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文檔簡介
1、電力生產(chǎn)最優(yōu)化問題 摘要本文解決的是發(fā)電機使用的非線性最優(yōu)化問題。為滿足每日電力需求,且總成本最小,可把每天分為七個時間段,要計算一天的最小成本即是分別求出每個時間段的最小成本,從而累加得出一天的最小總成本。我們接受了LINGO軟件實現(xiàn)整個流程,最終求出七個時段總成本的最優(yōu)解,即每天使用發(fā)電機的總成本的最小值,并進行了誤差分析,模型的評價與推廣。對于問題一:對數(shù)據(jù)進行初步分析和處理后,考慮到數(shù)據(jù)的簡單性及多樣性,我們應(yīng)用普遍的分段思想以及最優(yōu)化思想,建立二次規(guī)劃模型。將每天分為7個時段,通過利用第i時段型號j發(fā)電機的使用數(shù)量及其功率,并應(yīng)用LINGO程序,最終分別計算出每個時段使用發(fā)電機所花費
2、的成本最小值,然后累加得每天使用發(fā)電機的總成本的最小值,最終結(jié)果如下表:06699121214141818222224型號1發(fā)電機使用數(shù)量0255110型號2發(fā)電機使用數(shù)量4444444型號3發(fā)電機使用數(shù)量3848886型號4發(fā)電機使用數(shù)量0333130時段最小成本17662027040019782018493024554030780085480一天最小總成本1468590對于問題二:本問是要在問題一的基礎(chǔ)上加以改進,要求在任何時刻,正在工作的發(fā)電機組必需留出20%的發(fā)電力量余量,即發(fā)電機在任何時刻其輸出功率均要滿足要求,在計算電力需求量時,發(fā)電機要按80%的輸出功率計算;最終得出此狀況下每天
3、最小成本為1913537元。最終,觀看模型結(jié)果可發(fā)覺,型號2與型號3發(fā)電機使用相當頻繁,建議可適當增加此類發(fā)電機臺數(shù)。關(guān)鍵詞:lingo軟件 最優(yōu)化思想 二次規(guī)劃模型一 問題重述問題背景:電是我們這個社會不行缺少的資源之一。我們身邊處處都需要電,小到電燈、電扇,大到飛機、衛(wèi)星。對電力資源的合理利用是目前重要任務(wù)之一。在可持續(xù)進展的社會中,如何節(jié)省資源、提高效率是當前社會面臨的重要問題之一,本題即是要求合理安排發(fā)電機使用數(shù)量,以減小發(fā)電成本的問題。題目要求:為滿足每日電力需求(單位為兆瓦(MW),可以選用四種不同類型的發(fā)電機。每日電力需求如下表1。 表1:每日用電需求(兆瓦)時段(0-24)0-
4、66-99-1212-1414-1818-2222-24需求12000320002500036000250003000018000每種發(fā)電機都有一個最大發(fā)電力量,當接入電網(wǎng)時,其輸出功率不應(yīng)低于某一最小輸出功率。全部發(fā)電機都存在一個啟動成本,以及工作于最小功率狀態(tài)時的固定的每小時成本,并且假如功率高于最小功率,則超出部分的功率每兆瓦每小時還存在一個成本,即邊際成本。這些數(shù)據(jù)均列于表2中。表2:發(fā)電機狀況可用數(shù)量最小輸出功率(MW)最大輸出功率(MW)固定成本(元/小時)每兆瓦邊際成本(元/小時)啟動成本型號110750175022502.75000型號241000150018002.21600
5、型號381200200037501.82400型號431800350048003.81200只有在每個時段開頭時才允許啟動或關(guān)閉發(fā)電機。與啟動發(fā)電機不同,關(guān)閉發(fā)電機不需要付出任何代價。本文要解決的問題有:問題一:試確定在每個時段應(yīng)分別使用各型號發(fā)電機的數(shù)量,以使每天的總成本最小,并求出最小總成本。問題二:在現(xiàn)實生活中,用電量不行能恒定不變,所以為了更符合實際,增加方案的可行性,要求發(fā)電機要保留肯定的發(fā)電力量,以應(yīng)對突發(fā)狀況。所以假設(shè):在任何時刻,正在工作的發(fā)電機組必需留出20%的發(fā)電力量余量,以防用電量突然上升。試確定每個時段又應(yīng)分別使用各型號發(fā)電機的數(shù)量,以使每天的總成本最小,并求出此時的最
6、小總成本。二 模型的假設(shè)假設(shè)1:在每個時段開頭時才允許啟動或關(guān)閉發(fā)電機。假設(shè)2:發(fā)電機工作期間不發(fā)生任何故障。假設(shè)3:發(fā)電機之間的摩擦不消耗功率。假設(shè)4:發(fā)電機輸出過程其功率始終保持不變。假設(shè)5:關(guān)閉發(fā)電機過程不做任何考慮。假設(shè)6:關(guān)閉和啟動發(fā)電機時均是瞬時完成,不記相應(yīng)使用的時間。假設(shè)7:發(fā)電機自身不消耗功率。假設(shè)8:在一時段內(nèi),每小時所需要的功率相等。三 符號說明符號符號說明時段,取1、2、3、4、5、6、7發(fā)電機型號,取1、2、3、4第i時段型號j發(fā)電機使用數(shù)量第i時段單個型號j的功率發(fā)電機在第i時段的工作時間發(fā)電機在第i時段的總成本每天的總成本型號j發(fā)電機的最小輸出功率型號j發(fā)電機的固
7、定成本型號j發(fā)電機工作時的每兆瓦邊際成本每臺型號j的啟動成本第i時段j型號發(fā)電機的總啟動成本第i時段每小時所需要的功率四 模型的建立與求解問題(一)1.1 模型分析 該問題是一個分段求解問題,比較簡單不易求出精確的最優(yōu)解,故只能近似求出其最優(yōu)解來。 我們把每天分為7個時段,通過求每個時段發(fā)電機使用的總成原來求每天的總成本,即為各各時段總成本之和。然后要確定發(fā)電機在每個時段所使用的發(fā)電機的型號以及所使用的數(shù)量和輸出的實際功率,而每個時段的總成本是由三個部分組成的,分別為:固定成本、啟動成本、邊際成本。據(jù)此對每個時段建立模型及其相應(yīng)的約束條件,又各各時段中若已經(jīng)啟動的發(fā)電機就不用再啟動,所以無需相
8、應(yīng)的額外啟動成本,故第1時段與后6個時段計算狀況不同,所以我們要分時段來求各時段的啟動成本。1.2 模型的建立1.2.1 確定目標函數(shù)我們確定的目標函數(shù)是為了解決電力生產(chǎn)優(yōu)化問題。在滿足需求量的狀況下,為了使每天發(fā)電成本最低,則需要每個時段有最小成本,所以我們建立如下目標函數(shù)為了解決問題,我們進一步爭辯每個時段的最小成本,由于成本由啟動成本、固定成本、邊際成本組成,所以我們經(jīng)分析可得出第i時段的總成本為:由于代表第i時段j型號發(fā)電機的總啟動成本,在第1是時段時,開多少發(fā)電機,就需要多少次啟動成本。而從其次次開頭,假如比上一時間段開機少,本時段就不需要此啟動成本;假如開機比上一時段多,則只需要計
9、算多動身電機的啟動成本。所以,我們最終得出第i時段j型號的啟動成本公式為:1.2.2確定約束條件. 由于代表第i時段型號j發(fā)電機使用數(shù)量,所以應(yīng)小于等于本型號發(fā)電機總的數(shù)量,且為整數(shù),即: (為整數(shù)). 同時由于代表第i時段單個型號j的功率,所以的大小應(yīng)當介于最小輸出功率與最大輸出功率之間,即: . 發(fā)電機的發(fā)電量要滿足電量需求,而代表第i時段每小時所需要的功率,所以每小時發(fā)電量要大于等于,即: 1.2.3 綜上所述,得到問題一的最優(yōu)化模型 (必需取整數(shù))1.3 模型的求解. 首先,我們分析題目得到,總成本由啟動成本、固定成本、邊際成本組成。 啟動成本:分析易知,啟動成本只與本型號發(fā)電機的數(shù)量
10、有關(guān),與其輸出功率無關(guān)。其值為:各型號發(fā)電機數(shù)量與其各自的啟動成本之積的求和。固定成本:由于當發(fā)電機接入電網(wǎng)時,其輸出功率不應(yīng)低于其最小輸出功率,而發(fā)電機功率大于等于最小功率時有固定的每小時成本(即固定成本),所以固定成本與其輸出功率大小無關(guān),只與本型號啟動的發(fā)電機數(shù)量有關(guān)。其值為:各型號發(fā)電機數(shù)量與其固定成本、工作時間之積的求和。邊際成本:假如發(fā)電機輸出功率高于最小功率,則超出部分的功率每兆瓦每小時還存在一個成本,即邊際成本,此部分成本不僅與發(fā)電機數(shù)量有關(guān),還與發(fā)電機輸出功率有關(guān)。其值為:各型號發(fā)電機數(shù)量乘以工作時間乘以各自邊際成本乘以超出功率。所以,經(jīng)過上述分析,我們應(yīng)用LINGO程序進行
11、編程(程序見附錄)計算,最終得出每時段各型號發(fā)電機的使用數(shù)量及其各自的功率。由各型號發(fā)電機使用數(shù)量及各自功率可求出各時段內(nèi)的最小成本及一天的最小總成本,具體的數(shù)據(jù)見表一:表一:問題一求解結(jié)果06699121214141818222224型號1發(fā)電機數(shù)量0255110型號1發(fā)電機功率-17501750172012001750-型號2發(fā)電機數(shù)量4444444型號2發(fā)電機功率1500150015001500150015001500型號3發(fā)電機數(shù)量3848886型號3發(fā)電機功率2000200012002000200020002000型號4發(fā)電機數(shù)量0333130型號4發(fā)電機功率-21671816180
12、018002083-時段最小成本17662027040019782018493024554030780085480一天最小總成本1468590注:表中“-”表示發(fā)電機數(shù)量為0時,爭辯功率沒意義。1.4問題一的結(jié)果分析對表一進行深化觀看可知:型號2、型號3發(fā)電機使用頻率相當高,且多為滿功率工作,而型號1發(fā)電機雖然有10臺,但其使用數(shù)量不多,所以建議對型號2、型號3進行定時修理,或增配型號2及型號3發(fā)電機數(shù)量,可適當削減型號1發(fā)電機的數(shù)量,以降低成本。經(jīng)過對結(jié)果數(shù)據(jù)的再分析、再檢驗,結(jié)合網(wǎng)上的調(diào)查狀況與相關(guān)資料,我們的結(jié)果的確較為符合實際狀況,有較大的參考價值,比較優(yōu)越。問題(二)2.1 模型的爭
13、辯 依據(jù)對問題一的分析,我們已經(jīng)基本理清了計算發(fā)電成本的思路。在本問中,我們只需對問題一加以約束、改進,就可以得出結(jié)果。本問所加要求為:在任何時刻,正在工作的發(fā)電機組必需留出20%的發(fā)電余量,以防止突然上升。我們對此問題進行平安性較高的保守計算:在計算電力需求量時,由于發(fā)電機在某些時候可能保留了20%的發(fā)電力量,所以此時發(fā)電機要按80%的輸出功率計算;而在考慮成本及限制條件時,又由于發(fā)電機在某些時候可能會全力發(fā)動,所以此時發(fā)電機要按100%的輸出功率計算,而其余的求解思路與問題一全都。2.2模型建立2.2.1 確定目標函數(shù)我們確定的目標函數(shù)是為了解決電力生產(chǎn)優(yōu)化問題。在滿足需求量的狀況下,為了
14、使每天發(fā)電成本最低,則需要每個時段有最小成本,所以我們建立如下目標函數(shù)為了解決問題,我們進一步爭辯每個時段的最小成本,由于成本由啟動成本、固定成本、邊際成本組成,所以我們經(jīng)分析可得出第i時段的總成本為:由于代表第i時段j型號發(fā)電機的總啟動成本,在第1是時段時,開多少發(fā)電機,就需要多少次啟動成本。而從其次次開頭,假如比上一時間段開機少,本時段就不需要此啟動成本;假如開機比上一時段多,則只需要計算多動身電機的啟動成本。所以,我們最終得出第i時段j型號的啟動成本公式為:2.2.2確定約束條件.由于代表第i時段型號j發(fā)電機使用數(shù)量,所以應(yīng)小于等于本型號發(fā)電機總的數(shù)量,且必需為整數(shù),即: (必需為整數(shù))
15、.由于代表第i時段單個型號j的功率,所以的大小應(yīng)當介于最小輸出功率與最大輸出功率之間。然而,本文中由于發(fā)電機可能會保留20%的發(fā)電力量,所以,為了平安起見,在發(fā)電機以80%的發(fā)電力量工作時,其80%的輸出功率也應(yīng)大于等于最小輸出功率,即: .發(fā)電機的發(fā)電量要滿足電量需求,而代表第i時段每小時所需要的功率,所以每小時發(fā)電量要大于等于。然而,本文中由于發(fā)電機可能會保留20%的發(fā)電力量,所以,為了平安起見,在發(fā)電機以80%的發(fā)電力量工作時,其每小時發(fā)電量也應(yīng)要大于等于,即: 2.2.3綜上所述,得到問題二的最優(yōu)化模型 (必需取整數(shù).)2.3 模型的求解本問求解過程與問題一類似,只需留意以下幾點:由于
16、工作的發(fā)電機組必需留出20%的發(fā)電余量,所以限制條件中的發(fā)電量需求條件、輸出功率條件均有所轉(zhuǎn)變,按最新修改的問題二最優(yōu)化模型,利用LINGO軟件重新編程(程序見附錄)計算,最終得出每時段各型號發(fā)電機的使用數(shù)量及其功率。由各型號發(fā)電機使用數(shù)量及其功率可求出各時段內(nèi)的最小成本及一天的最小總成本,具體數(shù)據(jù)見表二。表二:問題二求解結(jié)果06699121214141818222224型號1發(fā)電機數(shù)量0678481型號1發(fā)電機功率-17501750175017501656937型號2發(fā)電機數(shù)量4444444型號2發(fā)電機功率1250150015001500150015001390型號3發(fā)電機數(shù)量5848888
17、型號3發(fā)電機功率2000200015002000200020002000型號4發(fā)電機數(shù)量0333110型號4發(fā)電機功率-25002333300022502250-時段最小成本230500360000258870247800317720388820109827一天最小總成本1913537注:表中“-”表示發(fā)電機數(shù)量為0時,爭辯功率沒意義。2.4模型二的分析對表二進行深化觀看可知:型號2、型號3發(fā)電機使用頻率相當高,且多為滿功率工作。所以建議對型號2、型號3進行定時修理,或增配型號2及型號3發(fā)電機數(shù)量。通過與表一對比分析得:型號1發(fā)電機在問題二的前提下使用數(shù)量得以提高。本模型中,在計算電力需求量時
18、,由于發(fā)電機在某些時候可能保留了20%的發(fā)電力量,所以此時發(fā)電機要按80%的輸出功率計算;而在考慮成本及限制條件時,又由于發(fā)電機在某些時候可能會全力發(fā)動,所以此時發(fā)電機要按100%的輸出功率計算。分析易知,這樣分析,平安性大大提高。本模型對題目要求(發(fā)電機保留20%發(fā)電力量)考慮周到,大大提高了模型的平安性,雖然短期內(nèi)成本略有所加,但從長遠角度來看,還是大大降低了發(fā)電廠的成本,增加了收益。五 模型的誤差分析 本題主要是一個有關(guān)分段求最優(yōu)解的問題,因此其最終解是一個近似值,存在肯定的誤差,前面對于模型的假設(shè)可知,發(fā)電機自身不消耗功率那是不行能的,其之間由于有摩擦力以及要散熱等都需要消耗功率,另外
19、,發(fā)電機輸出過程其功率始終保持不變也是抱負狀況下才存在的,所以也有肯定的誤差,還有在開啟以及關(guān)閉發(fā)電機時不僅有功率損耗方面的誤差,而且還有時間方面的誤差,這些都會對模型的建立有肯定程度上的影響。六 模型評價1.模型的優(yōu)點1.1本文接受了最優(yōu)化的算法。在滿足使用的前提下,運用最優(yōu)化算法,使每個時間段使用的發(fā)電機數(shù)量最少以達到提高效率,降低成本的目的。1.2分七個時間段,每個時間段的計算公式相當類似,計算時只需轉(zhuǎn)變其中的幾個常數(shù)及變量范圍即可,簡潔便利。1.3本文解答的其次問中,運用了最平安保守的計算體系,提高了本算法的可行性,使之更加符合實際,有較大的調(diào)整空間。從長遠角度看,也降低了成本,增加收
20、益。1.4我們建立的數(shù)學(xué)模型,求出了第一天內(nèi)發(fā)電機使用方案。通過我們求得各時段各型號發(fā)電機使用的數(shù)量分析看來,在后來的時間24:00與00:00的交替過程中,只須轉(zhuǎn)變幾臺發(fā)電機的開關(guān)狀況。其次天就可以照舊按著前一天的方案方案連續(xù)工作,這樣就構(gòu)成了一個循環(huán),無論使用方案時間多長都可以實現(xiàn)。1.5本文接受了lingo程序編程。利用lingo程序便利解決線性規(guī)劃問題的優(yōu)點,來得出各時段各型號發(fā)電機使用的數(shù)量以使其成本最低。1.6有挨次,有步驟地給出優(yōu)化方案,把簡單的問題簡潔明朗化,顯得通俗易懂。2.模型的不足2.1本文的算法雖然原理較為簡潔,但是運算時間相對而言較長。2.2由于分時段計算,且后一時間
21、段的計算需要依靠前一時間段的計算結(jié)果,所以此算法獨立性不強,需要每個時間段的結(jié)果必需精確。七 模型的改進與推廣1、模型的改進: (1)建模時沒有考慮發(fā)電機啟動機器關(guān)閉的時間消耗,若考慮這些時間消耗將會使費用相應(yīng)的增加,因此我們可以對該模型啟動以及關(guān)閉時間進行縮短;(2)所建的模型是針對其輸出功率始終保持不變的,但實際上其在傳送以及散熱等方面都會損耗,因此功率也是不斷變化的,若考慮這些損耗,將會使計算趨于簡單不易得到近似的最優(yōu)解,因此應(yīng)轉(zhuǎn)變發(fā)電設(shè)施使輸出功率基本保持不變或變化很小。(3)由于發(fā)電機可能發(fā)生故障,所以建議每種型號都備份幾臺,特殊是使用頻率高的型號2、型號3發(fā)電機。2、模型的推廣:
22、該種分段式求最優(yōu)解的問題在經(jīng)濟市場經(jīng)常消滅,如股票的分段漲跌,發(fā)電廠電力的配置,銀行不同方式的存利率,以及對不同市場的投資。八 參考文獻1 宣明 數(shù)學(xué)建模與數(shù)學(xué)試驗 ,浙江 浙江高校出版社 20102 謝金星 優(yōu)化建模與LINDO/LINGO軟件 , 北京 清華高校出版社 20053 宋來忠 數(shù)學(xué)建模與試驗 ,北京 科學(xué)出版社 2005九 附錄問題一程序:!第1時段;model:min=5000*x11+2250*6*x11+(y11-750)*6*2.7*x11+1600*x12+1800*6*x12+(y12-1000)*6*2.2*x12+2400*x13+3750*6*x13+(y13
23、-1200)*6*1.8*x13+1200*x14+4800*6*x14+(y14-1800)*6*3.8*x14;x11*y11+x12*y12+x13*y13+x14*y14>=12000;x11>=0;x11<=10;y11>=750;y11<=1750;x12>=0;x12<=4;y12>=1000;y12<=1500;x13>=0;x13<=8;y13>=1200;y13<=2000;x14>=0;x14<=3;y14>=1800;y14<=3500;gin(x11);gin(x12
24、);gin(x13);gin(x14);end!第2時段;model:min=5000*x21+2250*3*x21+(y21-750)*3*2.7*x21+1600*if(4-x22#ge#0,0,x22-4)+1800*3*x22+(y22-1000)*3*2.2*x22+2400*if(3-x23#ge#0,0,x23-3)+3750*3*x23+(y23-1200)*3*1.8*x23+1200*x24+4800*3*x24+(y24-1800)*3*3.8*x24;x21*y21+x22*y22+x23*y23+x24*y24>=32000;x21>=0;x21<=
25、10;y21>=750;y21<=1750;x22>=0;x22<=4;y22>=1000;y22<=1500;x23>=0;x23<=8;y23>=1200;y23<=2000;x24>=0;x24<=3;y24>=1800;y24<=3500;gin(x21);gin(x22);gin(x23);gin(x24);end!第3時段;model:min=5000*if(5-x31#ge#0,0,x31-5)+2250*3*x31+(y31-750)*3*2.7*x31+1600*if(4-x32#ge#0,0
26、,x32-4)+1800*3*x32+(y32-1000)*3*2.2*x32+2400*if(8-x33#ge#0,0,x33-8)+3750*3*X33+(y33-1200)*3*3.8*x33+1200*if(3-x34#ge#0,0,x34-3)+4800*3*x34+(y34-1800)*3*3.8*x34;x31*y31+x32*y32+x33*y33+x34*y34>=25000;x31>=0;x31<=10;y31>=750;y31<=1750;x32>=0;x32<=4;y32>=1000;y32<=1500;x33>
27、;=0;x33<=8;y33>=1200;y33<=2000;x34>=0;x34<=3;y34>=1800;y34<=3500;gin(x31);gin(x32);gin(x33);gin(x34);end!第4時段;model:min=5000*if(5-x41#ge#0,0,x41-5)+2250*2*x41+(y41-750)*2*2.7*x41+1600*if(4-x42#ge#0,0,x42-4)+1800*2*x42+(y42-1000)*2*2.2*x42+2400*if(8-x43#ge#0,0,x43-8)+3750*2*x43+(
28、y43-1200)*2*1.8*x43+1200*if(2-x44#ge#0,0,x44-2)+4800*2*x44+(y44-1800)*2*3.8*x44;x41*y41+x42*y42+x43*y43+x44*y44>=36000;x41>=0;x41<=10;y41>=750;y41<=1750;x42>=0;x42<=4;y42>=1000;y42<=1500;x43>=0;x43<=8;y43>=1200;y43<=2000;x44>=0;x44<=3;y44>=1800;y44<
29、=3500;gin(x41);gin(x42);gin(x43);gin(x44);end!第5時段;model:min=5000*if(6-x51#ge#0,0,x51-6)+2250*4*x51+(y51-750)*4*2.7*x51+1600*if(4-x52#ge#0,0,x52-4)+1800*4*x52+(y52-1000)*4*2.2*x52+2400*if(8-x53#ge#0,0,x53-8)+3750*4*x53+(y53-1200)*4*1.8*x53+1200*if(3-x54#ge#0,0,x54-3)+4800*4*x54+(y54-1800)*4*3.8*x54;
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34、>=0;x74<=3;y74>=1800;y74<=3500;gin(x71);gin(x72);gin(x73);gin(x74);end問題二程序:!第1時段;model:min=5000*x11+2250*6*x11+(y11-750)*6*2.7*x11+1600*x12+1800*6*x12+(y12-1000)*6*2.2*x12+2400*x13+3750*6*x13+(y13-1200)*6*1.8*x13+1200*x14+4800*6*x14+(y14-1800)*6*3.8*x14;(x11*y11+x12*y12+x13*y13+x14*y14)
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