直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上直線與平面、平面與平面平行的性質(zhì)學習目標1.能應用文字語言、符號語言、圖形語言準確描述直線與平面平行，兩平面平行的性質(zhì)定理.2.能用兩個性質(zhì)定理，證明一些空間線面平行關(guān)系的簡單問題.知識點一直線與平面平行的性質(zhì)定理文字語言一條直線與一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行符號語言ab圖形語言思考(1)若直線a平面，則直線a平行于平面內(nèi)的任意一條直線，對嗎？(2)若直線a與平面不平行，則直線a就與平面內(nèi)的任一直線都不平行，對嗎？答(1)不對.若直線a平面，則由線面平行的性質(zhì)定理可知直線a與平面內(nèi)的一組直線平行.(2)不對.若直線a與平面不平行，則直

2、線a與平面相交或a.當a時，內(nèi)有無數(shù)條直線與直線a平行.知識點二平面與平面平行的性質(zhì)文字語言如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行.符號語言，a，bab.圖形語言思考(1)兩個平面平行，那么兩個平面內(nèi)的所有直線都相互平行嗎？(2)兩個平面平行，其中一個平面內(nèi)直線必平行于另一個平面嗎？答(1)不一定.因為兩個平面平行，所以這兩條直線無公共點，它們平行或異面.(2)平行.因為兩個平面平行，則兩個平面無公共點，則其中一個平面內(nèi)的直線必和另一個平面無公共點，所以它們平行.題型一線面平行性質(zhì)定理的應用例4如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是平行四邊形，AC與BD交于點O，M是

3、PC的中點，在DM上取一點G，過G和AP作平面交平面BDM于GH，求證：APGH.證明連接MO.四邊形ABCD是平行四邊形，O是AC的中點.又M是PC的中點，APOM.又AP平面BDM，OM平面BDM，AP平面BDM.又AP平面APGH，平面APGH平面BDMGH，APGH.跟蹤訓練1如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是BB1上不同于B、B1的任一點，AB1A1EF，B1CC1EG.求證：ACFG.證明ACA1C1，A1C1平面A1EC1，AC平面A1EC1，AC平面A1EC1.又平面A1EC1平面AB1CFG，ACFG.題型二面面平行性質(zhì)定理的應用例2已知AB、CD是夾在兩個平行平

4、面、之間的線段，M、N分別為AB、CD的中點，求證：MN平面.證明若AB、CD在同一平面內(nèi)，則平面ABDC與、的交線為BD、AC.，ACBD.又M、N為AB、CD的中點，MNBD.又BD平面，MN平面，MN平面.若AB、CD異面，如圖，過A作AECD交于E，取AE的中點P，連接MP、PN、BE、ED.AECD.AE、CD確定平面AEDC.則平面AEDC與、的交線分別為ED、AC，EDAC.又P、N分別為AE、CD的中點，PNED，又ED平面，PN平面，PN平面.同理可證MPBE，MP平面，AB、CD異面，MP、NP相交.平面MPN平面.又MN平面MPN，MN平面.跟蹤訓練2如圖，平面平面平面，

5、兩條直線l，m分別與平面，相交于點A，B，C和點D，E，F(xiàn).已知AC15 cm，DE5 cm，ABBC13，求AB，BC，EF的長.解如圖，連接AF，交于點G，連接BG，GE，AD，CF.因為平面平面平面，所以BGCF，GEAD.所以.所以.所以ABcm，EF3DE15 cm，BCACABcm.題型三平行關(guān)系的綜合應用例3如圖所示，在棱長為2的正方體ABCDA1B1C1D1中，A1B1的中點是P，過點A1作與截面PBC1平行的截面，能否確定截面的形狀？如果能，求出截面的面積.解能，如圖，取AB，C1D1的中點M，N，連接A1M，MC，CN，NA1.平面A1C1平面AC，平面A1C平面A1C1A

6、1N，平面AC平面A1CMC，A1NMC.同理，A1MNC.四邊形A1MCN是平行四邊形.C1NC1D1A1B1A1P，C1NA1P，四邊形A1PC1N是平行四邊形，A1NPC1且A1NPC1.同理，A1MBP，A1MBP.又A1NA1MA1，C1PPBP，平面A1MCN平面PBC1.故過點A1與截面PBC1平行的截面是A1MCN.連接MN，作A1HMN于點H.由題意，易得A1MA1N，MN2.MHNH，A1H.故2××2×2.跟蹤訓練3如圖，三棱錐ABCD被一平面所截，截面為平行四邊形EFGH.求證：CD平面EFGH.證明四邊形EFGH是平行四邊形，EFGH.E

7、F平面BCD，GH平面BCD，EF平面BCD.又EF平面ACD，平面ACD平面BCDCD，EFCD.又EF平面EFGH，CD平面EFGH，CD平面EFGH.轉(zhuǎn)化與化歸思想例4如圖所示，已知P是ABCD所在平面外一點，M，N分別是AB，PC的中點，平面PAD平面PBCl.(1)求證：lBC；(2)MN與平面PAD是否平行？試證明你的結(jié)論.分析欲證明線線平行可考慮線面平行的性質(zhì)，欲證明線面平行可考慮線面平行的判定或面面平行的性質(zhì).(1)證明因為ADBC，BC平面PAD，AD平面PAD，所以BC平面PAD.所以AD平面PBC.又因為平面PBC平面PADl，所以lBC.(2)解平行.證明如下：如圖，取

8、CD的中點Q，連接NQ，MQ.因為M，N分別是AB，PC的中點，所以MQAD，NQPD.因為MQNQQ，ADPDD，所以平面MNQ平面PAD.因為MN平面MNQ，所以MN平面PAD.忽視定理的條件例6如圖，已知E，F(xiàn)分別是正方體ABCDA1B1C1D1的棱AA1，CC1的中點，求證：四邊形BED1F是平行四邊形.分析已知E，F(xiàn)兩點為正方體棱的中點，若證四邊形BED1F為平行四邊形，則先證B，E，D1，F(xiàn)四點共面，再證四邊形BED1F為平行四邊形.證明如圖，連接AC，BD，交點為O；連接A1C1，B1D1，交點為O1.連接BD1，EF，OO1.設OO1的中點為M.由正方體的性質(zhì)可得四邊形ACC1

9、A1為矩形.又因為E，F(xiàn)分別為AA1，CC1的中點，所以EF過OO1的中點M，同理四邊形BDD1B1為矩形，BD1過OO1的中點M，所以EF與BD1相交于點M.所以E，B，F(xiàn)，D1四點共面.又因為平面ADD1A1平面BCC1B1，平面EBFD1平面ADD1A1ED1，平面EBFD1平面BCC1B1BF，所以ED1BF.同理，EBD1F.所以四邊形BED1F是平行四邊形.1.如果一條直線和一個平面平行，那么這條直線()A.只和這個平面內(nèi)的一條直線平行 B.只和這個平面內(nèi)兩條相交直線不相交C.和這個平面內(nèi)的任何一條直線都平行 D.和這個平面內(nèi)的任何一條直線都不相交2.已知a，b表示直線，表示平面，

10、下列推理正確的是()A.a，babB.a，abb且bC.a，b，a，bD.，a，bab3.若不在同一直線上的三點A，B，C到平面的距離相等，且A，則()A.平面ABCB.ABC中至少有一邊平行于C.ABC中至多有兩邊平行于D.ABC中只可能有一邊與相交4.在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱A1B1，B1C1的中點，P是棱AD上一點，AP，過點P，E，F(xiàn)的平面與棱CD交于Q，則PQ_.5.如圖所示的正方體的棱長為4，E，F(xiàn)分別為A1D1，AA1的中點，過C1，E，F(xiàn)的截面的周長為_.一、選擇題1.如圖，在四面體ABCD中，若截面PQMN是正方形，則在下列命題中，錯誤的為

11、()A.ACBD B.AC截面PQMNC.ACBD D.異面直線PM與BD所成的角為45°2.如圖所示，P是三角形ABC所在平面外一點，平面平面ABC，分別交線段PA，PB，PC于點A，B，C.若PAAA23，則SABCSABC等于()A.225B.425C.25 D.453.設，A，B，C是AB的中點，當A，B分別在平面，內(nèi)運動時，那么所有的動點C()A.不共面B.當且僅當A，B分別在兩條直線上移動時才共面C.當且僅當A，B分別在兩條給定的異面直線上移動時才共面D.不論A，B如何移動，都共面4.如圖，四棱錐PABCD中，M，N分別為AC，PC上的點，且MN平面PAD，則()A.MN

12、PDB.MNPAC.MNADD.以上均有可能5.直線a平面，內(nèi)有n條直線交于一點，則這n條直線中與直線a平行的直線()A.至少有一條 B.至多有一條C.有且只有一條 D.沒有6.下列結(jié)論中，正確的有()若a，則aa平面，b，則ab平面平面，a，b，則ab平面，點P，a，且Pa，則aA.1個 B.2個 C.3個 D.4個7.過平面外的直線l，作一組平面與相交，如果所得的交線為a，b，c，則這些交線的位置關(guān)系為()A.都平行 B.都相交且一定交于同一點C.都相交但不一定交于同一點 D.都平行或交于同一點二、填空題8.已知a，b表示兩條直線，表示三個不重合的平面，給出下列命題：若a，b，且ab，則；

13、若a，b相交且都在，外，a，b，a，b，則；若a，a，則；若a，b，且ab，則；若a，a，b，則ab.其中正確命題的序號是_.9.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，AB2，點E為AD的中點，點F在CD上.若EF平面AB1C，則線段EF的長度等于_.10.如圖所示，直線a平面，A，并且a和A位于平面兩側(cè)，點B，Ca，AB、AC分別交平面于點E、F，若BC4，CF5，AF3，則EF_.三、解答題11.如圖所示，B為ACD所在平面外一點，M，N，G分別為ABC，ABD，BCD的重心.(1)求證：平面MNG平面ACD；(2)求SMNGSADC.12.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，點

14、N在BD上，點M在B1C上，且CMDN.求證：MN平面AA1B1B.當堂檢測答案1.如果一條直線和一個平面平行，那么這條直線()A.只和這個平面內(nèi)的一條直線平行B.只和這個平面內(nèi)兩條相交直線不相交C.和這個平面內(nèi)的任何一條直線都平行D.和這個平面內(nèi)的任何一條直線都不相交2.已知a，b表示直線，表示平面，下列推理正確的是()A.a，babB.a，abb且bC.a，b，a，bD.，a，bab3.若不在同一直線上的三點A，B，C到平面的距離相等，且A，則()A.平面ABCB.ABC中至少有一邊平行于C.ABC中至多有兩邊平行于D.ABC中只可能有一邊與相交4.在棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D

15、1中，E，F(xiàn)分別是棱A1B1，B1C1的中點，P是棱AD上一點，AP，過點P，E，F(xiàn)的平面與棱CD交于Q，則PQ_.5.如圖所示的正方體的棱長為4，E，F(xiàn)分別為A1D1，AA1的中點，過C1，E，F(xiàn)的截面的周長為_.課時精練答案一、選擇題1.答案C解析截面PQMN為正方形，PQMN，從而易得PQ面DAC.又面ABC面ADCAC，PQ面ABC，PQAC.從而易得AC平面PNMQ.同理可得QMBD.又PQQM，PMQ45°，ACBD，且異面直線PM與BD所成的角為45°.故選項A、B、D正確.2.答案B解析平面平面ABC，平面PAB與它們的交線分別為AB，AB，ABAB.同理B

16、CBC，ACAC，從而易得ABCABC，且，SABCSABC2.3.答案D解析如圖所示，A，B分別是A，B兩點在，上運動后的兩點，此時AB中點變成AB中點C.連接AB，取AB的中點E，連接CE，CE，CC，AA，BB.則CEAA，從而易得CE.同理CE.又，CE.CECEE.平面CCE平面.CC.故不論A，B如何移動，所有的動點C都在過點C且與，平行的平面上.4.答案B解析MN平面PAD，MN平面PAC，平面PAD平面PACPA，MNPA.5.答案B解析設這n條直線的交點為P，則Pa，直線a和點P確定一個平面.設b，則Pb.又a，ab.顯然直線b有且只有一條，那么直線b可能在這n條直線中，也可

17、能不在，即這n條直線中與直線a平行的直線至多有一條.6.答案A解析中，a與也可能相交，故不正確；中，a與b也可能異面，故不正確；中，a，a或a，又Pa，P，a，故正確.7.答案D解析l，l或l與相交.若l，則由線面平行的性質(zhì)定理可知la，lb，lc，a，b，c，這些交線都平行.若l與相交，不妨設lA，則Al，又由題意可知Aa，Ab，Ac，這些交線交于同一點A.綜上可知D正確.二、填空題8.答案解析錯誤，與也可能相交；正確，依題意，由a，b確定的平面，滿足，故；錯誤，與也可能相交；錯誤，與也可能相交；正確，由線面平行的性質(zhì)定理可知.9.答案解析因為EF平面AB1C，且EF平面ABCD，平面ABCD平面AB1CAC，所以EFAC.又因為E為AD的中點，所以EF為ACD的中位線，所以EFAC×2.10.答案解析EF可看成為直線a與點A確定的平面與平面的交線，a，由線面平行的性質(zhì)定理知，BCEF，由條件知ACAFCF358.又，EF.三、解答題11.(1)證明如圖，連接BM，BN，BG并分別延長交AC，AD，CD于P，F(xiàn)，H.M，N，G分別為ABC，ABD，BCD的重心，則有2.連接PF，F(xiàn)H，PH，有MNPF.又PF平面ACD，MN平面ACD，MN平面ACD.同理MG平面