優(yōu)化原理與方法_作業(yè)答案

1、優(yōu)化原理與方法作業(yè)解答要點(diǎn)5.1 建筑一容積為V(m3)的長方形蓄水池（無蓋），要求選擇其長、寬、高，使表面積最小，從而建筑用料最省。試寫出此問題的數(shù)學(xué)模型。解 選擇設(shè)計(jì)變量x1、x2、x3分別代表蓄水池的長、寬、高，優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為： 5.2 某公司有資金a萬元，可供選擇購置的設(shè)備有n種，已知相應(yīng)于第i種設(shè)備所需資金為bi萬元，可得收益為ci萬元，要求收益最大的投資支配。試寫出其數(shù)學(xué)模型。解 選擇設(shè)計(jì)變量x1、x2、xn分別代表n種可選購設(shè)備的購買數(shù)量，優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為：5.3 某城市要建筑一供應(yīng)服務(wù)中心，向該市m個(gè)用戶供應(yīng)服務(wù)，設(shè)第i個(gè)用戶的位置為（ai，bi），需要貨物量為wi噸，試尋求這個(gè)

2、中心最經(jīng)濟(jì)的位置，使運(yùn)輸量（噸公里數(shù)）最小。解 選擇設(shè)計(jì)變量x1、x2代表中心的位置坐標(biāo)，優(yōu)化數(shù)學(xué)模型為：5.4 對(duì)于二次型函數(shù) （1）寫出它的矩陣-向量形式；（2）寫出海賽矩陣；（3）證明H(x)的正定性；（4）f(x)是凸函數(shù)嗎？為什么？解 （1）（2） （3） （4）因H為正定陣，f(x)為凸函數(shù)5.5 試判定以下函數(shù)的凹、凸性：（1）（2）（3）（4）解 （1）因f(x)=6(4- x)0，所以f (x)（x4時(shí)）為凸函數(shù)。 （2） （3）因f(x)=1/ x2 > 0，所以f (x)（x>0時(shí)）為凸函數(shù)。 （4）5.6 試判別下列非線性規(guī)劃是否為凸規(guī)劃： （1） （2）解

3、（1）先化為標(biāo)準(zhǔn)式 然后判別目標(biāo)函數(shù)f (x)的凸性 再判別不等式約束函數(shù)g (x)=的凸性 等式約束函數(shù)h (x)為線性函數(shù)； 目標(biāo)函數(shù)為凸函數(shù)，可行域?yàn)橥辜?，故該問題為凸規(guī)劃 （2）為凸規(guī)劃（證略）5.7 用牛頓法求下列函數(shù)的微小點(diǎn)，終止準(zhǔn)則（1）（2）解（1） （2）5.8 用共軛梯度法求解解 ，=5.9 試用圖解法爭(zhēng)辯，當(dāng)取何值時(shí)： （1）有唯一的最優(yōu)解，并指出其x*及f*；（2）有無窮多個(gè)最優(yōu)解；（3）不存在有界的最有界。CBA(2,3)x2x1 解負(fù)梯度方向O(1) 有唯一解的狀況當(dāng)負(fù)梯度方向介于d 1與d 2之間時(shí)，即- < 0亦即 > 0時(shí)有唯一解x*=(0,0),

4、f *=0； 負(fù)梯度方向介于d 2與d 3之間時(shí)，即1>- >0或-1<<0時(shí)有唯一解x*=(0,1), f *=； 負(fù)梯度方向介于d 3與d 4之間時(shí)，即2>- >1或-2<<-1時(shí)有唯一解x*=(2，3),f *=2+3。(2) 有無窮多解的狀況=0時(shí)，解點(diǎn)在OA上；=-1時(shí)，解點(diǎn)在AB上；=-2時(shí)，解點(diǎn)在BC上。(3) 有無界解的狀況 <-2時(shí)，不存在有界的最優(yōu)解。5.10 試用單純形法求解解 （1）（求解過程略） 答案：x*=1, 0, 1, 3, 0, 0T，f *=-4 （2）（求解過程略） 先化成標(biāo)準(zhǔn)式再求解。答案：x*=4,

5、 5, 0, 0, 0, 11T，f *=-115.11 已知線性規(guī)劃（1） 試寫出其對(duì)偶形式；（2） 已知原問題最優(yōu)點(diǎn)x*=1, 1, 2T，試依據(jù)對(duì)偶理論，求出對(duì)偶問題的最優(yōu)點(diǎn)W*。解 （1）依據(jù)對(duì)稱形式的對(duì)偶關(guān)系，其對(duì)偶問題為： （2）由x*=1, 1, 2T知，x1、x2、x3均為基變量，基矩陣及其價(jià)格系數(shù)矩陣為 依據(jù)對(duì)偶理論，y*=cBTB-1 T= W*=3*2+6*2+2*1=205.12 考慮非線性規(guī)劃：試用KT條件判別：是否為問題的KT點(diǎn)。解 KT條件為：即將x1代入得第3、5、6式自然滿足，由第2式得=0，代入第1式得=1/8>0，滿足第4式，故x1滿足KT條件，是K

6、T點(diǎn)。將x2代入得第3、5、6式自然滿足，由第1、2式解得=0.2，=3/40>0，滿足第4式，故x2滿足KT條件，是KT點(diǎn)。將x3代入得第5、6式自然滿足，由第3式=0，且滿足第2、4式，代入第1式得= ，故x3滿足KT條件，是KT點(diǎn)。5.13 用KT條件解下列問題，并寫出它的對(duì)偶問題，驗(yàn)證二者最優(yōu)值是否相等：解 （1）利用KT條件求解。KT條件為： 即由第1式得1>0，則由第3式得x1=1，代回第1式得1=4；由第2式得2=，則由第4式得x2= 2=0；其余式子均能滿足，故x=(1, 0)T滿足KT條件，是KT點(diǎn)。此外，在可行域內(nèi)目標(biāo)函數(shù)的Hesse陣半正定，目標(biāo)函數(shù)為凸函數(shù)，

7、約束函數(shù)為線性函數(shù)，可行域?yàn)橥辜蕏*= (1, 0)T是全局最優(yōu)點(diǎn)， f *=8/3。（2）通過對(duì)偶問題求解。對(duì)偶問題為令xL(x, )=0得 （3） 補(bǔ)充：利用罰函數(shù)法求解。構(gòu)造響應(yīng)函數(shù)： 其中為平穩(wěn)點(diǎn)、非微小點(diǎn)， 故，有 故 x*= (1, 0)T是最優(yōu)點(diǎn)， f *=8/3。5.14 解 可接受標(biāo)號(hào)法求解，求解過程參見PPT材料。答案：最短路線12：AB2C1D3E或AB2C2D3E。 解 以甲、乙、丙為安排挨次，視為3個(gè)階段，以各階段安排之前的設(shè)備數(shù)為輸入狀態(tài)，以各階段安排后剩下的設(shè)備數(shù)作為輸出狀態(tài)，建立動(dòng)態(tài)規(guī)劃模型?？赏ㄟ^列表法求解。（簡(jiǎn)略過程見下表）階段三：輸入狀態(tài)變量S2最優(yōu)決

8、策x3*輸出狀態(tài)變量S3從本階段起的最優(yōu)目標(biāo)f3*S2=0000S2=1104S2=2206S2=33011S2=44012S2=54；51；012階段二：輸入狀態(tài)變量S1最優(yōu)決策x2*輸出狀態(tài)變量S2從本階段起的最優(yōu)目標(biāo)f2*S1=0000S1=1105S1=22010S1=32114S1=41；23216S1=52321階段一：輸入狀態(tài)變量S0最優(yōu)決策x1*輸出狀態(tài)變量S1從本階段起的最優(yōu)目標(biāo)f1*S1=52；03521答案：最佳安排為甲2、乙2、丙1 或 甲0、乙2、丙3，最大盈利21（百萬元）補(bǔ)充習(xí)題1 下圖所示為兩個(gè)分目標(biāo)f1、f2張成的像空間?？蛇_(dá)域的含義是什么？試在圖中直接標(biāo)出該多目標(biāo)優(yōu)化問題的有效解像域（有效解集所對(duì)應(yīng)的像空間中的區(qū)域）；依據(jù)圖中所給定的A、B和C三個(gè)抱負(fù)點(diǎn)位置，在圖中標(biāo)出用抱負(fù)點(diǎn)法分別獲得的在像空間中的多目標(biāo)解點(diǎn)A、B和C； 上述的三個(gè)抱負(fù)點(diǎn)位置，哪些是合理的、哪些是不合理的？假如以雙目標(biāo)的線性加權(quán)之和作為多目標(biāo)的評(píng)價(jià)函數(shù)，f1和f2的權(quán)系數(shù)分別為w1、w2（如圖），試在圖中標(biāo)出線性加權(quán)法獲得的多目標(biāo)解點(diǎn)D。（本題為f1、f2雙目標(biāo)微小化問題）抱負(fù)點(diǎn)B抱負(fù)點(diǎn)C可達(dá)域抱負(fù)點(diǎn)A概念題或簡(jiǎn)答題題型 非線性規(guī)劃的最優(yōu)性