核衰變的統(tǒng)計(jì)規(guī)律

1、實(shí)驗(yàn)二 核衰變的統(tǒng)計(jì)規(guī)律一 實(shí)驗(yàn)?zāi)康? 了解并驗(yàn)證原子核衰變及放射性計(jì)數(shù)的統(tǒng)計(jì)性。2 了解統(tǒng)計(jì)誤差的意義，掌握計(jì)算統(tǒng)計(jì)誤差的方法。3 學(xué)習(xí)檢驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)的分布類型的方法。二實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1. 測(cè)量NaI(Tl)閃爍晶體探測(cè)器的計(jì)數(shù)率隨工作變化的坪曲線，選定合適的工作電壓。2 在相同條件下，對(duì)某放射源進(jìn)行重復(fù)測(cè)量，畫出放射性計(jì)數(shù)的頻率直方圖并與理論分布曲線作比較。3 在相同條件下對(duì)本底進(jìn)行重復(fù)測(cè)量，畫出本底計(jì)數(shù)的頻率分布圖，并與理論分布曲線作比較。4 用檢驗(yàn)法檢驗(yàn)放射性計(jì)數(shù)的統(tǒng)計(jì)分布類型。三原理1放射性測(cè)量的隨機(jī)性和統(tǒng)計(jì)性在做重復(fù)的放射性測(cè)量中，即使保持完全相同的實(shí)驗(yàn)條件（例如放射性的半衰期足夠長，因此

2、在實(shí)驗(yàn)時(shí)間內(nèi)可以認(rèn)為其強(qiáng)度基本上沒有變化；源與計(jì)數(shù)器的相對(duì)位置始終保持不變；每次測(cè)量時(shí)間不變；測(cè)量儀器足夠精確，不會(huì)產(chǎn)生其它的附加誤差等等），每次的測(cè)量結(jié)果并不完全相同，而是圍繞其平均值上下漲落，有時(shí)甚至有很大的差別，也就是說物理實(shí)驗(yàn)的測(cè)量結(jié)果具有偶然性，或者說隨機(jī)性。物理測(cè)量的隨機(jī)性產(chǎn)生原因不僅在于測(cè)量時(shí)的偶然誤差，而且更是物理現(xiàn)象(當(dāng)然包括放射性核衰變)本身的隨機(jī)性質(zhì)，即物理量的實(shí)際數(shù)值時(shí)刻圍繞著平均值發(fā)生微小起伏。在微觀現(xiàn)象領(lǐng)域，特別是在高能物理實(shí)驗(yàn)中，物理現(xiàn)象本身的統(tǒng)計(jì)性更為突出。按照量子力學(xué)的原理，對(duì)處于同一個(gè)態(tài)的微觀粒子，測(cè)量同一個(gè)可觀測(cè)的物理量時(shí)，即使不存在任何測(cè)量誤差，各次測(cè)量

3、結(jié)果也會(huì)不同，除非粒子處于這個(gè)可觀測(cè)量的本征態(tài)；比如同一種粒子的壽命，其實(shí)測(cè)值分布在從相當(dāng)短到相當(dāng)長的范圍內(nèi)。另一方面，所謂偶然的東西，是一種有必然性隱藏在里面的形式；我們正是要通過研究其統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律從而找出在隨機(jī)數(shù)據(jù)中包含的規(guī)律性。2核衰變數(shù)的統(tǒng)計(jì)分布放射性原子核衰變數(shù)的統(tǒng)計(jì)分布可以根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)分布的理論來推導(dǎo)。放射性原子核衰變的過程是一個(gè)相互獨(dú)立彼此無關(guān)的過程，即每一個(gè)原子核的衰變是完全獨(dú)立的，與其他原子核是否衰變無關(guān)；因此放射性原子核衰變的測(cè)量計(jì)數(shù)可以看成是一種伯努里試驗(yàn)問題。在N0個(gè)原子核的體系中，單位時(shí)間內(nèi)對(duì)于每個(gè)原子核來說只有兩種可能：A類是原子核發(fā)生衰變，B類是沒有發(fā)生核衰變。若

4、放射性原子核的衰變常數(shù)為，設(shè)A類的概率為，其中為原子核發(fā)生衰變的概率；B類的概率為。由二項(xiàng)式分布可以知道，在t時(shí)間內(nèi)的核衰變數(shù)n為一隨機(jī)變量，其概率為 （21）在t時(shí)間內(nèi)，衰變粒子數(shù)為：，對(duì)應(yīng)方根差為。假如，即時(shí)間t遠(yuǎn)比半衰期小，這時(shí)q接近于1，則可簡化為。在放射性衰變中，原子核數(shù)目N0很大而p相對(duì)而言很小，且如果滿足，則二項(xiàng)式分布可以簡化為泊松分布；因?yàn)榇藭r(shí)，對(duì)于在m附近的N值可得到：代入(1)式并注意到，就得到 （22）即為泊松分布?？梢宰C明，服從泊松分布的隨機(jī)變量的期望值和方差分別為：，。在核衰變測(cè)量中常數(shù)的意義是明確的：單位時(shí)間內(nèi)，N0個(gè)原子核發(fā)生衰變概率p為m/N0，因此m是單位時(shí)間

5、內(nèi)衰變的粒子數(shù)?，F(xiàn)在討論泊松分布中N0很大從而使m具有較大數(shù)值的極限情況。在n較大時(shí)，n！可以寫成代入式（22），并記，則有： （23）經(jīng)過一系列數(shù)學(xué)處理，可以得到。所以有： （24）式中。即當(dāng)N很大時(shí)，原子核衰變數(shù)趨向于正態(tài)分布；可以證明和m就是高斯(正態(tài))分布的方差和期望值。需要指出的是，正態(tài)分布是一種非常重要的概率分布，在近代物理實(shí)驗(yàn)中，凡是屬于連續(xù)型的隨機(jī)變量幾乎都屬于正態(tài)分布。在自然界中，凡由大量的、相互獨(dú)立的因素共同微弱作用下所得到的隨機(jī)變量也都服從正態(tài)分布。即使有些物理量不服從正態(tài)分布，但它(或它的測(cè)量平均值)也往往以正態(tài)分布為它的極限分布，泊松分布就是一個(gè)很好的例子。上面討論原

6、子核衰變的統(tǒng)計(jì)現(xiàn)象，下面我們分析在放射性測(cè)量中計(jì)數(shù)值的統(tǒng)計(jì)分布?？梢宰C明，原子核衰變的統(tǒng)計(jì)過程服從的泊松分布和正態(tài)分布也適用于計(jì)數(shù)的統(tǒng)計(jì)分布，只需將分布公式中的放射性核衰變數(shù)n換成計(jì)數(shù)N，將衰變掉粒子的平均數(shù)m換成計(jì)數(shù)的平均值M就可以了。 （25） （26）對(duì)于有限次的重復(fù)測(cè)量，例如測(cè)量次數(shù)為A，則標(biāo)準(zhǔn)偏差Sx為： （27）其中，為測(cè)量計(jì)數(shù)的平均值?？梢宰C明為正態(tài)分布期望值的無偏估計(jì)，為正態(tài)分布方差的漸進(jìn)無偏估計(jì)（即當(dāng)，）。當(dāng)A足夠大時(shí)，即。當(dāng)M值較大時(shí)，也可用某一次計(jì)數(shù)值N來近似，即，。由于核衰變的統(tǒng)計(jì)性，我們?cè)谙嗤瑮l件下作重復(fù)測(cè)量時(shí)每次測(cè)量結(jié)果并不完全相同，圍繞著平均計(jì)數(shù)值M有一個(gè)漲落，其

7、大小可以用均方根差來表示。眾所周知，正態(tài)分布決定于平均值M及方差這兩個(gè)參數(shù)，它對(duì)稱于。對(duì)于，則稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布： （28）正態(tài)分布數(shù)值表都是對(duì)應(yīng)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的。如果對(duì)某一放射源進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量，得到一組數(shù)據(jù)，其平均值為，那么計(jì)數(shù)值N落在（即）范圍內(nèi)的概率為： （29）用變量來代換化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布并查表，上式即為： （210）這就是說，在某實(shí)驗(yàn)條件下對(duì)某次測(cè)量若計(jì)數(shù)值為N1，則可以認(rèn)為N1落在（即）范圍內(nèi)的概率為68.3%，或者說在范圍內(nèi)包含真值的概率是68.3%。在實(shí)際運(yùn)算中由于出現(xiàn)概率較大的計(jì)數(shù)值與平均值的偏差不大，我們可以用來代；因此對(duì)于單次測(cè)量值N1，可以近似地說在范圍內(nèi)包含真值的概率

8、是68.3%，這樣一來用單次測(cè)量值就大體上確定了真值的范圍。這種由于放射性衰變的統(tǒng)計(jì)性引起的誤差稱之為統(tǒng)計(jì)誤差。由于放射性統(tǒng)計(jì)漲落服從正態(tài)分布，所以用均方根偏差（也稱標(biāo)準(zhǔn)誤差）來表示。當(dāng)采用標(biāo)準(zhǔn)誤差表示放射性的單次測(cè)量值N1時(shí)，則可以表示為：。用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的術(shù)語來說，將68.3%稱為“置信概率”（或“置信度”），相應(yīng)的“置信區(qū)間”為；同理可證當(dāng)“置信區(qū)間”為、時(shí)的置信概率為95.5%、99.7%。3檢驗(yàn)法放射性核衰變的測(cè)量計(jì)數(shù)是否符合正態(tài)分布或泊松分布或者其他的分布，是一個(gè)很重要的問題，牽涉到對(duì)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)問題。簡單地判斷實(shí)驗(yàn)裝置是否存在除統(tǒng)計(jì)誤差外的偶然誤差因素，可以計(jì)算平

9、均值與子樣方差，比較兩者的偏離程度即可。而放射性衰變是否符合于正態(tài)分布或泊松分布，可由一組數(shù)據(jù)的頻率直方圖與理論正態(tài)分布或泊松分布比較得到一個(gè)感性認(rèn)識(shí)。而檢驗(yàn)法是從數(shù)理統(tǒng)計(jì)意義上給出了比較精確的判別準(zhǔn)則。它的基本思想是比較理論分布與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分布之間的差異，然后根據(jù)概率意義上的反證法即小概率事件在一次實(shí)驗(yàn)中不會(huì)發(fā)生的基本原理來判斷這種差別是否顯著，從而接受或拒絕理論分布。設(shè)對(duì)某一放射源進(jìn)行重復(fù)測(cè)量得到了A個(gè)數(shù)值，對(duì)它們進(jìn)行分組，序號(hào)用i表示，i=1，2，3Lm，令：，其中m代表分組數(shù)，fi表示各組實(shí)際觀測(cè)到的次數(shù)，fi為根據(jù)理論分布計(jì)算得到的各組理論次數(shù)。理論次數(shù)可以從正態(tài)分布概率積分表上查出各

10、區(qū)間的正態(tài)面積再乘以總次數(shù)得到。 可以證明統(tǒng)計(jì)量服從分布，其自由度為，l是在計(jì)算理論次數(shù)時(shí)所用的參數(shù)個(gè)數(shù)：對(duì)于具有正態(tài)分布的自由度為m3，泊松分布為m2。與此同時(shí)，分布的期望值即為其自由度：。得到根據(jù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)算出的統(tǒng)計(jì)量后，比較的方法為先設(shè)定一個(gè)小概率，既顯著水平，由分布表找拒絕域的臨界值，若計(jì)算量落入拒絕域即1()，則拒絕理論分布；反之則接受。4閃爍探測(cè)器的坪曲線在進(jìn)行研究核衰變的統(tǒng)計(jì)規(guī)律實(shí)驗(yàn)時(shí)，絕對(duì)不能使工作條件（包括幾何條件和探測(cè)器狀態(tài)）有絲毫改變。但在實(shí)際情況下工作電壓的少量漂移在所難免，因此需要測(cè)定NaI(Tl)閃爍探測(cè)器的坪曲線，以確定合適的工作電壓，即選擇計(jì)數(shù)率隨電壓漂移變化較小

11、的工作點(diǎn)。暗電流、電子學(xué)噪聲、宇宙射線、及環(huán)境輻射產(chǎn)生的。工作電壓應(yīng)選擇源計(jì)數(shù)率隨電壓變化較小（曲線較平部分）以及源計(jì)數(shù)率高而本底計(jì)數(shù)率相對(duì)較低的電壓，如在右圖中，就可以選取840v。四實(shí)驗(yàn)裝置實(shí)驗(yàn)器材包括：NaI(Tl)閃爍探測(cè)器；放射源（137Cs或60Co)；高壓電源、放大器和多道脈沖幅度分析器。五實(shí)驗(yàn)步驟1. 連接各儀器設(shè)備，對(duì)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象進(jìn)行粗測(cè)，判斷工作是否正常。2. 測(cè)量NaI(Tl)閃爍探測(cè)器的坪曲線：采取定時(shí)計(jì)數(shù)的方法（建議t=200秒，以減小統(tǒng)計(jì)漲落）；可以從V=600V開始，改變工作電壓；一般工作電壓不宜超過1000V，以免光電倍增管發(fā)生連續(xù)放電現(xiàn)象而減短使用壽命。注意：根據(jù)

12、所得全能譜形的實(shí)際情況可以適當(dāng)截去前面計(jì)數(shù)或峰形比較雜亂的幾道；在實(shí)驗(yàn)中不得改變放射源和探測(cè)器的相對(duì)位置以及放大器的放大倍數(shù)，放大倍數(shù)的選取要注意當(dāng)電壓達(dá)到1000V左右（即接近電壓所取最大值）時(shí)譜形不得越出多道脈沖分析器的量程。3. 根據(jù)坪曲線的實(shí)驗(yàn)結(jié)果選取適當(dāng)?shù)墓ぷ麟妷?，并確定放大倍數(shù)使譜形在多道脈沖分析器上分布合理。4. 工作狀態(tài)穩(wěn)定后，重復(fù)進(jìn)行至少100次以上獨(dú)立測(cè)量放射源總計(jì)數(shù)率的實(shí)驗(yàn)（建議進(jìn)行150200次，每次定時(shí)15或20秒），并算出這組數(shù)據(jù)的平均值。六實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析與數(shù)據(jù)處理1 對(duì)所測(cè)數(shù)據(jù)分別計(jì)算平均值與子樣方差，并求出標(biāo)準(zhǔn)誤差，對(duì)實(shí)驗(yàn)裝置是否存在統(tǒng)計(jì)誤差以外的偶然誤差因素作出

13、判斷。2. 對(duì)測(cè)放射源所得數(shù)據(jù)作如下處理：作頻率直方圖這是一種簡單直觀的檢驗(yàn)方法。把一組測(cè)量數(shù)據(jù)按一定的區(qū)間分組，統(tǒng)計(jì)測(cè)量結(jié)果出現(xiàn)在各區(qū)間內(nèi)的次數(shù)或頻率（/總次數(shù)A），以次數(shù)或頻率/A為縱坐標(biāo)，以測(cè)量值為橫坐標(biāo)，這樣作出的圖形在統(tǒng)計(jì)上稱為頻率直方圖。將此圖與理論的正態(tài)分布比較，就能粗略看放射性衰變的計(jì)數(shù)分布是否是正態(tài)分布。本實(shí)驗(yàn)中，測(cè)得A個(gè)數(shù)據(jù)后，計(jì)算算術(shù)平均值和均方根差的估計(jì)值Sx：（A為總測(cè)量次數(shù)），將平均值置于中央，以為組距把數(shù)據(jù)分組，算出相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)組頻率，以為橫坐標(biāo)，組頻率為縱坐標(biāo)，作直方圖。畫出相應(yīng)的理論分布曲線 若計(jì)數(shù)值服從正態(tài)分布，則可算出以為組距的各個(gè)相應(yīng)的理論組的頻率，并畫于圖中。 （211）令，則；因，故 （212）計(jì)算測(cè)量數(shù)據(jù)落在、范圍內(nèi)的頻數(shù)，并與理論