平面向量應(yīng)用舉例-文檔資料

1、12.52.5平面向量應(yīng)用舉例平面向量應(yīng)用舉例21. 向量在幾何中的應(yīng)用向量在幾何中的應(yīng)用2. 向量在物理中的應(yīng)用向量在物理中的應(yīng)用解決的問(wèn)題：解決的問(wèn)題：比如：比如：距離距離、平行平行、三點(diǎn)共線三點(diǎn)共線、垂直垂直、夾角夾角等幾何問(wèn)題等幾何問(wèn)題解決的問(wèn)題：解決的問(wèn)題：比如：比如：力力、速度速度等物理問(wèn)題等物理問(wèn)題32.5.12.5.1平面幾何的向量方法平面幾何的向量方法4例例1 1：平行四邊形是表示向量加法與減法的幾平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型。如圖，你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形兩條對(duì)角何模型。如圖，你能發(fā)現(xiàn)平行四邊形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度與兩條鄰邊的長(zhǎng)度之間的關(guān)系嗎？線的長(zhǎng)度與兩條鄰邊的長(zhǎng)度之間

2、的關(guān)系嗎？ABDCABCD特殊化特殊化)( 22222ADABDBAC探索：探索：中，該關(guān)系中，該關(guān)系是否依然成是否依然成立？立？ABCD一般化一般化ab22222ADABDBAC即證5例例1、證明平行四邊形四邊平方和等于兩對(duì)角線平方和、證明平行四邊形四邊平方和等于兩對(duì)角線平方和ABDC已知：平行四邊形ABCD。求證：222222BDACDACDBCABbADaAB ,解：解：設(shè) ，則 baDBbaACaDAbBC;,分析：分析：因?yàn)槠叫兴倪呅螌?duì)邊平行且相等，故設(shè) 其它線段對(duì)應(yīng)向量用它們表示。bADaAB ,)( 2222222baDACDBCAB2222babaBDAC22222222222

3、2bababbaabbaa222222BDACDACDBCAB6例例2 如圖，如圖， ABCD中，點(diǎn)中，點(diǎn)E、F分別分別是是AD 、 DC邊的中點(diǎn)，邊的中點(diǎn)，BE 、 BF分別分別與與AC交于交于R 、 T兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)兩點(diǎn)，你能發(fā)現(xiàn)AR 、 RT 、TC之間的關(guān)系嗎？之間的關(guān)系嗎？ABCDEFRT猜想：猜想：AR=RT=TC7解：設(shè)解：設(shè) 則則,ABa ADb ARr A Cab 由于由于 與與 共線，故設(shè)共線，故設(shè)ARAC(),rn ab nR 又因?yàn)橛忠驗(yàn)?共線，共線，所以設(shè)所以設(shè)E RE B與與12()ERmEBm ab 因?yàn)橐驗(yàn)?所以所以A RA EE R 1122()rbm ab

4、1122()()n abbm ab 因因此此ABCDEFRT8102()()mnm anb 即即,a b由由 于于 向向 量量不不 共共0102nmmn 線線，1 1解解 得得 ： n n= = m m = =3 3111333,ARACTCACRTAC 所所以以同同理理于于是是故故AT=RT=TCABCDEFRT9（1）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)）建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；常設(shè)基底向量或建立向量坐標(biāo)。問(wèn)題；常設(shè)基底向量或建立向量坐標(biāo)。（2）通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系

5、，）通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，如距離、夾角等問(wèn)題；如距離、夾角等問(wèn)題；（3）把運(yùn)算結(jié)果）把運(yùn)算結(jié)果“翻譯翻譯”成幾何元素。成幾何元素。用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲三步曲”：簡(jiǎn)述：簡(jiǎn)述：形到向量形到向量 向量的運(yùn)算向量的運(yùn)算 向量和數(shù)到形向量和數(shù)到形10練習(xí)練習(xí)1、證明直徑所對(duì)的圓周角是直角、證明直徑所對(duì)的圓周角是直角ABCO如圖所示，已知如圖所示，已知 O，AB為直徑，為直徑，C為為 O上任意一點(diǎn)。求證上任意一點(diǎn)。求證ACB=90分析分析：要證要證ACB=90，只須證向，只須證向量量 ，即，即 。CBAC 0CBAC解：解：設(shè)設(shè) 則則 ，由此可得

6、由此可得：bOCaAO ,baCBbaAC, .AC CBabab 2222baba022rr即即 ，得，得 ACB=900CBAC思考：能否用向量思考：能否用向量坐標(biāo)形式證明？坐標(biāo)形式證明？ab112.5.2向量在物理中的應(yīng)用向量在物理中的應(yīng)用12例例1：同一平面內(nèi)，互成：同一平面內(nèi)，互成120 ? 2 的三個(gè)大小相等的共的三個(gè)大小相等的共點(diǎn)力的合力為零。點(diǎn)力的合力為零。BO120abcD CA證：證：如圖，用如圖，用a，b，c表示這表示這3個(gè)共點(diǎn)力，個(gè)共點(diǎn)力，且且a，b，c互成互成120，模相等，按照向，模相等，按照向量的加法運(yùn)算法則，有：量的加法運(yùn)算法則，有： a +b +c = a +

7、（b +c）=a +OD 又由三角形的知識(shí)知：三角形又由三角形的知識(shí)知：三角形OBD為等邊三角形，故為等邊三角形，故 a與與OD共線且模相等共線且模相等 所以：所以：OD = -a ，即有：，即有： a+ b+ c =0 13例例2：在生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗(yàn)：兩個(gè)人共提一個(gè)旅行：在生活中，你是否有這樣的經(jīng)驗(yàn)：兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包，夾角越大越費(fèi)力；在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂夾角越包，夾角越大越費(fèi)力；在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng)，兩臂夾角越小越省力！你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這個(gè)現(xiàn)象嗎？小越省力！你能從數(shù)學(xué)的角度解釋這個(gè)現(xiàn)象嗎？分析：分析：上述的問(wèn)題跟上述的問(wèn)題跟如圖所示如圖所示的是同個(gè)問(wèn)題，抽象為數(shù)學(xué)

8、模的是同個(gè)問(wèn)題，抽象為數(shù)學(xué)模型如下：型如下： F2F1FG用向量用向量F1，F(xiàn)2，表示兩個(gè)提力，表示兩個(gè)提力，它們的合向量為它們的合向量為F，物體的重力，物體的重力用向量用向量G來(lái)表示，來(lái)表示， F1，F(xiàn)2的夾角的夾角為為，如右圖所示，只要分清，如右圖所示，只要分清F，G和和三者的關(guān)系，就得到了問(wèn)三者的關(guān)系，就得到了問(wèn)題得數(shù)學(xué)解釋！題得數(shù)學(xué)解釋！14F1FG F2cos2探究：探究：（1）為何值時(shí)，為何值時(shí)， 最小，最小值是多少？最小，最小值是多少？ F1（2） 能等于能等于 嗎？為什么？嗎？為什么？ F1 G F1解：不妨設(shè)解：不妨設(shè) = ，由向量的由向量的 平行四平行四邊形法則，力的平衡以

9、及直角三角形的知識(shí)，邊形法則，力的平衡以及直角三角形的知識(shí)，可以知道：可以知道： = （*） 通過(guò)上面的式子，有：當(dāng)通過(guò)上面的式子，有：當(dāng)由由0到到180逐漸變逐漸變大時(shí)，大時(shí)， 由由0到到90逐漸變大，逐漸變大， 的值由大逐的值由大逐漸變小，因此漸變小，因此 ： 由小逐漸變大，即由小逐漸變大，即F1 ，F(xiàn)2之間之間 的夾角越大越費(fèi)力，夾角越小越省力！的夾角越大越費(fèi)力，夾角越小越省力！ F2 F1 Gcos22cos22 F1答：在（答：在（*）式中，當(dāng)）式中，當(dāng) =0時(shí)，時(shí)， 最大，最大， 最小且等于最小且等于cos2 F1 G2答：在（答：在（*）中，當(dāng)）中，當(dāng) = 即即=120時(shí)，時(shí)，

10、= cos212 F1 GF215小結(jié)：小結(jié)： （1）、為了能用數(shù)學(xué)描述這個(gè)問(wèn)題，我們要先把這一物）、為了能用數(shù)學(xué)描述這個(gè)問(wèn)題，我們要先把這一物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題。如上題目，只考慮繩子和物體的理問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題。如上題目，只考慮繩子和物體的受力平衡，畫(huà)出相關(guān)圖形！受力平衡，畫(huà)出相關(guān)圖形?。?）、由物理中的矢量問(wèn)題化成數(shù)學(xué)中的向量問(wèn)題，）、由物理中的矢量問(wèn)題化成數(shù)學(xué)中的向量問(wèn)題，用向量的有關(guān)法則解決問(wèn)題！用向量的有關(guān)法則解決問(wèn)題?。?）、用數(shù)學(xué)的結(jié)果解決物理問(wèn)題，回答相關(guān)的物理現(xiàn)象。）、用數(shù)學(xué)的結(jié)果解決物理問(wèn)題，回答相關(guān)的物理現(xiàn)象。16練習(xí)；練習(xí)； （1）如圖所示，用兩條成）如圖所示，用兩條

11、成120的等長(zhǎng)的繩子懸掛一的等長(zhǎng)的繩子懸掛一個(gè)燈具，已知燈具的重量為個(gè)燈具，已知燈具的重量為10N，則每根繩子的拉力是，則每根繩子的拉力是。12010NlPQ瀑布瀑布lQ，60m(2)如圖，今有一艘小船位于如圖，今有一艘小船位于d = 60m寬的河邊寬的河邊P處，從這里起，在下游處，從這里起，在下游 =80m處河流有一處瀑處河流有一處瀑布，若河水的流速方向由上游指向下游（與河布，若河水的流速方向由上游指向下游（與河岸平行），水速大小為岸平行），水速大小為5m/s為了使小船能安全為了使小船能安全過(guò)河，船的劃速不能小于多少？當(dāng)劃速最小時(shí)，過(guò)河，船的劃速不能小于多少？當(dāng)劃速最小時(shí)，劃速方向如何？劃速

12、方向如何？l(2)如圖，今有一艘小船位于如圖，今有一艘小船位于d = 60m寬的河邊寬的河邊P處，從這里起，在下游處，從這里起，在下游 =80m處河流有一處瀑處河流有一處瀑布，若河水的流速方向由上游指向下游（與河布，若河水的流速方向由上游指向下游（與河岸平行），水速大小為岸平行），水速大小為5m/s為了使小船能安全為了使小船能安全過(guò)河，船的劃速不能小于多少？當(dāng)劃速最小時(shí)，過(guò)河，船的劃速不能小于多少？當(dāng)劃速最小時(shí)，劃速方向如何？劃速方向如何？l(2)如圖，今有一艘小船位于如圖，今有一艘小船位于d = 60m寬的河邊寬的河邊P處，從這里起，在下游處，從這里起，在下游 =80m處河流有一處瀑處河流有

13、一處瀑布，若河水的流速方向由上游指向下游（與河布，若河水的流速方向由上游指向下游（與河岸平行），水速大小為岸平行），水速大小為5m/s為了使小船能安全為了使小船能安全過(guò)河，船的劃速不能小于多少？當(dāng)劃速最小時(shí)，過(guò)河，船的劃速不能小于多少？當(dāng)劃速最小時(shí)，劃速方向如何？劃速方向如何？l17P瀑布瀑布lV船船V水水V合合的方向的方向PQ從圖上看，哪個(gè)速度（向量的模）最小？從圖上看，哪個(gè)速度（向量的模）最小？分析：用向量來(lái)分別表示河流的水流速度、船速分析：用向量來(lái)分別表示河流的水流速度、船速和它們的合速度為和它們的合速度為 、 和和 ，由題意，由題意，船的實(shí)際速度為向量船的實(shí)際速度為向量其方向?yàn)榕R界方向其方向?yàn)榕R界方向 ，船只要朝著這個(gè)方向行，船只要朝著這個(gè)方向行駛，它就不會(huì)掉下瀑布，如（右）圖所示：駛，它就不會(huì)掉下瀑布，如（右）圖所示：PQ V船船V水