利用均值不等式求最值的方法

1、利用均值不等式求最值的方法李海港 張傳法均值不等式當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立）是一個(gè)重要的不等式，利用它可以求解函數(shù)最值問(wèn)題。對(duì)于有些題目，可以直接利用公式求解。但是有些題目必須進(jìn)行必要的變形才能利用均值不等式求解。下面是一些常用的變形方法。一、配湊1. 湊系數(shù)例1. 當(dāng)時(shí)，求的最大值。解析：由知，利用均值不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值。注意到為定值，故只需將湊上一個(gè)系數(shù)即可。當(dāng)且僅當(dāng)，即x2時(shí)取等號(hào)。所以當(dāng)x2時(shí)，的最大值為8。評(píng)注：本題無(wú)法直接運(yùn)用均值不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用均值不等式求最大值。2. 湊項(xiàng)例2. 已知，求函數(shù)

2、的最大值。解析：由題意知，首先要調(diào)整符號(hào)，又不是定值，故需對(duì)進(jìn)行湊項(xiàng)才能得到定值。當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立。評(píng)注：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值。3. 分離例3. 求的值域。解析：本題看似無(wú)法運(yùn)用均值不等式，不妨將分子配方湊出含有（x1）的項(xiàng)，再將其分離。當(dāng)，即時(shí)（當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取“”號(hào)）。當(dāng)，即時(shí)（當(dāng)且僅當(dāng)x3時(shí)取“”號(hào)）。的值域?yàn)?。評(píng)注：分式函數(shù)求最值，通常化成，g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用均值不等式來(lái)求最值。二、整體代換例4. 已知，求的最小值。解法1：不妨將乘以1，而1用a2b代換。當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，由即時(shí)，的最小值為。解法2：將分子中的1用代換。評(píng)注：本題巧

3、妙運(yùn)用“1”的代換，得到，而與的積為定值，即可用均值不等式求得的最小值。三、換元例5. 求函數(shù)的最大值。解析：變量代換，令，則當(dāng)t0時(shí)，y0當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)。故。評(píng)注：本題通過(guò)換元法使問(wèn)題得到了簡(jiǎn)化，而且將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的分式型函數(shù)的求最值問(wèn)題，從而為構(gòu)造積為定值創(chuàng)造有利條件。四、取平方例6. 求函數(shù)的最大值。解析：注意到的和為定值。又，所以當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)。故。評(píng)注：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用均值不等式創(chuàng)造了條件。總之，我們利用均值不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正二定三相等”，同時(shí)還要注意一些變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用均值不等式。練一練1. 若，求的最大值。2. 求函數(shù)的最小