轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中的作用與培養(yǎng)

1、 轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中的作用與培育摘 要 數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的精髓,對(duì)同學(xué)數(shù)學(xué)力量的形成和進(jìn)展有著格外重要的作用.其中轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)思想的核心與精髓,是數(shù)學(xué)思想方法中最基本的一種,也是一種重要的解決問題的策略.它能化繁為簡,化未知為已知,因此在數(shù)學(xué)解題中應(yīng)留意這種數(shù)學(xué)思想的滲透,才能拓寬、深化同學(xué)的思維.在教育實(shí)習(xí)期間，我們留意到數(shù)學(xué)題目中好多都在考察同學(xué)的轉(zhuǎn)化意識(shí)與轉(zhuǎn)化力量，很多題目用常規(guī)的數(shù)學(xué)解題方法解計(jì)算量比較大，而運(yùn)用數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法去解決就會(huì)簡潔的多.這使我萌生了要爭辯轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中的作用與培育這一課題的意愿.本論文主要爭辯了轉(zhuǎn)化思想的概念、轉(zhuǎn)化思想的分類和轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中

2、的應(yīng)用，探究了在數(shù)學(xué)解題中如何應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想，從而揭示出轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中的作用，最終提出一些培育同學(xué)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想力量的建議，使得同學(xué)能夠形成自覺轉(zhuǎn)化與有意識(shí)轉(zhuǎn)化的習(xí)慣，從而提高同學(xué)的數(shù)學(xué)解題力量.關(guān)鍵詞 數(shù)學(xué) 數(shù)學(xué)思想 轉(zhuǎn)化思想 數(shù)學(xué)解題 數(shù)學(xué)教學(xué) Function and Training of Transformation Thought in the Mathematical Problem Solving Abstract Mathematical thinking is the essence of mathematics. It plays an important role o

3、n the formation and development of students' mathematical ability. Also, it is an important strategy to solve the problems. It can transfer the complexity into simple, and it can convert the unknown into the known. Therefore, in order to broaden and deepen students' thinking, the teachers sh

4、ould focus on permeating mathematical thoughts into solving mathematical problems. In the period of teaching practice, we noticed that there are many math topics which are used to check students transforming consciousness and transformation capabilities. The conventional method of solving mathematic

5、al problem makes the calculation more complicated. But it is much easier for students to solve the problems in the way of mathematical transformation thoughts. So, it makes the author enlighten the thoughts to research the function of transformation thought in mathematical problem solving and the wi

6、llingness of developing this topic. This thesis mainly studies the concept of ideological transformation, transformation classification and the applications of transformation thinking in mathematical problem solving. It explores how to apply to transformation thought in mathematical problem solving.

7、 Then, it reveals the application of transformation thought in mathematical problem solving. Finally, the author puts forward some suggestions to cultivate the ability of students mathematical transformation thoughts. In the end, it enables students to cultivate the ability to form the consciousness

8、 of transformation actively and develop the habit. Thus, it can improve the ability of students mathematical problem solving.Keywords mathematics mathematical thinking transforming ideas mathematical problem solving mathematics teaching歡迎下載 目 錄引言1第1章 轉(zhuǎn)化思想的概述11.1轉(zhuǎn)化思想的概念21.2轉(zhuǎn)化思想的分類51.3轉(zhuǎn)化思想在運(yùn)用上應(yīng)遵循的基本原則

9、6第2章轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中的作用62.1 代數(shù)到幾何的轉(zhuǎn)化62.2 空間幾何到代數(shù)的轉(zhuǎn)化82.3 不等式到函數(shù)的轉(zhuǎn)化102.4 方程到函數(shù)或不等式的轉(zhuǎn)化102.5 一般到特殊的轉(zhuǎn)化112.6 正面到反面的轉(zhuǎn)化122.7 轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中的作用12第3章 轉(zhuǎn)化思想的培育143.1加強(qiáng)學(xué)問之間的聯(lián)系153.2 留意公式的形式及特點(diǎn)193.3 加強(qiáng)轉(zhuǎn)化思想的培育與訓(xùn)練 21總結(jié)22致謝22參考文獻(xiàn)23引 言轉(zhuǎn)化思想方法在數(shù)學(xué)中有著很重要的地位和作用.面對(duì)千變?nèi)f化的數(shù)學(xué)問題，轉(zhuǎn)化思想方法的運(yùn)用，無時(shí)不有，無處不在，尤其是在解答實(shí)際問題和綜合問題時(shí)，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想換一個(gè)角度看問題，經(jīng)常是打破僵局的期

10、望.在解題中通過不斷調(diào)整思路，不斷合理轉(zhuǎn)化，可以使我們少一些“山窮水盡疑無路”的尷尬，多一些“柳暗花明又一村”的喜悅.爭辯數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的目的是為了解決新課標(biāo)下高中數(shù)學(xué)呈現(xiàn)出來的“起點(diǎn)高、難度大、容量多、課時(shí)緊”的問題，通過爭辯轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中的作用可以賜予同學(xué)們一些運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想來解決數(shù)學(xué)問題的方法，讓同學(xué)明白轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中有至關(guān)重要的作用.鑒于轉(zhuǎn)化思想方法在數(shù)學(xué)解題中的重要地位和作用，常規(guī)的數(shù)學(xué)解題方法計(jì)算量比較大，就必需對(duì)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法進(jìn)行深化爭辯.國外在爭辯轉(zhuǎn)化思想的方法及作用上具有開創(chuàng)性,布盧姆在教育目標(biāo)分類學(xué)中明確指出：數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想是“把問題元素從一種形式向另一種形式轉(zhuǎn)化的

11、力量”，它可以從語言描述向圖形表示轉(zhuǎn)化，或從語言表達(dá)向符號(hào)形式的轉(zhuǎn)化，或是每一種狀況的逆轉(zhuǎn)化.有名數(shù)學(xué)家歐拉（Euler）也曾在解決哥尼斯堡七橋問題時(shí),接受了轉(zhuǎn)化的思想方法.但是國內(nèi)在數(shù)學(xué)領(lǐng)域探究有關(guān)數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的文獻(xiàn)并不是很具體和深化，所以就需要將這些零散的學(xué)問歸納起來. 并通過實(shí)例加以說明，深化探討轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中的作用與提出一些如何培育同學(xué)轉(zhuǎn)化思想的指導(dǎo)建議第1章 轉(zhuǎn)化思想的概述1.1 轉(zhuǎn)化思想的概念數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，有較強(qiáng)的規(guī)律性，大多數(shù)學(xué)問題并不是主觀思維歡迎下載能夠解決出來的.因此在解決數(shù)學(xué)問題的過程中，常遇到一些問題直接求解起來會(huì)比較困難，往往需要對(duì)問題進(jìn)行觀看、分析、類

12、比、聯(lián)想等思維過程，從而對(duì)問題進(jìn)行變形，直至把原問題轉(zhuǎn)化到某個(gè)較生疏的問題上去，通過對(duì)新問題的求解，達(dá)到解決原問題的目的，這一思想方法我們稱為“轉(zhuǎn)化的思想方法”.轉(zhuǎn)化思想的實(shí)質(zhì)是揭示問題的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化.基本上除了一些極簡潔的數(shù)學(xué)問題外，每個(gè)數(shù)學(xué)問題的解決都是需要轉(zhuǎn)化為簡潔問題來解決的.轉(zhuǎn)化思想是解決問題的根本思想，解題過程實(shí)際上就是一步一步轉(zhuǎn)化的過程，轉(zhuǎn)化思想在解決數(shù)學(xué)問題的過程中隨處可見，例如：數(shù)形結(jié)合的思想體現(xiàn)了“數(shù)”與“形”的相互轉(zhuǎn)化；分類爭辯思想體現(xiàn)了局部與整體的相互轉(zhuǎn)化等等.它們都是轉(zhuǎn)化思想的具體體現(xiàn). 1.2 轉(zhuǎn)化思想的分類 依據(jù)要轉(zhuǎn)化的過程是充要的還是充分或必要的，可以將轉(zhuǎn)化思

13、想分為等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與非等價(jià)轉(zhuǎn)化思想.（1）等價(jià)轉(zhuǎn)化思想 等價(jià)轉(zhuǎn)化是將所給的命題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，使之成為一種簡潔理解的語言或簡潔求解的模式，其關(guān)鍵是要明確轉(zhuǎn)化的方向也就是轉(zhuǎn)化的目標(biāo).等價(jià)轉(zhuǎn)化中要求轉(zhuǎn)化過程的前因后果是充分必要的，才能保證轉(zhuǎn)化后的結(jié)果仍為原問題的結(jié)果.等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的特點(diǎn)是具有機(jī)敏性和多樣性.在應(yīng)用等價(jià)思想方法去解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，沒有一個(gè)統(tǒng)一的模式去遵循，它可以在數(shù)與形，函數(shù)與方程，不等式與不等式之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化.由于其多樣性和機(jī)敏性，因此在運(yùn)用時(shí)要合理的轉(zhuǎn)化的途徑與方法，避開死板硬套.下面結(jié)合具體例子來說明在解題時(shí)如何運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想.例1 不等式的解集是 （ ）.歡迎下載 A. B. C

14、. D. 分析 不等式右邊的“0”實(shí)際是“”，這樣就可以看作是分式不等式，去掉對(duì)數(shù)函數(shù)符號(hào)時(shí)，要留意對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域問題，即.解 由于0=要解，即解又由于函數(shù)在其定義域是減函數(shù)，所以，且,最終解得,所以選擇C.方法點(diǎn)撥 在解不等式的過程中充分運(yùn)用不等式的性質(zhì)及相關(guān)學(xué)問，把原不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為易解的不等式.在對(duì)不等式進(jìn)行變形時(shí)，要留意不等式的同解性，即留意保持字母在允許范圍內(nèi)不發(fā)生變化，解含有參數(shù)的不等式時(shí)，留意要對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類爭辯，從而做到不重不漏.(2) 非等價(jià)轉(zhuǎn)化思想非等價(jià)轉(zhuǎn)化思想分為兩類，其一是找充分條件，為了證明，我們找出命題 ，它們有關(guān)系，然后證明，從而斷言為真；其二是找必要條件，為了

15、否定，我們找出命題，它們有關(guān)系：，然后證明不真，從而斷言也不真.這兩個(gè)方面的轉(zhuǎn)化在數(shù)學(xué)中都發(fā)揮了巨大作用. 例如，在不等式的證明中有關(guān)充分性與必要性的論證過程中恰好分屬于上面兩類.又如依據(jù)不等式的傳遞性而進(jìn)展動(dòng)身的放縮法也屬于此類，而放與縮恰好屬于上面兩種不同的轉(zhuǎn)化方式.當(dāng)某些問題用等價(jià)轉(zhuǎn)化處理麻煩時(shí)，恰如其分地利用非等價(jià)轉(zhuǎn)化手段，會(huì)常使這些問題的解決變的簡潔明白，這是非等價(jià)轉(zhuǎn)化格外樂觀的一面.但是，由非等價(jià)轉(zhuǎn)化得出的結(jié)果有時(shí)候會(huì)與真實(shí)結(jié)果有些出入，必需再對(duì)其結(jié)果做些處理，才能獲得原問題的完全解.下面結(jié)合具體例子說明在解題時(shí)如何運(yùn)用非等價(jià)轉(zhuǎn)化思想.第一類找充分條件例2 已知，若對(duì)任意，總有成立

16、，則實(shí)數(shù).分析 這個(gè)題假如用常規(guī)的解法要分類爭辯比較麻煩，也經(jīng)常會(huì)由于少爭辯了一種狀況而導(dǎo)致出錯(cuò).假如換一種思路，用非等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想會(huì)簡潔很多.下面我將分別用兩種方法來解一下，以此來對(duì)比它們之間的優(yōu)略.解 常規(guī)解法 由于對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立.下面對(duì)進(jìn)行分類爭辯：當(dāng)時(shí),成立，所以；當(dāng)時(shí)，恒成立，考慮函數(shù)，對(duì)其求導(dǎo)可得，令，可得，當(dāng)時(shí)，取最大值4，所以有；當(dāng)時(shí)，原式變?yōu)椋怪愠闪?，考慮函數(shù)，求導(dǎo)可得，所以關(guān)于在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，取得最小值4，所以有.綜上所述，.用非等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的解法由于對(duì)任意恒成立，所以 即于是最終驗(yàn)證一下，此時(shí)令,得 ，計(jì)算可得當(dāng)或時(shí)，發(fā)取得最小值從而得到對(duì)于恒成

17、立，所以.其次類找必要條件例3 已知：.求證:. 分析 這個(gè)不等式的證明需要利用非等價(jià)轉(zhuǎn)化思想 ，利用不等式 對(duì)下面所要求的不等式進(jìn)行放大，從而證明不等式. 證明 由于 = = .通過上面第一個(gè)例子，我們能很明顯的看出非等價(jià)轉(zhuǎn)化可以避開繁雜且簡潔遺漏的分類爭辯，使恒成立問題處理起來格外簡潔，但是用非等價(jià)轉(zhuǎn)化時(shí)要特殊留意最終對(duì)定義域擴(kuò)大、縮小部分另外處理，以便排解增根或找回失去的根.通過上面其次個(gè)例子，我們知道在證明不等式，可以利用非等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，依據(jù)不等式的傳遞性對(duì)不等式進(jìn)行放縮，從而使問題得到好的解決.1.3轉(zhuǎn)化思想在運(yùn)用上應(yīng)遵循的基本原則 運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想解題時(shí)，可以使原本不太簡潔與不生疏的問

18、題通過轉(zhuǎn)化使其變得簡潔與便利解決，而不能說轉(zhuǎn)化以后，發(fā)覺比轉(zhuǎn)化之前更加的難以解決，那么轉(zhuǎn)化不僅沒有起到掛念問題的解決的作用，反而鋪張了時(shí)間與精力，得不償失.因此，運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想解題時(shí)并不是隨心所欲，任憑轉(zhuǎn)化，而是有它所要遵循的一些基本原則的，這樣就使得轉(zhuǎn)化有目標(biāo)性，才能使轉(zhuǎn)化思想發(fā)揮它的作用.以下介紹轉(zhuǎn)化思想在運(yùn)用上應(yīng)遵循的基本原則： 生疏化原則 就是將生疏的問題轉(zhuǎn)化為生疏的問題，利于我們應(yīng)用熟知的學(xué)問、閱歷來解決問題.例如，我們對(duì)等差數(shù)列與等比數(shù)列格外生疏，當(dāng)遇到一些簡潔的遞推數(shù)列要求其通向公式時(shí)，可以先觀看對(duì)其進(jìn)行變形，將其轉(zhuǎn)化為我們所生疏的等差數(shù)列或等比數(shù)列來解決.簡潔化原則 就是將簡單的

19、問題轉(zhuǎn)化為簡潔的問題，通過對(duì)簡潔問題的解決，達(dá)到解決簡單問題的目的或獲得某種解題的啟示和依據(jù). 例如，在代數(shù)中，高次方程通過因式分解、因式變形，達(dá)到降次的目的；多元方程通過消元，轉(zhuǎn)化為一元方程,這些都體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想的簡潔化原則.正難則反原則 當(dāng)問題正面爭辯遇到困難時(shí)，可考慮問題的反面，設(shè)法從問題的反面去探求，使問題獲解. 例如，在概率問題中，依據(jù)對(duì)立大事的實(shí)質(zhì)，假如大事和大事互為對(duì)立大事，則，當(dāng)我們解決概率問題時(shí)，當(dāng)所求的概率問題比較繁瑣時(shí)可將問題轉(zhuǎn)化到原問題的對(duì)立問題上去，進(jìn)而快速求解.直觀化原則 將比較抽象的問題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題來解決.例如，在對(duì)一些代數(shù)式直接求解較難時(shí)，將代數(shù)式轉(zhuǎn)化為

20、圖形，這樣就格外直觀，且一目了然，使得問題解決起來很簡潔.第2章 轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中的作用 數(shù)學(xué)上每個(gè)問題都有與之相互聯(lián)系的問題，它們或相互等價(jià)或構(gòu)成沖突，在解決問題的過程中都需要在肯定條件下相互轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化過程中又有其所要遵循的原則.下面我將對(duì)轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中幾種典型的運(yùn)用做具體分析，及在轉(zhuǎn)化過程中是如何體現(xiàn)它所要遵循的原則的，通過分析轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中的具體應(yīng)用來揭示出轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中的作用.2.1代數(shù)到幾何的轉(zhuǎn)化 有些函數(shù)問題從代數(shù)方法動(dòng)身很難解決，假如將這些問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，通過構(gòu)造幾何圖形來掛念解決，將會(huì)使原先的問題變的格外直觀與簡潔.這充分體現(xiàn)了運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想應(yīng)遵循的“直

21、觀化”與“簡潔化”原則.例4 求函數(shù)的最小值. 分析 本題看起來是一個(gè)函數(shù)問題，但是從函數(shù)角度很難解決，假如把這一問題轉(zhuǎn)化為解析幾何點(diǎn)到點(diǎn)的距離問題.這一問題就迎刃而解. 把問題轉(zhuǎn)化為 ,令，= .則問題轉(zhuǎn)化為在X軸上求一點(diǎn)P，使有最小值. 圖 2.1 解 設(shè),則 只要求的最小值即可，又點(diǎn)與點(diǎn)對(duì)稱， 而 原式最小值為.例5 知為正數(shù)，且，求的最小值. 分析 此題假如直接用代數(shù)方法來解，顯得難以入手，但題目所給的等式有明顯的幾何結(jié)構(gòu)，將其變形為，則會(huì)很簡潔聯(lián)想到勾股定理，且又留意到為正數(shù)這個(gè)條件，則會(huì)想到構(gòu)造一個(gè)關(guān)于直角三角形會(huì)有助于解題，從而使問題得到解決. 圖 2.2 構(gòu)造直角三角形 解 構(gòu)

22、造以為直角邊，為斜邊的和，如上圖擺放，則在直角梯形中，由于,所以.所以，所以的最小值是.2.2空間幾何到代數(shù)的轉(zhuǎn)化在空間幾何中，在求一些空間角，空間距離及證明一些空間中線面平行與垂直，面面平行與垂直問題時(shí)，假如只單純運(yùn)用空間幾何的定理來解比較難，需要較強(qiáng)的空間想象力量，而通過空間向量的引入，使得空間幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，降低了思維難度，使原先較難的問題解答起來簡潔而又直接.這充分體現(xiàn)了運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想應(yīng)遵循的“簡潔化”原則. 例6 如圖所示，已知正三棱柱的所以棱長都相等，是的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值為. 圖 2.3 分析 建立直角坐標(biāo)系，利用向量法求解，避開了通過空間的規(guī)律推理查找線面角

23、的過程，使得問題變得簡潔而又直接.解 不妨設(shè)正三棱柱的棱長為2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)平面的法向量為，由解得.又,所以，所成的角正弦值為.2.3不等式到函數(shù)的轉(zhuǎn)化 不等式是高中數(shù)學(xué)中的一個(gè)重要分支，但是一些不等式的解題過程需要通過運(yùn)用函數(shù)思想中的各類解題思維，進(jìn)行全局化、整體化地將簡單的不等式問題轉(zhuǎn)化成簡潔化的基礎(chǔ)性的函數(shù)問題來解答. 例7 已知當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的范圍.分析 原不等式恒成立的問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題 解 原不等式恒成立，即恒成立，只需大于 的最大值. 設(shè)：，則 ，所以， 所以.例8 已知：、,求證：.分析 這是不等式的證明題，關(guān)鍵在于確定值符號(hào)的處理.

24、事實(shí)上，本例可以轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性問題.已知：，及函數(shù)，求證：.易證是增函數(shù)，這樣問題就簡潔解決了.2.4方程到函數(shù)或不等式的轉(zhuǎn)化 方程問題有時(shí)可以轉(zhuǎn)化為與其相關(guān)的函數(shù)問題或不等式問題,運(yùn)用函數(shù)的一些性質(zhì),如:函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的值域等,會(huì)使問題得到很好的解決. 例9 關(guān)于的方程恒有解，求的范圍.分析 該題假如按方程問題處理比較麻煩，轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題來解會(huì)比較簡潔.解 原方程可變?yōu)?，只要是函?shù)的值域內(nèi)的一個(gè)值即可. . 例10 已知角、是三角形的兩個(gè)內(nèi)角，且 ， 是方程的兩根，求的取值范圍.分析 本題看起來是方程問題，依據(jù)隱含條件最終轉(zhuǎn)化為不等式問題解 由已知 , ，故方程的兩根均在之間.則

25、 解之得：.2.5一般到特殊的轉(zhuǎn)化等差數(shù)列和等比數(shù)列是高中學(xué)問的重點(diǎn)，也是高考考查的重點(diǎn)，但在平常做題時(shí)會(huì)發(fā)覺，所做的題卻不是同學(xué)們所生疏的等差、等比數(shù)列，而是一些一般的遞推數(shù)列，讓求它的通項(xiàng)公式，這就在考察同學(xué)的觀看力量與解決問題的力量.一般狀況下，一般的遞推數(shù)列可以通過變形轉(zhuǎn)化為兩類特殊的基本數(shù)列，通過求解其基本數(shù)列來求原數(shù)列.這充分體現(xiàn)了運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想應(yīng)遵循的“生疏 化”原則.例11 已知數(shù)列中，,求：數(shù)列的通項(xiàng)公式. 分析 通過觀看發(fā)覺，已知數(shù)列通過倒數(shù)變換后是一個(gè)等差數(shù)列，所以可以通過轉(zhuǎn)化將其轉(zhuǎn)化為我們生疏的等差數(shù)列，來求其通項(xiàng)公式. 解 由于，將其進(jìn)行倒數(shù)變化后為，所以是一個(gè)以為首項(xiàng)

26、，2為公差的等差數(shù)列.所以，所以.2.6正面到反面的轉(zhuǎn)化在解題過程中，假如從正面解決原問題有困難，不妨從它的反面動(dòng)身，逆向思維，獲得對(duì)原問題的解決.這充分體現(xiàn)了運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想應(yīng)遵循的“正難則反”原則. 例12 已知三條拋物線： ， ， 中至少有一條與X軸相交，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.分析 一、二、三條拋物線中至少有一條與x 軸相交的狀況比較多，反之為三條拋物線與x 軸都不相交，只有一種狀況.這樣就使得原本不太簡潔解決的問題通過從反面考慮而變得很簡潔. 解 令，由解得： 滿足題意的的取值范圍是.例13 在兩個(gè)袋子中分別放有6張卡片，且每個(gè)袋子中的每張卡片分別標(biāo)有1、2、3、4、5、6的不同數(shù)字，現(xiàn)在從

27、兩個(gè)袋子中任意各抽出一張卡片，則兩張卡片上的數(shù)字之和不是的概率是多少？ 分析 直接求解需要分別求出兩張卡片上的數(shù)字之和為2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12的概率，然后相加，這樣就比較繁瑣，問題可以轉(zhuǎn)化為用減去消滅兩張卡片上數(shù)字之和為7的概率.解 由于消滅數(shù)字之和為7的狀況有1+6、2+5、3+4、4+3、5+2、6+1共6種狀況，而總共可能消滅的狀況有種.所以所求概率為: 說明 概率問題的解決通常滲透了排列、組合的問題，而且經(jīng)常用到分類爭辯的思想，這樣就使得問題簡單化，我們可依據(jù)已知條件從問題的反面動(dòng)身，解決對(duì)立問題，再依據(jù)來求出原問題的解.2.7轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中的作用 通過

28、上面列舉與分析的轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，知道轉(zhuǎn)化思想實(shí)質(zhì)是以運(yùn)動(dòng)、變化進(jìn)展以及事物間相互聯(lián)系和制約的觀點(diǎn)看問題的，即擅長對(duì)所要解決的問題進(jìn)行變形.通過轉(zhuǎn)化后，使得原本不太簡潔解決的問題變的很簡潔解決，在轉(zhuǎn)化過程中也培育了同學(xué)的觀看力量，聯(lián)想力量，創(chuàng)新力量.因此，通過對(duì)以上這些轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中運(yùn)用的例子的分析，可以總結(jié)出轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中的作用：第一：優(yōu)化解題方法追求解題方法的簡潔、深刻、美麗，是數(shù)學(xué)思想的最大特色.很多數(shù)學(xué)問題通過轉(zhuǎn)化，不只是獲得了解決，更重要的是獲得了解法的優(yōu)化.其次：揭露問題的本質(zhì)歷史上有不少數(shù)學(xué)問題，在原來提出這一問題的領(lǐng)域內(nèi)很難解決，甚至無法解決，假如把問題轉(zhuǎn)

29、化到另一領(lǐng)域中，就可以迎刃而解了.例如，有名的古希臘幾何作圖三大難題，在歐式幾何中長期未能解決，直到上世紀(jì)，把它轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題后才徹底解決.第3章 轉(zhuǎn)化思想的培育 通過前兩部分的介紹可以看到轉(zhuǎn)化思想在數(shù)學(xué)解題中有格外重要的作用，而且同學(xué)把握了轉(zhuǎn)化思想，可以有效地提高思維的機(jī)敏性，提高獵取學(xué)問解決問題的力量.那么，在教學(xué)中如何挖掘與培育同學(xué)的轉(zhuǎn)化思想,下面我將結(jié)合自己在實(shí)習(xí)過程中的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐來談?wù)勛约旱囊娊?3.1留意學(xué)問之間的聯(lián)系作為一種學(xué)習(xí)策略轉(zhuǎn)化思想方法的把握與獵取數(shù)學(xué)理論學(xué)問、技能一樣，有一個(gè)感知、領(lǐng)悟、把握、運(yùn)用的過程，這個(gè)過程又是長期的，逐步積累的. 因此，老師在進(jìn)行教學(xué)的過程中應(yīng)

30、留意，概念教學(xué)應(yīng)當(dāng)讓同學(xué)感受形成過程，了解來龍去脈,當(dāng)同學(xué)學(xué)習(xí)了一大塊學(xué)問后，要準(zhǔn)時(shí)的站在系統(tǒng)的高度給同學(xué)總結(jié)聯(lián)系一下，這樣同學(xué)對(duì)學(xué)問體系才能有整體的概念，對(duì)學(xué)問間的來龍去脈有之全面的了解，使得同學(xué)腦海中學(xué)問是“成串”的，是一個(gè)整體，而不是零散的，胡亂堆砌的.這樣當(dāng)在做題時(shí),任何問題，同學(xué)才能更簡潔更快速地將學(xué)問聯(lián)系起來，更簡潔的將解決不遇到了的問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化， 使問題得到很好的解決.下面我將結(jié)合自己在實(shí)習(xí)中的教學(xué)實(shí)踐閱歷，來談?wù)勗诮虒W(xué)中如何站在系統(tǒng)的高度講授學(xué)問，引導(dǎo)同學(xué)多留意學(xué)問之間的聯(lián)系3.1.1案例設(shè)計(jì)課題指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì) 設(shè)計(jì)理念在新的教育理念：提倡樂觀主動(dòng)、勇于探究的學(xué)習(xí)方式；留意提

31、高同學(xué)的數(shù)學(xué)思維力量；進(jìn)展同學(xué)的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的指導(dǎo)下，因此在高中數(shù)學(xué)情境設(shè)計(jì)中要留意轉(zhuǎn)化思想的培育.在本節(jié)課的教學(xué)中要努力達(dá)到的目標(biāo)：在課堂教學(xué)中通過師生對(duì)話、生生對(duì)話，并且在對(duì)話以后重視總結(jié)、反思，力圖讓同學(xué)參與到指數(shù)函數(shù)概念形成的過程中來，加強(qiáng)同學(xué)對(duì)指數(shù)函數(shù)概念本質(zhì)的理解.在課堂活動(dòng)中通過同伴合作，自主探究讓同學(xué)提出爭辯指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的方法,以便能將其遷移到其它函數(shù)的爭辯中,從而培育同學(xué)的轉(zhuǎn)化思想與轉(zhuǎn)化意識(shí).教學(xué)過程 在指數(shù)函數(shù)的定義教學(xué)時(shí) 師:我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念、圖像與性質(zhì)，大家都知道函數(shù)可以刻畫兩個(gè)變量之間的關(guān)系你能用函數(shù)的觀點(diǎn)分析下面的例子嗎？ 師:大家知道細(xì)胞分裂的規(guī)律嗎?（出

32、示情境問題）情境問題1 某細(xì)胞分裂時(shí)，由一個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)，4個(gè)分裂成8個(gè)，假如細(xì)胞分裂次，相應(yīng)的細(xì)胞個(gè)數(shù)為，如何描述這兩個(gè)變量的關(guān)系？ 老師引導(dǎo)同學(xué)分析，找到兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系，并得到解析式：. 師:這樣的函數(shù)你見過嗎?是一次函數(shù)嗎?二次函數(shù)?這樣的函數(shù)有什么特點(diǎn)?你能再舉幾個(gè)例子嗎?師生活動(dòng):同學(xué)舉例，比如：老師引導(dǎo)觀看，發(fā)覺這類函數(shù)的共同特點(diǎn)是：底數(shù)是常數(shù)，自變量在指數(shù)位置.師:假如可以用字母代替其中的底數(shù)，那么上述式子就可以表示成的形式.自變量在指數(shù)位置，所以我們稱它為指數(shù)函數(shù).接下來老師讓同學(xué)舉出一些符合這個(gè)函數(shù)模型的具體例子，然后爭辯這些例子是否有意義與存在，從而引

33、發(fā)同學(xué)對(duì)取值范圍的爭辯.師生活動(dòng):讓同學(xué)爭辯并給出指數(shù)函數(shù)的定義對(duì)于指數(shù)的分類，可將問題分解為：若會(huì)有什么問題?(如，則在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)相應(yīng)的函數(shù)值不存在）若會(huì)有什么問題?(對(duì)于都無意義） 若又會(huì)怎么樣?(無論取何值，它總是1，對(duì)它沒有爭辯的必要） 師:通過剛才的爭辯，我們知道為了避開上述狀況的發(fā)生，所以規(guī)定且，最終得出指數(shù)函數(shù)的定義：一般地，函數(shù)稱為指數(shù)函數(shù)它的定義域是.在明確了指數(shù)函數(shù)的定義后，讓同學(xué)舉出一些指數(shù)函數(shù)來，老師也在黑板上寫出一些解析式讓同學(xué)推斷，如. 在爭辯指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)時(shí) 提出兩個(gè)問題: I:在學(xué)習(xí)了第一章以后，我們知道要對(duì)一個(gè)函數(shù)進(jìn)行爭辯應(yīng)爭辯哪些方面? II:爭辯函數(shù)(比如

34、今日的指數(shù)函數(shù))可以怎樣爭辯?用什么方法、從什么角度爭辯?同學(xué)通過思考后答出:爭辯函數(shù)要爭辯函數(shù)的三要素(對(duì)應(yīng)法則、定義域、值域)及函數(shù)的基本性質(zhì)(單調(diào)性、增減性、奇偶性).爭辯函數(shù)性質(zhì)時(shí)可以從圖像及解析式這兩個(gè)不同的角度進(jìn)行爭辯；可以從具體的函數(shù)入手；可以用列表法爭辯函數(shù).老師對(duì)同學(xué)的回答做出總結(jié):剛才大家說的方法都可以用來爭辯函數(shù)，但是今日我們所學(xué)的函數(shù)用列表法不易得出此函數(shù)的性質(zhì)，可見具體問題要選擇具體的問題來爭辯才能事半功倍！分組合作，合作學(xué)習(xí)師:好，下面我們就從圖像和解析式這兩個(gè)不同的角度對(duì)指數(shù)函數(shù)進(jìn)行爭辯. a.讓同學(xué)分為兩組，一組從解析式的角度入手(不畫圖)爭辯指數(shù)函數(shù)，一組從圖

35、像的角度入手爭辯指數(shù)函數(shù)； b.每一大組再分為若干合作小組； c.每組都將爭辯所得到的的結(jié)論或成果寫出來以便溝通. 總結(jié)、溝通 師:下面我們開一個(gè)成果呈現(xiàn)會(huì)! 老師在巡察過程中應(yīng)關(guān)注各組的爭辯狀況，此時(shí)可選一些有代表性的小組上臺(tái)呈現(xiàn)爭辯成果，并對(duì)比從兩個(gè)角度爭辯的結(jié)果. 老師對(duì)同學(xué)發(fā)覺、得出的結(jié)論進(jìn)行適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)評(píng)或要求同學(xué)分析.師:這里除了爭辯定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性外，再引導(dǎo)同學(xué)留意是否還有其他性質(zhì)? 同學(xué)通過思考得出:如過定點(diǎn)與的圖像關(guān)于軸對(duì)稱.師:從圖像入手我們很簡潔看出函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性以及過定點(diǎn)，但定義域、值域卻不確定；從解析式(結(jié)合列表)可以很簡潔得出函數(shù)的定義域、值域.師生共

36、同總結(jié)指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì).最終對(duì)本節(jié)課進(jìn)行小結(jié).3.1.2案例分析 概念教學(xué)應(yīng)當(dāng)讓同學(xué)感受形成過程，了解學(xué)問的來龍去脈，那種直接拋出定義后輔以“三項(xiàng)留意”的做法剝奪了同學(xué)參與概念形成的過程，只有讓同學(xué)參與到概念形成的過程中來，才能加強(qiáng)同學(xué)對(duì)概念本質(zhì)的理解，使同學(xué)遇到問題時(shí),會(huì)想它的來龍去脈,會(huì)讓他們知道該往哪個(gè)方面轉(zhuǎn)化,這使得同學(xué)領(lǐng)悟了轉(zhuǎn)化思想,使得運(yùn)用起來更得應(yīng)手. 同學(xué)已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的概念、函數(shù)的表示方法與函數(shù)的一般性質(zhì)，對(duì)函數(shù)有了初步的生疏在此認(rèn)知基礎(chǔ)上，引導(dǎo)同學(xué)自己提出所要爭辯的問題，查找爭辯問題的方法. 這樣在對(duì)對(duì)數(shù)、指數(shù)函數(shù)后同學(xué)就會(huì)對(duì)函數(shù)有了較強(qiáng)的整體感，這樣當(dāng)學(xué)到三角函數(shù)時(shí)，

37、同學(xué)就可以很順當(dāng)?shù)淖プ。喝我馊呛瘮?shù)的定義可以依據(jù)三角函數(shù)的圖像這條主線來爭辯.這樣就使同學(xué)對(duì)學(xué)問有了系統(tǒng)的生疏，為以后轉(zhuǎn)化做好了鋪墊.3.1.3案例教學(xué)實(shí)踐的分析與評(píng)價(jià)在進(jìn)行指數(shù)函數(shù)的定義教學(xué)時(shí)，同學(xué)樂觀參與到了概念形成的過程中，明白了學(xué)問的來龍去脈，教給了同學(xué)學(xué)習(xí)與解決問題的方法，在學(xué)習(xí)中要留意學(xué)問之間的聯(lián)系. 但在同學(xué)自主爭辯指數(shù)函數(shù)性質(zhì)這一部分，由于自己太過焦急的讓同學(xué)總結(jié)出指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，沒有序漸進(jìn)的讓同學(xué)提出并總結(jié)出對(duì)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的爭辯方法.在以后的教學(xué)中肯定要循序漸進(jìn)留意引導(dǎo)，充分發(fā)揮同學(xué)樂觀主動(dòng)、勇于探究的學(xué)習(xí)方式，從而培育同學(xué)自主轉(zhuǎn)化的意識(shí).3.2留意公式的形式及特點(diǎn)在高中數(shù)

38、學(xué)中，有很多公式，但在實(shí)際解題中，用到的并不是其原公式，是要將基本的公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化后才能使用，因此在平常的公式教學(xué)中，我們要引導(dǎo)同學(xué)不但進(jìn)行公式的推導(dǎo)、公式的應(yīng)用、逆用，還要引導(dǎo)同學(xué)進(jìn)行公式的變形的應(yīng)用，特殊進(jìn)行公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)的觀看，從而引導(dǎo)同學(xué)留意公式的形式及特點(diǎn)，最終達(dá)到提高其解題時(shí)的轉(zhuǎn)化力量的目的.下面結(jié)合我在實(shí)習(xí)時(shí)的具體教學(xué)閱歷來談?wù)勗诠浇虒W(xué)時(shí)如何培育同學(xué)的轉(zhuǎn)化力量.3.1.1案例設(shè)計(jì)課題簡潔的三角恒等變換 設(shè)計(jì)理念在新的教育理念：提倡樂觀主動(dòng)、勇于探究的學(xué)習(xí)方式；留意提高同學(xué)的數(shù)學(xué)思維力量；進(jìn)展同學(xué)的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)的指導(dǎo)下，因此在高中數(shù)學(xué)情境設(shè)計(jì)中要留意轉(zhuǎn)化思想的培育, 在簡潔的三角恒

39、等變換這節(jié)公式課中，應(yīng)引導(dǎo)同學(xué)留意公式的形式及特點(diǎn)、公式的推導(dǎo)，從而培育解題的轉(zhuǎn)化思想.在本節(jié)課的教學(xué)中要努力達(dá)到的目標(biāo):引導(dǎo)了同學(xué)留意觀看公式的形式與特點(diǎn)，從而提高了同學(xué)的公式變化力量，能夠利用換元、逆用公式等方法對(duì)三角函數(shù)進(jìn)行恒等變形.讓同學(xué)能參與到公式的推導(dǎo)過程中來，認(rèn)真體會(huì)三角恒等變換的特點(diǎn)，提高同學(xué)的推理、運(yùn)算力量.教學(xué)過程 .復(fù)習(xí)前兩節(jié)課學(xué)的兩角的和、差、倍角公式接著讓同學(xué)們?cè)囍鴮⒁陨系谒膫€(gè)，第七個(gè)公式進(jìn)行變形，變形以后得到接下來讓同學(xué)們?cè)囍员硎編煟阂靡粋€(gè)表示另一個(gè)，就要留意觀看看學(xué)過的公式里，有哪個(gè)包含有它們兩個(gè)，找出它們之間的關(guān)系式，那么依據(jù)方程思想，問題差不多就可以得到解

40、決了.老師重點(diǎn)提出：的倍角，是什么關(guān)系？ 同學(xué)得出：進(jìn)一步引導(dǎo) 同學(xué)從之間的關(guān)系動(dòng)身思考的關(guān)系，依據(jù)上節(jié)課學(xué)的倍角公式從而建立這兩個(gè)三角式之間的關(guān)系:從而再次變形得到，通過這兩個(gè)公式可以得到師生共同對(duì)三角恒等變化的推導(dǎo)過程進(jìn)行梳理，對(duì)本節(jié)課學(xué)習(xí)的公式進(jìn)行對(duì)比，從而加強(qiáng)對(duì)公式的形式及特點(diǎn)的留意.3.1.2案例分析 在嫻熟把握了倍角公式的基礎(chǔ)上，理解角的倍角、半角間的相對(duì)性，在此過程中引導(dǎo)了同學(xué)留意觀看公式的形式與特點(diǎn)，從而提高了同學(xué)的公式變化力量，培育同學(xué)運(yùn)用方程思想，轉(zhuǎn)化思想，換元思想解決數(shù)學(xué)問題的力量.3.1.3案例教學(xué)實(shí)踐的分析與評(píng)價(jià)在推導(dǎo)半角公式時(shí)，引導(dǎo)同學(xué)觀看余弦的二倍角公式，使同學(xué)把握了角的倍、半角公式.讓同學(xué)明白對(duì)公式的學(xué)習(xí)與記憶應(yīng)留意觀看公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn).但在其公式推導(dǎo)過程中，換元思想、轉(zhuǎn)化思想沒有很好的滲透到教學(xué)中，沒有很好的培育同學(xué)的數(shù)學(xué)思想與力量，在以后的公式教學(xué)中肯定要留意引導(dǎo)，讓同學(xué)對(duì)公式的結(jié)構(gòu)進(jìn)行觀看，讓同學(xué)自主探究其推導(dǎo)過程，在其過程中滲透轉(zhuǎn)化思想.3.3加強(qiáng)轉(zhuǎn)化思想的培育與訓(xùn)練 思維定勢(shì)，解題定勢(shì)，解題惰性（解完題后