高等數(shù)學(xué)：9-3 三重積分

1、1三重積分的三重積分的概念概念三重積分的計(jì)算三重積分的計(jì)算小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)(triple integral)第三節(jié)三重積分第三節(jié)三重積分第九章第九章 重積分重積分2是空間有界閉區(qū)域是空間有界閉區(qū)域上的上的如當(dāng)各小閉區(qū)域直徑中的最大值如當(dāng)各小閉區(qū)域直徑中的最大值在每個(gè)在每個(gè)iv ),(iii ),2 , 1(),(nivfiiii .),(1iniiiivf 1. 三重積分的定義三重積分的定義nvvv ,21將閉區(qū)域?qū)㈤]區(qū)域任意分成任意分成n個(gè)小閉區(qū)域個(gè)小閉區(qū)域 其中其中iv 并作和并作和作乘積作乘積),(zyxf設(shè)設(shè)有界函數(shù)有界函數(shù). .也表示它的體積也表示它的體積.表示第表示

2、第i個(gè)小閉區(qū)域個(gè)小閉區(qū)域,上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)三重積分三重積分一、三重積分的概念一、三重積分的概念(define)3記為記為函數(shù)函數(shù)),(zyxf趨于零時(shí)這和的極限總存在趨于零時(shí)這和的極限總存在,iiiniivf ),(lim10 則稱此極限為則稱此極限為 在閉區(qū)域在閉區(qū)域上的三重積分上的三重積分. vzyxfd),(即即 vzyxfd),(體積元素體積元素三重積分三重積分43. 三重積分的幾何意義三重積分的幾何意義設(shè)被積函數(shù)設(shè)被積函數(shù), 1),( zyxf VvVd1連續(xù)函數(shù)一定可積連續(xù)函數(shù)一定可積2. 三重積分存在性三重積分存在性則區(qū)域則區(qū)域V 的體積為的體積為在在上是可積的上是可積的.)

3、,(zyxf當(dāng)當(dāng)?shù)娜胤e分存在性時(shí)的三重積分存在性時(shí),),(zyxf稱稱三重積分三重積分(existence)54. 三重積分的性質(zhì)三重積分的性質(zhì)與二重積分的性質(zhì)類似與二重積分的性質(zhì)類似.補(bǔ)充三重積分補(bǔ)充三重積分vzyxfd),(0為為f的的偶偶函函數(shù)數(shù)z對(duì)稱性質(zhì)對(duì)稱性質(zhì)),(),(zyxfzyxf 則稱則稱f關(guān)于變量關(guān)于變量z的的奇奇 函數(shù)函數(shù).即對(duì)稱點(diǎn)的函數(shù)值即對(duì)稱點(diǎn)的函數(shù)值僅僅符號(hào)相反（或者是函數(shù)值相等）僅僅符號(hào)相反（或者是函數(shù)值相等） vzyxfd),(則則 (1),坐標(biāo)面對(duì)稱坐標(biāo)面對(duì)稱xOy關(guān)于關(guān)于的的奇奇函函數(shù)數(shù)z為為f21 若域若域xOy在在為為其中其中 1坐標(biāo)面的上半部區(qū)域坐標(biāo)

4、面的上半部區(qū)域.),(),(zyxfzyxf (偶偶)三重積分三重積分(property)6或或,坐標(biāo)面對(duì)稱坐標(biāo)面對(duì)稱關(guān)于關(guān)于xOz 的奇函數(shù)的奇函數(shù)是是yf而得結(jié)果為零而得結(jié)果為零.例例,2222azyx vzyxd22 vzy d2 0vzy d221 0 則則為為設(shè)域設(shè)域 部分部分的的為為01 z ,1坐標(biāo)面對(duì)稱坐標(biāo)面對(duì)稱關(guān)于關(guān)于xOz 的奇函數(shù)的奇函數(shù)是是yf,坐標(biāo)面對(duì)稱坐標(biāo)面對(duì)稱關(guān)于關(guān)于xOy 的偶函數(shù)的偶函數(shù)是是zf三重積分三重積分7例例,2222azyx vyzxd2 0 vzyd22 vzyd4222 0的的偶偶函函數(shù)數(shù)yx,4vzyxfd),( vzyxfd),(則則(2),

5、都對(duì)稱都對(duì)稱xOzyOz關(guān)于兩個(gè)坐標(biāo)面關(guān)于兩個(gè)坐標(biāo)面 若域若域 同同為為f 是是其中其中2在第一在第一,五卦限部分的區(qū)域五卦限部分的區(qū)域.為為設(shè)域設(shè)域 是是2在一在一,五卦限部分的區(qū)域五卦限部分的區(qū)域,則則2 三重積分三重積分f, x y為之一的奇函數(shù)8 1988年研究生考題年研究生考題,選擇選擇,3分分, 0,22221 zRzyx：設(shè)空間區(qū)域設(shè)空間區(qū)域 ;d4d)(21 vxvxA;d4d)(21 vyvyB;d4d)(21 vzvzC.d4d)(21 vxyzvxyzDC則則( )成立成立.三重積分三重積分22222,0,0,0,xyzRxyz：9關(guān)于關(guān)于三個(gè)三個(gè)坐標(biāo)坐標(biāo)面面都都對(duì)稱對(duì)稱

6、,在第在第一一卦限部分的區(qū)域卦限部分的區(qū)域.例例,2222azyx vyzxd 0 vzyd22 vzyd8223 0f同同為為f vzyxfd),(則則 若域若域(3)的的偶偶函函數(shù)數(shù)zyx,3 vzyxfd),(8 是是其中其中3為為設(shè)域設(shè)域 是是3在第一在第一 三重積分三重積分卦限的部分卦限的部分, 則則, ,zx y為之一的奇函數(shù)10 vzyxfd),(則則 為為f0為為f vzyxfd),(2(4)4 關(guān)于關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱原點(diǎn)對(duì)稱,的奇函數(shù)的奇函數(shù)zyx,的的偶偶函函數(shù)數(shù)zyx,三重積分三重積分關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的一半?yún)^(qū)域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的一半?yún)^(qū)域.4其中為 中若( , , ),(,)x y zx

7、yz (,)( , , )fxyzf x y z (,)( , , )fxyzf x y z特別注意：特別注意：對(duì)稱點(diǎn)上積分微元的相等對(duì)稱點(diǎn)上積分微元的相等或者是剛好反號(hào)是問題的本質(zhì)屬性！或者是剛好反號(hào)是問題的本質(zhì)屬性！11.lkjizyxv 則則zyxvdddd 二、三重積分的計(jì)算二、三重積分的計(jì)算1. 在直角坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分在直角坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分故故直角坐標(biāo)系下直角坐標(biāo)系下的體積元素為的體積元素為在直角坐標(biāo)系下在直角坐標(biāo)系下三重積分可表為三重積分可表為 vzyxfd),().(是是小小長長方方體體iv 在直角坐標(biāo)系中在直角坐標(biāo)系中, 如果用平行于坐標(biāo)面的如果用平行于坐標(biāo)面的平面的來

8、劃分平面的來劃分, zyxzyxfddd),(三重積分三重積分12直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次積分直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次積分),(:11yxzzS Dyx ),(,1穿入穿入從從 z 投影法投影法思想是思想是),(:22yxzzS ( (先一后二法先一后二法) )如圖如圖, 閉區(qū)域閉區(qū)域 xOy在在面上的投影為閉區(qū)域面上的投影為閉區(qū)域D, ,過點(diǎn)過點(diǎn)作直線作直線,穿出穿出從從2z三重積分三重積分xyzO Dab)(1xyy )(2xyy 1S),(1yxzz 2S),(2yxzz ),(yx1z2z13,看作定值看作定值先將先將yx ),(),(21d),(),(yxzyxzzzyx

9、fyxF,),()(:21bxaxyyxyD X型型),(yxF再計(jì)算再計(jì)算zzyxf只看作只看作將將),(的函數(shù)的函數(shù),上的二重積分上的二重積分在閉區(qū)間在閉區(qū)間 Dd),(),(),(21 yxzyxzzzyxf DyxF d),( D d vzyxfd),(得得 ),(),(21d),(yxzyxzzzyxf )()(21dxyxyy baxd三重積分三重積分則則14 vzyxfd),( 軸且穿過閉區(qū)域軸且穿過閉區(qū)域這是平行于這是平行于 z如何寫出當(dāng)如何寫出當(dāng)D為為Y型閉域型閉域時(shí)時(shí),21( , )( , )( , , )dzx yzx yf x y zz21( )( )ddbyxayxx

10、y注注化為三次積分的公式化為三次積分的公式三重積分三重積分S的邊界曲面的邊界曲面內(nèi)部的直線與閉區(qū)域內(nèi)部的直線與閉區(qū)域 相交不多兩點(diǎn)情形相交不多兩點(diǎn)情形.三重積分三重積分15所以所以,三重積分可以化為六種不同次序的三次積三重積分可以化為六種不同次序的三次積分分(累次積分累次積分).和積分域和積分域選取適當(dāng)?shù)娜畏e分進(jìn)行計(jì)算選取適當(dāng)?shù)娜畏e分進(jìn)行計(jì)算.解題時(shí)解題時(shí), 要依據(jù)具體的被積函數(shù)要依據(jù)具體的被積函數(shù)),(zyxf同樣同樣,也可以把積分域也可以把積分域向向yOz、zOx面投影面投影.三重積分三重積分16,dddcos43zyxzyxIV .20, 10, 10),( zyxzyxV 解解 由

11、于由于V是長方體是長方體, 故故20115141 Iyy d104 xx d103 例例三次積分的上、下限三次積分的上、下限都是常數(shù)都是常數(shù),三重積分三重積分計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分其中其中V是長方體是長方體 xyzO2 zzdcos017解解1:22 yxD化三重積分化三重積分 zyxzyxfIddd),(為三次積分為三次積分,例例222yxz 22xz 及及所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域. 22222xzyxz由由三重積分三重積分其中積分區(qū)域?yàn)橛汕嫫渲蟹e分區(qū)域?yàn)橛汕娴媒痪€得交線, 由此推出投影區(qū)域由此推出投影區(qū)域 ：故故 2211xyx 11 xz 11221122222d),(ddxy

12、xxxzzyxfyxI 222yx22x xyzO22xz 222yxz 18例例 求求 zxzyxyeyzxI10)1(1010d)1(dd2111解解2ye 的原函數(shù)不是初等函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù),應(yīng)先應(yīng)先x對(duì)積分對(duì)積分 zyx10d 10d)1(yy2114e一定要一定要交換積分次序交換積分次序. I211(1)00(1)ddyy zyyez 1 zyx三重積分三重積分xyzO 10d)1(yy yzyzye102)1()1(d2 yzyzzye10)1(d)1(219,dddzyxzxyV 計(jì)計(jì)算算所所圍圍成成的的區(qū)區(qū)域域與與平平面面1 z解解 畫積分區(qū)域的草圖畫積分區(qū)域的草圖.采用

13、采用先對(duì)先對(duì)x積分積分, 再對(duì)再對(duì)y、z積分積分的方法簡(jiǎn)單的方法簡(jiǎn)單.,10 ,0),( zzyzyDyz,),(yzDzy .022yzx 220010ddd1yzzxxyyzzI zyyzyzz02210d2d1zz d811027 222yxzV 為錐面為錐面其中其中例例.在在第第一一卦卦限限內(nèi)內(nèi)的的部部分分三重積分三重積分將將V向向yOz平面投影平面投影對(duì)任一對(duì)任一x取值為取值為.361 先對(duì)先對(duì)z積分積分?得平面區(qū)域得平面區(qū)域xyzO1 20 截面法截面法(紅色部分紅色部分)( (先二后一法先二后一法) )截面法的一般步驟截面法的一般步驟(1)向某軸向某軸把積分區(qū)域把積分區(qū)域 )(軸

14、軸如如z投影投影, ,得投影區(qū)間得投影區(qū)間;,21cc(2),21ccz 對(duì)對(duì), 的平面去截的平面去截軸且平行軸且平行用過用過xOyz;zD得截面得截面(3)計(jì)算二重積分計(jì)算二重積分 zDyxzyxfdd),();(zFz的函數(shù)的函數(shù)其結(jié)果為其結(jié)果為(4).d)(21 cczzF最后計(jì)算單積分最后計(jì)算單積分xzoy 1c2czzD三重積分三重積分21 即即 zDyxzyxfcczvzyxfdd),(dd),(21 cczzF21d)(當(dāng)被積函數(shù)僅與變量當(dāng)被積函數(shù)僅與變量z有關(guān)有關(guān),截面法的公式還有兩個(gè)截面法的公式還有兩個(gè).用上公式簡(jiǎn)便用上公式簡(jiǎn)便. 希自己推希自己推注注且截面且截面Dz易知時(shí)易

15、知時(shí),三重積分三重積分22 zyxzddd zDyxdd1| ),(zyxyxDz zDyxdd截面法截面法( (先二后一法先二后一法)解解)1)(1(21zz 10dzz計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分 ,dddzyxz為為其中其中 例例.1所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域三個(gè)坐標(biāo)面及平面三個(gè)坐標(biāo)面及平面 zyx原式原式= zzzd)1(21210.241三重積分三重積分111xyzO1 zyxzD23 zzyxyzz101010ddd zyzyzz1010d)1(d投影法投影法( (先一后二法先一后二法) xzd dyzDzy 10計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分 ,dddzyxz為為其中其中 .1所圍成的閉

16、區(qū)域所圍成的閉區(qū)域三個(gè)坐標(biāo)面及平面三個(gè)坐標(biāo)面及平面 zyx三重積分三重積分 zyxzddd 102d)(121zzz.241 111xyzO1 zyx zyxzddd yxDzzxy10dd 24已知橢球已知橢球V: 內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)(x,y,z)處質(zhì)量處質(zhì)量的體密度為的體密度為: 求求橢球的橢球的質(zhì)量質(zhì)量.1222222 czbyax提示提示vczbyaxMVd222222 vaxVd22 vbyVd22 vczVd22 ,222222czbyax 三重積分三重積分25解解因?yàn)橐驗(yàn)関czbyaxMVd222222 vaxVd22 vbyVd22 vczVd22 而而 vaxVd22等于等于 xDzy

17、dd 222211axcaxb xaxaad22 zyddxD:1222222的面積的面積橢圓橢圓axczby 221axbc 其中其中三重積分三重積分26由對(duì)等性知由對(duì)等性知abc 154 VVvczvbydd2222因此因此.54abcM 所以所以 vaxVd22xaxaad22 xDzydd)1(dd22axbczyxD abc 154三重積分三重積分22222(1)daabcxxxaa27xyzO222224yxzyxaz 及及求曲面求曲面.V所所圍圍立立體體體體積積解解 兩曲面的交線為兩曲面的交線為 22222ayxaz所以所以,:xyDxOyV面面的的投投影影域域在在2222ayx

18、 VvVd 222224ddyxayxDzxy xyDyxyxa d)4(22222 d)4(d202220 aa例例極坐標(biāo)極坐標(biāo)三重積分三重積分38(22).3a28,0 ,20 z規(guī)定規(guī)定xyzo ),(zyxM),( Pz , , 直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)與與柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo)的關(guān)系為的關(guān)系為cos ,sin ,xyzz 就叫點(diǎn)就叫點(diǎn)M的的柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo).三重積分三重積分2. .利用柱面坐標(biāo)利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分cylindrical coordinates設(shè)設(shè)M(x, y, z)為空間內(nèi)一點(diǎn)為空間內(nèi)一點(diǎn),并設(shè)點(diǎn)并設(shè)點(diǎn)M在在xOy面上的投影面上的投影P的極坐標(biāo)為的極坐標(biāo)為則這樣的三

19、個(gè)數(shù)則這樣的三個(gè)數(shù)29為常數(shù)為常數(shù) 為常數(shù)為常數(shù)z為常數(shù)為常數(shù) 柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo)系中系中, 以以z軸為中心軸的軸為中心軸的圓柱面圓柱面；過過z軸的軸的半平面半平面.與與xOy平面平行的平面平行的平面平面;三坐標(biāo)面分別為三坐標(biāo)面分別為z , 三重積分三重積分稱點(diǎn)稱點(diǎn)M的柱面坐標(biāo)的柱面坐標(biāo)),(zyxM),( PxyzO 30 xyzo 柱面坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系中的中的體積元素體積元素為為zvdddd V 在在柱面坐標(biāo)系柱面坐標(biāo)系中中, 如圖如圖,V 得小柱體得小柱體即即直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系下三重積分與下三重積分與(紅色部分紅色部分).若以三坐標(biāo)面分割空間區(qū)域若以三坐標(biāo)面分割空間區(qū)域柱柱(面面)坐標(biāo)系

20、坐標(biāo)系下三重下三重積分的關(guān)系是積分的關(guān)系是 z 三重積分三重積分 z 31 如何計(jì)算如何計(jì)算柱坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系下三重積分下三重積分 zyxzyxfddd),( (f,cos ,sin ) zzddd 回想回想直角坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分方法下計(jì)算三重積分方法.將三重積分化為將三重積分化為,cos x,sin yzz 三次積分三次積分( (累次積分累次積分) )zvdddd 三重積分三重積分32 zyxzyxfddd),(柱坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系下三重積分的計(jì)算下三重積分的計(jì)算, 可得可得柱坐標(biāo)系柱坐標(biāo)系下三重積分化為下三重積分化為三次積分三次積分 baxyxyyxzyxzzzyxfyx)()(),

21、(),(2121d),(ddz , 與與x, y, z等同的看為三個(gè)變量等同的看為三個(gè)變量. 如如,極坐標(biāo)極坐標(biāo)不等式表示不等式表示, ).()(21 只要把被積只要把被積函數(shù)中的函數(shù)中的的計(jì)算公式的計(jì)算公式. 類比公式類比公式先先將將在在xOy面上的投影域用面上的投影域用三重積分三重積分33從而從而, ),()(21 zzfddd),sin,cos(故故 ),(),(21d),sin,cos( zzzzf )()(21d d: 再再確定確定的下的下, 上邊界面上邊界面),(1 zz ),(2 zz 注注通常是通常是先積先積再積再積后積后積三重積分三重積分、 、z. 12( , )( , )z

22、zz 34如積分域如積分域?yàn)閳A柱域?yàn)閳A柱域(如圖如圖). 20 ,0R ,0Hz vzyxfd),(則則: HRzzf0020d),sin,cos(dd 三重積分三重積分xyzO3520 ,0az ,cos20 解解 cos2 例例,d22 vyxz計(jì)算計(jì)算)0(0222 yxyx 所圍成所圍成.積分域用積分域用柱坐標(biāo)柱坐標(biāo)表示為表示為.982a 20d azz0d cos202d z原式原式 zddd 其中其中由半圓柱面由半圓柱面0, 0, 0 azzy及平面及平面: 三重積分三重積分Oxy2 xyzO0222 xyxxyzOaz 0222 xyxxyzOaz 0222 xyx36例例222

23、yxz 已知立體內(nèi)任一點(diǎn)的質(zhì)量的體密度已知立體內(nèi)任一點(diǎn)的質(zhì)量的體密度解解vyxkMd)(22 因?yàn)橐驗(yàn)?22yxz 平面平面2222 yx柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo)求曲面求曲面2 z與與所圍立體的質(zhì)量所圍立體的質(zhì)量M,與該點(diǎn)與該點(diǎn) 到到z軸的距離的平方成正比軸的距離的平方成正比.22()(0)k xyk常數(shù)的的交線交線是是2 z與與2 z上的圓上的圓體密度函數(shù)為體密度函數(shù)為三重積分三重積分xyzO2 z222yxz 37的的下邊界面下邊界面是是),(2122yxz 上邊界面上邊界面是是故故zkddd2 222d z k316 所以所以在在xOy面上的投影域面上的投影域xy 即即vyxkMd)(22 是半

24、徑為是半徑為2的圓域的圓域 d203 20dk . 2 z三重積分三重積分xyzO422 yxxy 02 , 0221;2z38解解zezddd2 如先對(duì)如先對(duì)z積分積分其中其中是由錐面是由錐面例例,ddd222zyxyxez 計(jì)計(jì)算算與平面與平面22yxz zyxyxezddd222 21 zz、所圍成的錐臺(tái)體所圍成的錐臺(tái)體.柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo)三重積分三重積分xyzO22yxz 39xyzO可看出如先對(duì)可看出如先對(duì)z積分積分,zezd2 (積不出來積不出來).zezddd2 ).(4ee zzezd2212 212ze 將遇到積分將遇到積分最后對(duì)最后對(duì)z積分積分.zyxyxezddd222 d

25、dd2zez0z 2120三重積分三重積分這里應(yīng)先對(duì)這里應(yīng)先對(duì) 、 積分積分,22yxz 40解解2)(zyx 222zyx 對(duì)稱性質(zhì)對(duì)稱性質(zhì))(2zxyzxy 是關(guān)于是關(guān)于yzxy 關(guān)于關(guān)于且且 vyzxyd)(0例例,d)(2vzyx 計(jì)算計(jì)算是拋物面是拋物面其中其中 所圍成的空間閉區(qū)域所圍成的空間閉區(qū)域.,的奇函數(shù)的奇函數(shù)y.面對(duì)稱面對(duì)稱zOx三重積分三重積分222222 zyxyxz和球面和球面同理同理,的奇函數(shù)的奇函數(shù)是關(guān)于是關(guān)于xzx.面對(duì)稱面對(duì)稱關(guān)于關(guān)于且且yOz vxzd0 xyzO2222 zyx22yxz 41vzyxd)(222 計(jì)算計(jì)算 20 10 222 z 三重積分

26、三重積分 d)2(222103 20102322dddzvyxd)(22 zddd3 vzyxd)(2 柱坐標(biāo)柱坐標(biāo) ).19216(15 xyzO2222 zyx22yxz 42).89290(60 vz d2 ,1323260 所以所以 222210dd zz 20d 對(duì)稱性質(zhì)對(duì)稱性質(zhì)vzyxd)(222 2221020: z4三重積分三重積分vzyxd)(222 計(jì)算計(jì)算vzyxd)(2 的的偶偶函函數(shù)數(shù)yx,都對(duì)稱都對(duì)稱xOzyOz,關(guān)于兩個(gè)坐標(biāo)面關(guān)于兩個(gè)坐標(biāo)面同同為為fvyxd)(22 )19216(15 vzyxd)(2 43 當(dāng)被積函數(shù)是當(dāng)被積函數(shù)是),(),(),(22xyzf

27、xyzfyxzf 積分域積分域由圓柱面由圓柱面 (或一部分或一部分)、錐面、拋物面、錐面、拋物面用用所圍成的所圍成的.柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分較方便計(jì)算三重積分較方便.三重積分三重積分44選擇題選擇題 曲面曲面 之內(nèi)及曲面之內(nèi)及曲面 zzyx2222 22yxz 之外所圍成的立體的體積之外所圍成的立體的體積.ddd)(2211020 zA.ddd)(2111020 zB.ddd)(110202 zC.ddd)(22111020 zDD).( V三重積分三重積分xyzOxyzOxyzO1:22 yxxy 45錐面錐面 被圓柱面被圓柱面22yxz 所截所截,求錐面下方、求錐面下方、 xOy面上

28、方、圓柱內(nèi)的區(qū)域面上方、圓柱內(nèi)的區(qū)域V 的體積的體積.xyx222 解解V=2V1, 提示提示 1d2VvV.932 12d d dVz zddd2 0 cos2002 V1為第一卦限部分的體積為第一卦限部分的體積.三重積分三重積分柱坐標(biāo)柱坐標(biāo)xyzOxyzOxyzO46 r P zyxA,0 記投影記投影向量與向量與x軸正方向的軸正方向的.20 ),( r規(guī)定規(guī)定, ,0 r),(zyxM OM再再將將正方向間的夾角為正方向間的夾角為軸軸與與zOM, r夾角為夾角為球面坐標(biāo)球面坐標(biāo).稱稱為點(diǎn)為點(diǎn)M的的之之長長為為記記向向量量OM三重積分三重積分2. .利用球面坐標(biāo)利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分計(jì)算

29、三重積分xyzO設(shè)設(shè)M(x, y, z)為空間內(nèi)一點(diǎn)為空間內(nèi)一點(diǎn),向向xOy平面投影平面投影,47為常數(shù)為常數(shù)r為常數(shù)為常數(shù) 球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系中的三坐標(biāo)面分別為中的三坐標(biāo)面分別為原點(diǎn)為心的原點(diǎn)為心的球面球面；過過z軸的軸的半平面半平面球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系球面坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為為,sinsin ry ,cossin rx cosrz 為常數(shù)為常數(shù) 原點(diǎn)為頂點(diǎn)、原點(diǎn)為頂點(diǎn)、z軸為軸為軸的軸的圓錐面圓錐面；三重積分三重積分 r zyxA),(zyxM xyzOyzxxyzOxyzOxyzOxyzO48球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系中的中的體積元素體積元素為為rxyzo r dddsind2rrv

30、V 若以三坐標(biāo)面分割空若以三坐標(biāo)面分割空, V 得小六得小六面體面體(紅色部分紅色部分).于是于是,在在球面坐標(biāo)系球面坐標(biāo)系中，中， r sinr r 間區(qū)域間區(qū)域三重積分三重積分 sinr r sinr49 zyxzyxfddd),(通常是通常是注注、先先積積r、再再積積 . 后積后積2cos )sind d drrr (f,sinsin r,sinsin ry ,cossin rx cosrz dddsind2rrv ,cossin r三重積分三重積分50如積分域如積分域?yàn)榍蛴驗(yàn)榍蛴?如圖如圖).: Rfvf0020(ddd 則則,0 ,0Rr 20 ,cossin r,sinsin r

31、cosr sin2rrd三重積分三重積分xyzO)51az cosar 222zyx 4 .cos0 ar 解解 法一法一 采用采用,40 : ,20 ,ddd)(22zyxyxI 計(jì)算計(jì)算例例是錐面是錐面其中其中 所圍的立體所圍的立體. .)0(222 aazzyx與平面與平面球面坐標(biāo)球面坐標(biāo)三重積分三重積分xyzOaz 222zyx 52 zyxyxIddd)(22raddd40cos020 d)0cos(51sin255403 a.105a cossinsincossinrzryrx cos0ar ,40 : ,20 34sinr三重積分三重積分2dsin d d dvrr 53 zyx

32、yxIddd)(22 aaz ddd2020 aa03d)(2 54254aaa .105a azzyx222az 法二法二 采用采用:xyD: ,0a ,20 柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo)222ayx z222ayx 三重積分三重積分xyzOaz 222zyx 54解解4 ,40 22222azyx 由由22yxz 由由: ,20ar 采用采用例例由錐面和球面圍成由錐面和球面圍成, , 所成的公共部分的體積所成的公共部分的體積. .2222222xyzazxy求由立體與球面坐標(biāo)球面坐標(biāo)三重積分三重積分 V zyxddd1 ar20020ddd4 .)12(343a 403d3)2(sin2 a sin2

33、rxyzO022dsin d d dvrr 2ra55解解積分域關(guān)于積分域關(guān)于xOy坐標(biāo)面對(duì)稱，坐標(biāo)面對(duì)稱， zyxzyxzyxzddd1)1ln(2222220 zyxzyxzyxzddd1)1ln(222222被積函數(shù)是被積函數(shù)是z的奇函數(shù)的奇函數(shù).例例利用利用對(duì)稱性對(duì)稱性簡(jiǎn)化計(jì)算簡(jiǎn)化計(jì)算其中積分區(qū)域其中積分區(qū)域. 1222 zyx為為 三重積分三重積分xyzO56 zyxzyxzyxzddd1)1ln(222222球球rddd sin2r01 00 2 10223020d1)1ln(dcossindrrrr 或或積分區(qū)域積分區(qū)域1222 zyx為為 cosr)1ln(2r 21r 00(

34、sincos d0) 三重積分三重積分57當(dāng)積分區(qū)域是球形域當(dāng)積分區(qū)域是球形域或上半部是球面下半部是頂點(diǎn)在原點(diǎn)的錐面或上半部是球面下半部是頂點(diǎn)在原點(diǎn)的錐面, ,被積函數(shù)具有被積函數(shù)具有的形式時(shí)的形式時(shí), ,用用球面坐標(biāo)球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分較簡(jiǎn)便計(jì)算三重積分較簡(jiǎn)便. .或是球的一部分或是球的一部分;三重積分三重積分222()f xyz581989年研究生考題年研究生考題(數(shù)學(xué)一數(shù)學(xué)一)計(jì)算計(jì)算, 5分分 .d)(vzx求求解解 vzxd)( vxd vzd 積分域積分域被積函數(shù)是被積函數(shù)是 vxd圍成的空間區(qū)域圍成的空間區(qū)域, ,x的奇函數(shù)的奇函數(shù).面面對(duì)對(duì)稱稱，關(guān)關(guān)于于yOz0三重積分三重積分

35、 vzd dd cosr sin2r rd014 200)(20 )sin21(402 )41(104r .8 球球請(qǐng)?jiān)儆弥孀鴺?biāo)做請(qǐng)?jiān)儆弥孀鴺?biāo)做.xyzO22221zxyzxy設(shè) 是曲面與59 2003年研究生考題年研究生考題(數(shù)學(xué)一數(shù)學(xué)一) 12分分三重積分三重積分 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf 連續(xù)且恒大于零連續(xù)且恒大于零,d)(d)()()(22)(222 tDtyxfvzyxftF ,d)(d)()(2)(22 tttDxxfyxftG 其中其中,),( )(2222tzyxzyxt .),( )(222tyxyxtD (1) 討論討論)(tF 在區(qū)間在區(qū)間), 0( 內(nèi)的單調(diào)性內(nèi)的單調(diào)性

36、. (2) 證明證明,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) t).(2)(tGtF 60三重積分三重積分,),( )(2222tzyxzyxt .),( )(222tyxyxtD (1) 解解 因?yàn)橐驗(yàn)?)(22)(222d)(d)()(tDtyxfvzyxftF 球球極坐標(biāo)極坐標(biāo) 200220dsin)(ddtrrrf tf0220d)(d ttfrrrf02022d)(d)(2 ttrrrfrrrf02022d)(d)(2 (1) 討論討論)(tF 在區(qū)間在區(qū)間), 0( 內(nèi)的單調(diào)性內(nèi)的單調(diào)性.rrr61三重積分三重積分 )(tF2 trrtrrfttf022d)()()( ttrrrfrrrftF02022d)(

37、d)(2)( trrrf022d)( 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf 連續(xù)且恒大于零連續(xù)且恒大于零 所以所以,內(nèi)內(nèi)在在), 0()( tF 單調(diào)增加單調(diào)增加.0 ), 0( t (1) 討論討論)(tF 在區(qū)間在區(qū)間), 0( 內(nèi)的單調(diào)性內(nèi)的單調(diào)性.62 (2) 證證 因因 (2) 證明證明,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) t).(2)(tGtF 三重積分三重積分 ttrrfrrrf0202d)(d)( ,),( )(2222tzyxzyxt .),( )(222tyxyxtD tttDxxfyxftGd)(d)()(2)(22 要證明要證明,0時(shí)時(shí) t),(2)(tGtF 只需證明只需證明,0時(shí)時(shí) t, 0)(2)( t

38、GtF 即即20202202d)(d )(d)(rrrfrrfrrrfttt )(tg ttrrrfrrrftF02022d)(d)(2)(令令. 0 63三重積分三重積分則則rrtrftftgtd)()()(0222 0 故故內(nèi)內(nèi)在在), 0()( tg 單調(diào)增加單調(diào)增加.因?yàn)橐驗(yàn)?0)(處連續(xù)處連續(xù)在在 ttg所以所以有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),0 t).0()(gtg ,0, 0)0(時(shí)時(shí)故當(dāng)故當(dāng)又又 tg, 0)( tg因此因此,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) t).(2)(tGtF (2) 證明證明,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) t).(2)(tGtF 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xf 連續(xù)且恒大于零連續(xù)且恒大于零20202202d)(d )(d)()(rrrfrrfrrrftgttt 64柱面坐標(biāo)系下柱面坐標(biāo)系下計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分柱面坐標(biāo)體積元素柱面坐標(biāo)體積元素 )三重積分三重積分三、小結(jié)三