夏顯奇矢量三角形法則在物理解題中的應用

1、【精品文檔】如有侵權，請聯(lián)系網(wǎng)站刪除，僅供學習與交流夏顯奇矢量三角形法則在物理解題中的應用.精品文檔.矢量三角形法則在物理解題中的應用夏顯奇（云南師范大學2011級學科教學（物理）教育碩士）摘要：矢量合成的平行四邊形定則可以用矢量三角形法則來等效替代，應用矢量三角形法則可以求解動態(tài)平衡問題，求物理量的極值及研究拋體運動，利用矢量三角形法則再結合數(shù)學知識，可以使很多物理問題迅速得到解決,而且非常直觀顯見、簡捷。關鍵詞：矢量三角形；動態(tài)平衡；極值；拋體運動；直觀1. 引言矢量概念是高中物理教學中引進的重要概念之一，在物理中，將有大小和方向的量稱為矢量，如力、位移、速度、加速度、動量、沖量等物理量都

2、是矢量。平行四邊形是一切矢量合成的普遍法則，在許多矢量合成與分解的問題中，尤其是一些動態(tài)變化的問題，應用平行四邊形法則導出的矢量三角形法則進行分析求解就顯得很方便快捷。矢量三角形法則作圖簡單，線條較少，圖象清晰，在討論某些變化的矢量或矢量的增量時，有時比平行四邊形法則更清楚、方便。矢量三角形不但可以處理力的問題，它同樣可以處理與速度、加速度、動量等有關的矢量問題。2. 矢量三角形的建立2.1 矢量三角形1丙乙丙甲圖1在 圖1甲中，是共點力和的合力，構成平行四邊形，該平行四邊形含有兩個全等的三角形，每一個三角形都包含了三個矢量的大小和方向，因此，如果我們只取其中的一個三角形，如圖1乙所示，從點出

3、發(fā)，把代表和的線段、首尾相接地畫出來，連接和，從指向的矢量就表示合力的大小和方向。上述作圖法叫做力的三角形定則，其合矢量與分矢量的關系是：兩個分矢量首尾相接，分矢量與合矢量首首相接，尾尾相接，作三角形，如圖1丙所示，同樣可以求出和的合力。圖1乙、丙中矢量三角形的數(shù)學表達式為:。2.2 矢量三角形2乙圖2甲三個力、使物體處于平衡狀態(tài)，如圖2甲，由力的平衡知識知道，、的合力與力等大、反向，如果把平移到的位置上，則構成如圖2乙的三角形。圖2乙中矢量三角形的數(shù)學表達式為:。若一個物體在三個共點力作用下處于平衡狀態(tài)，則代表三個力的有向線段必定構成首尾相接的封閉三角形。3. 用矢量三角形解動態(tài)平衡問題力學

4、中的動態(tài)平衡是指在控制某一或某些物理量不變的情況下，物體的狀態(tài)發(fā)生緩慢連續(xù)的變化，在該變化過程中物體始終處于動態(tài)平衡。因此，我們也可以把動態(tài)平衡稱為準靜態(tài)平衡。3.1 常見動態(tài)平衡問題的分類3.1.1 三個參量不變高中階段接觸的力學動態(tài)平衡問題，一般物體只受三個力，分析這三個力的大小、方向總共六個參量中，大都會有三個參量不變。一般而言，三個不變的參量往往是一個恒力的大小和方向以及另一個力的大小或方向。3.1.1.1一力為恒力，另一個力方向恒定情形三力中有一個力確定，即大小、方向不變，另一個力方向確定，這個力的大小及第三個力的大小、方向變化情況待定。圖3 的方向確定如圖3中的大小和方向恒定，力的

5、方向確定，三個力構成閉合矢量三角形，對應的就是物體所處動態(tài)平衡的相應狀態(tài)。的大小單調變化，的大小變化不單調，存在極小值，且方向將變化。3.1.1.2 一力為恒力，另一個力大小恒定情形圖4 的大小確定三力中有一個力確定，即大小方向不變，另一個力大小確定，這個力的方向及第三力的大小、方向變化情況待定。圖4中若力的大小確定，則的方向將變化，的大小單調變化，方向可能出現(xiàn)重復性。如果題目對力的角度加以限制，那么的方向變化也可能是單調的。因此，常規(guī)的動態(tài)平衡問題總體形態(tài)分布比較明確，抓住三個不變的參量，構建合理的力的矢量三角形，并抓住與狀態(tài)動態(tài)變化相對應的特征物理量進行分析，就能使問題順利得解。例1 如圖

6、5所示，在“驗證力的平行四邊形定則”實驗中，用、兩只彈簧稱把橡皮條上的節(jié)點拉到某一位置，這時兩繩套、的夾角小于°，現(xiàn)保持彈簧稱的 示 數(shù) 不 變 而 改 變其拉力方向使角減小，那么要使結點仍在位置，就應調整彈簧稱的拉力大小及角，則下列調整方法中可行的是（）增大的拉力，增大角（）增大的拉力，角不變圖5（）增大的拉力，減小角（）的拉力大小不變，增大角圖6解析：因為節(jié)點不變，故左邊橡皮條上的拉力大小和方向均確定，彈簧拉力大小確定。如圖6所示，取點為起始點，先作力的有向線段，以其箭頭端點為圓心，以大小不變力的線段長度為半徑作一圓，該圓的每條矢徑均為力矢量，從該圓周上各點指向點的各有向線段便是

7、彈簧稱的拉力矢量，這樣就畫出了表示可能的三力關系的三角形集合圖，由圖能很快得出正確選項為（）、（）、（）。3.1.2 兩個參量不變這樣的動態(tài)平衡問題就很特殊。進一步分析可知，這兩個不變的參量往往是某個力的大小、方向同時不變，即有一個力是恒力。恒力外的其他兩力方向受條件（如空間方位、大小尺寸、運動軌跡等）的定性約束，從而可以判斷方向變化趨勢，在這類特殊習題中，挖掘并正確解讀這些信息對解決問題是至關重要的。3.1.2.1三力中有一個力確定，即大小方向不變，另二力方向變化有依據(jù)，判斷二力大小變化情況。例2 建筑工人通過安裝在樓頂?shù)囊粋€定滑輪，將建筑材料運送到高處，如圖7所示，為了防止建筑材料與墻壁相

8、碰，站在地面上的工人（未畫出）要用繩拉住材料，使它與豎直墻面總保持一定的距離。若不計兩根繩的重力，在建筑材料被提起的過程中，繩的拉力和繩的拉力的大小將如何變化。圖7乙甲解析： 點在拉力、和(材料對點的拉力，大小等于材料的重力)3個力作用下處于動態(tài)平衡狀態(tài)，在建筑材料提起的過程中，的大小和方向不變，和水平方向間的夾角逐漸減小，和水平方向間的夾角逐漸增大，點受力情況用矢量三角形如圖7乙所示，從圖中可以看出，、都在增大。3.1.2.2 一力為恒力，另兩力夾角恒定情形 恒力外的其他兩力方向變化趨勢確定，且方向間存在定量的約束關系，兩力夾角始終不變。圖8例3 如圖8所示，物體用兩根繩子懸掛，開始時繩水平

9、，現(xiàn)將兩繩同時順時針緩慢轉過，轉動過程中始終保持角不變（），且物體始終靜止。設繩的拉力為，繩的拉力為，甲則在此旋轉過程中(A)先減小后增大(B)先增大后減小(C)逐漸減小(D)最終變?yōu)榱銏D9乙解析： 、的合力的大小、方向兩個參量是不變的，在繩子從水平到豎直的順時針轉動過程中，設繩與豎直方向的夾角為，則，且不斷減小。選取繩子在轉動過程中的任一狀態(tài)，并構成如圖9所示的力的矢量三角形。由于兩繩夾角不變，其余各角如圖9所示。由幾何知識可知，力的矢量三角形的三個定點、位于同一圓周上，是長度、位置均不變的固定弦，因此所對的圓周角大小也不變（角大小為），且小于，如圖所示。依據(jù)題意，沿圓周從水平方向緩慢轉到豎

10、直位置的過程中，弦的長度先邊長再變短，當弦恰好為直徑時最長，此時三條弦恰好構成直角三角形，表明力的大小先變大后變小，存在著極大值；弦一直變短，當弦與弦重合時，弦為零，即表明力的大小一直減小，存在的極小值為零。3.1.2.3 一個力恒定不變，另外兩個力的大小方向均發(fā)生變化例4 光滑半球固定在水平面上，懸點處有一大小不計的定滑輪，如圖所示，小球在一穿過定滑輪的繩子的拉力作用下，沿半球面緩慢上滑一段距離。則半球對小球的支持力和細繩對小球的拉力的大小將如何變化。乙甲圖10解析： 在小球沿半球面緩慢上滑過程中，除重力大小和方向之外的四個參量都可能變化，但小球在上滑時，繞半球的球心在轉動，長度始終不變是該

11、題的重要特征。依題意知，與恒定的重力對應的豎直邊長度一定，且其余的對應邊都互相平行或共線，將力的矢量三角形與幾何三角形類比，對應邊成比例。如圖10所示，由三角形相似關系得。由于半球的半徑長度不變，繩長逐漸變短，故支持力大小不變，拉力變小。4. 用矢量三角形求物理量的極值求物理量的極值是中學物理中較常見的一類問題，求解方法很多。利用矢量三角形求物理量的極值，較其它方法有更為直觀、簡捷的優(yōu)點。如果能熟練運用它，不僅節(jié)省時間，而且不容易出現(xiàn)錯誤。例5 質量為的物體放在水平面上，物體與水平面間的動摩擦因素為，欲使物體勻速向右運動，求拉力的最小值？乙甲圖11解析：當物體勻速滑動時，物體受個力而平衡（如圖

12、11所示）。和正交，其合力為。在、和三力構成的矢量三角形中，當和正交時，取最小值。由圖可知： ， (1)而，故 (2)力與水平方向的夾角例6 表面光滑的均質球重，置于傾角為的斜面上，如圖12所示。當擋板與斜面的夾角為何值時，擋板對球的作用力有極小值。圖12乙甲解析： 圖12所示球受三個力的作用，用三力平衡作矢量圖。從矢量三角形可看出，當與正交時，取極小值。即時， 。 (3)例7 把重為的物體放在傾角為的斜面上，物體與斜面間的動摩擦因數(shù)為。若使物體沿斜面向上滑動，求拉力的最小值。圖13甲乙解析：當物體沿斜面勻速向上滑動時 受力如圖13所示，物體受、4個力。根據(jù)力的平衡條件，做矢量圖，與正交，合力

13、為。在、和三力構成的矢量三角形中，當和正交時，取最小值。則。 (4)因，故。 (5)例8 水面上有、兩船，船以速度沿直線，從點如圖所示方向勻速航行，同時船從距直線為的點勻速追趕船，。若能趕上船，求船的最小速度。圖14解析：根據(jù)速度矢量的合成，若取船為參考系，則把船看成靜止的。要使船勻速追上船，船相對船的速度必須從指向。設船的對地速度為，作船的速度矢量三角形如圖14，只有當與正交時，才取極小值。故： (6)方向：，即圖中的方向。5. 用矢量三角形法研究拋體運動根據(jù)物體在剛拋出時的速度方向不同，拋體運動分為平拋運動和斜拋運動，描述運動狀態(tài)的位移、速度、加速度等物理量都是矢量，拋體運動是高中物理教學

14、的重點,是曲線運動的重要形式之一。在處理拋體運動問題時，學生往往是死搬硬套位移、速度大小公式，而忽視了它們的方向。實際上從它們的方向這一角度去處理拋體運動問題，會使問題迎刃而解，思路變得簡單而又清晰。為此拋體運動中的位移矢量三角形、速度矢量三角形，值得老師和同學們高度重視。下面就幾個例子說明這兩個矢量三角形及其應用。拋體運動是勻變速運動，加速度恒定，為重力加速度。由于位移矢量和速度矢量隨時間變化，所以通常解題時需要先確定研究的位置（狀態(tài)），再根據(jù)平行四邊形定則得到兩個矢量三角形，即位移三角形和速度三角形。圖15為平拋運動，圖16為斜拋運動時的情形。圖15圖16例9 如圖17所示，從傾角為的斜面

15、頂端，以初速度水平拋出一小球，不計空氣阻力，若斜面足夠長，則小球拋出后離開斜面的最大距離是多少？圖17解析：此題常見的解決方法是分解法，即將小球的初速度和加速度沿斜面和垂直于斜面分解。這樣分解比沿水平方向和豎直方向分解要簡單。該解法見諸各種資料，此不贅述。下面從分析拋體運動的兩個矢量三角形的方法解此題。由題意分析可知，當物體的速度方向平行于斜面時，離斜面最遠。經(jīng)過時間時作物體的位移矢量三角形和速度矢量三角形，如圖17，在位移矢量三角形中有 (7)在速度矢量三角形中有 (8)將°代入式（7）、（8）得由幾何知識有 (9)代入數(shù)據(jù)得 (10)例10 如圖18所示，大炮在山腳直接對著傾角為

16、的山坡發(fā)射炮彈，炮彈初速度為，要在山坡上達到盡可能遠的射程，則大炮的瞄準角應為多少？最遠射程有多少？（不計空氣阻力）圖18解析：此題常見解法是把速度與加速度沿斜面和垂直于斜面分解，建立兩個方向的運動學方程求解。下面利用拋體運動的兩個矢量三角形來解此題。如圖18所示，作炮彈運動的位移矢量三角形。由正弦定理有 (11)取前一個等號并化簡得代入第二個等號并解得 (12)由式可知，當即時，得 (13)例11 從高處斜向上拋出一初速度大小為的物體，討論拋出角為多大時，物體落地的水平位移最大。（不計空氣阻力）圖19解析：例10用到了位移矢量三角形，本題嘗試用速度矢量三角形來討論。設落地時速度大小為，作速度矢量三角形，如圖19所示由動能定理，易得的大小 (14)設矢量三角形的面積為，則 (15)式中即為物體水平方向的位移因此，只需考慮何時矢量三角形有最大面積即可。由于三角形面積也可以寫成 (16)因，的大小確定，則當時，有最大值。此時 (17)由面積相等得水平位移最大值為 (18)6. 結論矢量運算在力學中占有重要的地位，利用矢量三角形法則可以使很多物理問題迅速