直線ABl，直線ACl，直線ma ，mb ，給出下列四種位置：ABm；AC

14、m；ABb ；ACb ，據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，有近94%的人喜歡親戚朋友送給自己一件手工藝品。無(wú)論是送人，個(gè)人興趣，裝飾還是想學(xué)手藝，DIY手工制作都能滿足你的需求。下表反映了同學(xué)們購(gòu)買手工藝制品的目的。如圖（1-4）上述四種位置關(guān)系中，不一定成立的結(jié)論的序號(hào)是_（四）大學(xué)生對(duì)手工藝制品消費(fèi)的要求三、解答題：9如圖，三棱錐PABC的三個(gè)側(cè)面均為邊長(zhǎng)是1的等邊三角形，M，N分別為PA，BC的中點(diǎn)據(jù)了解，百分之八十的飾品店都推出“DIY飾品”來(lái)吸引顧客，一方面順應(yīng)了年輕一代喜歡與眾不同、標(biāo)新立異的心理；另一方面，自制飾品價(jià)格相對(duì)較低，可以隨時(shí)更新?lián)Q代，也滿足了年輕人“喜新厭舊”的需要，因而很受歡迎。()求M

15、N的長(zhǎng)；據(jù)了解，百分之八十的飾品店都推出“DIY飾品”來(lái)吸引顧客，一方面順應(yīng)了年輕一代喜歡與眾不同、標(biāo)新立異的心理；另一方面，自制飾品價(jià)格相對(duì)較低，可以隨時(shí)更新?lián)Q代，也滿足了年輕人“喜新厭舊”的需要，因而很受歡迎。()求證：PABC10如圖，在四面體ABCD中，CBCD，ADBD，且E、F分別是AB、BD的中點(diǎn)求證：()直線EF平面ACD；()平面EFC平面BCD11如圖，平面ABEF平面ABCD，四邊形ABEF與ABCD都是直角梯形，BADFAB90°，BCAD，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn)()證明：四邊形BCHG是平行四邊形；()C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)是否共面?為什么?()設(shè)ABBE

16、，證明：平面ADE平面CDE專題七 立體幾何參考答案練習(xí)一、選擇題：1B 2D 3C 4B二、填空題：5 6ACBD(或能得出此結(jié)論的其他條件)7、；或、 8三、解答題：9()解：連接MB，MC三棱錐PABC的三個(gè)側(cè)面均為邊長(zhǎng)是1的等邊三角形，且底面ABC也是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形N為BC的中點(diǎn)，MNBC在RtMNB中，()證明：M是PA的中點(diǎn)，PAMB，同理PAMCMBMCM，PA平面MBC，又BC平面MBC，PABC10證明：()E、F分別是AB、BD的中點(diǎn)，EF是ABD的中位線，EFAD又EF平面ACD，AD平面ACD，直線EF平面ACD()EFAD，ADBD，EFBDCBCD，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)，CFBDCFEFF，BD平面CEFBD平面BCD，平面EFC平面BCD11()由題意知，F(xiàn)GGA，F(xiàn)HHD，GHAD，又BCAD，GHBC，GHBC，四邊形BCHG是平行四