導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用

1、.14.4 4.4 導(dǎo)數(shù)概念在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)概念在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用一、邊際與邊際分析一、邊際與邊際分析二、彈性與彈性分析二、彈性與彈性分析.2一、邊際與邊際分析一、邊際與邊際分析 邊際概念是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一個重要概念，邊際概念是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的一個重要概念，通常指經(jīng)濟(jì)變量的變化率利用導(dǎo)數(shù)研究經(jīng)通常指經(jīng)濟(jì)變量的變化率利用導(dǎo)數(shù)研究經(jīng)濟(jì)變量的邊際變化的方法，即邊際分析法，濟(jì)變量的邊際變化的方法，即邊際分析法，是經(jīng)濟(jì)理論中的一個重要分析方法是經(jīng)濟(jì)理論中的一個重要分析方法1.1.邊際成本邊際成本 2.2.邊際收入邊際收入 3.3.邊際利潤邊際利潤 .3設(shè)某產(chǎn)品的設(shè)某產(chǎn)品的產(chǎn)量為產(chǎn)量為 x單位時所需的總成本單位時

2、所需的總成本為為)(xCC ，當(dāng)產(chǎn)量由，當(dāng)產(chǎn)量由 x增加到增加到 xx時，總時，總成本的增量為成本的增量為 )()(xCxxCC，此時，總，此時，總成本的平均變化率為成本的平均變化率為 xxCxxCxC)()( 它表示產(chǎn)量由它表示產(chǎn)量由 x變到變到xx時， 在平均意義時， 在平均意義下的下的邊際成本邊際成本. . 1.1.邊際成本邊際成本 .4如果極限如果極限 xxCxxCxCxx)()(limlim00 存在，則稱此極限為產(chǎn)量為存在，則稱此極限為產(chǎn)量為 x的邊際成本，即的邊際成本，即)( xC稱之為稱之為邊際成本函數(shù)邊際成本函數(shù)。 即即邊際成本是總邊際成本是總成本函數(shù)關(guān)于產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù)成本函數(shù)關(guān)

3、于產(chǎn)量的導(dǎo)數(shù)。 邊際成本的經(jīng)濟(jì)意義為：邊際成本的經(jīng)濟(jì)意義為：在一定產(chǎn)量在一定產(chǎn)量 的基礎(chǔ)上，再生產(chǎn)的基礎(chǔ)上，再生產(chǎn)1 1單位產(chǎn)品應(yīng)增加的總成單位產(chǎn)品應(yīng)增加的總成本本. .即總成本對產(chǎn)量的變化率即總成本對產(chǎn)量的變化率. . .5根據(jù)邊際成本的意義和導(dǎo)數(shù)的概念，根據(jù)邊際成本的意義和導(dǎo)數(shù)的概念，一般有以下結(jié)論：一般有以下結(jié)論： （1 1）邊際成本僅與變動成本有關(guān)，與）邊際成本僅與變動成本有關(guān)，與固定成本無關(guān)固定成本無關(guān) （2 2）如果某產(chǎn)品的單價為）如果某產(chǎn)品的單價為 P，則，則 若若PxC)( ，則企業(yè)還可繼續(xù)增加產(chǎn)，則企業(yè)還可繼續(xù)增加產(chǎn)量；量； 若若PxC)( ，則應(yīng)立即停止增產(chǎn)，要，則應(yīng)立即停

4、止增產(chǎn)，要致力于改進(jìn)產(chǎn)品質(zhì)量，提高出廠價格或降致力于改進(jìn)產(chǎn)品質(zhì)量，提高出廠價格或降低生產(chǎn)成本低生產(chǎn)成本 .6設(shè)設(shè)某某產(chǎn)產(chǎn)品品的的銷銷售售量量為為x時時總總收收入入函函數(shù)數(shù)為為)(xRR ，當(dāng)當(dāng)銷銷量量x有有增增量量x時時，其其總總收收入入的的平平均均增增長長量量為為 xxRxxRxR)()( 如如果果xxRxxRxRxx)()(limlim00存存在在， 則則稱稱此此極極限限是是銷銷量量為為x時時的的邊邊際際收收入入，即即)( xR稱稱之之為為邊邊際際收收入入函函數(shù)數(shù). . 2.2.邊際收入邊際收入 邊際收入的經(jīng)濟(jì)意義：邊際收入的經(jīng)濟(jì)意義：每增加一個單位的銷每增加一個單位的銷量所增加的總收入數(shù)

5、量。即量所增加的總收入數(shù)量。即邊際收入為總收入邊際收入為總收入對銷量的變化率對銷量的變化率。.7設(shè)設(shè))(xL是利潤函數(shù)，則由總成本、總收是利潤函數(shù)，則由總成本、總收入和總利潤之間的關(guān)系，顯然可得入和總利潤之間的關(guān)系，顯然可得 )()()(xCxRxL 兩邊求導(dǎo)得兩邊求導(dǎo)得 )( )( )( xCxRxL )( xL 稱之為稱之為邊際利潤函數(shù)邊際利潤函數(shù)。 3.3.邊際利潤邊際利潤 邊際利潤的經(jīng)濟(jì)意義：邊際利潤的經(jīng)濟(jì)意義：每增加一個單位的銷每增加一個單位的銷量所增加的利潤。即量所增加的利潤。即邊際利潤為總利潤對銷量邊際利潤為總利潤對銷量的變化率的變化率。.8例例 1 1 設(shè)某廠每月生產(chǎn)的產(chǎn)品固定

6、成本為設(shè)某廠每月生產(chǎn)的產(chǎn)品固定成本為10001000 元，生產(chǎn)元，生產(chǎn)x個單位產(chǎn)品的可變成本為個單位產(chǎn)品的可變成本為xx1001. 02元，如果每單位產(chǎn)品的售價為元，如果每單位產(chǎn)品的售價為 3030元，試求：總成本函數(shù)，總收入函數(shù)，總利潤元，試求：總成本函數(shù)，總收入函數(shù)，總利潤函數(shù)，邊際成本，邊際收入及邊際利潤為零時函數(shù)，邊際成本，邊際收入及邊際利潤為零時的產(chǎn)量的產(chǎn)量 解解 總總成成本本為為可可變變成成本本與與固固定定成成本本之之和和，依依題題設(shè)設(shè)， 總總成成本本函函數(shù)數(shù) 10001001. 0)(2xxxC 總總收收入入函函數(shù)數(shù) xpxxR30)( 總總利利潤潤函函數(shù)數(shù) )()()(xCxR

7、xL 10002001. 02xx .9令令0)( xL，得得02002. 0 x，1000 x。即即，當(dāng)當(dāng)月月產(chǎn)產(chǎn)量量為為 1 10 00 00 0 個個單單位位時時，邊邊際際利利潤潤為為零零. . 這這說說明明，月月產(chǎn)產(chǎn)量量為為 1 10 00 00 0 個個單單位位時時，再再多多生生產(chǎn)產(chǎn)一一個個單單位位產(chǎn)產(chǎn)品品不不會會增增加加利利潤潤 邊邊際際成成本本 1002. 0)( xxC 邊邊際際收收入入 30)( xR 邊邊際際利利潤潤 2002. 0)( xxL .101.1.彈性的概念彈性的概念 2.2.需求彈性需求彈性 3.3.用需求彈性分析總收益（或市用需求彈性分析總收益（或市 場銷售

8、額）的變化場銷售額）的變化 二、彈性與彈性分析二、彈性與彈性分析 彈性概念是經(jīng)濟(jì)學(xué)中的另一個重要概念，用來定量地描述一個經(jīng)濟(jì)變量對另一個經(jīng)濟(jì)變量變化的反應(yīng)速度?；蛘哒f，一個經(jīng)濟(jì)變量變動百分之一會使另一個經(jīng)濟(jì)變量變動百分之幾。 .111 1. .彈彈性性的的概概念念 設(shè)函數(shù))(xf在點)0(00 xx的某鄰域內(nèi)有定義，且0)(0 xf。如果極限 00000000/)(/)()(lim/)(/limxxxfxfxxfxxxfyxx 存在， 則稱此極限值為函數(shù))(xfy 在點 0 x處的點彈性（也叫相對變化率） ，記為0 xxExEy； .121 1. .彈彈性性的的概概念念 而稱比值 000000

9、/)(/)()(/)(/xxxfxfxxfxxxfy 為函數(shù))(xfy 在點0 x與點xx0之間的弧彈性(平均相對變化率)。 如果函數(shù))(xfy 在區(qū)間( , )a b內(nèi)可導(dǎo)， 且( )0f x ， 則稱( )( )EyxfxExf x為函數(shù)( )yf x在區(qū)間( , )a b內(nèi)的點彈性函數(shù)，簡稱為彈性函數(shù)。 .13由由彈彈性性的的一一般般定定義義知知： 若若 Q Q 表表示示某某商商品品的的市市場場需需求求量量，價價格格為為p, ,若若需需求求函函數(shù)數(shù)( )QQ p可可導(dǎo)導(dǎo)，則則稱稱 d( ) dEQpQEpQ pp 為為商商品品的的需需求求價價格格彈彈性性，簡簡稱稱為為需需求求彈彈性性，常

10、常記記為為p。即即 d( ) dpEQpQEpQ pp 2 2. .需需求求彈彈性性 .14需需求求價價格格彈彈性性p一一般般為為負(fù)負(fù)。這這表表明明，當(dāng)當(dāng)商商品品的的價價格格上上漲漲（或或下下跌跌）1 1% %時時，其其需需求求量量將將減減少少（或或增增加加）約約 %p。因因此此，經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)學(xué)學(xué)中中，比比較較商商品品需需求求彈彈性性大大小小時時，采采用用彈彈性性的的絕絕對對值值 p。當(dāng)當(dāng)我我們們說說商商品品的的需需求求價價格格彈彈性性大大時時，是是指指其其絕絕對對值值大大 當(dāng)當(dāng)1p （即即1p）時時, ,稱稱為為單單位位彈彈性性，此此時時商商品品需需求求量量變變動動的的百百分分比比與與價價格格變

11、變動動的的百百分分比比相相等等； 2 2. .需需求求彈彈性性 .15當(dāng)當(dāng)1p （即（即1p）時，稱為）時，稱為高彈性，高彈性，此時商品需求量變動的百分比高于價格變此時商品需求量變動的百分比高于價格變動的百分比， 價格的變動對需求量的影響較動的百分比， 價格的變動對需求量的影響較大；大； 當(dāng)當(dāng)10p （即（即1p） 時， 稱為） 時， 稱為低彈性低彈性，此時商品需求量變動的百分比低于價格變此時商品需求量變動的百分比低于價格變動的百分比， 價格的變動對需求量的影響不動的百分比， 價格的變動對需求量的影響不大。大。 2 2. .需需求求彈彈性性 .16在商品經(jīng)濟(jì)中， 商品經(jīng)營者關(guān)心的是提價在商品經(jīng)

12、濟(jì)中， 商品經(jīng)營者關(guān)心的是提價（0p ）或降價（）或降價（0p ）對總收益的影響）對總收益的影響. .設(shè)銷售收益設(shè)銷售收益 RQp（ Q為銷售量，為銷售量，p為價為價格） ，則當(dāng)價格格） ，則當(dāng)價格 p有微小改變量有微小改變量 p時，有時，有 QdpQdppdQpdQQdpQpddRR)1 ()( 即即 (1) dpRQ p 3 3. . 用用需需求求彈彈性性分分析析總總收收益益（或或市市場場銷銷售售額額）的的變變化化 .17由由p0 0 知，知，p= =p，于是有，于是有 (1) dpRQ p 由此可知，當(dāng)由此可知，當(dāng)1p（高彈性）時，降價（高彈性）時，降價(0)dp 可使總收益增加可使總收

13、益增加(0)R，薄利多銷多，薄利多銷多受益；提價受益；提價(d0)p 將使總收益減少將使總收益減少(0)R 當(dāng)當(dāng)1p（低彈性）時，降價可使總收益減（低彈性）時，降價可使總收益減少少(0)R，提價使總收益增加，提價使總收益增加 當(dāng)當(dāng)1p（單位彈性）時，總收益近似為（單位彈性）時，總收益近似為(0)R，即提價或降價對總收益沒有明顯的，即提價或降價對總收益沒有明顯的影響影響 .18解解 (1)(1)515pQe 所以所以 55d1()d55ppppQppeQpe 例例 2 2 設(shè)設(shè)某某商商品品的的需需求求函函數(shù)數(shù)為為 5pQe，求求 ( (1 1) )需需求求彈彈性性函函數(shù)數(shù)； ( (2 2) )3

14、56p 、時時的的需需求求彈彈性性, ,并并給給以以適適當(dāng)當(dāng)?shù)牡慕?jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)解解釋釋 .19解解 (2)(2)當(dāng)當(dāng)330.61,5pp時，為低彈性， 說低彈性， 說明明3p 時，需求變動的幅度小于價格變動的時，需求變動的幅度小于價格變動的幅度，即價格上漲幅度，即價格上漲 1%1%，需求量只減少，需求量只減少 0.0.6%6%；此時降價將使總收益減少，提價將使總收益此時降價將使總收益減少，提價將使總收益增加增加 當(dāng)當(dāng)5p 時時1,p為單位彈性， 說明當(dāng)為單位彈性， 說明當(dāng)5p 時，需求變動的幅度與價格變動的幅度相同，時，需求變動的幅度與價格變動的幅度相同，即價格上漲即價格上漲 1%1%，需求量也減少

15、，需求量也減少 1%1%； 此時提此時提價或降價或降價對總收益沒有明顯影響價對總收益沒有明顯影響 .20解解 當(dāng)當(dāng)6p 時時，1.21p，為為高高彈彈性性，說說明明6p 時時，需需求求變變動動的的幅幅度度大大于于價價格格變變動動的的幅幅度度，即即價價格格上上漲漲 1 1% %，需需求求量量將將減減少少 1 1. .2 2% %；此此時時降降價價將將使使總總收收益益增增加加，提提價價將將使使總總收收益益減減少少 例例3 3 設(shè)糕點廠加工生產(chǎn)設(shè)糕點廠加工生產(chǎn)A A類糕點的總成本函數(shù)類糕點的總成本函數(shù)和收入函數(shù)分別是和收入函數(shù)分別是2( )10020.02C xxx（元）和和2( )70.01R x

16、xx（元）。 求求: :邊際利潤函數(shù)及當(dāng)產(chǎn)量分別是邊際利潤函數(shù)及當(dāng)產(chǎn)量分別是 200200 公公斤，斤，250250 公斤和公斤和 300300 公斤時的邊際利潤，并說公斤時的邊際利潤，并說明其經(jīng)濟(jì)意義明其經(jīng)濟(jì)意義. . .21解解 （1 1）由由題題意意，得得利利潤潤函函數(shù)數(shù)為為 2( )( )( )10050.01L xR xC xxx 邊邊際際利利潤潤函函數(shù)數(shù)為為( )50.02L xx 日日產(chǎn)產(chǎn)量量為為 2 20 00 0 公公斤斤、2 25 50 0 公公斤斤和和 3 30 00 0 公公斤斤時時的的邊邊際際利利潤潤分分別別是是 (200)1L（元）、(250)0L（元）、(300)

17、1L （元） 其其經(jīng)經(jīng)濟(jì)濟(jì)意意義義為為： 日日產(chǎn)產(chǎn)量量為為 2 20 00 0 公公斤斤的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)上上，再再增增產(chǎn)產(chǎn) 1 1 公公斤斤，則則總總利利潤潤可可增增加加 1 1 元元；日日產(chǎn)產(chǎn)量量為為2 25 50 0 公公斤斤的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)上上，再再增增產(chǎn)產(chǎn) 1 1 公公斤斤，則則總總利利潤潤無無增增加加；日日產(chǎn)產(chǎn)量量為為 3 30 00 0 公公斤斤的的基基礎(chǔ)礎(chǔ)上上，再再增增產(chǎn)產(chǎn) 1 1 公公斤斤，則則反反而而虧虧損損 1 1 元元. . .22解解 因為因為ddppQQp ， 所以所以pQpQQpQpp 而由題設(shè)條件得而由題設(shè)條件得 Q15%18%Qpp 所以所以18%1.215%p 故該商品的需求彈性約為故該商品的需求彈性約為- -1.21.2。 例 4 某產(chǎn)品在市場銷售中，為了提高銷量，降價了 15%，結(jié)果銷量增長了 18%，試問該商品的需求彈性為多少？ .23作 業(yè)習(xí)題三33、34、35、36.24關(guān)于復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)數(shù)的幾個例子,1