chap02第二章 動力學(xué)

1、 “I seem to have been only like a boy playing on the seashore and diverting myself in now and then finding a smoother pebble or a prettier shell than ordinary, while the great ocean of truth lay all undiscovered before me.” Sir Isaac Newton 第二章第二章 牛頓運動定律牛頓運動定律1 1）牛頓第二定律及應(yīng)用）牛頓第二定律及應(yīng)用2-1 2-1 牛頓運動定律牛頓運

2、動定律牛頓第一定律牛頓第一定律牛頓第二定律牛頓第二定律 牛頓第三定律牛頓第三定律慣性參考系慣性參考系參考讀物參考讀物: A.Einstein, : A.Einstein, 物理學(xué)的進化物理學(xué)的進化, ,上?？茖W(xué)技術(shù)出版社上海科學(xué)技術(shù)出版社二、牛頓第二定律二、牛頓第二定律F am=是作用在質(zhì)點上外力的矢量和。是作用在質(zhì)點上外力的矢量和。F直角坐標(biāo)：直角坐標(biāo)：F = maxxF = mayy自然坐標(biāo)自然坐標(biāo): :F= mannmv2Fmatt= mdvdt四、牛頓定律的應(yīng)用四、牛頓定律的應(yīng)用 應(yīng)用牛頓定律的解題步驟：應(yīng)用牛頓定律的解題步驟：分解不在坐分解不在坐標(biāo)軸上的力標(biāo)軸上的力 確定確定研究對象

3、研究對象 進行進行受力分析受力分析 建立建立坐標(biāo)系坐標(biāo)系求解求解 建立方程建立方程（投影式）（投影式）*牛頓定律只在慣性系中成立。牛頓定律只在慣性系中成立。變力的三種類型變力的三種類型: :1). 力與位置有關(guān)力與位置有關(guān):2). 力與速度有關(guān)力與速度有關(guān):3). 力與時間有關(guān)力與時間有關(guān):)(xFF )(vFF )(tFF 例例: P40,2-6dxdvmvdtdxdxdvmdtdvmxF)( 例例 有一柔軟的鏈條，長度為有一柔軟的鏈條，長度為 l , , 其部分平放在光其部分平放在光滑滑lbb() 鏈條靜止。鏈條靜止。 的桌面上的桌面上 , ,另一部分懸垂在桌邊另一部分懸垂在桌邊 , ,

4、其長度為其長度為b。開。開始始 試求：當(dāng)鏈條全部脫離桌子時的速度。試求：當(dāng)鏈條全部脫離桌子時的速度。 Tgxxl x()T(l-x)x設(shè)鏈條單位長度質(zhì)量為設(shè)鏈條單位長度質(zhì)量為aT=lx()vd=axdxdtdvd=xdv=gxlg=xTxa=agxlvdxdv=gxl=122vgl22l2b()=vgl2l2b()vdxdv=gxl積分得：積分得：由上面得到：由上面得到：xvdxdv=gl0lbvRt = 0m 例例一小鋼球，從靜止開一小鋼球，從靜止開mgmcosN =2RvmgN解：解：mgmsindtdv =n下滑。下滑。始自光滑圓柱形軌道的頂點始自光滑圓柱形軌道的頂點求：小球脫軌時的角度

5、求：小球脫軌時的角度。sindtdv =gddddt=vcos2Rg()1 =2vsin d=Rg00dvvvRt = 0mmgNnmgmsindtdv =mgmcosN =2Rv由式由式 ddv=Rv脫軌條件：脫軌條件：N = 0由式由式 得：得：由由、可解得：可解得：cos=23=arc cos()23mgmcos=2RvmgmcosN =2Rvcos2Rg()1 =2vvBFrF解解 取坐標(biāo)如圖取坐標(biāo)如圖 )(dd0bFmbtvvmarFmgv6B令令rbFmgF6B0tmbFdd0vv Py)(tv 例例5 5 一質(zhì)量一質(zhì)量 ，半徑，半徑 的球體在水中靜止釋的球體在水中靜止釋放沉入水底

6、放沉入水底. .已知阻力已知阻力 , , 為粘滯系數(shù)，為粘滯系數(shù)， 求求 . . vrF6rmrBF為浮力為浮力bFt/,0Lv（極限速度）（極限速度）tmbbF)/(0e1vLL95. 0)05. 01 (vvvbmt3當(dāng)當(dāng) 時時L,3vv bmt一般認(rèn)為一般認(rèn)為ttmbbF000d)(dvvvvBFrFPyvbF0to)(dd0bFmbtvv作業(yè) 1練習(xí)3 If I have seen further, it is by standing on the shoulders of giants. Sir Isaac Newton第三章第三章 動量動量 動量定理動量定理1 1）質(zhì)點系動量定理）

7、質(zhì)點系動量定理3-1 3-1 動量動量 動量定理動量定理一、質(zhì)點的動量定理一、質(zhì)點的動量定理由牛頓第二定律表達(dá)式得：由牛頓第二定律表達(dá)式得：1 1、質(zhì)點的動量、質(zhì)點的動量mvd=dt()Fmdt=dv其中其中 mvP定義為質(zhì)點的定義為質(zhì)點的動量動量，用，用表示表示Fdt=dP則牛頓第二定律的動量表達(dá)式：則牛頓第二定律的動量表達(dá)式：動量是矢量，它的方向與物體的運動方向一致。動量是矢量，它的方向與物體的運動方向一致。動量的單位為動量的單位為 kg.m/s 2 2、質(zhì)點的動量定理、質(zhì)點的動量定理將將Fdt=dP分離變量、兩邊積分得：分離變量、兩邊積分得：=mvmv12F=dtd mv()vvtt12

8、12其中其中dtFtt21稱為力的稱為力的沖量沖量，用，用I I 表示表示上式為質(zhì)點的動量定理。上式為質(zhì)點的動量定理。IP=-P21* *關(guān)于質(zhì)點的動量定理的討論：關(guān)于質(zhì)點的動量定理的討論：式中沖量是矢量，式中沖量是矢量，質(zhì)點的動量定理為矢量式，投影式為：質(zhì)點的動量定理為矢量式，投影式為：xF dttt12=mvmv12xxyF dttt12=mvmv12yy平均沖力平均沖力平均沖力平均沖力Fx用平均沖力表示的動量定理為：用平均沖力表示的動量定理為：tt21xF dttt12= Fx()tt21Fx=mvmv12xx()=mvmv12yytt21Fy()Fttt120Fxx二、質(zhì)點系的動量定理

9、二、質(zhì)點系的動量定理1 1、質(zhì)點系：由多個質(zhì)點組成的系統(tǒng)。、質(zhì)點系：由多個質(zhì)點組成的系統(tǒng)。2 2、系統(tǒng)的內(nèi)力和外力、系統(tǒng)的內(nèi)力和外力3 3、質(zhì)點系的動量定理、質(zhì)點系的動量定理系統(tǒng)的內(nèi)力矢量和為零。系統(tǒng)的內(nèi)力矢量和為零。vviii2 2i1 1mm-)(d =ttFti外外21系統(tǒng)的總動量等于一常矢量，總動量守恒。系統(tǒng)的總動量等于一常矢量，總動量守恒。=Fmiiid ()dtv即：即：=c miiv即外力矢量和為零即外力矢量和為零 Fi= 0若：若：= 0 miid ()dtv則：則：三、動量守恒定律三、動量守恒定律*關(guān)于動量守恒定律的討論：關(guān)于動量守恒定律的討論：=Fmixiixd()dtv將

10、上式寫成分量式，其中將上式寫成分量式，其中x 方向的分量式為：方向的分量式為：若：若：=Fix0則有：則有：mixiv= c=Fmiiid()dtv內(nèi)力的存在只改變系統(tǒng)內(nèi)動量的分配，而不能改變系內(nèi)力的存在只改變系統(tǒng)內(nèi)動量的分配，而不能改變系 動量守恒是自然界普遍適用的物理定律，它比牛頓動量守恒是自然界普遍適用的物理定律，它比牛頓統(tǒng)的總動量。統(tǒng)的總動量。定律更為基本。定律更為基本。的分動量守恒。的分動量守恒。如果外力在如果外力在 x 方向投影的代數(shù)和為零，則在方向投影的代數(shù)和為零，則在 x 方向方向v = v =5.0 m.s-1, ,碰撞時間碰撞時間 例例 一小球與地面碰撞一小球與地面碰撞m

11、=210-3kg, ,a a = 600, , 求求: :平均沖力。平均沖力。Nmvmv sintxsinaa=vvyxaaNNxymgNmvmvmgcosty=()()cosaa解：解：Nx= 0解得：解得：= 2.2 ( N )Nmgcos ty=+2mvat =0.05s 。 例例 人與船質(zhì)量分別為人與船質(zhì)量分別為m 及及M ，船長為，船長為L ，若人從船，若人從船mML尾走到船首。試求船相對于岸的位移。尾走到船首。試求船相對于岸的位移。( (初始時刻人與初始時刻人與船靜止船靜止) )設(shè)人相對于船的速度為設(shè)人相對于船的速度為 u船相對于岸的速度為船相對于岸的速度為 v 由動量守恒由動量守

12、恒: :mMxLulv()vMu+ mv= 0Mvum=m+u dtMm=m+=Mmm+Lx=v dt注意不管人注意不管人的行走速度的行走速度如何變化。如何變化。結(jié)果是相同結(jié)果是相同的。的。 例例 2 一柔軟鏈條長為一柔軟鏈條長為l,單位長度的質(zhì)量為單位長度的質(zhì)量為 .鏈條放鏈條放在桌上在桌上,桌上有一小孔桌上有一小孔,鏈條一端由小孔稍伸下鏈條一端由小孔稍伸下,其余部分其余部分堆在小孔周圍堆在小孔周圍.由于某種擾動由于某種擾動,鏈條因自身重量開始落下鏈條因自身重量開始落下 .求鏈條下落速度與落下距離之間的關(guān)系求鏈條下落速度與落下距離之間的關(guān)系 . 設(shè)鏈與各處的設(shè)鏈與各處的摩擦均略去不計摩擦均略

13、去不計,且認(rèn)為鏈條軟得可以自由伸開且認(rèn)為鏈條軟得可以自由伸開 . 解解 以豎直懸掛的鏈條以豎直懸掛的鏈條和桌面上的鏈條為一系統(tǒng)和桌面上的鏈條為一系統(tǒng),建立如圖坐標(biāo)建立如圖坐標(biāo)由質(zhì)點系動量定理得由質(zhì)點系動量定理得ptFddexm1m2OyyyggmF1ex則則則則tddvyyg 兩邊同乘以兩邊同乘以 則則 yydvvvyyyyyygyddddd2t vvvyyyyyyg002dd21 gy32v232131vygy m1m2Oyy)d(d vytyg)d(dvyp又又ptFddex作業(yè) 練習(xí)4 / 填空 2 不做Joy in looking and comprehending is nature

14、s most beautiful gift. Albert Einstein第四章第四章 功和能及功能原理功和能及功能原理1 1）變力做功）變力做功2 2）保守力）保守力3 3）勢能）勢能4-1 4-1 功功 動能動能 勢能勢能一、功一、功 功率功率1 1、功、功F r=. 變力的功變力的功 元位移：元位移：rd元功：元功：=.F drFF ra= FcosdAdra rA = FcosadrFa 恒力的功恒力的功.F drA=F=drcosadA = F.drdzdxdyF(x)F(y)F(z)=+此式的意義是合力的功等于各分力功之和。此式的意義是合力的功等于各分力功之和。dzdxddrij

15、k=+yr =x iy jz k+F(x)F(y)F(z)=+Fijk=AF dr.dz+F(x) dxF(y) dyF(z)=功的幾何意義：功的幾何意義：dAF (x) dx=功在數(shù)值上等于示功圖曲功在數(shù)值上等于示功圖曲2. 2. 功率功率平均功率平均功率: : A=N t瞬時功率瞬時功率: :=NAttlim0=dAdt=Fdr.dt.= FvF (x)xdxo示功圖示功圖F12xxxA =F (x) dxx12線下的面積。線下的面積。 例例 1 一質(zhì)量為一質(zhì)量為 m 的小球豎直落入水中，的小球豎直落入水中， 剛接觸剛接觸水面時其速率為水面時其速率為 . 設(shè)此球在水中所受的浮力與重力設(shè)此球

16、在水中所受的浮力與重力相等相等, 水的阻力為水的阻力為 , b 為一常量為一常量. 求阻力對求阻力對球作的功與時間的函數(shù)關(guān)系球作的功與時間的函數(shù)關(guān)系 .0v vbFr解解 如圖建立坐標(biāo)軸如圖建立坐標(biāo)軸ttxbxbrFWdddddvv即即tbWd2v又由又由 2 - 5 節(jié)例節(jié)例 5 知知tmbe0vvtbWttmb020de2v) 1(e21220tmbWmv0vxo二、動能定理二、動能定理rdF則力則力在這段元位移上的功為：在這段元位移上的功為：設(shè)有一質(zhì)點沿任一曲線運動，在曲線上任取一元位移設(shè)有一質(zhì)點沿任一曲線運動，在曲線上任取一元位移dA = F.drdt=dtd mv()v.=mv dv

17、.=mvdv所以：所以：21mvdA=mvdv()2=1mv2122mvmv-)2(dA=122dA=1221其中其中表示。表示。mvE212K稱為質(zhì)點的稱為質(zhì)點的動能動能，用，用K1EK2合外合外E-dr =.F21上式為質(zhì)點的動能定理。上式為質(zhì)點的動能定理。即：即：1mv2122mvF-_.dr=合外合外2A=1221三、保守力的功三、保守力的功mg dy=(+mg j ).(dxidy j )yy=()abm gm gdAdr=G.yxoyyaabbdrGmgdy=A1. 1. 重力的功重力的功若物體從若物體從a出發(fā)經(jīng)任意路徑回到出發(fā)經(jīng)任意路徑回到a點，則有點，則有: :Adr=G.=

18、0物體沿任意閉合路徑一周，重力所作的功為零物體沿任意閉合路徑一周，重力所作的功為零. .MmrGF=2cos=()F ds90 +02. 2. 萬有引力的功萬有引力的功=dAF dr.MmrG=2drMmrGsin=2dsrabrdsF太陽太陽地球地球Mmrdrab)(=abGMmGMmrrMmGA2=rrabdrr3. 3. 彈簧彈性力的功彈簧彈性力的功Fkx=kxdx=Fdx=dAkx=ab()1221kx22x自然長度自然長度彈簧彈簧xFokxdx=baAxx* *保守力的定義：保守力的定義： drF.=0或：若有一個力能滿足條件：或：若有一個力能滿足條件：則稱此力為則稱此力為保守力保守

19、力。 若力若力F 對物體所作的功決定于作功的起點和終點對物體所作的功決定于作功的起點和終點而與作功的路徑無關(guān)，稱此力為保守力。而與作功的路徑無關(guān)，稱此力為保守力。如某力的功與路徑有關(guān)，則稱這種力為如某力的功與路徑有關(guān)，則稱這種力為非保守力非保守力。四、勢能四、勢能保守力的功只與質(zhì)點運動的始末位置有關(guān)與路徑無關(guān)。保守力的功只與質(zhì)點運動的始末位置有關(guān)與路徑無關(guān)。 a by重重)A =mgmgy(A引引)(=abGMmGMmrrA彈彈kx=ab()1221kx22功與能量的改變相關(guān)功與能量的改變相關(guān)保守力的功與勢能增量的關(guān)系：保守力的功與勢能增量的關(guān)系：則：則： 重力勢能：重力勢能：mgyE =P重

20、重引力勢能：引力勢能：=rE-GMmP引引彈性勢能：彈性勢能：=kxE212P彈彈p E=pbpa()=EEA保保保保dr=.FbaPE勢能勢能，用，用表示。表示。勢能零點：勢能零點：pbbapaErdFEbapardFEabparMmGrMmGE1).1).以以b b點為勢能零點點為勢能零點: :引力勢能引力勢能: :2).2).以無窮遠(yuǎn)點為勢能零點以無窮遠(yuǎn)點為勢能零點: :aaparMmGrdFE3).3).當(dāng)保守力做正功時，系統(tǒng)勢能減少；保守力做負(fù)功當(dāng)保守力做正功時，系統(tǒng)勢能減少；保守力做負(fù)功時，系統(tǒng)勢能增加。時，系統(tǒng)勢能增加。保守力與勢能。保守力與勢能。*關(guān)于勢能的討論：關(guān)于勢能的討論

21、：勢能零點勢能零點六、質(zhì)點系的動能定理與功能原理六、質(zhì)點系的動能定理與功能原理AAAmv22112非保內(nèi)非保內(nèi)外外保內(nèi)保內(nèi)=+mvib2ia1 1、質(zhì)點系的動能定理：、質(zhì)點系的動能定理：將其推廣到質(zhì)點系，有將其推廣到質(zhì)點系，有 : :AA外外內(nèi)內(nèi)+A=AAA非保內(nèi)非保內(nèi)外外保內(nèi)保內(nèi)+由質(zhì)點的動能定理：由質(zhì)點的動能定理：mv22112mv2baA =由質(zhì)點系的動能定理：由質(zhì)點系的動能定理：ApapbEE=)(保內(nèi)保內(nèi)且：且：2 2、功能原理：、功能原理：AAAmv22112非保內(nèi)非保內(nèi)外外保內(nèi)保內(nèi)=+mvib2iaAAmv22112非保內(nèi)非保內(nèi)外外=+mvib2iapapbEE)(AAmv221

22、12非保內(nèi)非保內(nèi)外外=+mvib2iapapbEE)(+(+)kakbEEEE=()+pb(+)pa系統(tǒng)的功能原理：系統(tǒng)的功能原理：AkakbEEEE=()+A外外非保內(nèi)非保內(nèi)pb(+)pa機械能機械能，用，用E 表示。表示。E =Ek+Ep則系統(tǒng)的功能原理還可表示為：則系統(tǒng)的功能原理還可表示為：AA非保內(nèi)非保內(nèi)外外=+1EE2AkakbEEEE=()+A外外非保內(nèi)非保內(nèi)pb(+)pa由系統(tǒng)的功能原理：由系統(tǒng)的功能原理：E=+則：則：EEEkbpbkapa+恒量恒量七、機械能守恒定律七、機械能守恒定律若：若： 系統(tǒng)的機械能不變。系統(tǒng)的機械能不變。AA非保內(nèi)非保內(nèi)外外+0=設(shè)設(shè) 地球質(zhì)量地球質(zhì)量

23、 , 拋體質(zhì)量拋體質(zhì)量 , 地球半徑地球半徑 .EmERmvh 解解 取拋體和地球為一系統(tǒng)取拋體和地球為一系統(tǒng) ，系統(tǒng)的機械能系統(tǒng)的機械能 E 守恒守恒 .1） 人造地球衛(wèi)星人造地球衛(wèi)星 第一宇宙速度第一宇宙速度 第一宇宙速度第一宇宙速度 ，是在地面上發(fā)射人造地球衛(wèi)星，是在地面上發(fā)射人造地球衛(wèi)星所需的最小速度所需的最小速度 .1v)(21EE21RmmGmEv)(21EE2hRmmGmv解得解得hRGmRGmEEEE12vvh)(21)(21EE2EE21hRmmGmRmmGmEvv2EEE2)(hRmmGhRmv由牛頓第二定律和萬有引力定律得由牛頓第二定律和萬有引力定律得vh2EERGmg

24、)2(EEE1hRRgRv地球表面附近地球表面附近hR E故故E1gRvm/s109 . 731v計算得計算得第一宇宙速度第一宇宙速度0)(2EEhRGmmE0EhRGmRGmEEEE12v2） 人造行星人造行星 第二宇宙速度第二宇宙速度0 )(21pkEE22EERmmGmEvvh設(shè)設(shè) 地球質(zhì)量地球質(zhì)量 , 拋體質(zhì)量拋體質(zhì)量 , 地球半徑地球半徑 . EmERm 第二宇宙速度第二宇宙速度 ，是，是拋體脫離地球引力所需拋體脫離地球引力所需的最小發(fā)射速度的最小發(fā)射速度 .2vE 取拋體和地球為一系統(tǒng)取拋體和地球為一系統(tǒng) 系統(tǒng)機械能系統(tǒng)機械能 守恒守恒 .0;0, vFr當(dāng)當(dāng)若此時若此時則則EEE

25、222gRRGmv第二宇宙速度第二宇宙速度0E0)(21EE22RmmGmEvvhkm/s2 .112v計算得計算得問題：質(zhì)量分布均勻的球或球殼與質(zhì)點之間的引力和引力勢能結(jié)論：等效，將所有質(zhì)量集中于球心；結(jié)論：球殼內(nèi)的質(zhì)點受力為零；aaparMmGrdFE問題：第三宇宙速度vh拋拋 體體 的的 軌軌 跡跡 與與 能能 量量 的的 關(guān)關(guān) 系系0E0E 橢橢 圓圓(包括圓包括圓)km/s9 . 71v0E0E 拋物線拋物線km/s2 .112v0E0E 雙曲線雙曲線sm.4k16 3v作業(yè) 練習(xí)5Learn from yesterday, live for today, hope for tomo

26、rrow. The important thing is to not stop questioning. Albert Einstein第五章第五章 角動量和角動量定理角動量和角動量定理1 1）角動量）角動量2 2）質(zhì)點的角動量定理）質(zhì)點的角動量定理3 3）角動量守恒定律）角動量守恒定律一、質(zhì)點的角動量：一、質(zhì)點的角動量：r質(zhì)點相對于質(zhì)點相對于o 點的點的角動量角動量，0r=Lmvr=pL 的大小的大小|L|為：為：L=| |rmv| |sim為為r 和和mv 的夾角，的夾角，L 方向為方向為r 和和mv 的右旋。的右旋。Lmv*關(guān)于角動量的討論：關(guān)于角動量的討論：角動量與位矢有關(guān)，談到角動

27、量時必須指明是對哪角動量與位矢有關(guān)，談到角動量時必須指明是對哪一點而言。一點而言。當(dāng)質(zhì)點作圓周運動時，當(dāng)質(zhì)點作圓周運動時，= =2則角動量大小為：則角動量大小為：L = r mv 2= mr在直角坐標(biāo)系中，角動量在各坐標(biāo)軸的分量為：在直角坐標(biāo)系中，角動量在各坐標(biāo)軸的分量為：角動量的單位為角動量的單位為: : kg m2/sLx= ypzzpyLy= zpxxpzLz= xpyypx二、質(zhì)點的角動量定理：二、質(zhì)點的角動量定理：1 1、力矩、力矩r0FM力對某一固定點的力矩力對某一固定點的力矩Frsim=M其中其中為為r 和和F 的夾角的夾角r=MF力矩的矢量關(guān)系為：力矩的矢量關(guān)系為：有心力對力心

28、的力矩為零。有心力對力心的力矩為零。在直角坐標(biāo)系中，力矩在各坐標(biāo)軸的分量為：在直角坐標(biāo)系中，力矩在各坐標(biāo)軸的分量為：Mx= yFzzFyMy= zFxxFzMz= xFyyFx力矩的單位為：力矩的單位為： N m*關(guān)于力矩的討論：關(guān)于力矩的討論：上式也稱為力對軸的力矩。上式也稱為力對軸的力矩。始終指向某一固定點的力叫有心力，該固定點為力心。始終指向某一固定點的力叫有心力，該固定點為力心。2 2、質(zhì)點的角動量定理、質(zhì)點的角動量定理r=Lmv將質(zhì)點對將質(zhì)點對o 點的角動量點的角動量對時間對時間t 求導(dǎo)：求導(dǎo)：( r=mv )dLdtddt r=(mv )drdtddt+mv r=vF +mv2 2

29、、質(zhì)點的角動量定理、質(zhì)點的角動量定理r=Lmv將質(zhì)點對將質(zhì)點對o 點的角動量點的角動量對時間對時間t 求導(dǎo)：求導(dǎo)：( r=mv )dLdtddt r=(mv )drdtddt+mv r=vF +mv02 2、質(zhì)點的角動量定理、質(zhì)點的角動量定理r=Lmv將質(zhì)點對將質(zhì)點對o 點的角動量點的角動量對時間對時間t 求導(dǎo)：求導(dǎo)：( r=mv )dLdtddt r=(mv )drdtddt+mv r=vF +mv r=F =M于是有：于是有：dLdt=M上式為質(zhì)點的角動量定理，上式為質(zhì)點的角動量定理，dLdt=M表示成積分形式：表示成積分形式：* *在應(yīng)用角動量定理時，一定要注意等式兩邊的力矩在應(yīng)用角動量

30、定理時，一定要注意等式兩邊的力矩和角動量必須都是對同一固定點。和角動量必須都是對同一固定點。t2LL21M dtt1=3 3、質(zhì)點角動量守恒定律、質(zhì)點角動量守恒定律由：由：dLdt=M知，若知，若0=M則有：則有： r=mv=L常矢量常矢量* *質(zhì)點在有心力作用下角動量守恒。質(zhì)點在有心力作用下角動量守恒。 例例 用繩系一小球使它在光滑的水平面上做勻速率圓用繩系一小球使它在光滑的水平面上做勻速率圓周運動，其半徑為周運動，其半徑為r0，角速度為，角速度為0 ?，F(xiàn)通過圓心處的?，F(xiàn)通過圓心處的小孔緩慢地往下拉繩使半徑逐漸減小。求當(dāng)半徑縮為小孔緩慢地往下拉繩使半徑逐漸減小。求當(dāng)半徑縮為r時的角速度。時的

31、角速度。解：以小孔解：以小孔o 為原點，為原點，mr0rov繩對小球的拉力為繩對小球的拉力為有心力，其力矩為零。有心力，其力矩為零。則小球?qū)c的角動量守恒。則小球?qū)c的角動量守恒。mvr = mv0r0因：因：v = r有：有：mr2 = mr02 0 =則：則：r2r020作業(yè) 練習(xí)6習(xí)題課第一章第一章 運動的描述運動的描述l1).運動學(xué)的兩類問題:第一類問題：第一類問題：( (求導(dǎo)問題求導(dǎo)問題) )第二類問題：第二類問題：( (積分問題積分問題) )rr =( )t 已知：已知：a =(t )a 已知：已知：v=(t )rr =(t )v求：求：、=a a =vv( )t(t )求：軌跡求

32、：軌跡、l2).自然坐標(biāo)系l計算法向加速度:edtdsevva+tev=dtdRvne2atan+=22222ntyxaaaaal3).圓周運動:l4).相對運動:l教材中典型習(xí)題教材中典型習(xí)題lP23 / 思考題 1-1lP23 / 1-5, 1-9, 1-12, 1-15l作業(yè): P23 / 1-3, 1-6, 1-12第二章第二章 牛頓運動定律牛頓運動定律l1).1).牛頓第二定律及應(yīng)用牛頓第二定律及應(yīng)用, , 三種變力三種變力; ;l典型習(xí)題典型習(xí)題lP 37 / 2-6, 2-8, 2-12,lP 40 / 2-5第三章第三章 動量動量 動量定理動量定理l1).1).質(zhì)點系動量定理質(zhì)

33、點系動量定理l2).2).動量守恒；動量守恒；l典型習(xí)題典型習(xí)題lP52 / 3-1， 3-7，l作業(yè)：作業(yè)：3-14第四章第四章 功和能功和能l1 1）變力做功）變力做功l2 2）勢能）勢能l3 3）機械能守恒）機械能守恒l典型習(xí)題典型習(xí)題lP70/ 4-1,4-2, 4-12, 4-13l作業(yè)作業(yè):P70 / 4-3, 4-7, 第五章第五章 角動量和角動量定理角動量和角動量定理1 1）角動量）角動量2) 2) 質(zhì)點的角動量定理質(zhì)點的角動量定理3 3）角動量守恒定律）角動量守恒定律典型習(xí)題典型習(xí)題P102 / 5-4,5-5Logic will get you from A to B. I

34、magination will take you everywhere. Albert Einstein第六章第六章 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動1 1）如何描述剛體定軸轉(zhuǎn)動；）如何描述剛體定軸轉(zhuǎn)動；2 2）剛體定軸轉(zhuǎn)動定律；）剛體定軸轉(zhuǎn)動定律；剛體剛體: :特殊的質(zhì)點系特殊的質(zhì)點系平動平動: :各點運動完全相同各點運動完全相同一、剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述一、剛體定軸轉(zhuǎn)動的描述3.定軸轉(zhuǎn)動的描述定軸轉(zhuǎn)動的描述: :特點特點: : 各點都做圓周運動各點都做圓周運動相相同時間內(nèi)轉(zhuǎn)過相同的同時間內(nèi)轉(zhuǎn)過相同的 角度角度. .有相同的角速有相同的角速度和角加速度度和角加速度. .4. 描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的物理量

35、描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的物理量1). 角位置角位置參考線參考線)(,trsox 角位置角位置 角位移角位移 角位置角位置角位移角位移4、描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的物理量描述剛體定軸轉(zhuǎn)動的物理量A.t B. t+t 角速度角速度=limt0t=ddt(rad.s-1)=t平均角速度平均角速度瞬時角速度瞬時角速度limtt=0 角加速度角加速度=ddt=ddt22=t平均角加速度平均角加速度瞬時角加速度瞬時角加速度(rad.s-2)R=s 線量和角量的關(guān)系線量和角量的關(guān)系ttttR00= slimlimRsR=R=vRsR=v=vRat=Rttt=limlim0vRt0t=Rdda2=vnR22=RRRa2=n

36、2=vRR2=5. 各量之間的關(guān)系各量之間的關(guān)系200000021,0tttdtdtdtddtdtdtddtddtdtaaaaaaa二二 剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的定軸轉(zhuǎn)動一、質(zhì)點系的角動量定理一、質(zhì)點系的角動量定理1 1、質(zhì)點系對固定點的角動量定理、質(zhì)點系對固定點的角動量定理設(shè)一質(zhì)點系設(shè)一質(zhì)點系n 由個質(zhì)點組成，其中由個質(zhì)點組成，其中i 質(zhì)點受力為：質(zhì)點受力為：現(xiàn)對現(xiàn)對i 質(zhì)點應(yīng)用角動量定理，有：質(zhì)點應(yīng)用角動量定理，有：ddt(ri mivi )ri ( Fi外外+fij )=對對i 求和，且一對內(nèi)力對任一點的力矩的矢量和為零，求和，且一對內(nèi)力對任一點的力矩的矢量和為零，F(xiàn)i外外+fij于是有：于

37、是有：2 2、質(zhì)點系對固定軸的角動量定理、質(zhì)點系對固定軸的角動量定理i 質(zhì)點的線速度：質(zhì)點的線速度：vi=ri對質(zhì)點系有：對質(zhì)點系有：dtd( ri mivi )ri Fi外外= M合外合外=Mi=ddt(miri2)令：令：I = =miri2I 稱為稱為轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量，則：，則：Mi = =(I)=ddtdLdt上式為質(zhì)點系對固定軸的角動量定理。上式為質(zhì)點系對固定軸的角動量定理。3 3、轉(zhuǎn)動慣量的計算、轉(zhuǎn)動慣量的計算單個質(zhì)點的轉(zhuǎn)動慣量：單個質(zhì)點的轉(zhuǎn)動慣量：I = =mr2質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動慣量：質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動慣量：I = =miri2I = = mr2dm質(zhì)量連續(xù)分布的剛體的轉(zhuǎn)動慣量：質(zhì)量連續(xù)分

38、布的剛體的轉(zhuǎn)動慣量：dldm 質(zhì)量為線分布質(zhì)量為線分布dsdm 質(zhì)量為面分布質(zhì)量為面分布dVdm 質(zhì)量為體分布質(zhì)量為體分布 、 、 分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度。分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度。線分布線分布體分布體分布面分布面分布 例例 求質(zhì)量為求質(zhì)量為m、半徑為、半徑為R的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量。的均勻圓環(huán)的轉(zhuǎn)動慣量。解解:若為薄圓筒（不計厚度）結(jié)果相同。若為薄圓筒（不計厚度）結(jié)果相同。軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。軸與圓環(huán)平面垂直并通過圓心。222mRdmRdmR dmrI2Rdm討論：討論：若圓環(huán)質(zhì)量分布不均勻，結(jié)果相同。若圓環(huán)質(zhì)量分布不均勻，結(jié)果相同。 例例 求質(zhì)量為求質(zhì)量為m、半

39、徑為、半徑為R、厚為、厚為l 的均勻圓盤的轉(zhuǎn)動的均勻圓盤的轉(zhuǎn)動解：取半徑為解：取半徑為r 寬為寬為dr 的薄圓環(huán)的薄圓環(huán),dVdm drlr2dmrdI32 ZORlR21drlr2dII4R03 可見，轉(zhuǎn)動慣量與可見，轉(zhuǎn)動慣量與l 無關(guān)。所以，實心圓柱對其軸的轉(zhuǎn)無關(guān)。所以，實心圓柱對其軸的轉(zhuǎn)22mR21IlRm lrdr2 動慣量也是動慣量也是mR2/2。慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。慣量。軸與盤平面垂直并通過盤心。 例例 求長為求長為L、質(zhì)量為、質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒對圖中不同軸的的均勻細(xì)棒對圖中不同軸的ABLXABL/2L/2CX解：取如圖坐標(biāo)，解：取如圖坐標(biāo)，dm=dx dmrI2C d

40、mrI2A3/mLdxx2L02 12/mLdxx22L2L2 轉(zhuǎn)動慣量。轉(zhuǎn)動慣量。平行軸定理平行軸定理2mhIIcomoomr122 I =ooml1122 I =oomr142 I =ooml13 I =2轉(zhuǎn)動慣量單位：轉(zhuǎn)動慣量單位：kg.m2*關(guān)于轉(zhuǎn)動慣量的討論：關(guān)于轉(zhuǎn)動慣量的討論：轉(zhuǎn)動慣量和轉(zhuǎn)軸有關(guān)。轉(zhuǎn)動慣量和轉(zhuǎn)軸有關(guān)。同一個物體對不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量是不同的。同一個物體對不同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量是不同的。 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量和質(zhì)量分布有關(guān)。和質(zhì)量分布有關(guān)。轉(zhuǎn)動慣量具有可加性，一個復(fù)雜形狀剛體的轉(zhuǎn)動慣轉(zhuǎn)動慣量具有可加性，一個復(fù)雜形狀剛體的轉(zhuǎn)動慣量等于剛體各個組成部分對同一軸轉(zhuǎn)動慣量之和。量等于剛

41、體各個組成部分對同一軸轉(zhuǎn)動慣量之和。作業(yè) 練習(xí)7“It is not so very important for a person to learn facts. For that he does not really need a college. He can learn them from books. The value of an education is not learning of many facts but the training of the mind to think something that cannot be learned from textbooks.”

42、Albert Einstein二、剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律二、剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律1 1、力對轉(zhuǎn)軸的力矩、力對轉(zhuǎn)軸的力矩sinrFMz ZfrPdOzM轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)動平面 FrMz 2 2、剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律、剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律IdtdIMn1iiz 上式為剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律。上式為剛體定軸轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)動定律。m 反映質(zhì)點的平動慣性，反映質(zhì)點的平動慣性，I反映剛體的轉(zhuǎn)動慣性反映剛體的轉(zhuǎn)動慣性力矩是使剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)改變而產(chǎn)生角加速度的原因。力矩是使剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)改變而產(chǎn)生角加速度的原因。*關(guān)于轉(zhuǎn)動定律的討論：關(guān)于轉(zhuǎn)動定律的討論：MI 與與地位相當(dāng)?shù)匚幌喈?dāng)maF * *剛體剛體轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動定定律的律的另一種

43、形式另一種形式剛體剛體所受的外力矩等于剛體角動量對時間的變化率。所受的外力矩等于剛體角動量對時間的變化率。dtdIIM dtdLdtIdM )(則：則：dtdLM 竿子長些還是短些較安全？竿子長些還是短些較安全？ 例例 如圖所示，兩物體如圖所示，兩物體1 1和和2 2的質(zhì)量分別為的質(zhì)量分別為m1與與m2，m22T1Tm1滑輪的轉(zhuǎn)動慣量為滑輪的轉(zhuǎn)動慣量為J, ,半徑為半徑為r 。如物體如物體2 2與桌面間的摩擦系數(shù)為與桌面間的摩擦系數(shù)為，求系統(tǒng)的加速，求系統(tǒng)的加速度度a 及繩中的張力及繩中的張力 T1 與與 T2（設(shè)繩子與滑輪間無相（設(shè)繩子與滑輪間無相對滑動）；對滑動）；如物體如物體2 2與桌面

44、間為光滑接觸，求系統(tǒng)的加速度與桌面間為光滑接觸，求系統(tǒng)的加速度a 及繩中的張力及繩中的張力 T1與與 T2 。fm=Ngm2m=1T=m a1gm12T=m a2fa =rNgf2Tm2m22T1Tagm11Tm1解：解：0N=gm2Ir=1T2T r+=r2+m2mgm1m2I()r2+m1m2I1T+=r2+m1mgm2m1I()r2+m1m2I2Tmr2+a =gm2mgm1m1m2I解得：解得：gm1r2+m1m2Ia=+=r2gm1m2I()r2+m1m2I1T=gm2m1r2+m1m2I2Tm= 0轉(zhuǎn)動動能與角動量的關(guān)系轉(zhuǎn)動動能與角動量的關(guān)系2ILE 2k 2mpE 2k 2kmv

45、21E 三、定軸轉(zhuǎn)動的動能定理三、定軸轉(zhuǎn)動的動能定理1 1、轉(zhuǎn)動動能、轉(zhuǎn)動動能22n1i2ii22in1iikI21rm21rm21E )(2kI21E 2 2、力矩的功、力矩的功dMdrFdsFdAiiiiii 式中式中iiirFM 對對i 求和，得：求和，得：MddMdAi )(dMA21 力矩的功率為：力矩的功率為：MdtdMdtdAP O轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)動平面Zdm上式上式 A 為力矩的功。為力矩的功。r ddFndFdF Mz3 3、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理ddIdtdddIIdtdIM 2121 dIdM當(dāng)當(dāng)=1 1 時，時，=1 1 所以：所以：2122I21I2

46、1dM21 例例 一根長為一根長為l、質(zhì)量為、質(zhì)量為m 的均勻細(xì)直棒，其一端有的均勻細(xì)直棒，其一端有力矩為重力對力矩為重力對O的力矩。的力矩。 棒棒dlcosglgdmcosldM 一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺最初棒靜止在水平位置，求它由此下擺 角時的角加角時的角加速度和角速度。速度和角速度。解：棒下擺為加速過程，外解：棒下擺為加速過程，外上取質(zhì)元上取質(zhì)元dm,當(dāng)棒處在下擺當(dāng)棒處在下擺 角時角時，該質(zhì)量元的重力對該質(zhì)量元的重力對軸的元力矩為：軸的元力矩為： Ogdmdmldl 重力對整個棒的合力矩

47、為：重力對整個棒的合力矩為： Ogdmdmldl dMM L0dlcosglcosmgL21cosgL22 代入轉(zhuǎn)動定律，可得：代入轉(zhuǎn)動定律，可得：2Lcosg3mL31cosmgL21IM2 ddI dtd ddIdtdIIM dIdcosmgL21 00dIdcosmgL212I21sinmgL21 Lsing3IsinmgL dIMd 2mL31I cosmgl21M代入代入四、對定軸的角動量守恒定律四、對定軸的角動量守恒定律012LLttIILLdLMdt 021 0M 12LL II * *角動量守恒定律的兩種情況：角動量守恒定律的兩種情況：轉(zhuǎn)動慣量保持不變的剛體轉(zhuǎn)動慣量保持不變的剛

48、體轉(zhuǎn)動慣量可變的物體轉(zhuǎn)動慣量可變的物體例：旋轉(zhuǎn)的舞蹈演員例：旋轉(zhuǎn)的舞蹈演員例：回轉(zhuǎn)儀例：回轉(zhuǎn)儀0 ，則：，則：0II 0M 當(dāng)當(dāng)時，時，當(dāng)當(dāng)I 增大時，增大時， 就減小；當(dāng)就減??；當(dāng)I 減小時，減小時， 就增大，就增大，I從而從而 保持不變。保持不變。作業(yè) 練習(xí)8，9An example isnt another way to teach, it is the only way to teach. Albert Einstein 例例1 一長為一長為 l , 質(zhì)量為質(zhì)量為 的竿可繞支點的竿可繞支點O自由自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動 . 一質(zhì)量為一質(zhì)量為 、速率為、速率為 的子彈射入竿內(nèi)距支的子彈射入竿內(nèi)距支點

49、為點為 處，使竿的偏轉(zhuǎn)角為處，使竿的偏轉(zhuǎn)角為30 . 問子彈的初速率為問子彈的初速率為多少多少 ?vamm 解解 把子彈和竿看作一個系統(tǒng)把子彈和竿看作一個系統(tǒng) .子彈射入竿的過程系統(tǒng)角動量守恒子彈射入竿的過程系統(tǒng)角動量守恒)31(22malmamvoamv302233malmamvoamv30mamalmmalmg6)3)(2)(32(22v222)31(21malm)30cos1 (2lgm)30cos1 (mga 射入竿后，以子彈、細(xì)桿和射入竿后，以子彈、細(xì)桿和地球為系統(tǒng)地球為系統(tǒng) ，機械能守恒，機械能守恒 .2233malmamv 例例2 質(zhì)量很小長度為質(zhì)量很小長度為l 的均勻細(xì)桿的均勻

50、細(xì)桿,可繞過其中心可繞過其中心 O并與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動并與紙面垂直的軸在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動.當(dāng)細(xì)桿靜止于水平當(dāng)細(xì)桿靜止于水平位置時位置時, 有一只小蟲以速率有一只小蟲以速率 垂直落在距點垂直落在距點O為 l/4 處處, 并并背離點背離點O 向細(xì)桿的端點向細(xì)桿的端點A 爬行爬行.設(shè)小蟲與細(xì)桿的質(zhì)量均為設(shè)小蟲與細(xì)桿的質(zhì)量均為m.問問:欲使細(xì)桿以恒定的角速度轉(zhuǎn)動欲使細(xì)桿以恒定的角速度轉(zhuǎn)動, 小蟲應(yīng)以多大速率小蟲應(yīng)以多大速率向細(xì)桿端點爬行向細(xì)桿端點爬行?0v220)4(1214lmmllmvl0712 v 解解 小蟲與細(xì)桿的碰撞視為完全非彈性碰撞，碰撞小蟲與細(xì)桿的碰撞視為完全非彈性碰撞，碰撞前

51、后系統(tǒng)角動量守恒前后系統(tǒng)角動量守恒l0712 v由角動量定理由角動量定理tJtJtLMddd)(dddtrmrmrmltmgrdd2)121(ddcos22即即考慮到考慮到t)712cos(247cos2dd00tltgtrvvlg 例例3 一雜技演員一雜技演員 M 由距水平蹺板高為由距水平蹺板高為 h 處自由下處自由下落到蹺板的一端落到蹺板的一端A,并把蹺板另一端的演員并把蹺板另一端的演員N 彈了起來彈了起來.設(shè)設(shè)蹺板是勻質(zhì)的蹺板是勻質(zhì)的,長度為長度為l,質(zhì)量為質(zhì)量為 ,蹺板可繞中部支撐點蹺板可繞中部支撐點C 在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動,演員的質(zhì)量均為演員的質(zhì)量均為m.假定演員假定演員

52、M落在蹺落在蹺板上板上,與蹺板的碰撞是完全非彈性碰撞與蹺板的碰撞是完全非彈性碰撞.問演員問演員N可彈起多可彈起多高高?ll/2CABMNh 解解 碰撞前碰撞前 M 落在落在 A點的速度點的速度21M)2( ghv 碰撞后的瞬間碰撞后的瞬間, M、N具有相同的線速度具有相同的線速度2lu m 把把M、N和蹺板作為和蹺板作為一個系統(tǒng)一個系統(tǒng), 角動量守恒角動量守恒21M)(2gh v2lu 22M21121222mllmlmuJlmvlmmghmmllmlm)6()2(621222122Mv解得解得演員演員 N 以以 u 起起跳跳, 達(dá)到的高度達(dá)到的高度hmmmglguh2222)63(82ll/2CABMNh 例例 一半徑為一半徑為 R 的光滑圓環(huán)置于豎直平面內(nèi)的光滑圓環(huán)置于豎直平面內(nèi).一質(zhì)量一質(zhì)量為為 m 的小球穿在圓環(huán)上的小球穿在圓環(huán)上, 并可在圓環(huán)上滑動并可在圓環(huán)上滑動. 小球開始時小球開始時靜止于圓環(huán)上的點靜止于圓環(huán)上的點 A (該點在通過環(huán)心該點在通過環(huán)心 O 的水平面上的水平面上),然然后從后從 A 點開始下滑點開始下滑.設(shè)小球與圓環(huán)間的摩擦略去不計設(shè)小球與圓環(huán)間的摩擦略去不計.求小求小球滑到點球滑到點 B 時對環(huán)心時對環(huán)心 O 的角動量和角速度的角動量和角速度. 解解 小球受重力和支持小球