追及與相遇問題知識詳解及典型例題（精品）

1、追及與相遇問題知識詳解及典型例題（精品）知識要點(diǎn)  追及和相遇問題主要涉及在同一直線上運(yùn)動的兩個物體的運(yùn)動關(guān)系，所應(yīng)用的規(guī)律是勻變速直線運(yùn)動的相關(guān)規(guī)律。追及、相遇問題常常涉及到臨界問題，分析臨界狀態(tài)，找出臨界條件是解決這類問題的關(guān)鍵。速度相等是物體恰能追上或恰不相碰、或間距最大或最小的臨界條件。在兩物體沿同一直線上的追及、相遇或避免碰撞問題中關(guān)鍵的條件是：兩物體能否同時(shí)到達(dá)空間某位置。因此應(yīng)分別對兩物體研究，列出位移方程，然后利用時(shí)間關(guān)系、速度關(guān)系、位移關(guān)系解出。解答追及、相遇問題時(shí)要特別注意明確兩物體的位移關(guān)系、時(shí)間關(guān)系、速度關(guān)系，這些關(guān)系是我們根據(jù)相關(guān)運(yùn)動學(xué)公式列方程的

2、依據(jù)。1. 追及追和被追的兩者的速度相等常是能追上、追不上、二者距離有極值的臨界條件。如勻減速運(yùn)動的物體追從不同地點(diǎn)出發(fā)同向的勻速運(yùn)動的物體時(shí)，若二者速度相等了，還沒有追上，則永遠(yuǎn)追不上，此時(shí)二者間有最小距離。若二者相遇時(shí)（追上了），追者速度等于被追者的速度，則恰能追上，也是二者避免碰撞的臨界條件；若二者相遇時(shí)追者速度仍大于被追者的速度，則被追者還有一次追上追者的機(jī)會，其間速度相等時(shí)二者的距離有一個較大值。再如初速度為零的勻加速運(yùn)動的物體追從同一地點(diǎn)出發(fā)同向勻速運(yùn)動的物體時(shí)，當(dāng)二者速度相等時(shí)二者有最大距離，位移相等即追上。“追上”的主要條件是兩個物體在追趕過程中處在同一位置，常見的情形有三種：

3、一是初速度為零的勻加速運(yùn)動的物體甲追趕同方向的勻速運(yùn)動的物體乙時(shí)，一定能追上，在追上之前兩者有最大距離的條件是兩物體速度相等，即v甲=v乙；二是勻速運(yùn)動的物體甲追趕同方向做勻加速運(yùn)動的物體乙時(shí)，存在一個恰好追上或恰好追不上的臨界條件：兩物體速度相等，即v甲v乙，此臨界條件給出了一個判斷此種追趕情形能否追上的方法，即可通過比較兩物體處在同一位置時(shí)的速度大小來分析，具體方法是：假定在追趕過程中兩者能處在同一位置，比較此時(shí)的速度大小，若v甲v乙，則能追上去，若v甲v乙，則追不上，如果始終追不上，當(dāng)兩物體速度相等時(shí)，兩物體的間距最??；三是勻減速運(yùn)動的物體追趕同方向的勻速運(yùn)動的物體時(shí)，情形跟第二種相類似

4、。兩物體恰能“相遇”的臨界條件：兩物體處在同一位置時(shí)，兩物體的速度恰好相同。2. 相遇    同向運(yùn)動的兩物體追及即相遇，分析同1。    相向運(yùn)動的物體，當(dāng)各自發(fā)生的位移的絕對值的和等于開始時(shí)兩物體間的距離時(shí)即相遇。三. 解題方法指導(dǎo)：1. 解“追及”“相遇”問題的思路：解決“追及”和“相遇”問題大致分為兩種方法，即數(shù)學(xué)方法和物理方法求解過程中可以有不同的思路，例如考慮圖象法等等。解題的基本思路是： 根據(jù)對兩物體運(yùn)動過程的分析，畫出物體的運(yùn)動示意圖； 根據(jù)兩物體的運(yùn)動性質(zhì)，分別列出兩個物體的位移方程。注意要將兩物體運(yùn)動時(shí)間的關(guān)系反映

5、在方程中。 由運(yùn)動示意圖找出兩物體位移間關(guān)聯(lián)方程。 聯(lián)立方程求解。運(yùn)動物體的追趕、相遇問題，一般解法較多：解析法、圖象法、極值法等。應(yīng)適當(dāng)?shù)刈鲂┮活}多解的練習(xí)，以開啟思路，培養(yǎng)發(fā)散思維的能力。但平時(shí)訓(xùn)練仍應(yīng)以物理意義突出的解析法為主。通過適當(dāng)?shù)木毩?xí)后，總結(jié)一下追趕、相遇、避碰問題的特點(diǎn)、分析方法，特別是對其中所涉及的“相距最遠(yuǎn)”、“相距最近”、“恰好不相碰”等臨界問題，應(yīng)在思考的基礎(chǔ)上總結(jié)出臨界狀態(tài)的特點(diǎn)，找出臨界條件。2. 分析“追及”“相遇”問題應(yīng)注意： 分析“追及”“相遇”問題時(shí)，一定要抓住一個條件，兩個關(guān)系：一個條件是兩物體的速度滿足的臨界條件，如“兩物體距離最大、最小，恰好追上或恰好

6、追不上等”。兩個關(guān)系是時(shí)間關(guān)系和位移關(guān)系。其中通過畫草圖找到兩物體位移之間的數(shù)量關(guān)系，是解題的突破口，也是解題常用方法。因此，在學(xué)習(xí)中一定要養(yǎng)成畫草圖分析問題的良好習(xí)慣，對幫助我們理解題意，啟迪思維大有裨益。養(yǎng)成根據(jù)題意畫出物體運(yùn)動示意圖的習(xí)慣。特別對較復(fù)雜的運(yùn)動，畫出草圖可使運(yùn)動過程直觀，物理圖景清晰，便于分析研究。 分析研究對象的運(yùn)動過程，搞清整個運(yùn)動過程按運(yùn)動性質(zhì)的轉(zhuǎn)換可分為哪幾個運(yùn)動階段，各個階段遵循什么規(guī)律，各個階段間存在什么聯(lián)系。特別是，若被追趕的物體做勻減速運(yùn)動，一定要注意追上前該物體是否停止運(yùn)動。 仔細(xì)審題，注意抓住題目中的關(guān)鍵字眼，充分挖掘題目中的隱合條件，如“剛好”、“恰巧

7、”、“最多”、“至少”等。往往對應(yīng)一個臨界狀態(tài)，由此找出滿足相應(yīng)的臨界條件。還要注意：由于公式較多，且公式間有相互聯(lián)系，因此，題目常可一題多解。解題時(shí)要思路開闊，聯(lián)想比較，篩選最簡捷的解題方案。解題時(shí)除采用常規(guī)的公式解析法外，圖象法、比例法、極值法、逆向轉(zhuǎn)換法（如將一勻減速直線運(yùn)動視為反向的勻加速直線運(yùn)動）等也是解題中常用的方法?！镜湫屠}】例1 火車以速度v1向前行駛。司機(jī)忽然發(fā)現(xiàn)，在前方同一軌道上距車為s處有另一輛火車，它沿相同的方向以較小的速度v2作勻速運(yùn)動，于是他立即使車作勻減速運(yùn)動，加速度大小為a，要使兩車不致相撞，則a應(yīng)滿足的關(guān)系式為_。分析：司機(jī)使火車作勻減速運(yùn)動，當(dāng)后面的火車與

8、前方火車時(shí)的速度相等時(shí)，兩車再也不能接近了，也就是后面的火車與前面火車的速度相等時(shí)，后面火車的位移與前面火車的位移之差要小于s時(shí)，兩車才不致相撞，本題解法中有四種。解法一：當(dāng)兩車速度相等時(shí)，兩車沒有相撞，以后再也不會相撞，前車減速的時(shí)間為t，則                 解法二：以前車為參照系，后車的速度為，當(dāng)后車的速度減為零時(shí)，其位移小于s，兩車不會相撞，即解法三：作出兩車運(yùn)動的速度時(shí)間圖像如圖所示，由圖像可知：在兩圖像相交前與時(shí)間軸所圍

9、面積之差（即圖中陰影部分）小于s時(shí)，兩車不會相撞。即解法四：后車的位移為，前車的位移為，要使兩車不相撞，即說明此二次函數(shù)無解，即   以上四種解法中，以第二種解法最簡捷。例2 甲、乙兩車相距s，同時(shí)同向運(yùn)動，乙在前面做加速度為a1、初速度為零的勻加速運(yùn)動，甲在后面做加速度為a2、初速度為v0的勻加速運(yùn)動，試討論兩車在運(yùn)動過程中相遇次數(shù)與加速度的關(guān)系。解析：由于兩車同時(shí)同向運(yùn)動，故有v甲=v0+a2t，v乙=a1t    當(dāng)a1<a2時(shí)，a1t<a2t，可得兩車在運(yùn)動過程中始終有v甲> v乙，由于原來甲在后，乙在前，所以甲、乙兩

10、車的距離在不斷縮短，經(jīng)過一段時(shí)間后甲車必然超過乙車，且甲超過乙后相距越來越大，因此甲、乙兩車只能相遇一次； 當(dāng)a1=a2時(shí)，alt=a2t，可得v甲>v乙，因此甲、乙兩車也只能相遇一次： 當(dāng)a1>a2時(shí)，a1t>a2t，v甲和v乙的大小關(guān)系會隨著運(yùn)動時(shí)間的增加而發(fā)生變化，剛開始，a1t和a2t相差不大且甲有初速v0，所以，v甲>v乙，隨著時(shí)間的推移，a1t和a2t相差越來越大；當(dāng)alta2t=v0時(shí)，v甲=v乙，接下來a1ta2t>v0，則有v甲<v乙，若在v甲=v乙之前，甲車還沒有超過乙車，隨后由于v甲<v乙，甲車就沒有機(jī)會超過乙車，即兩車不相遇；若

11、在v甲=v乙時(shí)，兩車剛好相遇，隨后v甲=v乙，甲車又要落后乙車，這樣兩車只能相遇一次；若在v甲=v乙前甲車己超過乙車，即已相遇過一次，隨后由于v甲<v乙，甲、乙距離又縮短，直到乙車反超甲車時(shí)，再相遇一次，別兩車能相遇兩次。解法一：由于x甲=v0t+a2t2，x乙=a1t2，相遇時(shí)有x甲x乙=x，則：v0t+a2t2a1t2=x，（a1a2）t2v0t+x=0所以t=     當(dāng)a1<a2 時(shí)，式t只有一個正解，別相遇一次。 當(dāng)a1=a2 時(shí)，x甲x乙= v0t十a(chǎn)2t2a1t2=v0t=x，所以t=，t只有一個解，則相遇一次。 當(dāng)a1a2 時(shí)

12、，若<2（a1a2）x，式無解，即不相遇，若=2（a1a2）x，式t只有一個解，即相遇一次。若2（a1a2）x，式t有兩個正解，即相遇兩次。解法二：利用vt圖象求解， 當(dāng)a1<a2時(shí)，甲、乙兩車的運(yùn)動圖線分別為如右上圖中：的I和，其中劃斜線部分的面積表示t時(shí)間內(nèi)甲車比乙車多發(fā)生的位移，若此面積為S，則t時(shí)刻甲車追上乙車而相遇，以后在相等時(shí)間內(nèi)甲車發(fā)生的位移都比乙車多，所以只能相遇一次。 當(dāng)a1<a2 時(shí)，甲、乙兩車的運(yùn)動圖線分別為如上左圖中的I和，討論方法同，所以兩車也只能相遇一次。 當(dāng)a1=a2 時(shí)，甲、乙兩車的運(yùn)動圖線分別為如上右圖中的I和，其中劃實(shí)斜線部分的面積表示甲車

13、比乙車多發(fā)生的位移。若劃實(shí)斜線部分面積小于S，則不能相遇；若劃實(shí)斜線部分面積等于S，說明甲車剛追上乙車又被反超，則相遇一次；若劃實(shí)斜線部分的面積大于s，如圖中0t1內(nèi)劃實(shí)斜線部分的面積為S，說明t1時(shí)刻甲車追上乙車，以后在t1t時(shí)間內(nèi)，甲車超前乙車的位移為t1t時(shí)間內(nèi)劃實(shí)斜線部分的面積，隨后在tt2時(shí)間內(nèi)，乙車比甲車多發(fā)生劃虛線部分的面積，如果兩者相等，則t2時(shí)刻乙車反超甲車，故兩車先后相遇兩次?！灸M試題】1. 甲、乙兩物體由同一位置出發(fā)沿同一直線運(yùn)動，其速度圖象由圖所示，下列說法正確的是（  B   ）A. 甲做勻速直線運(yùn)動，乙做勻變速直線運(yùn)動B.

14、兩物體兩次相遇的時(shí)刻分別為2 s末和6 s末C. 乙在前4 s內(nèi)的平均速度等于甲的速度D. 2 s后甲、乙兩物體的速度方向相反2. 甲乙丙三輛汽車以相同的速度同時(shí)經(jīng)過某一個路標(biāo)，從此開始甲車一直勻速運(yùn)動，乙車先加速后減速，丙車先減速后加速，它們經(jīng)過下一個路標(biāo)時(shí)速度又相等，則（  B   ）A. 甲車先通過下一個路標(biāo)           B. 乙車先通過下一個路標(biāo)C. 丙車先通過下一個路標(biāo)      

15、;     D. 條件不足，無法判斷3. 摩托車以速度v1沿平直公路行駛，突然駕駛員發(fā)現(xiàn)正前方s處，有一輛汽車正以v2<v1的速度開始減速，加速度大小為2。為了避免發(fā)生碰撞，摩托車也同時(shí)減速。求其加速度至少需要多少？ 13. 解：（1）如圖（甲）所示，其相對位移為    即   (甲)（2）如圖（乙）所示，當(dāng)兩車間距較小，即時(shí)，兩車不發(fā)生碰撞的條件是，其相對速度為0，即二者有共同速度。因?yàn)?，所以，由此可得摩托車的加速度為?）如圖（丙）所示，兩車間距較大，即，汽車經(jīng)過時(shí)間先停下，摩托車經(jīng)時(shí)

16、間后停下，這種情況下兩車不發(fā)生碰撞的條件為。有這時(shí)摩托車的加速度為4. 甲、乙、丙三輛車行駛在平直公路上，車速分別為6m/s、8m/s、9m/s。當(dāng)甲、乙、丙三車依次相距5m時(shí)，乙駕駛員發(fā)現(xiàn)甲車開始以1m/s2的加速度做減速運(yùn)動，于是乙也立即做減速運(yùn)動，丙車亦同樣處理。如圖所示。直到三車都停下來時(shí)均未發(fā)生撞車事故。求丙車減速運(yùn)動的加速度至少應(yīng)為多大？ 解：先研究兩車行駛中的一種特殊臨界狀態(tài)，兩車同時(shí)停下且剛好接觸在一起。則    （1）若，要使其同時(shí)停下則必然相碰。即是說仍要增大，按DC線所示規(guī)律變化，在D處時(shí)二者相距最近，如圖所示。由題意知，有 

17、60; （1）（2）如果，則還可再小些，二者不同時(shí)停下，停止時(shí)相對位移為，如圖中線那樣變化。有    三式聯(lián)立得（2）將題中數(shù)據(jù)代入可得由（1）式得乙、丙兩車間距由（2）式得一道“追及和相遇問題”試題的思考和引申A、B兩列火車在同一軌道上同向行駛，A在前，速度為vA 10m/s，B在后，速度為vB30m/s，因大霧能見度低，B車在距A車500m時(shí)，才發(fā)現(xiàn)前方有A車，這時(shí)B車立即剎車，但要經(jīng)過1800mB車才能停下，問：(1)車若要仍按原速前進(jìn)，兩車是否相撞？試說明理由。(2)B在剎車的同時(shí)發(fā)出信號，A車司機(jī)在收到信號1.5s后加速前進(jìn)，A車加速度為多大時(shí)，才能避免

18、事故發(fā)生？（不計(jì)信號從A傳到B的時(shí)間）第一問的解法如下：lsAsBs0解：先求B車從剎車到停下來所需時(shí)間tB由sB =vB·tB得 B A A B tB= =2×s=120s 再求在相同的時(shí)間內(nèi)A車通過的位移sA sA=vA·tB=10×120m=1200m 最后比較sA+s0和sB的大小關(guān)系即可判斷結(jié)果 由于sA+s0=(1200+500)m=1700m故sA+s0sB由位置關(guān)系圖可知兩車會相撞。提問1：通過上面的計(jì)算我們知道兩車能相撞，試問它們何時(shí)相撞？解：設(shè)B車剎車后經(jīng)過時(shí)間t兩車相遇，依題意有sA+s0=sB 而sA=vA·t，sB=v

19、B·t+at2（其中a為B車剎車過程中的加速度，根據(jù)已知條件很易求出a-0.25m/s2），將sA、sB的表達(dá)式代入上式解得t1=31s，t2=129s提問2：為什么有兩個解？t2是否有意義？答：A、B兩車相撞兩次，第一次是B車追上A車，第二次是A車追上B車。兩車只能相撞一次，故t2沒有意義。提問3：B車追上A車時(shí)，哪車的速度大？ 答：B車的速度大， 因?yàn)锽車從減速到和A車的速度相等所需的時(shí)間為：t= =s=80s，因?yàn)閠 t1，故B車的速度大。提問4：若A、B兩車相遇但不會相撞，A車又追上B車時(shí)，B車的速度是多大？從B車開始減速到兩車第二次相遇共需多少時(shí)間？ 答：由于B車剎車后經(jīng)過

20、120s后就停下來，故129s時(shí)它的速度仍為零。由于B車停止后不能往后倒，故第二次相遇所需時(shí)間為：t2= =s=130s。這是一個實(shí)際問題，要注意解的合理性。提問5：若開始兩車相距700m，試問兩車是否會相撞？ 答：由于sA+s0=1200+700m=1900m，而sB=1800m，即sA+s0sB，故兩車不會相撞。提問6：若用第二種方法，即設(shè)B剎車后經(jīng)過時(shí)間t兩車相撞，方程是否有解呢？ 答：由sA+s0=sB得 vA·t+ s0=vB·t+at2 即10t+700=30t-0.125t2移項(xiàng)并整理得 t2-160t+5600=0 該方程的判別式為 =1602-4×5600=32000，故該方程有解，即相撞，并且有相遇兩次的可能。原來先是B超過A，后來A又超過B，我們不能認(rèn)為開始時(shí)A在B的前面，后來A仍在B的前面，就得出兩車不相撞的結(jié)論。由此可見用簡單的位移關(guān)系是得不出正確結(jié)果的。提問7：試問：若要使兩車不相撞，開始時(shí)兩車間的距離s0至少為多少？解：設(shè)兩車經(jīng)過時(shí)間t后相撞，由位置關(guān)系易得出：vA·t+ s0=vB·t +at2即10t+s0=30t-0.125t2移項(xiàng)并整理得t2-160t+8s0=0 要使兩車不相撞，即要使該