第7章 參數(shù)估計(jì)1

1、1第第 7 章章 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)2復(fù)習(xí)1.卡方分布、t分布、F分布2.中心極限定理3.抽樣分布2( ,)XNn(1)( ,)pNn11222nsn3第第 7 章章 參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)7.1 參數(shù)估計(jì)的一般問題參數(shù)估計(jì)的一般問題 7.2 一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)7.3 兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)7.4 樣本量的確定樣本量的確定4學(xué)習(xí)目標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)估計(jì)量與估計(jì)值的概念估計(jì)量與估計(jì)值的概念點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)的區(qū)別點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)的區(qū)別評(píng)價(jià)估計(jì)量優(yōu)良性的標(biāo)準(zhǔn)評(píng)價(jià)估計(jì)量優(yōu)良性的標(biāo)準(zhǔn)一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)方法一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)方法兩個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)方法兩個(gè)總體參數(shù)

2、的區(qū)間估計(jì)方法樣本量的確定方法樣本量的確定方法57.1 參數(shù)估計(jì)的一般問題參數(shù)估計(jì)的一般問題7.1.1 估計(jì)量與估計(jì)值估計(jì)量與估計(jì)值7.1.2 點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)點(diǎn)估計(jì)與區(qū)間估計(jì)7.1.3 評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)6估計(jì)量與估計(jì)值估計(jì)量與估計(jì)值估計(jì)量：用于估計(jì)總體參數(shù)的隨機(jī)變量如樣本均值，樣本比例, 樣本方差等例如: 樣本均值就是總體均值 的一個(gè)估計(jì)量參數(shù)用表示，估計(jì)量用 表示估計(jì)值：估計(jì)參數(shù)時(shí)計(jì)算出來的統(tǒng)計(jì)量的具體值如果樣本均值 x =80，則80就是的估計(jì)值7點(diǎn)估計(jì)點(diǎn)估計(jì)用樣本的估計(jì)量的某個(gè)取值直接作為總體參用樣本的估計(jì)量的某個(gè)取值直接作為總體參數(shù)的估計(jì)值數(shù)的估計(jì)值例如：用樣本均值直

3、接作為總體均值的估計(jì)；用兩個(gè)樣本均值之差直接作為總體均值之差的估計(jì)無法給出估計(jì)值接近總體參數(shù)程度的信息無法給出估計(jì)值接近總體參數(shù)程度的信息雖然在重復(fù)抽樣條件下，點(diǎn)估計(jì)的均值可望等于總體真值，但由于樣本是隨機(jī)的，抽出一個(gè)具體的樣本得到的估計(jì)值很可能不同于總體真值一個(gè)點(diǎn)估計(jì)量的可靠性是由它的抽樣標(biāo)準(zhǔn)誤差來衡量的，這表明一個(gè)具體的點(diǎn)估計(jì)值無法給出估計(jì)的可靠性的度量 8區(qū)間估計(jì)區(qū)間估計(jì)在點(diǎn)估計(jì)的基礎(chǔ)上，給出總體參數(shù)估計(jì)的一個(gè)區(qū)間范圍，該區(qū)間由樣本統(tǒng)計(jì)量加減估計(jì)誤差而得到根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布能夠?qū)颖窘y(tǒng)計(jì)量與總體參數(shù)的接近程度給出一個(gè)概率度量比如，某班級(jí)平均分?jǐn)?shù)在7585之間，置信水平是95% 9區(qū)

4、間估計(jì)的圖示區(qū)間估計(jì)的圖示xzx2x10置信水平置信水平將構(gòu)造置信區(qū)間的步驟重復(fù)很多次，置信區(qū)間包含總體參數(shù)真值的次數(shù)所占的比例稱為置信水平 表示為 (1 - 為是總體參數(shù)未在區(qū)間內(nèi)的比例 常用的置信水平值有 99%, 95%, 90% 相應(yīng)的相應(yīng)的 為0.01，0.05，0.1011置信區(qū)間置信區(qū)間由樣本統(tǒng)計(jì)量所構(gòu)造的總體參數(shù)的估計(jì)區(qū)間稱為置信區(qū)間統(tǒng)計(jì)學(xué)家在某種程度上確信這個(gè)區(qū)間會(huì)包含真正的總體參數(shù)，所以給它取名為置信區(qū)間 用一個(gè)具體的樣本所構(gòu)造的區(qū)間是一個(gè)特定的區(qū)間，我們無法知道這個(gè)樣本所產(chǎn)生的區(qū)間是否包含總體參數(shù)的真值我們只能是希望這個(gè)區(qū)間是大量包含總體參數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè)，但它也可能

5、是少數(shù)幾個(gè)不包含參數(shù)真值的區(qū)間中的一個(gè)總體參數(shù)以一定的概率落在這一區(qū)間的表述是錯(cuò)誤的12置信區(qū)間置信區(qū)間 (95%的置信區(qū)間)13評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)無偏性：無偏性：估計(jì)量抽樣分布的數(shù)學(xué)期望等于被估計(jì)的總體參數(shù)14評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)1215評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)一致性：一致性：隨著樣本量的增大，估計(jì)量的值越來越接近被估計(jì)的總體參數(shù)167.2 一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)7.2.1 總體均值的區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì)7.2.2 總體比例的區(qū)間估計(jì)總體比例的區(qū)間估計(jì)7.2.3 總體方差的區(qū)間估計(jì)總體方差的區(qū)間估計(jì)17一個(gè)總體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)一個(gè)總

6、體參數(shù)的區(qū)間估計(jì)總體參數(shù)總體參數(shù)符號(hào)表示符號(hào)表示樣本統(tǒng)計(jì)量樣本統(tǒng)計(jì)量均值均值比例比例方差方差2xp2s18總體均值的區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì) (正態(tài)總體、已知，或非正態(tài)總體、大樣本)19總體均值的區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì)(大樣本) 1 , 0( Nnxz1.假定條件總體服從正態(tài)分布,且方差() 已知如果不是正態(tài)分布，可由正態(tài)分布來近似 (n 30)2.使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量 z總體均值 在1- 置信水平下的置信區(qū)間為)(22未知或nszxnzx20總體均值的區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì)(例題分析)一家食品生產(chǎn)企業(yè)以生產(chǎn)袋裝食品為主，為對(duì)食品質(zhì)量進(jìn)行監(jiān)測(cè)，企業(yè)質(zhì)檢部門經(jīng)常要進(jìn)行抽檢，以分析每袋重量

7、是否符合要求?，F(xiàn)從某天生產(chǎn)的一批食品中隨機(jī)抽取了25袋，測(cè)得每袋重量如下表所示。已知產(chǎn)品重量的分布服從正態(tài)分布，且總體標(biāo)準(zhǔn)差為10g。試估計(jì)該批產(chǎn)品平均重量的置信區(qū)間，置信水平為95%25袋食品的重量袋食品的重量 112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5 95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6 95.4 97.8108.6105.0136.8102.8101.5 98.4 93.321總體均值的區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì)(例題分析)28.109,44.10192.336.105251096.136.1052nzx3

8、6.105x22總體均值的區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì)(例題分析)36個(gè)投保人年齡的數(shù)據(jù)個(gè)投保人年齡的數(shù)據(jù) 23353927364436424643313342534554472434283936444039493834485034394548453223總體均值的區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì)(例題分析)63.41,37.3713. 25 .393677. 7645. 15 .392nszx77. 7s投保人平均年齡的置信區(qū)間為37.37歲41.63歲解：解：已知n=36, 1- = 90%，z/2=1.645。根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得： ， 總體均值在1- 置信水平下的置信區(qū)間為5 .39x24總體均

9、值的區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì)( (正態(tài)總體、正態(tài)總體、正態(tài)總體、正態(tài)總體、 未知、小樣本未知、小樣本未知、小樣本未知、小樣本) )25總體均值的區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì) (小樣本)1(ntnsxt1. 假定條件假定條件總體服從正態(tài)分布,但方差() 未知小樣本 (n 30)2. 使用使用 t 分布統(tǒng)計(jì)量分布統(tǒng)計(jì)量 總體均值總體均值 在在1- 置信水平下的置信水平下的置信區(qū)間為置信區(qū)間為nstx226t 分布分布t 分布是類似正態(tài)分布的一種對(duì)稱分布，它通常要比正態(tài)分布平坦和分散。一個(gè)特定的分布依賴于稱之為自由度的參數(shù)。隨著自由度的增大，分布也逐漸趨于正態(tài)分布

10、 27總體均值的區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì)(例題分析)已知某種燈泡的壽命服從正態(tài)分布，現(xiàn)從一批燈泡中隨機(jī)抽取16只，測(cè)得其使用壽命(單位：h)如下。建立該批燈泡平均使用壽命95%的置信區(qū)間16燈泡使用壽命的數(shù)據(jù)燈泡使用壽命的數(shù)據(jù) 151015201480150014501480151015201480149015301510146014601470147028總體均值的區(qū)間估計(jì)總體均值的區(qū)間估計(jì)(例題分析)224.771490 2.131161490 13.21476.8,1503.2sxtn1490 x解：解：已知N(，2)，n=16, 1- = 95%，t/2=2.131 根據(jù)樣本數(shù)據(jù)計(jì)算

11、得： ， 總體均值在1- 置信水平下的置信區(qū)間為該種燈泡平均使用壽命的置信區(qū)間為1476.8h1503.2h77.24s2930總體比例的區(qū)間估計(jì)總體比例的區(qū)間估計(jì)) 1 , 0()1 (Nnpz1.假定條件總體服從二項(xiàng)分布可以由正態(tài)分布來近似2.使用正態(tài)分布統(tǒng)計(jì)量 z3. 總體比例在1-置信水平下的置信區(qū)間為nppzp)-1 (231總體比例的區(qū)間估計(jì)總體比例的區(qū)間估計(jì)(例題分析)某城市想要估計(jì)下崗職工中女性所占的比例，隨機(jī)地抽取了100名下崗職工，其中65人為女性職工。試以95%的置信水平估計(jì)該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間該城市下崗職工中女性比例的置信區(qū)間為55.65%74.35% %

12、35.74%,65.55%35. 9%65100%)651%(6596. 1%65)1 (2nppzp解：解：已知 n=100，p65% , 1- = 95%，z/2=1.9632總體方差的區(qū)間估計(jì)總體方差的區(qū)間估計(jì)33總體方差的區(qū)間估計(jì)總體方差的區(qū)間估計(jì)11222nsn1. 估計(jì)一個(gè)總體的方差或標(biāo)準(zhǔn)差2. 假設(shè)總體服從正態(tài)分布3. 總體方差 2 的點(diǎn)估計(jì)量為s2,且4. 總體方差在1- 置信水平下的置信區(qū)間為111122122222nsnnsn34總體方差的區(qū)間估計(jì)總體方差的區(qū)間估計(jì)(圖示)總體方差的1 的置信區(qū)間35總體方差的區(qū)間估計(jì)總體方差的區(qū)間估計(jì)(例題分析)25袋食品的重量袋食品的重量 112.5101.0103.0102.0100.5102.6107.5 95.0108.8115.6100.0123.5102.0101.6102.2116.6 95.4 97.8108.6105.0136.8102.8101.5 98.4 93.336總體方差的區(qū)間估計(jì)總體方差的區(qū)間估計(jì)(例題分析)4011.12)24() 1(2975. 0212n36