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1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上第二節(jié)應(yīng)用舉例題型一 測量距離問題ABC【母題 】如圖所示,設(shè)、兩點(diǎn)在河的兩岸,要測量兩點(diǎn)之間的距離,測量者在的同側(cè),在所在的河岸邊選定一點(diǎn),測出的距離是m,.求、兩點(diǎn)間的距離(精確到m).分析 所求的邊的對角是已知的,又已知三角形的一邊,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出的對角,根據(jù)正弦定理,可以計(jì)算出邊.解答 根據(jù)正弦定理,得(m)點(diǎn)撥 本題是測量一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題,用正弦定理就可解決。解題錦囊 本題型的解題關(guān)鍵在于明確:(1)測量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題,一般可轉(zhuǎn)化為已知三角形兩個(gè)角和一邊解三角形的問題,再運(yùn)用正弦定
2、理解決。(2)測量兩個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離問題,首先把求不可到達(dá)的兩點(diǎn)之間的距離轉(zhuǎn)化為應(yīng)用正弦定理求三角形的邊長問題,然后再把未知的邊長問題轉(zhuǎn)化為測量可到達(dá)的一點(diǎn)與不可到達(dá)的一點(diǎn)之間的距離問題。衍生題衍生1 如圖所示,客輪以速度由至再到勻速航行,貨輪從的中點(diǎn)出發(fā),以速度沿直線勻速航行,將貨物送達(dá)客輪,已知,且海里。若兩船同時(shí)啟航出發(fā),則兩船相遇之處距點(diǎn) 海里。(結(jié)果精確到小數(shù)點(diǎn)后1位)ABCDABCDE解析 兩船相遇點(diǎn)在上,可設(shè)為,設(shè),則故 得 ,答案 點(diǎn)撥 本題考查了測量距離問題。衍生2如圖所示,兩點(diǎn)都在河的對岸(不可到達(dá)),設(shè)計(jì)一種測量兩點(diǎn)間距離的方法。ABCDAAA分析 可以先計(jì)算出河
3、的這一岸的一點(diǎn)到對岸兩點(diǎn)的距離,再測出的大小,借助余弦定理可以計(jì)算出兩點(diǎn)間距離。解答 法一:測量者可以在河岸邊選定兩點(diǎn)、,測得并且在、兩點(diǎn)分別測得在和中,應(yīng)用正弦定理得計(jì)算出和后,再在中,應(yīng)用余弦定理計(jì)算出兩點(diǎn)間的距離。 法二:本題也可以在河的這一岸選定、,測出取 中點(diǎn),因此要求,構(gòu)造,需要求出、及所以要測出再分別在、中用余弦定理就可求出、求解過程如下:在中,在中,在中, 點(diǎn)撥 求解三角形中的基本元素,應(yīng)由確定三角形的條件個(gè)數(shù),選擇合適的三角形求解,如本題法一選擇的是和.衍生3 如圖,隔河看兩目標(biāo)、,但不能到達(dá),在岸邊選取相距千米的兩點(diǎn),并測得ABBCD (、在同一平面內(nèi))求兩目標(biāo)、之間的距離
4、。分析 要求出、之間的距離,可在(或中去找關(guān)系,但不管在哪個(gè)三角形中,、這些量都是未知的,需要在三角形中找出合適的關(guān)系,求出它們的值,剩下的只需解三角形了。解答 在中,在中,由正弦定理,可得 由余弦定理,可得(千米),即兩目標(biāo)、之間的距離為千米。點(diǎn)撥 若首先解求出,再求,最后解,則其計(jì)算量就比上述解法要大,因此當(dāng)問題有多種解決途徑時(shí),我們應(yīng)該用價(jià)值的觀念來審視每種解法,從而探索到最優(yōu)解法。在中,若已知兩角及任一邊,一般用正弦定理求解,但要注意實(shí)際問題是否為一些特殊三角形,如正三角形、直角三角形、等腰三角形等.題型二 測量高度問題【母題 】如果要測量某鐵塔的高度,但不能到達(dá)鐵塔的底部,在只能使用
5、簡單的測量工具的前提下,你能設(shè)計(jì)出哪些測量方法?并提供每種方法的計(jì)算公式。分析 要測量鐵塔的高度,只能在鐵塔底部所在的平面上選取兩點(diǎn),量出兩點(diǎn)間的距離,再測量有關(guān)角,從而構(gòu)造三角形求解。解答 測量方法1、如右圖所示,BAOAAP在地面上引一條基線,這條基線和塔底在同一水平面上,且不過點(diǎn),測出的長,及對塔頂?shù)难鼋牵瑒t可求出鐵塔的高。在中, 在中,在中,由余弦定理得,測量方法2、AOBP在地面上引一條基線,這條基線和塔底在同一水平面上,并使三點(diǎn)在一條直線上,測出的長和對塔頂?shù)难鼋牵瑒t可求出鐵塔的高。計(jì)算方法如下:如右圖所示, 在中,由正弦定理得,在中,測量方法3、APOBAPOB在地面上引一條基線
6、,這條基線和塔底在同一水平面上,且延長后不過塔底,測出的長,用經(jīng)緯儀測出角和對塔頂?shù)难鼋堑拇笮?,則可求出鐵塔的高。計(jì)算方法如下:如右圖所示,在中,由正弦定理得 在中,點(diǎn)撥 本題是個(gè)開放性的題目,靈活構(gòu)造三角形解題是一大特點(diǎn)。解題錦囊 本題型的解題思路:(1)測量底部不可到達(dá)的建筑物的高度問題,由于底部不可到達(dá),因此不能直接用解直角三角形的方法解決,但常用正弦定理計(jì)算出建筑物頂部或底部到一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離,然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題。(2)對于頂部不可到達(dá)的建筑物高度的測量問題,我們可選擇另一建筑物作為研究的橋梁,然后找到可測建筑物的相關(guān)長度和仰、俯角等構(gòu)成三角形,在此三角形中利用正弦定
7、理或余弦定理求解即可。衍生題衍生1 如圖,是水平面上的兩個(gè)點(diǎn),相距800m,在點(diǎn)測得山頂?shù)难鼋菫?,,又在點(diǎn)測得,其中是點(diǎn)在水平面上的垂足,則山高 為 .(精確到1m)ABCD2501100400解析 在中,,由正弦定理,得(m)在中,(m)山高約為480(m).答案 480點(diǎn)撥 測量高度問題常利用解一個(gè)直角三角形和一個(gè)斜三角形來解決,解斜三角形一般用正弦定理。衍生2 某人在塔的正東沿著南偏西的方向前進(jìn)m后,望見塔在東北方向,若沿途測得塔的最大仰角為,求塔高。ABFDCE分析 依題意畫圖,某人在處,為塔高,他沿前進(jìn),米,此時(shí),從到沿途測塔的仰角,只有到測試點(diǎn)的距離最短時(shí),仰角才最大,這是因?yàn)椋?/p>
8、為定值,最小時(shí),仰角最大。要求出塔高必須先求,而要求BE須先求或().解答 在中,由正弦定理,得在中,在中, (米).故所求的塔高為米.點(diǎn)撥 在測量高度時(shí),要理解仰角、俯角的概念。仰角和俯角都是在同一鉛錘面內(nèi),視線與水平線的夾角。當(dāng)視線在水平線之上時(shí),成為仰角;當(dāng)視線在水平線之下時(shí),稱為俯角。衍生3 在某一山頂觀測山下兩村莊、,測得的俯角為,的俯角為,觀測、兩村莊的視角為,已知、在同一海平面上且相距1000米,求山的高度.(精確到1米)分析 畫出立體圖形的直觀圖,由余弦定理列出方程,解方程可求得山高.解答 設(shè)山頂為,山高 ,由題意,得 ABCD在中, ,在中, 在中,由余弦定理知故山高約為64
9、3米.點(diǎn)撥 把問題抽象概括為在空間解三角形問題,畫出直觀圖是解題的關(guān)鍵,設(shè)出未知量可把已知量轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中,由正、余弦定理列出方程可解決問題.ABCDE2衍生4 如圖,在某點(diǎn)處測得建筑物的頂端的仰角為,沿方向前進(jìn)m,至點(diǎn)處測得頂端的仰角為,再繼續(xù)前進(jìn)m至點(diǎn),測得頂端的仰角為,求的大小和建筑物的高。分析 本題可以從不同角度去分析,如正弦定理、方程思想、二倍角公式等,將會(huì)得到不同的解題方法,從而使思維更開闊,也能從中最佳的解題方法,本題用正弦定理解決更簡單適用。解答 解法一:(用正弦定理求解):由已知可得在和中,m, m,得在中(m).答: 所求角為建筑物高度為m.解法二:(設(shè)方程來求解):
10、設(shè)在中,在中,解得在中,答: 所求角為建筑物高度為m.解法三:(用倍角公式求解):設(shè)建筑物高為由題意,得m,m.在中, 在中, ,得 (m).答: 所求角為建筑物高度為m.點(diǎn)撥 這是一道測量高度的問題,在實(shí)際生活中是常見問題,平時(shí)注意觀察和思考解決辦法,知識(shí)才能累積起來。題型三 測量角度問題【母題 】一艘海輪從出發(fā),沿北偏東的方向航行n mile后到達(dá)海島,然后從出發(fā),沿北偏東的方向航行n mile后到達(dá)海島,如果下次航行直接從出發(fā)到達(dá),此船應(yīng)該沿怎樣的方向航行,需要航行的距離是多少?(角度精確到,距離精確到nmile)分析 根據(jù)題意畫出圖形,選準(zhǔn)三角形,利用正、余弦定理求解。東G西北南AB解
11、答 在中,根據(jù)余弦定理,根據(jù)正弦定理,所以,.答 :此船應(yīng)該沿的方向航行,需要航行的距離是n mile.點(diǎn)撥 本題易出現(xiàn)由,得或的錯(cuò)誤結(jié)果。忽視了本題的實(shí)際意義。解題錦囊 解決測量角度問題的關(guān)鍵:首先應(yīng)明確方位角的含義,然后分析題意,分清已知與所求,再根據(jù)題意畫出正確的示意圖,這是最關(guān)鍵、最重要的一步,通過這一步可將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成可用數(shù)學(xué)方法解決的問題,解題時(shí)也要注意體會(huì)正、余弦定理“聯(lián)袂”使用的優(yōu)點(diǎn)。衍生題衍生1 如圖,平面內(nèi)三個(gè)力,作用于同一個(gè)點(diǎn)且處于平衡狀態(tài),已知的大小分別為,, 與的夾角為,求的大小及與的夾角。分析 根據(jù)物理知識(shí)并結(jié)合向量加法的三角形法則及解三角形的知識(shí)求解。CAOBD
12、F解答 設(shè)三個(gè)力作用于點(diǎn),與 的合力為 ,由共點(diǎn)力平衡,得 ,令在, 即又由正弦定理,得的大小為 與的夾角為點(diǎn)撥 用正弦定理、余弦定理及向量等知識(shí)可以解決物理中的矢量合成與分解等問題,這說明數(shù)學(xué)是物理及其他自然科學(xué)的輔助工具,在學(xué)習(xí)過程中,要加強(qiáng)學(xué)科間的聯(lián)系,學(xué)以致用。衍生2 一海輪以海里每時(shí)的速度向正東航行,它在點(diǎn)測得燈塔在船北偏東,小時(shí)后到達(dá)地, 測得燈塔在船的北偏東,求(1)船在點(diǎn)時(shí)與燈塔的距離;(2)已知以點(diǎn)為圓心,海里為半徑的圓形水域內(nèi)有暗礁,那么這船繼續(xù)向正東航行有無觸礁的危險(xiǎn)?ABDP分析 根據(jù)題意,作出相應(yīng)圖形,問題歸結(jié)為已知兩角和一角對邊的問題,故可考慮正弦定理求解。解答(1
13、)如圖,在中,依題意,,.(海里)由正弦定理得,解得(2)過作,為垂足,在中,故船在點(diǎn)時(shí)與燈塔相距海里,繼續(xù)向正東航行有觸礁的危險(xiǎn)。點(diǎn)撥 測量角度問題的情境屬于“根據(jù)需要,對某些物體定位”,測量數(shù)據(jù)越準(zhǔn)確,定位精度越高.盡可能利用直角三角形.衍生3 外國船只除特許者外,不得進(jìn)入離我海岸線海里以內(nèi)的區(qū)域,設(shè)和是我們的兩個(gè)觀測站,與之間的距離為海里,海岸線是經(jīng)過、的直線。一外國船只在點(diǎn)處,測得,問:滿足什么簡單的三角函數(shù)不等式時(shí),就應(yīng)當(dāng)向未經(jīng)過特許的外國船只發(fā)出警告?分析 本題實(shí)質(zhì)是找出滿足的三角函數(shù)式表示,再由題意列出與的不等式即可。ABDP解答 法一 如圖所示,作,垂足為,在中,,.由正弦定理
14、得由面積關(guān)系得 ,由,知當(dāng)滿足時(shí),就應(yīng)向此未經(jīng)特許的外國船只發(fā)出警告。法二 在中,在中,.故當(dāng),即時(shí),就應(yīng)發(fā)出警告.點(diǎn)撥 本題最后得到的結(jié)果是一個(gè)不等關(guān)系,但在得到這一不等式的過程中,首先要考慮如何建立以為自變量,以為因變量的函數(shù)關(guān)系式.題型四 探求三角形的面積 【母題 】一在中,已知,求的面積。分析 在解三角形時(shí),有些較復(fù)雜的問題常常需要將三角形的有關(guān)知識(shí)與正弦定理、余弦定理結(jié)合使用,本題中根據(jù)條件利用兩定理求出邊和角。解答 方法一: 設(shè)三邊、的長分別為、,由得,.又.由正弦定理得,又由,所求三角形的面積為.方法二 : 同方法一可得.又由余弦定理,得,得由已知得,.由得,而(舍去),故.故所
15、求面積.點(diǎn)撥 本題主要考察正弦定理、余弦定理和三角形面積公式的基礎(chǔ)知識(shí),同時(shí)考察三角公式恒等變形的技能和運(yùn)算能力。解題錦囊 求三角形面積是解三角形過程中的一種常見的重要題型, 本題型常用的解題方法主要有:(1);(2)另外還有用向量表示的公式:|,其中向量(,),(,)分別是三角形兩邊所表示向量的坐標(biāo)。由于三角形的面積公式有多種形式,在解題的過程中應(yīng)根據(jù)題目所給條件選擇恰當(dāng)?shù)拿娣e公式,這要求對每一個(gè)公式的使用條件非常熟悉,并會(huì)變形應(yīng)用公式。衍生題衍生1 已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)為、,求的面積.分析 的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)已知,用向量面積公式解此題較簡捷。解答 、,由|,可得.點(diǎn)撥 簡潔明了是新教材引入向
16、量之后由繁變簡的一個(gè)典范,在學(xué)習(xí)過程中應(yīng)注意應(yīng)用。衍生2 已知圓內(nèi)接四邊形的邊長分別是,求四邊形的面積.分析 先將所求面積轉(zhuǎn)化為用某個(gè)角的三角函數(shù)表示,再利用對角互補(bǔ)及余弦定理求出該角即可.解答 如圖,連結(jié),則四邊形的面積ABCD2464,.在中,由余弦定理得,在中, 由余弦定理得,.又,.點(diǎn)撥 在有公共邊的兩個(gè)三角形中分別應(yīng)用余弦定理,也是解三角形常用到的方法,同時(shí)要注意“圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)”這一條件.衍生3 在中,角、對邊的邊長分別是、,已知.(1)若的面積等于,求,;(2)若,求的面積.分析 由三角形面積公式和余弦定理得關(guān)于、的方程組求解(1);將變形,左邊可變?yōu)?,再展開整理,右邊用二
17、倍角 公式來求解(2).解答 (1)由余弦定理,得又的面積等于,,得.聯(lián)立方程組 ,解得(2),由已知得即當(dāng)時(shí),. 當(dāng)時(shí),得,由正弦定理得,聯(lián)立方程組,解得的面積點(diǎn)撥 本題(1)主要用了邊關(guān)系待定系數(shù)法;(2)用到了角關(guān)系的待定系數(shù)和邊關(guān)系待定系數(shù)法,注意兩個(gè)小題條件獨(dú)立,解(2)時(shí)不能用(1)的結(jié)論。衍生4 已知、是中的對邊,是的面積.若,則= 解析 法一 而,于是或又當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí),故的長度為或法二 或或答案 或點(diǎn)撥 可利用及,其中兩種面積公式求解.衍生5 在中,角、的對邊分別為、,的外接圓半徑,且滿足.(1) 求角和邊的大??;(2)求的面積的最大值.分析 根據(jù)三角函數(shù)式即可求(1),利用面積
18、公式和基本不等式求(2)解答(1)有已知,整理得,即 ,.又,.,. (2)由余弦定理,得,即 ,(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)),即 (當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)).的面積的最大值為.點(diǎn)撥 在求面積最值時(shí)利用了基本不等式,注意基本不等式的使用條件。題型五 正、余弦定理的實(shí)際應(yīng)用【母題 】某觀測站在城的南偏西的方向,由城出發(fā)的一條公路,走向是南偏東,在處測得公路上處有一人,距為千米,正沿公路向城走去,走了千米后到達(dá)處,此時(shí)間的距離為千米,問:這人還要走多少千米才能到達(dá)城?分析 本題為解斜三角形的應(yīng)用問題,要求這人走多少路可到達(dá)城,也就是要求的長.在中,已知千米,只需再求出一個(gè)量即可.解答 如圖,令在中,ABCD北東
19、213120A由余弦定理得,.而,在中 , ,(千米 ).這個(gè)人再走千米就可到達(dá)城.點(diǎn)撥 正確畫出圖形,綜合運(yùn)用正弦定理與余弦定理解題.解題錦囊 本題型的一般解題思路:(1)讀懂題意,理解問題的實(shí)際背景,并根據(jù)題意正確畫出示意圖;(2)明確已知和所求,理清量與量之間的關(guān)系,將實(shí)際問題抽象成數(shù)學(xué)模型;(3)選擇正、余弦定理求數(shù)學(xué)模型的解;(4)將數(shù)學(xué)模型的解還原為實(shí)際問題,注意實(shí)際問題中的單位、近似計(jì)算要求.衍生題衍生1 臺(tái)風(fēng)中心從地以每小時(shí)km的速度向東北方向移動(dòng),離臺(tái)風(fēng)中心km內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū),城市在正東km處,求城市從進(jìn)入危險(xiǎn)區(qū)到脫離危險(xiǎn)區(qū)持續(xù)的時(shí)間.分析 分別求出進(jìn)入、脫離危險(xiǎn)區(qū)的時(shí)間,相減后即得所求,也可求出臺(tái)風(fēng)中心距離城市小于或等于千米的路徑的長度,再除以臺(tái)風(fēng)中心移動(dòng)速度.解答 方法一 設(shè)h后,臺(tái)風(fēng)中心距離城市km,則,即,解得或,即臺(tái)風(fēng)影響城市的持續(xù)時(shí)間為h.方法二 如圖所示,過作于 則,又,.故臺(tái)風(fēng)影響城市的持續(xù)時(shí)間為h.點(diǎn)撥 解決本題的關(guān)鍵是抓住“離臺(tái)風(fēng)中心km內(nèi)的地區(qū)為危險(xiǎn)區(qū)”這一條件.衍生2 如圖,某住宅小區(qū)的平面呈扇形,小區(qū)的兩個(gè)出入口設(shè)置在點(diǎn)及點(diǎn)處,小區(qū)里有兩條筆直的小路,且拐彎處的轉(zhuǎn)角為.已知某人從沿走到用了10分
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