羅爾中值定理的內(nèi)容及證明方法

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上羅爾中值定理的內(nèi)容及證明方法（一）定理的證明證明：因為函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，所以存在最大值與最小值，分別用和表示，現(xiàn)在分兩種情況討論：1.若，則函數(shù)在閉區(qū)間上必為常數(shù)，結(jié)論顯然成立。2.若，則因為使得最大值與最小值至少有一個在內(nèi)某點處取得，從而是的極值點，由條件在開區(qū)間內(nèi)可導得，在處可導，故由費馬定理推知：。（二）羅爾中值定理類問題的證明羅爾中值定理在微分學解題中有著廣泛的應(yīng)用，下面我們就對羅爾中值定理的應(yīng)用作深入的研究，歸納出證題技巧。1.形如“在內(nèi)至少存在一點，使”的命題的證法。(1)當時，一般這種情況下，我們只需驗證滿足羅爾定理的條件，根據(jù)羅爾定理來證明命題。在證

2、明過程中，我們要注意區(qū)間的選取，有時候所需驗證的條件并不是顯而易見的。例1 設(shè)在閉區(qū)間上連續(xù)，開區(qū)間內(nèi)可導，。證明：，使分析：由于所需驗證的羅爾中值定理的條件并不是顯而易見的，而且這個問題涉及到定積分，所以我們考慮運用積分中值定理的知識，嘗試在中找到一個區(qū)間，在中運用羅爾中值定理去證明。證：因為顯然在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導根據(jù)羅爾定理，使(2)當時，若所證明的等式中不出現(xiàn)端點值，則將結(jié)論化為：的形式，構(gòu)造輔助函數(shù)，我們就可以運用(1)中的方法證明命題。我們在構(gòu)造輔助函數(shù)時，可用觀察法、積分法、遞推法，常數(shù)法等等。例2 設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導，證明：在內(nèi)至少存在一點，使證：要

3、證明只需證故令，則在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導，且故，使得即：2.應(yīng)用羅爾定理來討論方程的根：解決這類問題首先要構(gòu)造一個函數(shù)，使該函數(shù)的導數(shù)是結(jié)論中的函數(shù)。例3 證明方程在內(nèi)至少有一實根。分析：若令，則，的符號不易判別，所以不適合運用介值定理，因此我們采用羅爾中值定理來證明。證：令，則在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且。由羅爾中值定理可知：，使。即所以方程在內(nèi)至少有一實根例4 若可導，試證明在的兩個零點之間，一定有的零點。分析：要證存在零點，我們需要構(gòu)造一個輔助函數(shù)，使得，將問題轉(zhuǎn)換為的零點存在問題。證：令,設(shè)，為的兩個零點，即，。則有。假設(shè)，有在上連續(xù)，在內(nèi)可導。由羅爾中值定理可得，使,即，又因為，故

4、。所以，在的兩個零點之間，一定有的零點。（三）廣義的羅爾中值定理羅爾中值定理是微分中值定理中最基本的定理，也是證明拉格朗日中值定理和柯西中值定理的基礎(chǔ)。下面我們對廣義的羅爾定理進行討論。廣義的羅爾定理有多種形式，它們的特點就是把定理條件中可微性概念拓寬，然后得到廣義的羅爾中值表達式。廣義的羅爾定理有多種形式。形式1：若函數(shù)在內(nèi)可導，且，則在內(nèi)至少存在一點，使。證：若，則結(jié)論顯然成立。若，不妨設(shè)，使，由，知：對，當，時，有，則。又在上連續(xù)，故必存在最小值，即，使。又當，時，都有，則也是在上的最小值。故由費馬定理知，例5 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上可導，且有，證明，使。證：令，因為，所以。又因為,所以。而，所

5、以，故在可導。由廣義的羅爾中值定理，使，即。形式2：若函數(shù)在內(nèi)可導，且，則在內(nèi)至少存在一點，使。證明方法與形式1類似。例6 求證函數(shù)在內(nèi)至少存在一點，使得。證：顯然函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)可導，且有，。則由形式2可知，在內(nèi)至少存在一點，使。而，故。形式3：若函數(shù)在內(nèi)可導，且(為有限數(shù)或)，則在內(nèi)至少存在一點，使。證：若為有限數(shù)，當,顯然結(jié)論成立。若，必，使。不妨設(shè)，使得。而，由局部保號性，必，使，使。因為在可導，所以在，連續(xù)。由介值定理，使。在利用羅爾中值定理，使得。若，由，知，使得，使，則有，使,則有。再由在連續(xù)，有,在利用羅爾中值定理，有。例7 求證函數(shù)在內(nèi)至少存在一點，使。證：顯然函數(shù)在內(nèi)可導，且有，。則由形式3可知，在內(nèi)至少存在一點，使。而，故有。形式4：若函數(shù)在內(nèi)可導，且，則在內(nèi)至少存在一點，使。證：令，由題設(shè)知：，且存