初中數(shù)學人教版九年級下冊余弦和正切3

1、三角函數(shù)的起源· 所有的三角量：正弦、余弦、正切、余切、正割和余割，都始終被認為是已知圓內(nèi)與同一條弧有關的某些線段，即三角學是以幾何的面貌表現(xiàn)出來的，這也可以說是三角學的古典面貌。三角學的現(xiàn)代特徵，是把三角量看作為函數(shù)，即看作為是一種與角相對應的函數(shù)值。這方面的工作是由歐拉作出的。1748年，尤拉發(fā)表著名的無窮小分析引論一書，指出：”三角函數(shù)是一種函數(shù)線與圓半徑的比值”。具體地說，任意一個角的三角函數(shù)，都可以認為是以這個角的頂點為圓心，以某定長為半徑作圓，由角的一邊與圓周的交點P向另一邊作垂線PM后，所得的線段OP、OM、MP(即函數(shù)線)相互之間所取的比值(如圖八)，sinMP/OP

2、，cosOM/OP，tan MP/OM等。若令半徑為單位長，那麼所有的六個三角函數(shù)又可大為簡化。三角學問題的提出三角學理論的基礎，是對三角形各元素之間相依關系的認識。一般認為，這一認識最早是由希臘天文學家獲得的。當時，希臘天文學家為了正確地測量天體的位置。研究天體的運行軌道，力求把天文學發(fā)展成為一門以精確的觀測和正確的計算為基礎之具有定量分析的科學。他們給自己提出的第一個任務是解直角三角形，因為進行天文觀測時，人與星球以及大地的位置關系，通常是以直角三角形邊角之間的關系反映出來的。在很早以前，希臘天文學家從天文觀測的經(jīng)驗中獲得了這樣一個認識：星球距地面的高度是可以通過人觀測星球時所采用的角度來

3、反映的(如圖一)；角度(ABC)越大，星球距地面(AC)就越高。然而，星球的高度與人觀測的角度之間在數(shù)量上究竟怎麼樣呢？能不能把各種不同的角度所反映的星球的高度都一一算出來呢?這就是天文學向數(shù)學提出的第一個課題制造弦表。所謂弦表，就是在保持AB不變的情況下可以供查閱的表 (如圖二)，AC的長度與ABC的大小之間的對應關系。獨立三角學的產(chǎn)生雖然后期的阿拉伯數(shù)學家已經(jīng)開始對三角學進行專門的整理和研究，他們的工作也可以算作是使三角學從天文學中獨立出來的表現(xiàn)，但是嚴格地說，他們并沒有創(chuàng)立起一門獨立的三角學。真正把三角學作為數(shù)學的一個獨立學科加以系統(tǒng)敘述的，是德國數(shù)學家雷基奧蒙坦納斯。雷基奧蒙坦納斯是十

4、五世紀最有聲望的德國數(shù)學家約翰�謬勒的筆名。他生於哥尼斯堡，年輕時就積極從事歐洲文藝復興時期作品的收集和翻譯工作，并熱心出版古希臘和阿拉伯著作。因此對阿拉伯數(shù)學家們在三角方面的工作比較了解。1464年，他以雷基奧蒙坦納斯的名字發(fā)表了論各種三角形。在書中，他把以往散見在各種書上的三角學知識，系統(tǒng)地綜合了起來，成了三角學在數(shù)學上的一個分支?，F(xiàn)代三角學的確認直到十八世紀，所有的三角量：正弦、余弦、正切、余切、正割和余割，都始終被認為是已知圓內(nèi)與同一條弧有關的某些線段，即三角學是以幾何的面貌表現(xiàn)出來的，這也可以說是三角學的古典面貌。三角學的現(xiàn)代特徵，是把三角量看作為函數(shù)，即看作為是一種與

5、角相對應的函數(shù)值。這方面的工作是由歐拉作出的。1748年，尤拉發(fā)表著名的無窮小分析引論一書，指出：”三角函數(shù)是一種函數(shù)線與圓半徑的比值”。具體地說，任意一個角的三角函數(shù)，都可以認為是以這個角的頂點為圓心，以某定長為半徑作圓，由角的一邊與圓周的交點P向另一邊作垂線PM后，所得的線段OP、OM、MP(即函數(shù)線)相互之間所取的比值(如圖八)，sinMP/OP，cosOM/OP，tan MP/OM等。若令半徑為單位長，那麼所有的六個三角函數(shù)又可大為簡化。尤拉的這個定義是極其科學的，它使三角學從靜態(tài)地只是研究三角形解法的狹隘天地中解脫了出來，使它有可能去反映運動和變化的過程，從而使三角學成為一門具有現(xiàn)代

6、特徵的分析性學科。正如歐拉所說，引進三角函數(shù)以后，原來意義下的正弦等三角量，都可以脫離幾何圖形去進行自由的運算。一切三角關系式也將很容易地從三角函數(shù)的定義出發(fā)直接得出。這樣，就使得從希帕克起許多數(shù)學家為之奮斗而得出的三角關系式，有了堅實的理論依據(jù)，而且大大地豐富了。嚴格地說，這時才是三角學的真正確立?！罢摇钡挠蓙砉迨兰o到十二世紀，印度數(shù)學家對三角學作出了較大的貢獻。盡管當時三角學仍然還是天文學的一個計算工具，是一個附屬品，但是三角學的內(nèi)容卻由於印度數(shù)學家的努力而大大的豐富了。三角學中”正弦”和”余弦”的概念就是由印度數(shù)學家首先引進的，他們還造出了比托勒密更精確的正弦表。我們已知道，托勒密

7、和希帕克造出的弦表是圓的全弦表，它是把圓弧同弧所夾的弦對應起來的。印度數(shù)學家不同，他們把半弦(AC)與全弦所對弧的一半(AD)相對應，即將AC與AOC對應(如圖五 )，這樣，他們造出的就不再是”全弦表”，而是”正弦表”了。印度人稱連結(jié)弧(AB)的兩端的弦(AB)為”吉瓦”，是弓弦的意思；稱AB的一半(AC) 為”阿爾哈吉瓦”。后來”吉瓦”這個詞譯成阿拉伯文時被誤解為”彎曲”、”凹處”，阿拉伯語是 ”dschaib”。十二世紀，阿拉伯文被轉(zhuǎn)譯成拉丁文，這個字被意譯成了”sinus”。三角學輸入我國，開始於明崇禎4年(1631年)，這一年，鄧玉函、湯若望和徐光啟合編大測，作為歷書的一部份呈獻給朝廷

8、，這是我國第一部編譯的三角學。在大測中，首先將sinus譯為”正半弦”，簡稱”正弦”，這就成了正弦一詞的由來。“弦表”問世根據(jù)現(xiàn)在的認識，弦表的制作似應該是由一系列不同的角出發(fā)，去作一系列直角三角形，然后一一量出AC，AC，AC之間的距離。然而，第一張弦表制作者希臘文學家希帕克 (Hipparchus，約前180前125)不是這樣作，他采用的是在同一個固定的圓內(nèi)，去計算給定度數(shù)的圓弧AB所對應的弦AB的長(如圖三)。這就是說，希帕克是靠計算，而不是靠工具量出弦長來制表的，這正是他的卓越之處。希帕克的原著早已失傳，現(xiàn)在我們所知關於希帕克在三角學上的成就，是從公元二世紀希臘著名天文學家托勒密的遺著

9、天文集中得到的。雖然托勒密說他的這些成就出自希帕克，但事實上不少是他自己的創(chuàng)造。據(jù)托勒密書中記載，為了度量圓弧與弦長，他們采用了巴比倫人的60進位法。把圓周360等分，把它的半徑60等分，在圓周和半徑的每一等分中再等分60份，每一小份又等分為60份，這樣就得出了托勒密所謂的第一小份和第二小份。很久以后，羅馬人把它們分別取名為”partes minutae primae”和”partes minutae secundae”；后來，這兩個名字演變?yōu)椤眒inute”和”second”，成為現(xiàn)在角和時間的度 量上”分”和”秒”這兩個單位得起源。建立了半徑與圓周的度量單位以后，希帕克和托勒密先著手計算一

10、些特殊圓弧所對應的弦長。比如 60o弧(1/6圓周長)所對的弦長，正好是內(nèi)接正六邊形的邊長，它與半徑相等，因此得出60o弧對應的弦值是60個半徑單位(半徑長的1/60為一個單位)；用同樣的方法，可以算出120o弧、90o弧以及72o弧所對應的弦值(如圖四)。有了這些弧所對應的弦值，接著就利用現(xiàn)在所稱的”拖勒密定理”，來推算兩條已知所對弦長的弧的”和”與”差”所對的弦長，以及由一條弧所對的弦長來計算這條弧的一半所對的弦長。正是基於這樣一種幾何上的推算。他們終於造出了世界上第一張弦表。希伯諸斯據(jù)說曾編著了三角學起源于古希臘。為了預報天體運行路線、計算日歷、航海等需要，古希臘人已研究球面三角形的邊角

11、關系，掌握了球面三角形兩邊之和大于第三邊，球面三角形內(nèi)角之和大于兩個直角，等邊對等角等定理。印度人和阿拉伯人對三角學也有研究和推進，但主要是應用在天文學方面。15、16世紀三角學的研究轉(zhuǎn)入平面三角，以達到測量上應用的目的。16世紀法國數(shù)學家韋達系統(tǒng)地研究了平面三角。他出版了應用于三角形的數(shù)學定律的書。此后，平面三角從天文學中分離出來，成了一個獨立的分支。平面三角學的內(nèi)容主要有三角函數(shù)、解三角形和三角方程。三角測量在中國也很早出現(xiàn)，公元前一百多年的周髀算經(jīng)就有較詳細的說明，例如它的首章記錄“周公曰，大哉言數(shù)，請問用矩之道。商高曰，平矩以正繩，偃矩以望高，復矩以測深，臥矩以知遠?！保ㄉ谈哒f的矩就是

12、今天工人用的兩邊互相垂直的曲尺，商高說的大意是將曲尺置于不同的位置可以測目標物的高度、深度與廣度）1世紀時的九章算術中有專門研究測量問題的篇章第一個三角函數(shù)表， 編輯本段三角學的歷史早期三角學不是一門獨立的學科，而是依附于天文學，是天文觀測結(jié)果推算的一種方法，因而最先發(fā)展起來的是球面三角學希臘、印度、阿拉伯數(shù)學中都有三角學的內(nèi)容，可大都是天文觀測的副產(chǎn)品例如，古希臘門納勞斯（Menelaus of Alexandria，公元100年左右）著球面學，提出了三角學的基礎問題和基本概念，特別是提出了球面三角學的門納勞斯定理；50年后，另一個古希臘學者托勒密（Ptolemy）著天文學大成，初步發(fā)展了三

13、角學而在公元499年，印度數(shù)學家阿耶波多（ryabhata I）也表述出古代印度的三角學思想；其后的瓦拉哈米希拉（Varahamihira，約505587年）最早引入正弦概念，并給出最早的正弦表；公元10世紀的一些阿拉伯學者進一步探討了三角學當然，所有這些工作都是天文學研究的組成部分直到納西爾?。∟asir edDin al Tusi，12011274年）的橫截線原理書才開始使三角學脫離天文學，成為純粹數(shù)學的一個獨立分支而在歐洲，最早將三角學從天文學獨立出來的數(shù)學家是德國人雷格蒙塔努斯（J Regiomontanus，14361476年）。?雷格蒙塔努斯的主要著作是1464年完成的論各種三角形

14、。這是歐洲第一部獨立于天文學的三角學著作。全書共5卷，前2卷論述平面三角學，后3卷討論球面三角學，是歐洲傳播三角學的源泉。雷格蒙塔努斯還較早地制成了一些三角函數(shù)表。?雷格蒙塔努斯的工作為三角學在平面和球面幾何中的應用建立了牢固的基礎他去世以后，其著作手稿在學者中廣為傳閱，并最終出版，對 16 世紀的數(shù)學家產(chǎn)生了相當大的影響，也對哥白尼等一批天文學家產(chǎn)生了直接或間接的影響?三角學一詞的英文是trigonometry，來自拉丁文tuigonometuia最先使用該詞的是文藝復興時期的德國數(shù)學家皮蒂斯楚斯（BPitiscus，15611613年），他在1595年出版的三角學：解三角形的簡明處理中創(chuàng)造這個詞其構(gòu)成法是由三角形（tuiangulum）和測量（metuicus）兩字湊合而成要測量計算離不開三角函數(shù)表和三角學公式，它們是作為三角學的主要內(nèi)容而發(fā)展的?16世紀三角函數(shù)表的制作首推奧地利數(shù)學家雷蒂庫斯（GJRhetucu s，1514