材料力學(劉鴻文)第三章 扭轉(zhuǎn)

1、31 扭轉(zhuǎn)的概念和實例扭轉(zhuǎn)的概念和實例 32 外力偶矩的計算外力偶矩的計算 扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖33 純剪切純剪切34 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應力圓軸扭轉(zhuǎn)時的應力35 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形36 非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念非圓截面桿扭轉(zhuǎn)的概念3 3-1 -1 扭轉(zhuǎn)的概念和實例扭轉(zhuǎn)的概念和實例工工 程程 實實 例例工工 程程 實實 例例工工 程程 實實 例例工工 程程 實實 例例對稱扳手擰緊鏍帽對稱扳手擰緊鏍帽扭轉(zhuǎn)變形的受力特點扭轉(zhuǎn)變形的受力特點扭轉(zhuǎn)變形的扭轉(zhuǎn)變形的受力特點受力特點一組外力偶的作用，且力偶的作用面與桿件的軸線垂直；一組外力偶的作用，且力偶的作用面與桿件的軸線垂直；變形特點變形特點：

2、變形特點：變形特點：任意兩橫截面繞軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動；任意兩橫截面繞軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動； 軸：軸：工程中以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件。齒輪軸直接計算直接計算一一. .外力偶矩的計算外力偶矩的計算3-2、外力偶矩的計算、外力偶矩的計算 扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖M=Fd按輸入功率和轉(zhuǎn)速計算按輸入功率和轉(zhuǎn)速計算電機每秒輸入功：電機每秒輸入功：外力偶作功：外力偶作功：)N.m(1000PW2MW已知已知軸轉(zhuǎn)速軸轉(zhuǎn)速n n 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /分鐘分鐘輸出功率輸出功率P P 千瓦千瓦計算：力偶矩計算：力偶矩M Mmin)/r(n2)KW(P60M)(549. 9mKNnP60n7355. 0min)/r(n2)(P60M馬

3、馬力力)mKN(nP024. 7二、扭轉(zhuǎn)變形橫截面的內(nèi)力二、扭轉(zhuǎn)變形橫截面的內(nèi)力mmmT0mxx扭矩：扭矩：求扭矩的方法求扭矩的方法構(gòu)件扭轉(zhuǎn)變形時，橫截面上的內(nèi)力偶矩；構(gòu)件扭轉(zhuǎn)變形時，橫截面上的內(nèi)力偶矩；截面法截面法記作記作T。0mTmT “T”矢量離開截面為正，反之為負。矢量離開截面為正，反之為負。 扭矩的符號規(guī)定：扭矩的符號規(guī)定：右手螺旋法則右手螺旋法則扭矩扭矩圖圖： 目目 的的xT扭矩沿桿件軸線各橫截面上變化規(guī)律的圖線。扭矩沿桿件軸線各橫截面上變化規(guī)律的圖線。扭矩變化規(guī)律；扭矩變化規(guī)律；|T|max值及其截面位置值及其截面位置（危險截面）（危險截面）。mm危險面處處是危險面例例1已知：一

4、傳動軸，已知：一傳動軸， n =300r/min，主動輪輸入主動輪輸入 P1=500kW，從動輪輸出從動輪輸出 P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，試繪制扭矩圖。試繪制扭矩圖。A B C Dm2 m3 m1 m41 計算外力偶矩計算外力偶矩nP55. 9m11m)(kN 78. 4nP55. 9mm232m)(kN 37. 6nP55. 9m44m)15.9(kN n =300r/min，P1=500kW，P2=150kW，P3=150kW，P4=200kWA B C Dm2 m3 m1 m42、求扭矩、求扭矩0mT21 0mmT 322 0mT 43m211T1mkN78.

5、 4T 1m2 m3 m1 m422T2mkN56. 9T 2m2m333m4T3mkN37. 6mT 433、繪制扭矩圖、繪制扭矩圖mkN 569max .TBC段為危險截面段為危險截面;xT4.78KNm9.56KNm6.37KNmA B C Dm2 m3 m1 m4mkN78. 4T 1mkN56. 9T 2mkN 337. 6T例例2 :圖示傳動軸上，經(jīng)由圖示傳動軸上，經(jīng)由A輪輸入功率輪輸入功率10KW，經(jīng)，經(jīng)由由B、C、D輪輸出功率分別為輪輸出功率分別為2、3、5KW。軸的轉(zhuǎn)速。軸的轉(zhuǎn)速n=300r/min，求作該軸的扭矩圖。如將，求作該軸的扭矩圖。如將A、D輪的位置輪的位置更換放置

6、是否合理？更換放置是否合理？BCAD1 傳遞的外力偶矩傳遞的外力偶矩)mN( 3 .318nP549. 9MAA)mN(7 .63nP549. 9MBB),( 5 .95mNMC),(2 .159mNMDB、C、D: 2、3、5KWn=300r/minBCADBM1T0MTD3BMCM2T0MMTCB20MTB1DM3T2、求內(nèi)力、求內(nèi)力)mN(7 .63MTB1)mN( 2 .159MMTCB2)mN( 2 .159MTD3BCADIIIIIIIIIIII)mN( 2 .159Tmax在在CA段和段和AD段段3、繪出扭矩圖：、繪出扭矩圖：7 .632 .1592 .159TNmBCAD)mN

7、(7 .631T)mN( 2 .1592T)mN( 2 .1593T4 將將A、D輪的位置更換輪的位置更換)( 3 .318max,mNMnAD段段因此將因此將A、D輪的位置更換不合理。輪的位置更換不合理。7 .632 .1593 .318TNmBCDA3(1)(1)計算外力偶矩計算外力偶矩(2)(2)計算扭矩計算扭矩(3)(3) 扭矩圖扭矩圖練習練習1 作內(nèi)力圖作內(nèi)力圖練習練習2 傳動軸如圖所示，主動輪傳動軸如圖所示，主動輪A輸入功率輸入功率50馬力，馬力，從動輪從動輪B、C、D輸出功率分別為輸出功率分別為15馬力，馬力，15馬力，馬力，20馬力馬力,軸的轉(zhuǎn)速為軸的轉(zhuǎn)速為300r/min。試

8、畫出軸的扭矩圖。試畫出軸的扭矩圖。 ABCD3、已知、已知PA20KW，PBPC6KW，PD8KW，轉(zhuǎn)數(shù)，轉(zhuǎn)數(shù)191轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/分，作扭矩圖分，作扭矩圖PBPCPDPA4、作扭矩圖、作扭矩圖2KNm2KNm1KNm2KNm3KNm5、軸上作用有均布力偶，軸長為、軸上作用有均布力偶，軸長為L1.2米米M0=2KNm/m33 純剪切純剪切 薄壁圓筒：薄壁圓筒：rm：為平均半徑為平均半徑mr101t 壁厚壁厚一、薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)切應力一、薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)切應力1、觀察圓筒變形、觀察圓筒變形縱向線發(fā)生了傾斜；縱向線發(fā)生了傾斜；圓筒表面的各圓周線的圓筒表面的各圓周線的形狀、大小、間距形狀、大小、間距均未改變；均未

9、改變；各縱向線均傾斜了同一微小角度各縱向線均傾斜了同一微小角度 。 所有矩形網(wǎng)格均變成同樣大小的平行四邊形所有矩形網(wǎng)格均變成同樣大小的平行四邊形;2、觀察現(xiàn)象、觀察現(xiàn)象只是繞軸線作了相對轉(zhuǎn)動；只是繞軸線作了相對轉(zhuǎn)動；表明：表明：當薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時，其橫截面和包含軸線的縱向截當薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時，其橫截面和包含軸線的縱向截面上都沒有正應力；面上都沒有正應力；橫截面上便只有切于截面的橫截面上便只有切于截面的切應力切應力；可以認為沿筒壁厚度切應力可以認為沿筒壁厚度切應力均勻分布均勻分布；4、切應力分布規(guī)律假設(shè)、切應力分布規(guī)律假設(shè)因為筒壁的厚度很小，因為筒壁的厚度很小，T tr2T2mrmr rm m：薄壁

10、圓筒橫截面的平均半徑薄壁圓筒橫截面的平均半徑; ;5、薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)切應力、薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)切應力Ttr22m二、切應力互等定理二、切應力互等定理0mz在相互垂直的兩個平面上，切應力必然成對出現(xiàn)；在相互垂直的兩個平面上，切應力必然成對出現(xiàn)；acddxb dy tz切應力互等定理切應力互等定理dxtdy dytdx 且數(shù)值相等；且數(shù)值相等； 兩者都垂直于兩平面的交線；兩者都垂直于兩平面的交線；方向：方向：共同指向共同指向或或共同背離共同背離該交線；該交線；Lr 三、切應變?nèi)⑶袘僡cdb t純剪切單元體的相對兩側(cè)面純剪切單元體的相對兩側(cè)面發(fā)生微小的相對錯動，發(fā)生微小的相對錯動，圓筒兩端的相對扭轉(zhuǎn)

11、角為圓筒兩端的相對扭轉(zhuǎn)角為，圓筒，圓筒的長度為的長度為L，則切應變?yōu)?，則切應變?yōu)槭乖瓉砘ハ啻怪钡膬蓚€棱邊使原來互相垂直的兩個棱邊的夾角改變了一個的夾角改變了一個微量微量；rL四、剪切虎克定律：四、剪切虎克定律： 當剪應力不超過材料的剪切比例當剪應力不超過材料的剪切比例極限時（極限時（ p)， 切應力與切應變成線形關(guān)系；切應力與切應變成線形關(guān)系；acdb tG12EG對各向同性材料有對各向同性材料有 G材料剪切彈性模量，單位：材料剪切彈性模量，單位：GPa。34 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應力圓軸扭轉(zhuǎn)時的應力 強度條件強度條件一、等直圓桿扭轉(zhuǎn)實驗一、等直圓桿扭轉(zhuǎn)實驗觀察不變量觀察不變量橫截面在變形前后都橫截面

12、在變形前后都3. 縱向線變形后縱向線變形后通過變形觀察現(xiàn)象通過變形觀察現(xiàn)象1、各圓周線的大小、形狀、間距、各圓周線的大小、形狀、間距半徑仍保持半徑仍保持2. 軸向軸向保持不變；保持不變；為直線；為直線；保持為平面；保持為平面；無伸縮；無伸縮；仍近似為直線，仍近似為直線， 只是傾斜了一個角度；只是傾斜了一個角度；觀察小方格的變化觀察小方格的變化小方格小方格菱形菱形基本假設(shè)基本假設(shè)橫截面在變形后橫截面在變形后大小、大小、半徑半徑平面假設(shè)平面假設(shè)仍然保持為平面；仍然保持為平面；形狀、形狀、 間距不變；間距不變；仍保持為直線；仍保持為直線；結(jié)論結(jié)論橫截面：橫截面：像像剛性平面剛性平面一樣，一樣，只是繞

13、軸線只是繞軸線旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)了一個角度。了一個角度。在此假設(shè)的基礎(chǔ)上，推倒出的應力與變形計算公式，符合試驗結(jié)果，且與彈性力學一致二、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應力：二、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應力：1. 變形幾何關(guān)系：變形幾何關(guān)系：tgxdd距圓心為距圓心為 的的任一點處的任一點處的 ；xdd 扭轉(zhuǎn)角沿長度方向變化率。扭轉(zhuǎn)角沿長度方向變化率。xdd與點到圓心的距離與點到圓心的距離 成正比。成正比。xdBB2. 物理關(guān)系：物理關(guān)系： G GxddG 虎克定律：xddG扭轉(zhuǎn)變形的切應力的分布規(guī)律扭轉(zhuǎn)變形的切應力的分布規(guī)律1、任意一點處的切應力、任意一點處的切應力與該點到圓心的距離與該點到圓心的距離成正比；

14、成正比；2、切應變、切應變發(fā)生在垂直于半徑的平面內(nèi)，發(fā)生在垂直于半徑的平面內(nèi)，切應力切應力也與半徑也與半徑垂直；垂直；3、切應力的方向形成與扭矩同向的順流；、切應力的方向形成與扭矩同向的順流；切應力與半徑成正比切應力與半徑成正比危險點的位置危險點的位置切應力與扭矩同向的順流切應力與扭矩同向的順流T縱向面內(nèi)切應力縱向面內(nèi)切應力3. 靜力學關(guān)系：靜力學關(guān)系：Ad TAAIApd2令xGI Tpdd pGITx dd xGdd pITAdxddG 2A AdxddG 2A極慣性矩極慣性矩GIP：抗扭剛度：抗扭剛度pIT橫截面上距圓心為橫截面上距圓心為 處任一點切應力計算公式處任一點切應力計算公式（實

15、心截面）（實心截面）危險點的位置危險點的位置圓截面邊緣處；圓截面邊緣處；pIRT pmaxITtmaxWTRIWPt令抗扭截面系數(shù)抗扭截面系數(shù)討論討論僅適用于各向同性、僅適用于各向同性、線彈性材料，線彈性材料，在小變形條件下的在小變形條件下的等圓截面桿；等圓截面桿；AIApd2截面的極慣性矩和抗扭截面系數(shù)計算截面的極慣性矩和抗扭截面系數(shù)計算RIWPt公式的適用范圍公式的適用范圍mm4，m4。mm3，m3。 AdI2Ap實心圓截面：實心圓截面： d2I2D02p32D I4Pd2 Ad16DW 3t空心圓截面：空心圓截面： AdI2Ap)(Dd )dD(3244)1(16D W43t)1(32D

16、I44p d2 Ad d2I2D2d2p實心軸與空心軸實心軸與空心軸 Ip 與與 Wt 對比對比空心圓截面的扭轉(zhuǎn)切應力分布空心圓截面的扭轉(zhuǎn)切應力分布（實心截面）（空心截面）工程上采用空心截面構(gòu)件：提高強度，節(jié)約材料，重量輕，工程上采用空心截面構(gòu)件：提高強度，節(jié)約材料，重量輕， 結(jié)構(gòu)輕便，應用廣泛。結(jié)構(gòu)輕便，應用廣泛。四、圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度計算四、圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度計算強度條件：強度條件：對于等截面圓軸：對于等截面圓軸：maxmaxtWT( 稱為許用切應力。)強度計算三方面：強度計算三方面： 校核強度：校核強度： 設(shè)計截面尺寸：設(shè)計截面尺寸： 計算許可載荷：計算許可載荷：maxmaxtWTmaxTW

17、tmaxtWT）（空：實：433116 16 DDWt1. 1. 等截面圓軸：等截面圓軸：2. 2. 階梯形圓軸：階梯形圓軸： 例例1 1 功率為功率為150150kW，轉(zhuǎn)速為轉(zhuǎn)速為15.415.4轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/ /秒的電動機轉(zhuǎn)秒的電動機轉(zhuǎn)子，許用切應力子，許用切應力 =30=30M Pa, Pa, 試校核其強度。試校核其強度。D3 =135D2=75D1=70MMnP9.549mm)(kN55. 1：扭矩圖計算并校核切應力強度計算并校核切應力強度此軸滿足強度要求。此軸滿足強度要求。MPa23160701055133max.WTt計算外力偶矩T=mTxD3 =135D2=75D1=70MM例例2：已知

18、：已知：P7.5kW, n=100r/min，最大切應力最大切應力不得超過不得超過40MPa,空心圓軸的內(nèi)空心圓軸的內(nèi)外直徑之比外直徑之比 = 0.5。二軸長度相同。二軸長度相同。求求: 實心軸的直徑實心軸的直徑d1和空心軸的外直和空心軸的外直徑徑D2；確定二軸的；確定二軸的重量之比。重量之比。計算外力偶矩計算外力偶矩實心軸實心軸31616 716 20 045m=45mm40 10.dmax13111640MPaxxPMMWdTTP7.5kW, n=100r/min，最大切應力，最大切應力不不得超過得超過40MPa, = 0.5。二軸長度相同。二軸長度相同。7 595499549716 2N

19、 m100.xPMTn空心軸空心軸d20.5D2=23 mm324616 716 20 046m=46mm 1-40 10.Dmax234221640MPa1xxPMMWDTT確定實心軸與空心軸的重量之比確定實心軸與空心軸的重量之比空心軸空心軸D D2 246 mm46 mmd d2 223 mm23 mm 實心軸實心軸d d1 1=45 mm=45 mm長度相同的情形下，二軸的重量之比即為橫截面面積之比：長度相同的情形下，二軸的重量之比即為橫截面面積之比：28. 15 . 01110461045122332222121DdAA例例3 3：已知：已知：P P1 114kW, 14kW, P P

20、2 2= = P P3 3= =P P1 1/2/2，n n1 1= =n n2 2=120r/min,z=120r/min,z1 1=36,z=36,z3 3=12;=12;d d1 1=70mm, =70mm, d d 2 2=50mm, =50mm, d d3 3=35mm.=35mm.求求: :各各軸軸橫截面上的最大切應力橫截面上的最大切應力。3P P1 1=14kW, =14kW, P P2 2= = P P3 3= = P P1 1/2=7 kW/2=7 kWn n1 1= =n n2 2= 120r/min= 120r/min3113DDnn1 1、計算各軸的功率與轉(zhuǎn)速、計算各軸

21、的功率與轉(zhuǎn)速M1=T1=1114 N.mM2=T2=557 N.mM3=T3=185.7 N.m2、計算各軸的扭矩、計算各軸的扭矩33311nDnD360r/min311ZZn 16.54MPaPa1070111416E9-31P1maxWT .69MPa22Pa105055716H9-32P2maxWT .98MPa12Pa10537 .18516C9-33P3maxWT3 3、計算各軸的橫截面上的、計算各軸的橫截面上的 最大切應力最大切應力3例例4 一軸一軸AB傳遞的功率為傳遞的功率為，轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)速軸軸AC段為實心圓截面，段為實心圓截面，CB段為空心圓截面，如圖所示。段為空心圓截面，如圖所示

22、。試計算試計算AC段橫截面邊緣處的切應力以及段橫截面邊緣處的切應力以及CB段橫截面段橫截面上外邊緣處的切應力。上外邊緣處的切應力。kW5 . 7KPminr/360ncm2d，cm3DmN1999550nPmKmN199 mT441cm95. 732DIP4442cm38. 632dDIPMPa5 .37Pa105 .372DIT61PAC外外MPa8 .46Pa108 .46262DITPCB外（1）計算外力偶矩）計算外力偶矩（2）計算極慣性矩）計算極慣性矩（3）計算應力）計算應力1、計算抗扭截面模量：、計算抗扭截面模量：)1(D16W43t)2(1 1643DtDD361024.29m2、

23、軸的最大切應力、軸的最大切應力例例5 某汽車傳動軸，用某汽車傳動軸，用45號鋼無縫鋼管制成，其外徑號鋼無縫鋼管制成，其外徑D=90mm,壁厚壁厚t=2.5mm，使用時最大扭矩為，使用時最大扭矩為T=1500 N.m, =60MPa。試校。試校核此軸的強度核此軸的強度,若此軸改為實心軸，并要求強度仍與原空心軸相若此軸改為實心軸，并要求強度仍與原空心軸相當，則實心軸的直徑當，則實心軸的直徑 為多少？為多少？1DtmaxWTMPa3 .511024.2915006MPa60所以此軸安全。所以此軸安全。3、若此軸改為實心軸、若此軸改為實心軸MPa3 .51WTtmax31tD16WmMDx053. 0

24、103 .511636max,1實心軸的橫截面面積為實心軸的橫截面面積為2114DA22205mm空心軸的橫截面面積空心軸的橫截面面積2222687)(4mmdDA空心軸與實心軸的重量之比：空心軸與實心軸的重量之比：%3122056871212AAGG因此在承載能力相同的條件下，使用空心軸比較節(jié)因此在承載能力相同的條件下，使用空心軸比較節(jié)約材料、比較經(jīng)濟。約材料、比較經(jīng)濟。實心與空心對比實心與空心對比采用空心軸可有效地減輕軸的重量，節(jié)約材料。采用空心軸可有效地減輕軸的重量，節(jié)約材料。從截面的幾何性質(zhì)分析從截面的幾何性質(zhì)分析: :采用空心軸的優(yōu)勢采用空心軸的優(yōu)勢軸心附近處的應力很小，軸心附近處的

25、應力很小，根據(jù)應力分布規(guī)律根據(jù)應力分布規(guī)律:實心軸的軸心附近處的材料沒有較好地發(fā)揮其作用；實心軸的軸心附近處的材料沒有較好地發(fā)揮其作用；其極慣性矩其極慣性矩Ip必大于實心軸，必大于實心軸，扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)扭轉(zhuǎn)截面系數(shù)Wt也比較大，也比較大，強度和剛度均又提高；強度和剛度均又提高；橫截面面積相同的條件下，橫截面面積相同的條件下， 空心軸材料分布遠離軸心，空心軸材料分布遠離軸心，通常所講保持強度不變，通常所講保持強度不變，對于軸的強度或剛度，對于軸的強度或剛度，采用空心軸的優(yōu)勢采用空心軸的優(yōu)勢即指最大切應力值不變；即指最大切應力值不變；保持剛度不變，保持剛度不變， 即指截面圖形極慣性矩保持不變。即指截

26、面圖形極慣性矩保持不變。采用空心軸比實心軸都較為合理。采用空心軸比實心軸都較為合理。1、受扭圓軸某截面的扭矩為、受扭圓軸某截面的扭矩為T20KN，直徑為，直徑為D100毫米。求該截面、三點的剪應力，毫米。求該截面、三點的剪應力，并在圖中標示出方向。并在圖中標示出方向。acbTD/42、內(nèi)外徑分別為、內(nèi)外徑分別為20毫米和毫米和40毫米的空心圓軸承受毫米的空心圓軸承受扭矩扭矩T1KNm的作用，計算的作用，計算A點（到圓心的距離為點（到圓心的距離為15毫米）的剪應力，并畫出剪應力的分布圖。毫米）的剪應力，并畫出剪應力的分布圖。A3、作扭矩圖，并求最大剪應力。、作扭矩圖，并求最大剪應力。M1600N

27、mM2=200Nmd=40d=304、n=80r/min，軸的許用剪應力，軸的許用剪應力60MP，設(shè)計實心軸的直徑。設(shè)計實心軸的直徑。PAPB=20KWPC=40KW5、已知軸傳遞的功率，如果二段軸內(nèi)的最大、已知軸傳遞的功率，如果二段軸內(nèi)的最大剪應力相等，求二段軸的直徑之比。剪應力相等，求二段軸的直徑之比。300KWPB=200KWPC=500KW6、圓軸的外經(jīng)為、圓軸的外經(jīng)為D90毫米，壁厚為毫米，壁厚為2.5毫米。毫米。承受的內(nèi)徑為承受的內(nèi)徑為T1500N。軸的許用應力為。軸的許用應力為60MP，校核強度。，校核強度。7、畫出下列各圖的剪應力的分布規(guī)律。、畫出下列各圖的剪應力的分布規(guī)律。T

28、空心T內(nèi)碳鋼、外內(nèi)碳鋼、外合金鋼合金鋼T35 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形一、扭轉(zhuǎn)時的變形一、扭轉(zhuǎn)時的變形pGITx dd 長為長為 l一段桿兩截面間相對一段桿兩截面間相對扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角 為 xdGIT dl0p值不變）值不變）若若 T( GITl p抗抗變變形形剛剛度度桿桿件件長長度度內(nèi)內(nèi)力力扭轉(zhuǎn)角（扭轉(zhuǎn)角（）：）：任意兩截面繞軸線轉(zhuǎn)動而發(fā)生的相對角位移。任意兩截面繞軸線轉(zhuǎn)動而發(fā)生的相對角位移。niPiiiGIlT1如果內(nèi)力沿軸線變化，或截面尺寸發(fā)生變化如果內(nèi)力沿軸線變化，或截面尺寸發(fā)生變化二、單位長度扭轉(zhuǎn)角二、單位長度扭轉(zhuǎn)角 ：(rad/m) dd pGITx /m)( 180 dd p

29、GITx 或三、剛度條件三、剛度條件 (rad/m) maxpGIT /m)( 180 maxpGIT 或GIp: 稱為許用單位扭轉(zhuǎn)角。稱為許用單位扭轉(zhuǎn)角。截面的抗扭剛度截面的抗扭剛度; 反映了截面抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力。反映了截面抵抗扭轉(zhuǎn)變形的能力。)m/(180GITPmaxmax單單位位： 的數(shù)值按照對機器的要求決定：的數(shù)值按照對機器的要求決定：精密機器的軸：精密機器的軸：m/)5 .025.0(一般傳動軸：一般傳動軸：m/)15 .0(精度要求不高的軸：精度要求不高的軸：m/)5 .21 (剛度計算的三方面：剛度計算的三方面： 校核剛度：校核剛度： 設(shè)計截面尺寸：設(shè)計截面尺寸： 計算許可載

30、荷：計算許可載荷： max max GT Ip max pGIT 有時，還可依據(jù)此條件進行選材。有時，還可依據(jù)此條件進行選材。mKNM.81mKNM.32LBLC1M2MA例例1 圖示等截面圓軸，已知圖示等截面圓軸，已知d=90mm ,L=50cm, 軸的材料為鋼，軸的材料為鋼，G=80GPa,求（求（1）軸的最大切應力；）軸的最大切應力； （2）截面）截面B和截面和截面C的扭轉(zhuǎn)角；的扭轉(zhuǎn)角； （3）若要求）若要求BC段的單位扭轉(zhuǎn)角與段的單位扭轉(zhuǎn)角與AB段的相等，則在段的相等，則在BC段段鉆孔的孔徑鉆孔的孔徑d 應為多大？應為多大？lmBlmC1M2MAd=90mm ,L=50cm, ，G=8

31、0GPa,mKNM.81mKNM.32mKN.5mKN .3(1)軸的最大切應力軸的最大切應力m.KN5TmaxtmaxWT3316105dMPa5 .25lmBlmC1M2MATd=90mm ,L=50cm, ，G=80GPa,mKNM.81mKNM.32ABC（2）扭轉(zhuǎn)角）扭轉(zhuǎn)角截面截面B：pABABABBGIlT178.0rad00311.0lmBlmC1M2MAd=90mm ,L=50cm, ，G=80GPa,mKNM.81mKNM.32mKN.5mKN .3TABCACCrad00125.0BCAB00311.0072.0pBCBCGIlT（3）BC段孔徑段孔徑dBCABBCpBCA

32、BpABGITGITABBCABp44BCpTTI)dd(32Icm8m08. 0dlmBlmC1M2MA例例2 長為長為 L=2m 的圓桿受均布力偶的圓桿受均布力偶 m=20Nm/m 的作用，的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為 =0.8 ，G=80GPa ，許用許用剪應力剪應力 =30MPa，試設(shè)計桿的外徑；若試設(shè)計桿的外徑；若 =2/m ，試校核此桿的剛度，并求右端面轉(zhuǎn)角。試校核此桿的剛度，并求右端面轉(zhuǎn)角。1 1：作內(nèi)力圖：作內(nèi)力圖maxTWt 116D 43）（tW314max 116）（TD40NmxT2 ：設(shè)計桿的外徑：設(shè)計桿的外徑T0mxTD 0.0226m。

33、3 3 校核剛度校核剛度180maxmaxPGIT 8911108018040324429.)(D4 4、右端面轉(zhuǎn)角、右端面轉(zhuǎn)角為：為：L0PdxGIT20PdxGIx20 xGI10202P弧弧度度）( 033. 0例例3 某傳動軸設(shè)計要求轉(zhuǎn)速某傳動軸設(shè)計要求轉(zhuǎn)速n = 500 r / min，輸入功率輸入功率P1 = 500 馬力，馬力， 輸出功率分別輸出功率分別 P2 = 200馬力及馬力及 P3 = 300馬力，已馬力，已知：知：G=80GPa ， =70M Pa， =1/m ，試確定：試確定： AB 段直徑段直徑 d1和和 BC 段直徑段直徑 d2 ？ 若全軸選同一直徑，應為多少？若

34、全軸選同一直徑，應為多少？ 主動輪與從動輪如何安排主動輪與從動輪如何安排,軸的受力合理？軸的受力合理？ 500400P1P3P2ABCm)(kN0247nN.m7.024 4.21Tx(kNm)1、內(nèi)力圖 500400P1P3P2ABCWTt mm4671070143421016163632.Td mm801070143702416163631.Td2 按強度設(shè)計直徑 G180T32d I4 p按剛度條件設(shè)計直徑按剛度條件設(shè)計直徑Tx7.0244.21(kNm) 500400P1P3P2ABC180GITPmm4 .74d2 mm84d1 mm75 mm8521 d,d全軸選同一直徑時全軸選同

35、一直徑時 mm851 dd 4.21Tx(kNm)2.814A輪和B輪應該換位。軸的合理受力軸的合理受力扭矩的扭矩的絕對值最大者越小越合理；絕對值最大者越小越合理；換位后,軸的扭矩如下；軸的最大直徑為 75mm。 P3P1P2ABC1、M10.8KNm，M3=1.5KNm，d1=4厘米，厘米，d2=7厘米，厘米，,G=80Gpa，求，求AC二截面的相對轉(zhuǎn)角，及二截面的相對轉(zhuǎn)角，及軸內(nèi)最大的單位長度扭轉(zhuǎn)角。軸內(nèi)最大的單位長度扭轉(zhuǎn)角。M3AM2M1Cd2d10.8m1m2、軸的外經(jīng)為、軸的外經(jīng)為 D76毫米，厚毫米，厚2.5毫米，承毫米，承受的扭矩為受的扭矩為T1.98KN， 剪變模量剪變模量G8

36、0GP，許用扭轉(zhuǎn)角，許用扭轉(zhuǎn)角2度度/m,許用剪應力許用剪應力為為100MP。校核該軸。校核該軸。3 3、傳動軸每分鐘、傳動軸每分鐘200200轉(zhuǎn)，主動輪轉(zhuǎn)，主動輪2 2輸入輸入8080馬力，馬力，1 1、3 3、4 4、5 5分別輸出分別輸出2525馬力、馬力、1515馬力、馬力、3030馬力、馬力、1010馬力。馬力。 剪變模量剪變模量G G80GP80GP，許用扭轉(zhuǎn)角，許用扭轉(zhuǎn)角0.50.5/m,/m,許許用剪應力為用剪應力為60MP60MP。: :按等截面設(shè)計軸的直按等截面設(shè)計軸的直徑；：此軸承受的外力合理嗎？如果不合理，請徑；：此軸承受的外力合理嗎？如果不合理，請重新安排齒輪的位置，

37、此時按等截面設(shè)軸的直徑；重新安排齒輪的位置，此時按等截面設(shè)軸的直徑；：在合理安排齒輪的條件下，采用變截面，求每：在合理安排齒輪的條件下，采用變截面，求每一段軸的直徑。一段軸的直徑。213454、空心軸、空心軸1(外經(jīng)外經(jīng)D1，內(nèi)徑，內(nèi)徑)緊套在實心軸緊套在實心軸2（直（直徑為徑為2）上整體受扭，二軸的扭轉(zhuǎn)剛度分別為）上整體受扭，二軸的扭轉(zhuǎn)剛度分別為G1IP1，G2IP2，共同承受的扭矩為，共同承受的扭矩為M，求二軸內(nèi)，求二軸內(nèi)各自的最大剪應力各自的最大剪應力M5、AB段長為段長為1米，米，BC段長為段長為0.5米，米，P1KN，G80GP， AB70MPa。:設(shè)計設(shè)計AB段軸的直徑。段軸的直徑

38、。如果如果AB70MP，求由于軸的扭轉(zhuǎn)而引起的，求由于軸的扭轉(zhuǎn)而引起的C點的鉛垂位移。點的鉛垂位移。(BC段的變形不計段的變形不計)ABCP6、實心圓軸的直徑為、實心圓軸的直徑為D,受力如圖受力如圖,求求AC二截面二截面的相對轉(zhuǎn)角、軸內(nèi)的最大剪應力。的相對轉(zhuǎn)角、軸內(nèi)的最大剪應力。M2MaaAC7、實心圓軸直徑為、實心圓軸直徑為D100毫米，在外力偶毫米，在外力偶M1、M2的作用下，的作用下，AC段內(nèi)的最大剪應力為段內(nèi)的最大剪應力為50MP。自由端相對于固定端扭轉(zhuǎn)了。自由端相對于固定端扭轉(zhuǎn)了0.1弧度。弧度。G80GP，作軸的扭矩圖。，作軸的扭矩圖。M2M11m1mAC8 階梯狀圓軸，階梯狀圓軸

39、，D1120毫米，毫米，D2100毫米，毫米，AB=BC=1m，G80GP，M215KN，若使，若使AC二截面的相對轉(zhuǎn)角為二截面的相對轉(zhuǎn)角為0，求，求M1？軸內(nèi)的最？軸內(nèi)的最大剪應力？大剪應力？M2ABCM1D19、等截面?zhèn)鲃虞S的轉(zhuǎn)速為、等截面?zhèn)鲃虞S的轉(zhuǎn)速為n191轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)/分，由分，由A輪輸入輪輸入的功率為的功率為8KW，由，由B、C、D各輪輸出的功率分別為各輪輸出的功率分別為3KW，1KW，4KW。已知軸的許用剪應力為。已知軸的許用剪應力為60MPa，剪變模量為，剪變模量為G80GPa，許用轉(zhuǎn)角為，許用轉(zhuǎn)角為20/m。要求：首先合理安排各輪的位置，然后繪出。要求：首先合理安排各輪的位置，然后繪

40、出軸的內(nèi)力圖，確定軸的直徑軸的內(nèi)力圖，確定軸的直徑D。20020020010、外徑、外徑100毫米，內(nèi)徑毫米，內(nèi)徑80毫米的空心圓軸，與一直徑為毫米的空心圓軸，與一直徑為80毫毫米的實心圓軸用平鍵連接。傳遞的力偶矩如圖。已知軸的許米的實心圓軸用平鍵連接。傳遞的力偶矩如圖。已知軸的許用剪應力為用剪應力為45MPa，平鍵的尺寸為，平鍵的尺寸為101030。鍵的許。鍵的許用剪應力為用剪應力為100MPa，許用的擠壓應力為，許用的擠壓應力為bs=280MPa。（1）校核軸的強度（不考慮鍵槽的影響）（）校核軸的強度（不考慮鍵槽的影響）（2）確定平鍵的）確定平鍵的個數(shù)（個數(shù)（3）如何安排圓輪比較合理）如何

41、安排圓輪比較合理3010105KNm2.5KNm2.5KNm解決扭轉(zhuǎn)超靜定問題的方法解決扭轉(zhuǎn)超靜定問題的方法靜力學關(guān)系；靜力學關(guān)系；物理關(guān)系；物理關(guān)系；補充方程；補充方程；變形協(xié)調(diào)關(guān)系；變形協(xié)調(diào)關(guān)系；聯(lián)立求解；聯(lián)立求解；圓軸扭轉(zhuǎn)超靜定問題圓軸扭轉(zhuǎn)超靜定問題三關(guān)系法三關(guān)系法步驟步驟例例1長為長為 L=2m 的圓桿受均布力偶的圓桿受均布力偶 m=20Nm/m 的的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為 =0.8 ，外徑，外徑 D=0.0226m ，G=80GPa，試求固定端反力偶。試求固定端反力偶。02BAmmm這是一次超靜定問題。這是一次超靜定問題。1、靜力學關(guān)系、靜力學關(guān)

42、系L0PBAdxGIT2、物理關(guān)系、物理關(guān)系20PAdxGIx20m0BA4 4、補充方程：、補充方程：0dxGIx20m20PAmN 20 AmmN 20Bm3、變形協(xié)調(diào)關(guān)系、變形協(xié)調(diào)關(guān)系例例2 2、一組合桿由實心桿、一組合桿由實心桿1 1和空心管和空心管2 2結(jié)合在一起所結(jié)合在一起所組成，桿和管的材料相同。剪切模量為組成，桿和管的材料相同。剪切模量為G,G,試求組試求組合桿承受外力偶矩合桿承受外力偶矩M M以后，桿和管內(nèi)的最大剪應力以后，桿和管內(nèi)的最大剪應力; ;12MM2d1d補充方程補充方程)dd(dTT41424121（4）補充方程與靜力平衡方程聯(lián)立）補充方程與靜力平衡方程聯(lián)立,dd

43、MT424114241422d)dd(MT（3）變形協(xié)調(diào)關(guān)系）變形協(xié)調(diào)關(guān)系21T12（1 1）靜力學關(guān)系）靜力學關(guān)系TTT21（2）物理關(guān)系：）物理關(guān)系： ,d32GlT4111)dd(32GlT414222（5）最大切應力）最大切應力桿桿1 1：管管2 2：1t11WT311d16T42116dMd2t22WT)dd(1d16T4213223216dM練習練習 一兩端固定的圓截面桿一兩端固定的圓截面桿AB受力偶矩作用如圖。受力偶矩作用如圖。要求要求：1）作扭矩圖；）作扭矩圖；2）若）若M=10KN.m,材料的材料的 =60MPa，試選擇此等直圓截面桿直徑。試選擇此等直圓截面桿直徑。MABCl

44、MDll扭轉(zhuǎn)靜不定問題的解法：扭轉(zhuǎn)靜不定問題的解法：（1）建立靜力平衡方程；）建立靜力平衡方程；（3）變形協(xié)調(diào)條件；）變形協(xié)調(diào)條件；（4） 補充方程；補充方程；pGIlT（5）補充方程與靜力平衡方程聯(lián)立求解）補充方程與靜力平衡方程聯(lián)立求解（2）應用扭矩與相對扭轉(zhuǎn)角之間的物理關(guān)系）應用扭矩與相對扭轉(zhuǎn)角之間的物理關(guān)系材料扭轉(zhuǎn)破壞的力學性質(zhì)材料扭轉(zhuǎn)破壞的力學性質(zhì)低碳鋼的扭轉(zhuǎn)破壞低碳鋼的扭轉(zhuǎn)破壞觀察破壞方位；觀察破壞方位；分析破壞原因；分析破壞原因；鑄鐵的扭轉(zhuǎn)破壞鑄鐵的扭轉(zhuǎn)破壞觀察破壞方位；觀察破壞方位；分析破壞原因；分析破壞原因；36 非圓截面桿扭轉(zhuǎn)非圓截面桿扭轉(zhuǎn)非圓截面桿非圓截面桿一、非圓截面桿的

45、自由扭轉(zhuǎn)一、非圓截面桿的自由扭轉(zhuǎn)桿件扭轉(zhuǎn)時，橫截面的翹曲不受限制，桿件扭轉(zhuǎn)時，橫截面的翹曲不受限制，自由扭轉(zhuǎn)自由扭轉(zhuǎn)任意兩相鄰截面的翹曲程度完全相同。任意兩相鄰截面的翹曲程度完全相同。工字鋼截面桿的自由扭轉(zhuǎn)工字鋼截面桿的自由扭轉(zhuǎn)橫截面上只有切應力，沒有正應力；橫截面上只有切應力，沒有正應力；平面假設(shè)不成立；平面假設(shè)不成立；須由彈性力學須由彈性力學方法求解。方法求解。各截面發(fā)生翹曲不保持平面；各截面發(fā)生翹曲不保持平面；由等直圓桿扭轉(zhuǎn)時推出的應力、變形公式不適用；由等直圓桿扭轉(zhuǎn)時推出的應力、變形公式不適用；對比對比圓截面桿與非圓截面桿的自由扭轉(zhuǎn)圓截面桿與非圓截面桿的自由扭轉(zhuǎn)二、非圓截面桿扭轉(zhuǎn)時切應力分布規(guī)律二、非圓截面桿扭轉(zhuǎn)時切應力分布規(guī)律1、非圓截面桿扭