核衰變的統(tǒng)計規(guī)律

1、實驗二 核衰變的統(tǒng)計規(guī)律一 實驗目的1 了解并驗證原子核衰變及放射性計數(shù)的統(tǒng)計性。2 了解統(tǒng)計誤差的意義，掌握計算統(tǒng)計誤差的方法。3 學習檢驗測量數(shù)據(jù)的分布類型的方法。二實驗內(nèi)容1. 測量NaI(Tl)閃爍晶體探測器的計數(shù)率隨工作變化的坪曲線，選定合適的工作電壓。2 在相同條件下，對某放射源進行重復測量，畫出放射性計數(shù)的頻率直方圖并與理論分布曲線作比較。3 在相同條件下對本底進行重復測量，畫出本底計數(shù)的頻率分布圖，并與理論分布曲線作比較。4 用檢驗法檢驗放射性計數(shù)的統(tǒng)計分布類型。三原理1放射性測量的隨機性和統(tǒng)計性在做重復的放射性測量中，即使保持完全相同的實驗條件（例如放射性的半衰期足夠長，因此

2、在實驗時間內(nèi)可以認為其強度基本上沒有變化；源與計數(shù)器的相對位置始終保持不變；每次測量時間不變；測量儀器足夠精確，不會產(chǎn)生其它的附加誤差等等），每次的測量結(jié)果并不完全相同，而是圍繞其平均值上下漲落，有時甚至有很大的差別，也就是說物理實驗的測量結(jié)果具有偶然性，或者說隨機性。物理測量的隨機性產(chǎn)生原因不僅在于測量時的偶然誤差，而且更是物理現(xiàn)象(當然包括放射性核衰變)本身的隨機性質(zhì)，即物理量的實際數(shù)值時刻圍繞著平均值發(fā)生微小起伏。在微觀現(xiàn)象領域，特別是在高能物理實驗中，物理現(xiàn)象本身的統(tǒng)計性更為突出。按照量子力學的原理，對處于同一個態(tài)的微觀粒子，測量同一個可觀測的物理量時，即使不存在任何測量誤差，各次測量

3、結(jié)果也會不同，除非粒子處于這個可觀測量的本征態(tài)；比如同一種粒子的壽命，其實測值分布在從相當短到相當長的范圍內(nèi)。另一方面，所謂偶然的東西，是一種有必然性隱藏在里面的形式；我們正是要通過研究其統(tǒng)計分布規(guī)律從而找出在隨機數(shù)據(jù)中包含的規(guī)律性。2核衰變數(shù)的統(tǒng)計分布放射性原子核衰變數(shù)的統(tǒng)計分布可以根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計分布的理論來推導。放射性原子核衰變的過程是一個相互獨立彼此無關的過程，即每一個原子核的衰變是完全獨立的，與其他原子核是否衰變無關；因此放射性原子核衰變的測量計數(shù)可以看成是一種伯努里試驗問題。在N0個原子核的體系中，單位時間內(nèi)對于每個原子核來說只有兩種可能：A類是原子核發(fā)生衰變，B類是沒有發(fā)生核衰變。若

4、放射性原子核的衰變常數(shù)為，設A類的概率為，其中為原子核發(fā)生衰變的概率；B類的概率為。由二項式分布可以知道，在t時間內(nèi)的核衰變數(shù)n為一隨機變量，其概率為 （21）在t時間內(nèi)，衰變粒子數(shù)為：，對應方根差為。假如，即時間t遠比半衰期小，這時q接近于1，則可簡化為。在放射性衰變中，原子核數(shù)目N0很大而p相對而言很小，且如果滿足，則二項式分布可以簡化為泊松分布；因為此時，對于在m附近的N值可得到：代入(1)式并注意到，就得到 （22）即為泊松分布?？梢宰C明，服從泊松分布的隨機變量的期望值和方差分別為：，。在核衰變測量中常數(shù)的意義是明確的：單位時間內(nèi)，N0個原子核發(fā)生衰變概率p為m/N0，因此m是單位時間

5、內(nèi)衰變的粒子數(shù)?，F(xiàn)在討論泊松分布中N0很大從而使m具有較大數(shù)值的極限情況。在n較大時，n！可以寫成代入式（22），并記，則有： （23）經(jīng)過一系列數(shù)學處理，可以得到。所以有： （24）式中。即當N很大時，原子核衰變數(shù)趨向于正態(tài)分布；可以證明和m就是高斯(正態(tài))分布的方差和期望值。需要指出的是，正態(tài)分布是一種非常重要的概率分布，在近代物理實驗中，凡是屬于連續(xù)型的隨機變量幾乎都屬于正態(tài)分布。在自然界中，凡由大量的、相互獨立的因素共同微弱作用下所得到的隨機變量也都服從正態(tài)分布。即使有些物理量不服從正態(tài)分布，但它(或它的測量平均值)也往往以正態(tài)分布為它的極限分布，泊松分布就是一個很好的例子。上面討論原

6、子核衰變的統(tǒng)計現(xiàn)象，下面我們分析在放射性測量中計數(shù)值的統(tǒng)計分布?？梢宰C明，原子核衰變的統(tǒng)計過程服從的泊松分布和正態(tài)分布也適用于計數(shù)的統(tǒng)計分布，只需將分布公式中的放射性核衰變數(shù)n換成計數(shù)N，將衰變掉粒子的平均數(shù)m換成計數(shù)的平均值M就可以了。 （25） （26）對于有限次的重復測量，例如測量次數(shù)為A，則標準偏差Sx為： （27）其中，為測量計數(shù)的平均值。可以證明為正態(tài)分布期望值的無偏估計，為正態(tài)分布方差的漸進無偏估計（即當，）。當A足夠大時，即。當M值較大時，也可用某一次計數(shù)值N來近似，即，。由于核衰變的統(tǒng)計性，我們在相同條件下作重復測量時每次測量結(jié)果并不完全相同，圍繞著平均計數(shù)值M有一個漲落，其

7、大小可以用均方根差來表示。眾所周知，正態(tài)分布決定于平均值M及方差這兩個參數(shù)，它對稱于。對于，則稱為標準正態(tài)分布： （28）正態(tài)分布數(shù)值表都是對應于標準正態(tài)分布的。如果對某一放射源進行多次重復測量，得到一組數(shù)據(jù)，其平均值為，那么計數(shù)值N落在（即）范圍內(nèi)的概率為： （29）用變量來代換化成標準正態(tài)分布并查表，上式即為： （210）這就是說，在某實驗條件下對某次測量若計數(shù)值為N1，則可以認為N1落在（即）范圍內(nèi)的概率為68.3%，或者說在范圍內(nèi)包含真值的概率是68.3%。在實際運算中由于出現(xiàn)概率較大的計數(shù)值與平均值的偏差不大，我們可以用來代；因此對于單次測量值N1，可以近似地說在范圍內(nèi)包含真值的概率

8、是68.3%，這樣一來用單次測量值就大體上確定了真值的范圍。這種由于放射性衰變的統(tǒng)計性引起的誤差稱之為統(tǒng)計誤差。由于放射性統(tǒng)計漲落服從正態(tài)分布，所以用均方根偏差（也稱標準誤差）來表示。當采用標準誤差表示放射性的單次測量值N1時，則可以表示為：。用數(shù)理統(tǒng)計的術語來說，將68.3%稱為“置信概率”（或“置信度”），相應的“置信區(qū)間”為；同理可證當“置信區(qū)間”為、時的置信概率為95.5%、99.7%。3檢驗法放射性核衰變的測量計數(shù)是否符合正態(tài)分布或泊松分布或者其他的分布，是一個很重要的問題，牽涉到對隨機變量的概率密度函數(shù)的假設檢驗問題。簡單地判斷實驗裝置是否存在除統(tǒng)計誤差外的偶然誤差因素，可以計算平

9、均值與子樣方差，比較兩者的偏離程度即可。而放射性衰變是否符合于正態(tài)分布或泊松分布，可由一組數(shù)據(jù)的頻率直方圖與理論正態(tài)分布或泊松分布比較得到一個感性認識。而檢驗法是從數(shù)理統(tǒng)計意義上給出了比較精確的判別準則。它的基本思想是比較理論分布與實測數(shù)據(jù)分布之間的差異，然后根據(jù)概率意義上的反證法即小概率事件在一次實驗中不會發(fā)生的基本原理來判斷這種差別是否顯著，從而接受或拒絕理論分布。設對某一放射源進行重復測量得到了A個數(shù)值，對它們進行分組，序號用i表示，i=1，2，3Lm，令：，其中m代表分組數(shù)，fi表示各組實際觀測到的次數(shù)，fi為根據(jù)理論分布計算得到的各組理論次數(shù)。理論次數(shù)可以從正態(tài)分布概率積分表上查出各

10、區(qū)間的正態(tài)面積再乘以總次數(shù)得到。 可以證明統(tǒng)計量服從分布，其自由度為，l是在計算理論次數(shù)時所用的參數(shù)個數(shù)：對于具有正態(tài)分布的自由度為m3，泊松分布為m2。與此同時，分布的期望值即為其自由度：。得到根據(jù)實測數(shù)據(jù)算出的統(tǒng)計量后，比較的方法為先設定一個小概率，既顯著水平，由分布表找拒絕域的臨界值，若計算量落入拒絕域即1()，則拒絕理論分布；反之則接受。4閃爍探測器的坪曲線在進行研究核衰變的統(tǒng)計規(guī)律實驗時，絕對不能使工作條件（包括幾何條件和探測器狀態(tài)）有絲毫改變。但在實際情況下工作電壓的少量漂移在所難免，因此需要測定NaI(Tl)閃爍探測器的坪曲線，以確定合適的工作電壓，即選擇計數(shù)率隨電壓漂移變化較小

11、的工作點。暗電流、電子學噪聲、宇宙射線、及環(huán)境輻射產(chǎn)生的。工作電壓應選擇源計數(shù)率隨電壓變化較?。ㄇ€較平部分）以及源計數(shù)率高而本底計數(shù)率相對較低的電壓，如在右圖中，就可以選取840v。四實驗裝置實驗器材包括：NaI(Tl)閃爍探測器；放射源（137Cs或60Co)；高壓電源、放大器和多道脈沖幅度分析器。五實驗步驟1. 連接各儀器設備，對實驗現(xiàn)象進行粗測，判斷工作是否正常。2. 測量NaI(Tl)閃爍探測器的坪曲線：采取定時計數(shù)的方法（建議t=200秒，以減小統(tǒng)計漲落）；可以從V=600V開始，改變工作電壓；一般工作電壓不宜超過1000V，以免光電倍增管發(fā)生連續(xù)放電現(xiàn)象而減短使用壽命。注意：根據(jù)

12、所得全能譜形的實際情況可以適當截去前面計數(shù)或峰形比較雜亂的幾道；在實驗中不得改變放射源和探測器的相對位置以及放大器的放大倍數(shù)，放大倍數(shù)的選取要注意當電壓達到1000V左右（即接近電壓所取最大值）時譜形不得越出多道脈沖分析器的量程。3. 根據(jù)坪曲線的實驗結(jié)果選取適當?shù)墓ぷ麟妷?，并確定放大倍數(shù)使譜形在多道脈沖分析器上分布合理。4. 工作狀態(tài)穩(wěn)定后，重復進行至少100次以上獨立測量放射源總計數(shù)率的實驗（建議進行150200次，每次定時15或20秒），并算出這組數(shù)據(jù)的平均值。六實驗結(jié)果分析與數(shù)據(jù)處理1 對所測數(shù)據(jù)分別計算平均值與子樣方差，并求出標準誤差，對實驗裝置是否存在統(tǒng)計誤差以外的偶然誤差因素作出

13、判斷。2. 對測放射源所得數(shù)據(jù)作如下處理：作頻率直方圖這是一種簡單直觀的檢驗方法。把一組測量數(shù)據(jù)按一定的區(qū)間分組，統(tǒng)計測量結(jié)果出現(xiàn)在各區(qū)間內(nèi)的次數(shù)或頻率（/總次數(shù)A），以次數(shù)或頻率/A為縱坐標，以測量值為橫坐標，這樣作出的圖形在統(tǒng)計上稱為頻率直方圖。將此圖與理論的正態(tài)分布比較，就能粗略看放射性衰變的計數(shù)分布是否是正態(tài)分布。本實驗中，測得A個數(shù)據(jù)后，計算算術平均值和均方根差的估計值Sx：（A為總測量次數(shù)），將平均值置于中央，以為組距把數(shù)據(jù)分組，算出相應的實驗組頻率，以為橫坐標，組頻率為縱坐標，作直方圖。畫出相應的理論分布曲線 若計數(shù)值服從正態(tài)分布，則可算出以為組距的各個相應的理論組的頻率，并畫于圖中。 （211）令，則；因，故 （212）計算測量數(shù)據(jù)落在、范圍內(nèi)的頻數(shù)，并與理論