微積分課件：8-7 斯托克斯公式與旋度

1、一、一、斯托克斯斯托克斯(stokes)(stokes)公式公式二、二、簡單的應(yīng)用簡單的應(yīng)用三三、物理意義、物理意義-環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度五、小結(jié)五、小結(jié) 第七節(jié)第七節(jié) 斯托克斯公式與旋度斯托克斯公式與旋度四、四、空間定向曲線積分與路徑無關(guān)條件空間定向曲線積分與路徑無關(guān)條件一、斯托克斯一、斯托克斯(stokes)(stokes)公式公式dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( RdzQdyPdx斯托克斯公式斯托克斯公式n 是有向曲面是有向曲面 的的正向邊界曲線正向邊界曲線 右手法則右手法則xyzo),(:yxfz xyD Cn證明證明設(shè)設(shè)與與平平行行于于z軸軸的的直直線

2、線相相交交不不多多于于一一點點, , 并并取取上上側(cè)側(cè), ,有有向向曲曲線線 C C 為為的的正正向向邊邊界界曲曲線線 在在xoy的的投投影影. .且且所所圍圍區(qū)區(qū)域域xyD. .如圖如圖思路思路曲面積分曲面積分二重積分二重積分曲線積分曲線積分12dxdyyPyzzPdxdyyPdzdxzPxyD)( ,),(,)(dxdyyxfyxPydxdyyzzPyPxyxyDD 1 cDdxyxfyxPdxdyyxfyxPyxy),(,),(,dxyxfyxPdxdyyPdzdxzPc ),(,即即根椐格林公式根椐格林公式平面有向曲線平面有向曲線2,),(dxzyxPdxdyyPdzdxzP 空間有向

3、曲線空間有向曲線,),(dyzyxQdydzzQdxdyxQ 同理可證同理可證,),(dzzyxRdzdxxRdydzyR dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()( RdzQdyPdx.故有結(jié)論成立故有結(jié)論成立. RdzQdyPdxRQPzyxdxdydzdxdydz RdzQdyPdxdsRQPzyx coscoscos另一種形式另一種形式cos,cos,cos n其中其中便于記憶形式便于記憶形式StokesStokes公式的實質(zhì)公式的實質(zhì): : 表達了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線表達了有向曲面上的曲面積分與其邊界曲線上的曲線積分之間的關(guān)系上的曲線積分之間的關(guān)系. .

4、斯托克斯公式斯托克斯公式格林公式格林公式特殊情形特殊情形( (當是當是xoy面的平面閉區(qū)域時面的平面閉區(qū)域時) )例例 1 1 計計算算曲曲線線積積分分ydzxdyzdx , ,其其中中 是是平平面面1 zyx被被三三坐坐標標面面所所截截成成的的三三角角形形的的整整個個邊邊界界, ,它它的的正正向向與與這這個個三三角角形形上上側(cè)側(cè)的的法法向向量量之之間間符符合合右右手手規(guī)規(guī)則則. .二、簡單的應(yīng)用二、簡單的應(yīng)用0 xyDxyzn111解解按斯托克斯公式按斯托克斯公式, , 有有dzyxdyzdx dxdydzdxdydz dxdydzdxdydz xyDd3xyo11xyD23 弦都為正，弦都

5、為正，的法向量的三個方向余的法向量的三個方向余由于由于 如圖如圖xyDdzyxdyzdx 例例 2 2 計算曲線積分計算曲線積分dzyxdyxzdxzy)()()(222222 其中其中 是平面是平面23 zyx截立方體截立方體: :10 x, ,10 y, ,10 z的表面所得的截痕的表面所得的截痕, ,若從若從 ox軸的正向看去軸的正向看去, ,取逆時針方向取逆時針方向. .解解取取為為平平面面23 zyx的的上上側(cè)側(cè)被被 所所圍圍成成的的部部分分. .則則1 , 1 , 131 nzxyo n 即即,31coscoscos dsyxxzzyzyxI 222222313131 dszyx)

6、(34 ds2334 xyDdxdy332.29 )23( zyx上上在在xyD23 yx21 yx說說明明:stokes:stokes公公式式與與上上所所張張的的曲曲面面的的形形狀狀無無關(guān)關(guān), ,若若由由平平面面與與曲曲面面圍圍成成, ,可可取取為為以以為為邊邊界界的的平平面面區(qū)區(qū)域域 三、物理意義三、物理意義-環(huán)流量與旋度環(huán)流量與旋度.),(),(),(),(按按所所取取方方向向的的環(huán)環(huán)流流量量沿沿曲曲線線稱稱為為向向量量場場上上的的曲曲線線積積分分中中某某一一封封閉閉的的有有向向曲曲線線則則沿沿場場設(shè)設(shè)向向量量場場CFRdzQdyPdxrdFCFkzyxRjzyxQizyxPzyxFCC

7、 1. 1. 環(huán)流量的定義環(huán)流量的定義: :2. 2. 旋度的定義旋度的定義: :RQPRQPRQPRQP稱稱向向量量()i()j()k()i()j()kyzzxxyyzzxxy為為向向量量場場F F的的旋旋度度, ,記記為為rotF .rotF . ijkijk. .xyzxyzPQRPQR rotFrotF 無無旋旋場場:rotA0:rotA0 斯托克斯公式的向量形式斯托克斯公式的向量形式 rdFSdFrotStokes公式的物理解釋公式的物理解釋:向向量量場場F沿沿有有向向閉閉曲曲線線 的的環(huán)環(huán)流流量量等等于于向向量量場場F的的旋旋度度場場通通過過 所所張張的的曲曲面面的的通通量量. .

8、( ( 的的正正向向與與 的的側(cè)側(cè)符符合合右右手手法法則則) ) 例例3:3: 求電場強度求電場強度 rrqE3zyxkjiErot的旋度的旋度 . .解解: )0, 0, 0(除原點外除原點外)這說明這說明, , 在除點電荷所在原點外在除點電荷所在原點外, , 整個電場無旋整個電場無旋. .3rxq3ryq3rzq例例4 :4 : 設(shè)設(shè)f(x,y,z)f(x,y,z)具具有有各各階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù), ,求求div(rot f)div(rot f) 四四. .空間定向曲線積分與路徑無關(guān)條件空間定向曲線積分與路徑無關(guān)條件五、小結(jié)五、小結(jié)斯托克斯公式的物理意義斯托克斯公式的物理意義斯托克斯公

9、式成立的條件斯托克斯公式成立的條件斯托克斯公式斯托克斯公式 RdzQdyPdxRQPzyxdxdydzdxdydz RdzQdyPdxdsRQPzyx coscoscos空間定向曲線積分與路徑無關(guān)條件空間定向曲線積分與路徑無關(guān)條件一、一、 計 算計 算 dzyzxzdyydx23, , 其 中其 中 是 圓 周是 圓 周2,222 zzyx若從若從z軸正向看去軸正向看去, ,這圓周是這圓周是逆時針方向逆時針方向 . .二、二、 計 算計 算 dzxdyzdxy222, , 其 中其 中 是 球 面是 球 面2222azyx 和園柱面和園柱面axyx 22的交線的交線)0,0( za, ,從從x

10、軸正向看去軸正向看去, ,曲線為逆時針方曲線為逆時針方向向 . .三、三、 求向量場求向量場jyxziyzA)cos()sin( 的旋度的旋度 . .練練 習(xí)習(xí) 題題四、利用斯托克斯公式把曲面積分四、利用斯托克斯公式把曲面積分 dsnArot化成曲化成曲 線積分線積分, ,并計算積分值并計算積分值, ,其中其中A, , 及及n分別如下分別如下: :kxzjxyiyA 2, , 為上半個球面為上半個球面221yxz 的上側(cè)的上側(cè), , n是是 的單位法向量的單位法向量. .五、求向量場五、求向量場kxyjyzxizxA233)()( 沿閉曲沿閉曲 線線為圓為圓 周周0,222 zyxz( (從從軸軸z正向看