第6章 Matlab 符號(hào)運(yùn)算V2

1、1數(shù)學(xué)軟件數(shù)學(xué)軟件 Matlab Matlab 符號(hào)運(yùn)算符號(hào)運(yùn)算2本講主要內(nèi)容本講主要內(nèi)容n Matlab 符號(hào)運(yùn)算介紹符號(hào)運(yùn)算介紹n 符號(hào)對(duì)象與基本符號(hào)運(yùn)算符號(hào)對(duì)象與基本符號(hào)運(yùn)算n findsym 和和 subsn 常見符號(hào)運(yùn)算常見符號(hào)運(yùn)算3符號(hào)運(yùn)算符號(hào)運(yùn)算l 計(jì)算以計(jì)算以推理方式推理方式進(jìn)行，不受計(jì)算誤差累積所帶來的困擾進(jìn)行，不受計(jì)算誤差累積所帶來的困擾 l 符號(hào)計(jì)算指令的調(diào)用比較簡(jiǎn)單，與教科書上的公式相近符號(hào)計(jì)算指令的調(diào)用比較簡(jiǎn)單，與教科書上的公式相近 l 符號(hào)計(jì)算可以給出完全正確的封閉解，或任意精度的數(shù)符號(hào)計(jì)算可以給出完全正確的封閉解，或任意精度的數(shù)值解（封閉解不存在時(shí)值解（封閉解不存

2、在時(shí) ）l 符號(hào)計(jì)算所需的符號(hào)計(jì)算所需的運(yùn)行時(shí)間相對(duì)較長(zhǎng)運(yùn)行時(shí)間相對(duì)較長(zhǎng)q 符號(hào)運(yùn)算的特點(diǎn)符號(hào)運(yùn)算的特點(diǎn) 4Matlab 符號(hào)運(yùn)算符號(hào)運(yùn)算l Matlab 符號(hào)運(yùn)算是通過符號(hào)運(yùn)算是通過符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱（Symbolic Math Toolbox）來實(shí)現(xiàn)的。來實(shí)現(xiàn)的。 l Matlab 的符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱可以完成幾乎所有得符號(hào)運(yùn)的符號(hào)數(shù)學(xué)工具箱可以完成幾乎所有得符號(hào)運(yùn)算功能，如：算功能，如：符號(hào)表達(dá)式的運(yùn)算符號(hào)表達(dá)式的運(yùn)算，符號(hào)矩陣的運(yùn)算符號(hào)矩陣的運(yùn)算，符號(hào)符號(hào)微積分微積分，符號(hào)作圖符號(hào)作圖，符號(hào)代數(shù)方程求解符號(hào)代數(shù)方程求解，符號(hào)微分方程求符號(hào)微分方程求解解等。等。l 此外，該工具箱還

3、支持此外，該工具箱還支持可變精度運(yùn)算可變精度運(yùn)算，即支持以指定的，即支持以指定的精度返回結(jié)果。精度返回結(jié)果。 q Matlab 符號(hào)運(yùn)算符號(hào)運(yùn)算 5符號(hào)運(yùn)算舉例符號(hào)運(yùn)算舉例l 求一元二次方程求一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根的根 solve(a*x2+b*x+c=0)l 求的根求的根 f (x) = (cos x)2 的一次導(dǎo)數(shù)的一次導(dǎo)數(shù) x=sym(x); diff(cos(x)2)l 計(jì)算計(jì)算 f (x) = x2 在區(qū)間在區(qū)間 a, b 上的定積分上的定積分 syms a b x; int(x2,a,b)6l 符號(hào)對(duì)象符號(hào)對(duì)象：在進(jìn)行符號(hào)運(yùn)算時(shí)，必須先定義基本的在進(jìn)行

4、符號(hào)運(yùn)算時(shí)，必須先定義基本的符號(hào)對(duì)符號(hào)對(duì)象象，可以是符號(hào)常量、符號(hào)變量、符號(hào)表達(dá)式等，可以是符號(hào)常量、符號(hào)變量、符號(hào)表達(dá)式等 l 符號(hào)對(duì)象是一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)符號(hào)對(duì)象是一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu) 符號(hào)對(duì)象符號(hào)對(duì)象l 符號(hào)表達(dá)式符號(hào)表達(dá)式：含有符號(hào)對(duì)象的表達(dá)式稱含有符號(hào)對(duì)象的表達(dá)式稱l 符號(hào)矩陣符號(hào)矩陣/數(shù)組數(shù)組：元素為符號(hào)表達(dá)式的矩陣：元素為符號(hào)表達(dá)式的矩陣/數(shù)組數(shù)組 7l sym 函數(shù)用來建立函數(shù)用來建立單個(gè)單個(gè)符號(hào)變量，一般調(diào)用格式為：符號(hào)變量，一般調(diào)用格式為：q 符號(hào)對(duì)象的符號(hào)對(duì)象的定義定義/聲明聲明：sym、syms符號(hào)對(duì)象符號(hào)對(duì)象的建立的建立例：例： a=sym(a) 符號(hào)變量符號(hào)變量 = sym(x)

5、參數(shù)參數(shù) x 可以是一個(gè)數(shù)或數(shù)值矩陣，也可以是字符串可以是一個(gè)數(shù)或數(shù)值矩陣，也可以是字符串a(chǎn) 是符號(hào)變量是符號(hào)變量b 是符號(hào)常量是符號(hào)常量 b=sym(1/3)C 是符號(hào)矩陣是符號(hào)矩陣 C=sym(1 ab; c d)8符號(hào)對(duì)象符號(hào)對(duì)象的建立的建立syms 符號(hào)變量符號(hào)變量1 符號(hào)變量符號(hào)變量2 . 符號(hào)變量符號(hào)變量n 例：例： syms a b c a=sym(a); b=sym(b); c=sym(c);q 符號(hào)對(duì)象的符號(hào)對(duì)象的定義定義/聲明聲明：sym、symsl syms 命令用來建立命令用來建立多個(gè)多個(gè)符號(hào)變量，一般調(diào)用格式為：符號(hào)變量，一般調(diào)用格式為：9例：例：l 建立符號(hào)表達(dá)式通

6、常有以下建立符號(hào)表達(dá)式通常有以下 2 種方法：種方法： (1) 用用 sym 函數(shù)直接建立符號(hào)表達(dá)式。函數(shù)直接建立符號(hào)表達(dá)式。 (2) 使用已經(jīng)定義的符號(hào)變量組成符號(hào)表達(dá)式。使用已經(jīng)定義的符號(hào)變量組成符號(hào)表達(dá)式。 y=sym(sin(x)+cos(x) x=sym(x); y=sin(x)+cos(x)符號(hào)符號(hào)表達(dá)式表達(dá)式 syms x; y=sin(x)+cos(x)q 符號(hào)表達(dá)式：符號(hào)表達(dá)式：含符號(hào)對(duì)象的表達(dá)式含符號(hào)對(duì)象的表達(dá)式10Matlab 符號(hào)運(yùn)算采用的運(yùn)算符和基本函數(shù)，在形狀、名稱符號(hào)運(yùn)算采用的運(yùn)算符和基本函數(shù)，在形狀、名稱和使用上，都與數(shù)值計(jì)算中的運(yùn)算符和基本函數(shù)完全相同和使用上

7、，都與數(shù)值計(jì)算中的運(yùn)算符和基本函數(shù)完全相同基本符號(hào)基本符號(hào)運(yùn)算運(yùn)算l 普通運(yùn)算：普通運(yùn)算：+ - * / l 數(shù)組運(yùn)算：數(shù)組運(yùn)算：.* . ./ .l 矩陣轉(zhuǎn)置：矩陣轉(zhuǎn)置： .例：例： X=sym(x11,x12;x21,x22;x31,x32); Y=sym(y11,y12,y13;y21,y22,y23); Z1=X*Y; Z2=X.*Y;q 基本運(yùn)算符基本運(yùn)算符11符號(hào)對(duì)象符號(hào)對(duì)象的的基本基本運(yùn)算運(yùn)算sin、cos、tan、cot、sec、csc、asin、acos、atan、acot、asec、acsc、exp、log、sqrt、log2、log10、abs、conj、real、ima

8、g、rank、det、inv、eig、diag、triu、tril、expm、三角函數(shù)與反三角函數(shù)、三角函數(shù)與反三角函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等q 基本函數(shù)基本函數(shù)12若表達(dá)式中有兩個(gè)符號(hào)變量與若表達(dá)式中有兩個(gè)符號(hào)變量與 x 的距離相等，的距離相等，則則ASCII 碼大者優(yōu)先。碼大者優(yōu)先。findsymfindsym(expr)按字母順序列出符號(hào)表達(dá)式按字母順序列出符號(hào)表達(dá)式 expr 中的所有符號(hào)變量中的所有符號(hào)變量findsym(expr, N)按順序列出按順序列出 expr 中離中離 x 最近的最近的 N 個(gè)符號(hào)變量個(gè)符號(hào)變量常量常量 pi, i, j 不作為符號(hào)變量不

9、作為符號(hào)變量q 查尋符號(hào)表達(dá)式中的符號(hào)變量查尋符號(hào)表達(dá)式中的符號(hào)變量13例：例： f=sym(2*w-3*y+z2+5*a) findsym(f) findsym(f,3) findsym(f,1)findsym 舉例舉例14subssubs(f,x,a) 用用 a 替換字符函數(shù)替換字符函數(shù) f 中的字符變量中的字符變量 x a 是可以是是可以是 數(shù)數(shù)/數(shù)值變量數(shù)值變量/表達(dá)式表達(dá)式 或或 字符變量字符變量/表達(dá)式表達(dá)式若若 x 是一個(gè)由多個(gè)字符變量組成的是一個(gè)由多個(gè)字符變量組成的數(shù)組或矩陣數(shù)組或矩陣，則則 a 應(yīng)該具有與應(yīng)該具有與 x 相同的形狀的相同的形狀的數(shù)組或矩陣數(shù)組或矩陣。q 符號(hào)替

10、換符號(hào)替換l 用給定的用給定的數(shù)據(jù)數(shù)據(jù)替換符號(hào)表達(dá)式中的替換符號(hào)表達(dá)式中的指定的符號(hào)變量指定的符號(hào)變量15subs 舉例舉例 f=sym(2*u); subs(f,u,2) f2=subs(f,u,u+2) a=3; subs(f2,u,a+2) subs(f2,u,a+2) syms x y f3=subs(f,u,x+y) subs(f3,x,y,1,2)ans=4f2=2*(u+2)ans=14ans=2*(a+2)+2)f3=2*x+2*yans=6例：指出下面各條語句的輸出結(jié)果例：指出下面各條語句的輸出結(jié)果f=2*u16常見符號(hào)運(yùn)算常見符號(hào)運(yùn)算l 因式分解、展開、合并、簡(jiǎn)化及通分等因

11、式分解、展開、合并、簡(jiǎn)化及通分等l 計(jì)算極限計(jì)算極限l 計(jì)算導(dǎo)數(shù)計(jì)算導(dǎo)數(shù)l 計(jì)算積分計(jì)算積分l 代數(shù)方程代數(shù)方程l 微分方程求解微分方程求解17因式分解因式分解factor( f ) syms x; f=x6+1; factor( f )l factor 也可用于正整數(shù)的分解 s=factor(100) factor(sym(12345678901234567890)l 大整數(shù)的分解要轉(zhuǎn)化成符號(hào)常量大整數(shù)的分解要轉(zhuǎn)化成符號(hào)常量例：例：例：例：18函數(shù)展開函數(shù)展開expand( f ) syms x; f=(x+1)6; expand( f )l 多項(xiàng)式展開l 三角函數(shù)展開 syms x y;

12、f=sin(x+y); expand( f )19合并同類項(xiàng)合并同類項(xiàng)collect(f,v): 按指定變量按指定變量 v 進(jìn)行進(jìn)行合并合并collect( f ) : 按按默認(rèn)默認(rèn)變量變量進(jìn)行進(jìn)行合并合并 syms x y; f= x2*y + y*x - x2 + 2*x ; collect( f ) collect( f,y)例：例：20函數(shù)簡(jiǎn)化函數(shù)簡(jiǎn)化y=simple( f ): 對(duì)對(duì) f 嘗試多種不同的算法嘗試多種不同的算法進(jìn)行進(jìn)行簡(jiǎn)化簡(jiǎn)化，返回其中最簡(jiǎn)短的形式，返回其中最簡(jiǎn)短的形式y(tǒng),How=simple( f ): y 為為 f 的的最簡(jiǎn)短形式最簡(jiǎn)短形式，How 中記錄的為簡(jiǎn)化過

13、程中使用的方法。中記錄的為簡(jiǎn)化過程中使用的方法。fyHOW2*cos(x)2-sin(x)2 3*cos(x)2-1 simplify(x+1)*x*(x-1)x3-xcombine(trig)x3+3*x2+3*x+1(x+1)3factorcos(3*acos(x)4*x3-3*xexpand21函數(shù)簡(jiǎn)化函數(shù)簡(jiǎn)化舉例舉例 syms x; f=(1/x3+6/x2+12/x+8)(1/3); g1=simple( f ) g2=simple(g1)多次使用多次使用 simple 可以達(dá)到最簡(jiǎn)表達(dá)可以達(dá)到最簡(jiǎn)表達(dá)3321612()8fxxxx 例：簡(jiǎn)化例：簡(jiǎn)化22分式通分分式通分q 通分通分N

14、,D=numden(f ): N 為通分后的分子，為通分后的分子，D 為通分后的分母為通分后的分母 syms x y; f=x/y+y/x; N,D=numden(f ) n,d=numden(sym(112/1024)例：例：23計(jì)算極限計(jì)算極限limit(f,x,a): 計(jì)算計(jì)算limit(f,a): 當(dāng)當(dāng)默認(rèn)變量默認(rèn)變量趨向于趨向于 a 時(shí)的極限時(shí)的極限limit(f ): 計(jì)算計(jì)算 a=0 時(shí)的極限時(shí)的極限limit(f,x,a,right): 計(jì)算右極限計(jì)算右極限limit(f,x,a,left): 計(jì)算左極限計(jì)算左極限lim( )xaf x例：計(jì)算例：計(jì)算 ，0ln()ln( )l

15、imhxhxLh 1limnnxMn syms x h n; L=limit(log(x+h)-log(x)/h,h,0) M=limit(1-x/n)n,n,inf)24計(jì)算計(jì)算導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)g=diff(f,v)：求符號(hào)表達(dá)式求符號(hào)表達(dá)式 f 關(guān)于關(guān)于 v 的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)g=diff(f )：求符號(hào)表達(dá)式求符號(hào)表達(dá)式 f 關(guān)于關(guān)于默認(rèn)變量默認(rèn)變量的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)g=diff(f,v,n)：求求 f 關(guān)于關(guān)于 v 的的 n 階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù)q 計(jì)算導(dǎo)數(shù)：計(jì)算導(dǎo)數(shù)： diff syms x; f=sin(x)+3*x2; g=diff(f,x)例：例：25計(jì)算計(jì)算積分積分int(f,v,a,b): 計(jì)算定積分

16、計(jì)算定積分int(f,a,b): 計(jì)算關(guān)于計(jì)算關(guān)于默認(rèn)變量默認(rèn)變量的定積分的定積分int(f,v): 計(jì)算不定積分計(jì)算不定積分int(f): 計(jì)算關(guān)于計(jì)算關(guān)于默認(rèn)變量默認(rèn)變量的不定積分的不定積分 syms x; f=(x2+1)/(x2-2*x+2)2; I=int(f,x) K=int(exp(-x2),x,0,inf)( )baf v dv ( )f v dv 例：計(jì)算例：計(jì)算 和和2221(22)xIdxxx 20 xKedx 26代數(shù)方程代數(shù)方程求解求解q 代數(shù)方程（非線性）求解：代數(shù)方程（非線性）求解： solves=solve(f,v) ：求方程關(guān)于指定自變量的解求方程關(guān)于指定自變

17、量的解s=solve(f) ：求方程關(guān)于求方程關(guān)于默認(rèn)自變量默認(rèn)自變量的解的解l f 可以是用字符串表示的可以是用字符串表示的方程方程，或符號(hào)，或符號(hào)表達(dá)式表達(dá)式l 若若 f 是字符串，可以不含等號(hào)，表示解方程是字符串，可以不含等號(hào)，表示解方程 f=0l 若若 f 是符號(hào)表達(dá)式，是符號(hào)表達(dá)式，不能不能 含等號(hào)含等號(hào)例：例：解方程解方程 x3-3*x+1=0 syms x; f=x3-3*x+1; s=solve(f,x) s=solve(x3-3*x+1,x) s=solve(x3-3*x+1=0,x)27代數(shù)方程代數(shù)方程求解求解l solve 也可以用來解方程組也可以用來解方程組solve(

18、 f1 , f2 , . , fN , v1 , v2 , . , vN)求解由求解由 f1 , f2 , . , fN 組成的方程組關(guān)于組成的方程組關(guān)于 v1 , v2 , . , vN 的解的解例：例：解方程組解方程組 x,y,z=solve(x+2*y-z=27,x+z=3, . x2+3*y2=28,x,y,z)22227 3 328xyzxzxy 輸出變量的順序要書寫正確！輸出變量的順序要書寫正確！solve 在得不到解析解時(shí)，會(huì)給出數(shù)值解在得不到解析解時(shí)，會(huì)給出數(shù)值解28微分方程微分方程求解求解q dsolve 的使用的使用y=dsolve(eq1,eq2, . ,cond1,co

19、nd2, . ,v)其中其中 y 為輸出的解，為輸出的解， eq1、eq2、. 為微分方程，為微分方程，cond1、cond2、. 為初值條件，為初值條件，v 為自變量。為自變量。例例 1：求微分方程求微分方程 的通解，并驗(yàn)證。的通解，并驗(yàn)證。22xdyxyxedx y=dsolve(Dy+2*x*y=x*exp(-x2),x) syms x; diff(y)+2*x*y - x*exp(-x2)29微分方程微分方程求解求解q 幾點(diǎn)說明幾點(diǎn)說明l 如果省略初值條件，則表示求通解；如果省略初值條件，則表示求通解；l 如果省略自變量，則默認(rèn)自變量為如果省略自變量，則默認(rèn)自變量為 t dsolve(

20、Dy=2*x,x); % dy/dx = 2xdsolve(Dy=2*x); % dy/dt = 2xl 若找不到解析解，則返回其積分形式。若找不到解析解，則返回其積分形式。l 微分方程中用微分方程中用 D 表示對(duì)表示對(duì) 自變量自變量 的導(dǎo)數(shù)，如：的導(dǎo)數(shù)，如：Dy y； D2y y； D3y y30微分方程微分方程求解求解例例 2：求微分方程求微分方程 在初值條件在初值條件 下的特解，并畫出解函數(shù)的圖形。下的特解，并畫出解函數(shù)的圖形。0 xxyye y=dsolve(x*Dy+y-exp(x)=0,y(1)=2*exp(1),x) ezplot(y);12( )ye 31微分方程微分方程求解求解例例3：求微分方程組求微分方程組 在初值條件在初值條件 下的特解，并畫出解函數(shù)的圖形。下的特解，并畫出解函數(shù)的圖形。530tdxxyedtdyxydt x,y=dsolve(Dx+5*x+y=exp(t),Dy-x-3*y=0, . x(0)=1, y(0)=0, t)0010|ttxy 注：解微分方程組時(shí)，如果所給的輸出個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)相同，注：解微分方程組時(shí)，如果所給的輸出個(gè)數(shù)與方程個(gè)數(shù)相同，則方程組的解則方程組的解按詞典順序按詞典順序輸出；如果只給一個(gè)輸出，則輸出輸出；如果只給一個(gè)輸出，則輸出的是一個(gè)包含解的的是一個(gè)包含解的結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)（