多項式的根之美

1、.多項式的根之美木遙按：這是美國數(shù)學(xué)家JohnBaez今年11月14日在他的網(wǎng)頁上貼出來的一篇文章原文，很快引起了許多人的興趣。標(biāo)題中的“根是指數(shù)學(xué)中一個多項式的解。假如你還沒有忘光你的高中數(shù)學(xué)課，就應(yīng)該知道下面這兩個事實：任何一個多項式在復(fù)數(shù)域中必有根，并且每個復(fù)數(shù)都可以在復(fù)平面上對應(yīng)于一個點。這樣，給定一系列多項式，我們就可以把它們的根都畫在復(fù)平面上，從而形成一些特定的圖案。請放心，即使你對多項式毫不理解，也不會阻礙你欣賞這些圖案之美的。也許你曾經(jīng)聽說過經(jīng)典的曼德布洛特集合Mandelbrotset，那你很容易就能在這里看到某些相似之處。所不同的是，人們對這些新的圖案還所知甚少。下面所有括

2、號中的文字都是我所添加，以幫助不熟悉復(fù)平面的朋友理解所說那些的點的位置。我的朋友DanChristensen發(fā)現(xiàn)了一幅令人贊嘆的圖畫見題圖。它是由所有系數(shù)為-4到4之間的整數(shù)的5次以下多項式的根在復(fù)平面上的對應(yīng)點構(gòu)成的。點擊圖片可以看大圖。二次多項式的根是灰色的，三次多項式的根是青藍色的，四次多項式的根是紅色的，五次多項式的根是黑色的。橫軸是實軸，縱軸是虛軸，中間的大洞的中心是原點。兩側(cè)小一點的洞的中心是±1，在±i處和1的所有六個虛根出也各有一個小洞即中間那個大洞上下不遠處對稱的那些小洞。你可以在這里看到許多迷人的圖案，給人的感覺是這些整系數(shù)多項式的根在竭力避開那些整點和

3、單位根似的，除非這些整點和單位根本身就是多項式的根。假如你把圖案放大，可以看到更多細節(jié)：在這里你可以看到，在1這個點所在的空白區(qū)域周圍環(huán)繞著一些美麗的羽毛，在expi/3這個點周圍有一個六瓣的星形即左上角那個梅花形狀的洞，還有一條奇特的紅色連線把這兩個點連接起來，還有很多其他的點周圍的星形的洞，諸如此類。人們應(yīng)該開場研究這些東西才對！讓我們把所有系數(shù)為-n到n之間的整數(shù)的d次以下多項式的全體根構(gòu)成的集合稱為Christensen集Cd,n，很顯然當(dāng)d和n越大，Cd,n這個集合就越大，并且當(dāng)n趨于無窮大時這個集合趨于布滿全復(fù)平面。假如固定d,令n趨向于無窮大，那么我們就能得到全體有理復(fù)數(shù)；假如令

4、d和n同時趨于無窮大，那么我們就能得到全體代數(shù)復(fù)數(shù)。于是一個有趣的問題就是，假如我們固定n，令d趨于無窮大，會得到什么呢？在上面這些圖片的鼓舞下，SamDerbyshire決定繪制一些分辨率更高的多項式根的圖片。試驗了幾次之后，他覺得他最喜歡的是系數(shù)為±1的多項式。他把所有24次以下的這樣的的多項式的根繪制成一副高明晰度的圖片，這些多項式一共有224個，其根大約共有24×224個，也就是大約四億個。他用mathematica一個數(shù)學(xué)軟件花了大概四天時間才計算出所有這些根，得到了大約5G的數(shù)據(jù)。然后他用Java語言生成了這幅美妙的圖案：顏色表示根的密度，從黑色到暗紅色到黃色再

5、到白色。上圖是低分辨率版本，這里有一個90M的文件可供。我們可以放大一點看到更多細節(jié)：請注意單位根周圍的那些小洞，還有圓弧內(nèi)部的那些羽毛。為了更清楚地觀察，我們把下面這些標(biāo)記出來的區(qū)域放大：這里是1這個點處的那個洞。即上面最右邊那個標(biāo)記出來的區(qū)域。中間那條白線是實軸。這是因為有非常多的多項式根都是實數(shù)。然后這里是i這個點處的洞。即最上面那個標(biāo)記區(qū)域。這是expi/4這個點周圍。差不多位于1和i正中央。請注意，根的密度在接近這個點的時候會變大，然后又突然變小。可以看到這些密度所形成的微妙的圖案。但是更漂亮的是當(dāng)我們來到單位圓內(nèi)部時的那些羽毛狀圖案！這里是實軸附近的樣子，這個圖的中心位于4/5點處

6、。右邊數(shù)第二個標(biāo)記區(qū)域。在4/5i點處的樣子就截然不同了。從上數(shù)第二個標(biāo)記區(qū)域。一般說來，“老師概念之形成經(jīng)歷了非常漫長的歷史。楊士勛唐初學(xué)者，四門博士?春秋谷梁傳疏?曰：“師者教人以不及，故謂師為師資也。這兒的“師資，其實就是先秦而后歷代對老師的別稱之一。?韓非子?也有云：“今有不才之子師長教之弗為變其“師長當(dāng)然也指老師。這兒的“師資和“師長可稱為“老師概念的雛形，但仍說不上是名副其實的“老師，因為“老師必需要有明確的傳授知識的對象和本身明確的職責(zé)?！皫熤拍睿篌w是從先秦時期的“師長、師傅、先生而來。其中“師傅更早那么意指春秋時國君的老師。?說文解字?中有注曰：“師教人以道者之稱也。“師之

7、含義，如今泛指從事教育工作或是傳授知識技術(shù)也或是某方面有特長值得學(xué)習(xí)者?！袄蠋煹脑獠⒎怯伞袄隙稳荨皫煛！袄显谂f語義中也是一種尊稱，隱喻年長且學(xué)識淵博者?！袄稀皫熯B用最初見于?史記?，有“荀卿最為老師之說法。漸漸“老師之說也不再有年齡的限制，老少皆可適用。只是司馬遷筆下的“老師當(dāng)然不是今日意義上的“老師，其只是“老和“師的復(fù)合構(gòu)詞，所表達的含義多指對知識淵博者的一種尊稱，雖能從其身上學(xué)以“道，但其不一定是知識的傳播者。今天看來，“老師的必要條件不光是擁有知識，更重于傳播知識。但是我覺得最漂亮的還要說是1/2expi/5這個點周圍的區(qū)域。剩下的那個標(biāo)記區(qū)域。這幅圖生動的展示出，在我們的數(shù)學(xué)研究中，規(guī)律性是如何從一團混沌中逐漸成型的，就像從薄霧中隱約顯現(xiàn)出來一樣。要練說，得練看?？磁c說是統(tǒng)一的，看不準(zhǔn)就難以說得好。練看，就是訓(xùn)練幼兒的觀察才