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文檔簡介
1、實(shí)驗(yàn)二 核衰變的統(tǒng)計(jì)規(guī)律一 實(shí)驗(yàn)?zāi)康? 了解并驗(yàn)證原子核衰變及放射性計(jì)數(shù)的統(tǒng)計(jì)性。2 了解統(tǒng)計(jì)誤差的意義,掌握計(jì)算統(tǒng)計(jì)誤差的方法。3 學(xué)習(xí)檢驗(yàn)測(cè)量數(shù)據(jù)的分布類型的方法。二實(shí)驗(yàn)內(nèi)容1. 測(cè)量NaI(Tl)閃爍晶體探測(cè)器的計(jì)數(shù)率隨工作變化的坪曲線,選定合適的工作電壓。2 在相同條件下,對(duì)某放射源進(jìn)行重復(fù)測(cè)量,畫出放射性計(jì)數(shù)的頻率直方圖并與理論分布曲線作比較。3 在相同條件下對(duì)本底進(jìn)行重復(fù)測(cè)量,畫出本底計(jì)數(shù)的頻率分布圖,并與理論分布曲線作比較。4 用檢驗(yàn)法檢驗(yàn)放射性計(jì)數(shù)的統(tǒng)計(jì)分布類型。三原理1放射性測(cè)量的隨機(jī)性和統(tǒng)計(jì)性在做重復(fù)的放射性測(cè)量中,即使保持完全相同的實(shí)驗(yàn)條件(例如放射性的半衰期足夠長,因此
2、在實(shí)驗(yàn)時(shí)間內(nèi)可以認(rèn)為其強(qiáng)度基本上沒有變化;源與計(jì)數(shù)器的相對(duì)位置始終保持不變;每次測(cè)量時(shí)間不變;測(cè)量儀器足夠精確,不會(huì)產(chǎn)生其它的附加誤差等等),每次的測(cè)量結(jié)果并不完全相同,而是圍繞其平均值上下漲落,有時(shí)甚至有很大的差別,也就是說物理實(shí)驗(yàn)的測(cè)量結(jié)果具有偶然性,或者說隨機(jī)性。物理測(cè)量的隨機(jī)性產(chǎn)生原因不僅在于測(cè)量時(shí)的偶然誤差,而且更是物理現(xiàn)象(當(dāng)然包括放射性核衰變)本身的隨機(jī)性質(zhì),即物理量的實(shí)際數(shù)值時(shí)刻圍繞著平均值發(fā)生微小起伏。在微觀現(xiàn)象領(lǐng)域,特別是在高能物理實(shí)驗(yàn)中,物理現(xiàn)象本身的統(tǒng)計(jì)性更為突出。按照量子力學(xué)的原理,對(duì)處于同一個(gè)態(tài)的微觀粒子,測(cè)量同一個(gè)可觀測(cè)的物理量時(shí),即使不存在任何測(cè)量誤差,各次測(cè)量
3、結(jié)果也會(huì)不同,除非粒子處于這個(gè)可觀測(cè)量的本征態(tài);比如同一種粒子的壽命,其實(shí)測(cè)值分布在從相當(dāng)短到相當(dāng)長的范圍內(nèi)。另一方面,所謂偶然的東西,是一種有必然性隱藏在里面的形式;我們正是要通過研究其統(tǒng)計(jì)分布規(guī)律從而找出在隨機(jī)數(shù)據(jù)中包含的規(guī)律性。2核衰變數(shù)的統(tǒng)計(jì)分布放射性原子核衰變數(shù)的統(tǒng)計(jì)分布可以根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)分布的理論來推導(dǎo)。放射性原子核衰變的過程是一個(gè)相互獨(dú)立彼此無關(guān)的過程,即每一個(gè)原子核的衰變是完全獨(dú)立的,與其他原子核是否衰變無關(guān);因此放射性原子核衰變的測(cè)量計(jì)數(shù)可以看成是一種伯努里試驗(yàn)問題。在N0個(gè)原子核的體系中,單位時(shí)間內(nèi)對(duì)于每個(gè)原子核來說只有兩種可能:A類是原子核發(fā)生衰變,B類是沒有發(fā)生核衰變。若
4、放射性原子核的衰變常數(shù)為,設(shè)A類的概率為,其中為原子核發(fā)生衰變的概率;B類的概率為。由二項(xiàng)式分布可以知道,在t時(shí)間內(nèi)的核衰變數(shù)n為一隨機(jī)變量,其概率為 (21)在t時(shí)間內(nèi),衰變粒子數(shù)為:,對(duì)應(yīng)方根差為。假如,即時(shí)間t遠(yuǎn)比半衰期小,這時(shí)q接近于1,則可簡化為。在放射性衰變中,原子核數(shù)目N0很大而p相對(duì)而言很小,且如果滿足,則二項(xiàng)式分布可以簡化為泊松分布;因?yàn)榇藭r(shí),對(duì)于在m附近的N值可得到:代入(1)式并注意到,就得到 (22)即為泊松分布??梢宰C明,服從泊松分布的隨機(jī)變量的期望值和方差分別為:,。在核衰變測(cè)量中常數(shù)的意義是明確的:單位時(shí)間內(nèi),N0個(gè)原子核發(fā)生衰變概率p為m/N0,因此m是單位時(shí)間
5、內(nèi)衰變的粒子數(shù)?,F(xiàn)在討論泊松分布中N0很大從而使m具有較大數(shù)值的極限情況。在n較大時(shí),n!可以寫成代入式(22),并記,則有: (23)經(jīng)過一系列數(shù)學(xué)處理,可以得到。所以有: (24)式中。即當(dāng)N很大時(shí),原子核衰變數(shù)趨向于正態(tài)分布;可以證明和m就是高斯(正態(tài))分布的方差和期望值。需要指出的是,正態(tài)分布是一種非常重要的概率分布,在近代物理實(shí)驗(yàn)中,凡是屬于連續(xù)型的隨機(jī)變量幾乎都屬于正態(tài)分布。在自然界中,凡由大量的、相互獨(dú)立的因素共同微弱作用下所得到的隨機(jī)變量也都服從正態(tài)分布。即使有些物理量不服從正態(tài)分布,但它(或它的測(cè)量平均值)也往往以正態(tài)分布為它的極限分布,泊松分布就是一個(gè)很好的例子。上面討論原
6、子核衰變的統(tǒng)計(jì)現(xiàn)象,下面我們分析在放射性測(cè)量中計(jì)數(shù)值的統(tǒng)計(jì)分布??梢宰C明,原子核衰變的統(tǒng)計(jì)過程服從的泊松分布和正態(tài)分布也適用于計(jì)數(shù)的統(tǒng)計(jì)分布,只需將分布公式中的放射性核衰變數(shù)n換成計(jì)數(shù)N,將衰變掉粒子的平均數(shù)m換成計(jì)數(shù)的平均值M就可以了。 (25) (26)對(duì)于有限次的重復(fù)測(cè)量,例如測(cè)量次數(shù)為A,則標(biāo)準(zhǔn)偏差Sx為: (27)其中,為測(cè)量計(jì)數(shù)的平均值??梢宰C明為正態(tài)分布期望值的無偏估計(jì),為正態(tài)分布方差的漸進(jìn)無偏估計(jì)(即當(dāng),)。當(dāng)A足夠大時(shí),即。當(dāng)M值較大時(shí),也可用某一次計(jì)數(shù)值N來近似,即,。由于核衰變的統(tǒng)計(jì)性,我們?cè)谙嗤瑮l件下作重復(fù)測(cè)量時(shí)每次測(cè)量結(jié)果并不完全相同,圍繞著平均計(jì)數(shù)值M有一個(gè)漲落,其
7、大小可以用均方根差來表示。眾所周知,正態(tài)分布決定于平均值M及方差這兩個(gè)參數(shù),它對(duì)稱于。對(duì)于,則稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布: (28)正態(tài)分布數(shù)值表都是對(duì)應(yīng)于標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的。如果對(duì)某一放射源進(jìn)行多次重復(fù)測(cè)量,得到一組數(shù)據(jù),其平均值為,那么計(jì)數(shù)值N落在(即)范圍內(nèi)的概率為: (29)用變量來代換化成標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布并查表,上式即為: (210)這就是說,在某實(shí)驗(yàn)條件下對(duì)某次測(cè)量若計(jì)數(shù)值為N1,則可以認(rèn)為N1落在(即)范圍內(nèi)的概率為68.3%,或者說在范圍內(nèi)包含真值的概率是68.3%。在實(shí)際運(yùn)算中由于出現(xiàn)概率較大的計(jì)數(shù)值與平均值的偏差不大,我們可以用來代;因此對(duì)于單次測(cè)量值N1,可以近似地說在范圍內(nèi)包含真值的概率
8、是68.3%,這樣一來用單次測(cè)量值就大體上確定了真值的范圍。這種由于放射性衰變的統(tǒng)計(jì)性引起的誤差稱之為統(tǒng)計(jì)誤差。由于放射性統(tǒng)計(jì)漲落服從正態(tài)分布,所以用均方根偏差(也稱標(biāo)準(zhǔn)誤差)來表示。當(dāng)采用標(biāo)準(zhǔn)誤差表示放射性的單次測(cè)量值N1時(shí),則可以表示為:。用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的術(shù)語來說,將68.3%稱為“置信概率”(或“置信度”),相應(yīng)的“置信區(qū)間”為;同理可證當(dāng)“置信區(qū)間”為、時(shí)的置信概率為95.5%、99.7%。3檢驗(yàn)法放射性核衰變的測(cè)量計(jì)數(shù)是否符合正態(tài)分布或泊松分布或者其他的分布,是一個(gè)很重要的問題,牽涉到對(duì)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)問題。簡單地判斷實(shí)驗(yàn)裝置是否存在除統(tǒng)計(jì)誤差外的偶然誤差因素,可以計(jì)算平
9、均值與子樣方差,比較兩者的偏離程度即可。而放射性衰變是否符合于正態(tài)分布或泊松分布,可由一組數(shù)據(jù)的頻率直方圖與理論正態(tài)分布或泊松分布比較得到一個(gè)感性認(rèn)識(shí)。而檢驗(yàn)法是從數(shù)理統(tǒng)計(jì)意義上給出了比較精確的判別準(zhǔn)則。它的基本思想是比較理論分布與實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)分布之間的差異,然后根據(jù)概率意義上的反證法即小概率事件在一次實(shí)驗(yàn)中不會(huì)發(fā)生的基本原理來判斷這種差別是否顯著,從而接受或拒絕理論分布。設(shè)對(duì)某一放射源進(jìn)行重復(fù)測(cè)量得到了A個(gè)數(shù)值,對(duì)它們進(jìn)行分組,序號(hào)用i表示,i=1,2,3Lm,令:,其中m代表分組數(shù),fi表示各組實(shí)際觀測(cè)到的次數(shù),fi為根據(jù)理論分布計(jì)算得到的各組理論次數(shù)。理論次數(shù)可以從正態(tài)分布概率積分表上查出各
10、區(qū)間的正態(tài)面積再乘以總次數(shù)得到。 可以證明統(tǒng)計(jì)量服從分布,其自由度為,l是在計(jì)算理論次數(shù)時(shí)所用的參數(shù)個(gè)數(shù):對(duì)于具有正態(tài)分布的自由度為m3,泊松分布為m2。與此同時(shí),分布的期望值即為其自由度:。得到根據(jù)實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)算出的統(tǒng)計(jì)量后,比較的方法為先設(shè)定一個(gè)小概率,既顯著水平,由分布表找拒絕域的臨界值,若計(jì)算量落入拒絕域即1(),則拒絕理論分布;反之則接受。4閃爍探測(cè)器的坪曲線在進(jìn)行研究核衰變的統(tǒng)計(jì)規(guī)律實(shí)驗(yàn)時(shí),絕對(duì)不能使工作條件(包括幾何條件和探測(cè)器狀態(tài))有絲毫改變。但在實(shí)際情況下工作電壓的少量漂移在所難免,因此需要測(cè)定NaI(Tl)閃爍探測(cè)器的坪曲線,以確定合適的工作電壓,即選擇計(jì)數(shù)率隨電壓漂移變化較小
11、的工作點(diǎn)。暗電流、電子學(xué)噪聲、宇宙射線、及環(huán)境輻射產(chǎn)生的。工作電壓應(yīng)選擇源計(jì)數(shù)率隨電壓變化較小(曲線較平部分)以及源計(jì)數(shù)率高而本底計(jì)數(shù)率相對(duì)較低的電壓,如在右圖中,就可以選取840v。四實(shí)驗(yàn)裝置實(shí)驗(yàn)器材包括:NaI(Tl)閃爍探測(cè)器;放射源(137Cs或60Co);高壓電源、放大器和多道脈沖幅度分析器。五實(shí)驗(yàn)步驟1. 連接各儀器設(shè)備,對(duì)實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象進(jìn)行粗測(cè),判斷工作是否正常。2. 測(cè)量NaI(Tl)閃爍探測(cè)器的坪曲線:采取定時(shí)計(jì)數(shù)的方法(建議t=200秒,以減小統(tǒng)計(jì)漲落);可以從V=600V開始,改變工作電壓;一般工作電壓不宜超過1000V,以免光電倍增管發(fā)生連續(xù)放電現(xiàn)象而減短使用壽命。注意:根據(jù)
12、所得全能譜形的實(shí)際情況可以適當(dāng)截去前面計(jì)數(shù)或峰形比較雜亂的幾道;在實(shí)驗(yàn)中不得改變放射源和探測(cè)器的相對(duì)位置以及放大器的放大倍數(shù),放大倍數(shù)的選取要注意當(dāng)電壓達(dá)到1000V左右(即接近電壓所取最大值)時(shí)譜形不得越出多道脈沖分析器的量程。3. 根據(jù)坪曲線的實(shí)驗(yàn)結(jié)果選取適當(dāng)?shù)墓ぷ麟妷?,并確定放大倍數(shù)使譜形在多道脈沖分析器上分布合理。4. 工作狀態(tài)穩(wěn)定后,重復(fù)進(jìn)行至少100次以上獨(dú)立測(cè)量放射源總計(jì)數(shù)率的實(shí)驗(yàn)(建議進(jìn)行150200次,每次定時(shí)15或20秒),并算出這組數(shù)據(jù)的平均值。六實(shí)驗(yàn)結(jié)果分析與數(shù)據(jù)處理1 對(duì)所測(cè)數(shù)據(jù)分別計(jì)算平均值與子樣方差,并求出標(biāo)準(zhǔn)誤差,對(duì)實(shí)驗(yàn)裝置是否存在統(tǒng)計(jì)誤差以外的偶然誤差因素作出
13、判斷。2. 對(duì)測(cè)放射源所得數(shù)據(jù)作如下處理:作頻率直方圖這是一種簡單直觀的檢驗(yàn)方法。把一組測(cè)量數(shù)據(jù)按一定的區(qū)間分組,統(tǒng)計(jì)測(cè)量結(jié)果出現(xiàn)在各區(qū)間內(nèi)的次數(shù)或頻率(/總次數(shù)A),以次數(shù)或頻率/A為縱坐標(biāo),以測(cè)量值為橫坐標(biāo),這樣作出的圖形在統(tǒng)計(jì)上稱為頻率直方圖。將此圖與理論的正態(tài)分布比較,就能粗略看放射性衰變的計(jì)數(shù)分布是否是正態(tài)分布。本實(shí)驗(yàn)中,測(cè)得A個(gè)數(shù)據(jù)后,計(jì)算算術(shù)平均值和均方根差的估計(jì)值Sx:(A為總測(cè)量次數(shù)),將平均值置于中央,以為組距把數(shù)據(jù)分組,算出相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)組頻率,以為橫坐標(biāo),組頻率為縱坐標(biāo),作直方圖。畫出相應(yīng)的理論分布曲線 若計(jì)數(shù)值服從正態(tài)分布,則可算出以為組距的各個(gè)相應(yīng)的理論組的頻率,并畫于圖中。 (211)令,則;因,故 (212)計(jì)算測(cè)量數(shù)據(jù)落在、范圍內(nèi)的頻數(shù),并與理論
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