高等數(shù)學A教學大綱

1、高等數(shù)學A教學大綱(Higher Mathematics)課程代碼218.101.1-2編寫時間2004年6月課程名稱高等數(shù)學英文名稱Higher Mathematics學分數(shù)5+5周學時5+1,5+1任課教師*童裕孫等開課院系*數(shù)學學院預修課程高中數(shù)學課程性質：理科基礎課（理科自然科學類和技術科學類本科一年級學生）基本要求和教學目的：要求學生掌握一元和多元微積分的基本理論、基本方法和基本運算，掌握線性代數(shù)的基本概念和基本方法，能用微積分、常微分方程和線性代數(shù)的工具解決自然科學和技術科學中提出的一些簡單的應用問題。高等數(shù)學的教學目標不僅在于引導學生掌握基本的數(shù)學工具，而且旨在培養(yǎng)學生理性思維的

2、能力，啟迪學生的智慧和創(chuàng)新意識。課程基本內容簡介：一元函數(shù)微積分：55+11線性代數(shù)與空間解析幾何：48+10多元函數(shù)微積分：62+12常微分方程：15+3教學方式: 課堂講授、課后練習教材和教學參考資料作者教材名稱出版社出版年月教材童裕孫等高等數(shù)學（上），高等數(shù)學（下） （第二版）高等教育出版社2004年4月、5月參考資料李忠等高等數(shù)學簡明教程北京大學出版社1998年陳紀修等數(shù)學分析高等教育出版社2004年姚慕生高等代數(shù)復旦大學出版社2003年教學內容安排：高 等 數(shù) 學（下） 線性代數(shù)與空間解析幾何（二）五、線性空間和線性變換（2）（學時數(shù)：6+2）教學內容1二次型及其標準形式二次型與對稱

3、矩陣；化二次型為標準形的幾種方法。2正定二次型慣性定理；正定二次型和對稱正定矩陣；二次曲線的分類；用Cholesky分解解線性方程組。教學要求1掌握二次型及其矩陣表示，了解二次型的標準形、規(guī)范形的概念，了解慣性定理。2掌握化二次型為標準形的幾種方法。3掌握二次型和對應矩陣的正定性及其判別法。六、空間解析幾何（學時數(shù)：7+1）教學內容1外積和混合積的性質及運算。2直線和平面的各種常用方程。3點到平面、直線的距離，直線與直線、直線與平面的交角。4曲面方程的概念，常用二次曲面的方程及其圖形，以坐標軸為旋轉軸的旋轉曲面及母線平行于坐標軸的柱面方程。5空間曲線的參數(shù)方程和一般方程。教學要求1掌握向量的外

4、積和混合積的概念、性質及運算。2掌握常用平面方程和直線方程及其求法，能根據(jù)平面和直線的相互關系解有關問題。3掌握點到平面、直線的距離的計算方法，掌握直線與直線、直線與平面的交角的計算方法。4理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其圖形，會求以坐標軸為旋轉軸的旋轉曲面及母線平行于坐標軸的柱面方程。5了解空間曲線的參數(shù)方程和一般方程。 多元函數(shù)微積分七、多元函數(shù)微分學（學時數(shù)：20+4）教學內容1多元函數(shù)的極限與連續(xù)中的點集；多元函數(shù)的概念；多元函數(shù)的連續(xù)性；有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質。2全微分與偏導數(shù)全微分；偏導數(shù)；偏導數(shù)與全微分的計算；空間曲面的切平面（1）；高階偏導數(shù)；可微映射；空間曲

5、線的切線（1）。3鏈式求導法則多元函數(shù)求導的鏈式法則；全微分的形式不變性；復合映射的導數(shù)；坐標變換下的微分表達式。4隱函數(shù)微分法及其應用一元函數(shù)的隱函數(shù)存在定理；多元函數(shù)的隱函數(shù)存在定理；多元函數(shù)組的隱函數(shù)存在定理；空間曲面的切平面（2）；空間曲線的切線（2）。5方向導數(shù)、梯度方向導數(shù)；數(shù)量場的梯度；等值面的法向量；勢量場。6Taylor公式二元函數(shù)的Taylor公式；元函數(shù)的Taylor公式。7極值多元函數(shù)的無條件極值；函數(shù)的最值；最小二乘法；條件極值。教學要求1了解中點的鄰域、內點、開集、區(qū)域等概念。2理解多元函數(shù)的概念，理解二元函數(shù)的幾何意義。3理解多元函數(shù)的極限及連續(xù)的概念，了解有界閉

6、區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質。4理解多元函數(shù)的全微分和偏導數(shù)的概念，掌握偏導數(shù)和全微分的計算法，了解全微分在近似計算中的應和，掌握高階偏導數(shù)的計算。5掌握多元函數(shù)求導的鏈式法則，了解全微分的形式不變性。6了解可微映射的概念，了解復合映射的求導法則。7會計算坐標變換下的微分表達式。8會求空間曲面的切平面和空間曲線的切線。9理解方向導數(shù)與梯度的概念，并掌握其計算方法。10了解二元函數(shù)和元函數(shù)的Taylor公式。11理解多元函數(shù)的極值與條件極值的概念，掌握多元函數(shù)極值存在的必要條件和充分條件，會用Lagrange乘數(shù)法求條件極值，會求簡單的多元函數(shù)的最大值和最小值問題的解。八、多元函數(shù)積分學（學時數(shù)：20+

7、5）教學內容1重積分的概念及其性質重積分概念的背景；重積分的概念；重積分的性質。2二重積分的計算直角坐標系下二重積分的計算；二重積分的交量代換法；極坐標系下二重積分的計算。3三重積分的計算及應用直角坐標系下三重積分的計算；三重積分的變量代換；柱坐標變換和球坐標變換；重積分的應用：重心與轉動慣量；引力。4兩類曲線積分曲線的弧長；第一類曲線積分的概念及性質；第一類曲線積分的計算；第二類曲線積分的概念及性質；第二類曲線積分的計算；兩類曲線積分的關系。5第一類曲面積分曲面的面積；第一類曲面積分的概念；第一類曲面積分的計算。6第二類曲面積分曲面的側與有向曲面；第二類曲面積分的概念及性質；第二類曲面積分的

8、計算。7Green公式和Stokes公式Green公式；Stokes公式。8旋度和無旋場環(huán)量和旋度；無旋場、保守場和勢量場；原函數(shù)。9Gauss公式和散度流場的流出量；Gauss公式；散度；Hamilton算符和Laplace算符。教學要求1理解二重積分和三重積分的概念及性質。2掌握直角坐標系下二重積分和三重積分的計算，掌握二重積分和三重積分計算中的變量代換法。3掌握用積分計算重心、轉動慣量和引力的方法。4理解曲線弧長的概念，理解第一類曲線積分的概念性質，掌握第一類曲線積分的計算。5理解第二類曲線積分的概念，性質，并掌握其計算。6了解兩類曲線積分的關系。7理解曲面面積的概念，理解第一類曲面積分

9、的概念，性質并掌握其計算。8了解有向曲面的概念，理解第二類曲面積分的概念，性質，并掌握其計算。9掌握Green公式、Stokes公式和Gauss公式，并會利用它們計算積分。10了解環(huán)量與通量的概念，理解旋度與散度的概念。11理解無旋場，保守場和勢量場的概念與關系，會求全微分的原函數(shù)，會運用曲線積分與路徑無關的條件。12了解Hamilton算符和Laplace算符，了解Green恒等式。九、級數(shù)（學時數(shù)：15+3）教學內容1數(shù)項級數(shù)級數(shù)的概念；級數(shù)的基本性質；級數(shù)的Cauchy收斂原理；正項級數(shù)的比較判別法；正項級數(shù)的Cauchy判別法與D'Alembert判別法；Leibniz級數(shù)；級

10、數(shù)的乘法。2冪級數(shù)函數(shù)項級數(shù)；冪級數(shù)；冪級數(shù)的收斂半徑；冪級數(shù)的性質；Taylor級數(shù)與余項公式；初等函數(shù)的Taylor展開。3Fourier級數(shù)周期為的函數(shù)的Fourier展開；正弦級數(shù)和余弦級數(shù)；任意周期的函數(shù)的Fourier展開；Fourier級數(shù)的收斂性。4Fourier變換初步Fourier變換及其逆變換；Fourier變換的性質；離散Fourier變換。教學要求1理解數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散及收斂級數(shù)和的概念，掌握級數(shù)的基本性質及收斂的必要條件，了解級數(shù)的Cauchy收斂原理。2掌握幾何級數(shù)和級數(shù)收斂與發(fā)散的條件。3掌握正項級數(shù)收斂性的比較判別法，Cauchy判別法和D'Alem

11、bert判別法。4了解任意項數(shù)的絕對收斂與條件收斂的概念及關系，掌握交錯級數(shù)的Leibniz判別法。5了解函數(shù)項級數(shù)的收斂域及和函數(shù)的概念。6掌握冪級數(shù)的收斂半徑，收斂區(qū)間的求法。7了解冪級數(shù)的連續(xù)性、逐項微分和逐項積分等性質，并能利用這些性質求一些冪級數(shù)的和函數(shù)與某些數(shù)項級數(shù)的和。8了解Taylor級數(shù)與余項公式，掌握基本初級函數(shù)的Taylor展開。9了解Fourier級數(shù)的概念，會將定義在-L，L上的函數(shù)展開面Fourier級數(shù)，會將定義于0，L上的函數(shù)展開成正弦級數(shù)或余弦級數(shù)，了解Fourier級數(shù)的收斂性。10了解Fourier變換及其逆變換的概念，了解Fourier變換的性質。常微分

12、方程十、常微分方程（學時數(shù)：15+3）教學內容1常微分方程的概念2一階常微分方程變量可分離方程；齊次方程；全微分方程；線性方程；Bernoulli方程。3二階線性微分方程二階線性微分方程；線性微分方程的解的結構；二階常系數(shù)齊次方程的通解；二階常系數(shù)非齊次方程；Euler方程。4可降階的高階微分方程形式為的方程；形式為方程；形式為的方程。5微分方程的冪級數(shù)解法6常系數(shù)線性微分方程組簡介教學要求1了解微分方程的階、通解、初始條件及特解的概念。2掌握變量可分離方程和一階線性方程的解法。3會解齊次方程、全微分方程和Bernoulli方程。4理解線性微分方程的概念，理解線性微分方程解的結構。5掌握二階常

13、系數(shù)齊次線性微分方程的解法。6會求自由項為多項式、指數(shù)函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的特解和通解。7會解Euler方程。8會解一些可降階的高階微分方程。9掌握微分方程的冪級數(shù)解法。10會解簡單的常系數(shù)線性線分方程組。11會用微分方程解決一些簡單的應用問題。高 等 數(shù) 學（上） 一元函數(shù)微積分一、極限與連續(xù)（學時數(shù)：15+3）教學內容1函數(shù)函數(shù)概念；函數(shù)的圖象；函數(shù)的性質；復合函數(shù)；反函數(shù)；初等函數(shù)。2數(shù)列的極限無窮小量；無窮小量的運算；數(shù)列的極限；收斂數(shù)列的性質；單調有界數(shù)列；Cauchy收斂準則。3函數(shù)的極限自變量趨于有限值時函數(shù)的極限；極限的性質；單側極限；無窮遠處

14、的極限；曲線的漸近線。4連續(xù)函數(shù)函數(shù)在一點的連續(xù)性；函數(shù)的間斷點；區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)；閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質；無窮小和無窮大的連續(xù)變量。教學要求1理解函數(shù)、函數(shù)的圖象、函數(shù)的奇偶性、單調性、周期性和有界性等概念及性質。2理解復合函數(shù)的概念，了解反函數(shù)的概念。3掌握基本初等函數(shù)的性質及其圖象，了解初等函數(shù)的概念。4理解數(shù)列極限的概念。5掌握數(shù)列極限的性質及四則運算法則。6掌握單調有界數(shù)列必有極限的準則，掌握數(shù)列極限的夾逼準則，并會利用它們求極限，了解Cauchy收斂原理。7理解函數(shù)極限的概念（含自變量趨于有限值或無窮大時的極限及單側極限）。8掌握函數(shù)極限的性質及四則運算法則，掌握利用兩個重要的極限

15、求有關的極限。9會求曲線的水平、垂直和斜漸近線。10理解無窮小和無窮大的概念，掌握無窮小的比較法，會用等價無窮小求極限。11理解函數(shù)連續(xù)性的概念，會判斷函數(shù)的間斷性。12了解連續(xù)函數(shù)的性質和初等函數(shù)的連續(xù)性，了解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質，掌握這些性質的簡單應用。二、微分與導數(shù)（學時數(shù)：20+4）教學內容1微分與導數(shù)的概念微分的概念；導數(shù)的概念；導數(shù)的意義；微分的幾何意義。2求導運算初等函數(shù)的導數(shù)；四則運算的求導法則；復合函數(shù)求導的鏈式法則；反函數(shù)求導法則；對數(shù)求導法；高階導數(shù)。3微分運算基本初等函數(shù)的微分公式；微分運算法則；一階微分的形式不變性；隱函數(shù)求導法；參數(shù)方程確定的函數(shù)求導；微分的應用：

16、近似計算、誤差估計。4微分學中值定理局部極值與Fermat定理；Rolle定理；微分學中值定理；Cauchy中值定理。5L'Hospital法則型的極限；型的極限；其它不定型的極限。6Taylor公式帶Peano余項的Taylor公式；帶Lagrange余項的Taylor公式；Machlaurin公式。7函數(shù)的單調性和凸性函數(shù)的單調性；函數(shù)的極值；最大值和最小值；函數(shù)的凸性；曲線的拐點；函數(shù)圖象的描繪。8方程的近似求解教學要求1理解微分和導數(shù)的概念、關系和幾何意義。會用導數(shù)描述一些物理量，理解函數(shù)的可微性和連續(xù)性的關系。2熟練掌握導數(shù)的四則運算法則和復合函數(shù)求導的鏈式法則，熟練掌握基本

17、初等函數(shù)的求導公式、掌握反函數(shù)求導方法，隱函數(shù)求導方法和參數(shù)方程確定的函數(shù)的求導法，掌握對數(shù)求導法。3理解高階導數(shù)的概念，會求簡單函數(shù)的高階導數(shù)。4了解微分的四則運算法則和一階微分的形式不變性，會求函數(shù)的微分，了解微分在近似計算和誤差估計中的應用。5理解并能應用Rolle定理，Lagrange微分學中值定理，了解并會用Cauchy中值定理。6掌握用L'Hospital法則求未定式極限的方法。7掌握帶Peano余項和Lagrange余項的Taylor公式，掌握Maclaurin公式。8理解函數(shù)極值的概念，掌握用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性和求函數(shù)極值的方法，掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其應用。

18、9掌握用導數(shù)判斷函數(shù)的凸性和拐點的方法。10掌握根據(jù)函數(shù)的微分性質描繪函數(shù)圖象的方法。11了解求方程近似解的Newton切線法。三、一元函數(shù)積分學（學時數(shù)：20+4）教學內容1定積分的概念、性質和微積分基本定理面積問題；路程問題；定積分的定義；定積分的性質；原函數(shù)；微積分基本定理。2不定積分的計算不定積分；基本不定積分表；第一類換元積分法（湊微分法）；第二類換元積分法；分部積分法；有理函數(shù)的積分；某些無理函數(shù)的積分；三角函數(shù)有理式的積分。3定積分的計算分部積分法；換元積分法；數(shù)值積分：梯形公式、拋物線公式（Simpson公式）。4定積分的應用微元法；面積問題：直角坐標下的區(qū)域、極坐標下的區(qū)域；

19、已知平行截面面積求體積；旋轉體的體積；曲線的弧長；旋轉曲面的面積；由分布密度求分布總量：質量、引力、液體對垂直壁的壓力；動態(tài)過程的累積效應：功。5廣義積分無窮限的廣義積分；比較判別法；無界函數(shù)的廣義積分；Cauchy主值積分；函數(shù)；函數(shù)。教學要求1理解定積分的概念、意義和性質，理解原函數(shù)的概念。2掌握微積分基本定理。3掌握不定積分的基本公式，掌握不定積分的第一換元積分法和第二換元積分法，掌握分部積分法。4會計算有理函數(shù)的積分、某些無理函數(shù)的積分和三角函數(shù)有理式的積分。5掌握定積分計算的換元積分法和分部積分法。6了解數(shù)值積分的梯形公式和Simpson公式。7了解定積分應用的微元法，掌握用定積分表

20、達和計算一些幾何量和物理量的方法（包括平面圖形的面積，已知平行截面面積求體積，旋轉體的體積，曲線的弧長，旋轉曲面的面積，質量、引力、液體對垂直壁的壓力，功）。8了解廣義積分的概念，掌握關于廣義積分收斂性的比較判別法，了解Cauchy主值積分，會計算廣義積分。了解函數(shù)和函數(shù)的概念及基本性質。 線性代數(shù)與空間解析幾何（一）四、矩陣和線性方程組（學時數(shù)：22+4）教學內容1向量與矩陣向量；矩陣；矩陣的運算；分塊矩陣的運算。2行列式階行列式的定義；行列式的性質。3逆陣逆陣的定義；用初等變換求逆陣；Cramer法則。4向量的線性關系線性相關與線性無關；與線性關系有關的性質。5秩向量組的秩；矩陣的秩。6線性方程組齊次線性方程組；非齊次線性方程組；Causs消去法；Jacobi迭代法。教學要求1理解向量和矩陣的概念。掌握矩陣的線性運算、乘法、轉置、共軛轉置以及它們的運算規(guī)則，了解分塊矩陣的概念、性質及運算。2理解階行列式的定義，掌握行列式的性質，并能利用這些性質計算行列式。3理解逆矩陣的概念，掌握矩陣可逆的主要條件，會用初等變換求逆陣，會用伴隨矩陣求矩陣的逆。4理解向量組線性相關和線性無