應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)教案第5章 假設(shè)檢驗與方差分析VIP

1、應(yīng)用統(tǒng)計學(xué)教案 張敏主編第5章 假設(shè)檢驗與方差分析教學(xué)內(nèi)容5.1 假設(shè)檢驗5.2 方差分析概述5.3 常用術(shù)語5.4 單因素方差分析5.5 雙因素方差分析5.6 Excel在方差分析中的應(yīng)用教學(xué)要求1理解假設(shè)檢驗的原理和計算方法，學(xué)會辯證地看待現(xiàn)實問題。2理解方差分析的基本原理。3理解試驗因素、試驗水平的內(nèi)涵。4理解組間誤差、組內(nèi)誤差、總誤差之間的關(guān)系和區(qū)別，培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度和資料分析能力。5掌握單因素方差分析的基本原理和計算過程。6理解雙因素方差分析的基本原理和計算過程。教學(xué)重點方差分析的基本原理；組間誤差、組內(nèi)誤差和總誤差之間的關(guān)系和區(qū)別；單因素、雙因素方差分析的基本原理和計算過程教學(xué)難

2、點單因素、雙因素方差分析的計算教學(xué)方法課堂講授、多媒體教學(xué)、課堂討論、上機操作。課時數(shù)4課時（課堂講授2課時+課堂練習(xí)1課時+上機操作1課時）導(dǎo)入案例某品牌薯片聲稱其生產(chǎn)的每袋薯片的平均重量是105克?，F(xiàn)從市場上抽取100袋作為樣本，測得其平均重量為104.8克，樣本標(biāo)準(zhǔn)差為0.72克。那么，該廠商的薯片重量的期望值是否真如廠商所聲稱的是105克呢？5.1 假設(shè)檢驗5.1.1 假設(shè)檢驗的原理及步驟假設(shè)檢驗的一般步驟如下。第一步，依據(jù)所研究問題的不同情況，建立原假設(shè)和備擇假設(shè)。第二步，在原假設(shè)成立的條件下，依據(jù)總體服從的分布，構(gòu)建一個合適的樣本統(tǒng)計量，該統(tǒng)計量不包含任何的未知參數(shù)，然后將各樣本值

3、代入該統(tǒng)計量，從而算得一個關(guān)于樣本的統(tǒng)計量值。第三步，給定顯著性水平以及相應(yīng)的自由度，查表求出臨界值。第四步，將第二步求得的樣本統(tǒng)計量值與第三步查表求得的臨界值進行比較，做出拒絕或接受原假設(shè)的判斷。注意，在判斷時，并非只要統(tǒng)計量值大于或小于某一臨界值，就一定拒絕原假設(shè)，而是應(yīng)根據(jù)不同的假設(shè)所設(shè)立的內(nèi)容進行判斷。5.1.2 總體均值的檢驗關(guān)于某一事物總體均值的檢驗，通常是檢驗事物變化前后其均值特征是否發(fā)生顯著變化，一般包括以下3種情況。（1）僅僅檢驗事物變化前后總體均值是否具有差異性。如檢驗?zāi)撤N藥品在改良前后的效果是否不同、某種機器在檢修前后的生產(chǎn)效率是否具有差異等。對于上述問題，一般建立如下假

4、設(shè)。，（5.2）（2）在檢驗事物變化前后總體均值是否具有差異性的基礎(chǔ)上，進一步檢驗事物變化后的均值比之前是否有了提高。如檢驗?zāi)撤N藥品在改良后的效果是否比改良前有了提高、某種機器在檢修后的生產(chǎn)效率是否比檢修前有了提高等。對于上述問題，一般建立如下假設(shè)。，（5.3）（3）在檢驗事物變化前后總體均值是否具有差異性的基礎(chǔ)上，進一步檢驗事物變化后的均值比之前是否有了降低。如檢驗?zāi)称髽I(yè)在實施成本控制后的成本總額是否比實施前有了降低、某種產(chǎn)品在實施新工藝后的缺陷數(shù)是否比實施前有了降低等。對于上述問題，一般建立如下假設(shè)。，（5.4）對于上述3種假設(shè)，一般分以下兩種情況進行討論。1.總體為正態(tài)分布且方差已知構(gòu)造

5、檢驗統(tǒng)計量（5.5）在原假設(shè)成立的條件下，。給定顯著性水平，則有如下結(jié)論。（1），的檢驗規(guī)則。當(dāng)時，拒絕；當(dāng)時，接受。（2），的檢驗規(guī)則。當(dāng)時，拒絕；當(dāng)時，接受。（3），的檢驗規(guī)則。當(dāng)時，拒絕；當(dāng)時，接受。例5.1 某醫(yī)院想了解病人的候診時間與以往相比是否發(fā)生了顯著的變化，以往情況是，平均每個病人的候診時間是50分鐘，方差為400。現(xiàn)在所抽取100名病人的平均候診時間為55分鐘。試幫助醫(yī)院做出決策（取=0.01）。解：第一步，建立假設(shè)。第二步，構(gòu)造并計算檢驗統(tǒng)計量。第三步，當(dāng)時，查表得。第四步，因為，故接受原假設(shè)，該醫(yī)院病人候診時間較往年沒有發(fā)生顯著變化。2.總體為正態(tài)分布且方差未知由于未知，

6、故應(yīng)構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量（5.6）在原假設(shè)成立的條件下，。例5.3 某食品加工廠用自動裝袋機裝袋裝食品，每袋食品的標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為250克。現(xiàn)在隨機抽取10袋來檢查機器的工作情況，這10袋食品的質(zhì)量（單位：克）分別為253、242、244、245、246、242、251、246、252、249。假設(shè)該種袋裝食品的質(zhì)量服從正態(tài)分布，試判斷袋裝機工作是否正常（取=0.05）。解：第一步，建立假設(shè)。第二步，構(gòu)造并計算檢驗統(tǒng)計量。第三步，當(dāng)時，查表得。第四步，因為，故拒絕原假設(shè)，即該袋裝機工作不正常。5.1.3 總體成數(shù)的檢驗關(guān)于某一事物總體成數(shù)的檢驗，通常是檢驗事物變化前后其成數(shù)特征是否發(fā)生了顯著變化，一般包括

7、以下3種情況。（1）僅僅檢驗事物變化前后總體成數(shù)是否具有差異性。如檢驗?zāi)耻囬g在流水線程序改良前后所生產(chǎn)產(chǎn)品的合格率是否不同、某藥品在使用新配方前后的治愈率是否具有差異等。對于上述問題，一般建立如下假設(shè)。，（5.7）（2）在檢驗事物變化前后總體成數(shù)是否具有差異性的基礎(chǔ)上，進一步檢驗事物變化后的成數(shù)是否比之前有了提高。如檢驗?zāi)耻囬g在流水線程序改良后所生產(chǎn)產(chǎn)品的合格率是否有了顯著提高、某藥品在使用新配方后的治愈率是否比使用之前有了明顯提高等。對于上述問題，一般建立如下假設(shè)。，（5.8）（3）在檢驗事物變化前后總體成數(shù)是否具有差異性的基礎(chǔ)上，進一步檢驗事物變化后的成數(shù)是否比之前有了降低。如檢驗?zāi)称髽I(yè)在

8、實施新的生產(chǎn)措施之后其產(chǎn)品缺陷率是否比實施前有了降低、某高校在實施新的教學(xué)管理辦法后其學(xué)生逃課率是否比實施前有了降低等。對于上述問題，一般建立如下假設(shè)。，（5.9）當(dāng)和都大于5時，樣本成數(shù)的抽樣分布近似為正態(tài)分布，于是可構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量（5.10）在原假設(shè)成立條件下，近似服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布。例5.5 某藥品在既往臨床治療中其治愈率為80%，該藥品使用新配方后重新投入市場，現(xiàn)從服用該新藥的病人中抽取400人進行檢驗，測得治愈率為84%，試判斷該藥品在采用新配方前后其療效有沒有顯著差異（取=0.05）。解：第一步，建立假設(shè)。第二步，構(gòu)造并計算檢驗統(tǒng)計量。第三步，當(dāng)時，查表得。第四步，因為，拒絕原假設(shè)，

9、即該藥品在采用新配方前后其療效有顯著差異。5.1.4 利用值進行決策前面介紹的都是利用顯著性水平通過查表對總體均值和總成數(shù)進行檢驗，這也就意味著事先確定了拒絕域。這種檢驗方法對不足之處是，它只提供檢驗結(jié)論可靠性的大致范圍，對于一個特定的假設(shè)檢驗問題，無法給出觀測數(shù)據(jù)與原假設(shè)之間不一致程度的精確度量。要測量出樣本觀測數(shù)據(jù)與原假設(shè)中假設(shè)的值的偏離程度，需要計算值。計算機的應(yīng)用使得值的計算十分容易，大多數(shù)統(tǒng)計軟件都能夠輸出有關(guān)假設(shè)檢驗的主要計算結(jié)果，其中就包括值?？梢哉f，值的應(yīng)用幾乎取代了傳統(tǒng)的統(tǒng)計量檢驗方法，通過P值不僅能得到與統(tǒng)計量檢驗相同的結(jié)論，而且能得到統(tǒng)計量檢驗不能給出的信息。本章5.6節(jié)

10、將介紹值的具體應(yīng)用。用值進行決策的準(zhǔn)則是：如果值<,拒絕；如果值>,不拒絕。5.2 方差分析概述方差分析方法被廣泛用于分析心理學(xué)、生物學(xué)、工程和醫(yī)藥的試驗數(shù)據(jù)。5.2.1 方差分析的基本概念方差分析(analysis of variance)，又稱“變異數(shù)分析”或“F檢驗”，是英國統(tǒng)計學(xué)家（R.A.Fisher，18901962）發(fā)明的，用于兩個及兩個以上樣本均值差異的顯著性檢驗。由于各種因素的影響，研究所得的數(shù)據(jù)呈現(xiàn)波動狀。造成波動的原因可分成兩類，一是不可控的隨機因素，另一是研究過程中施加的對結(jié)果形成影響的可控因素。5.2.2 方差分析的基本思想若被考察的因素對試驗結(jié)果沒有顯著

11、的影響，即所討論的各正態(tài)總體的均值相等，則試驗數(shù)據(jù)的波動完全由隨機誤差引起；如果各正態(tài)總體均值不全相等，則表明試驗數(shù)據(jù)的波動除了隨機誤差的影響外，還包含被可控因素的影響。為此，需要構(gòu)造一個適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計量，來描述數(shù)據(jù)的波動程度。將這個統(tǒng)計量分解為兩部分，一部分是純隨機誤差造成的影響，另一部分是除隨機誤差的影響外來自可控因素的影響。然后將這兩部分進行比較，如果后者明顯比前者大，就說明可控因素的影響是顯著的。5.2.3 兩類誤差通過方差分析基本思想的概述，可見在方差分析中，包含兩類不同的誤差：隨機誤差和系統(tǒng)誤差。5.3 常用術(shù)語5.3.1 試驗指標(biāo)為衡量試驗結(jié)果的好壞或處理效應(yīng)的強弱，在試驗中具體測定

12、的性狀或觀測的項目稱為試驗指標(biāo)（experimental index）。由于試驗項目的不同，選擇的試驗指標(biāo)也不相同。如在生產(chǎn)管理中，選擇的實驗指標(biāo)有生產(chǎn)能力、產(chǎn)品壽命、技術(shù)水平、銷售量等。5.3.2 試驗因素試驗中所研究的影響試驗指標(biāo)的因素稱為試驗因素（experimental factor）。如研究如何提高車間的生產(chǎn)水平時，工人技術(shù)水平、機器生產(chǎn)性能、產(chǎn)品配方方案等均可作為試驗因素來考慮。當(dāng)試驗中考察的因素只有一個時，稱為單因素試驗；當(dāng)同時研究兩個或兩個以上的因素對試驗指標(biāo)的影響時，則稱為兩因素或多因素試驗。試驗因素常用大寫字母A,B,C,表示。 5.3.3 因素水平試驗因素所處的某種特定狀

13、態(tài)或數(shù)量等級稱為因素水平（level of factor），簡稱水平。如比較3個品牌機器生產(chǎn)量的高低，這3個品牌就是機器這個試驗因素的3個水平；研究某種產(chǎn)品中4種不同配方方案對產(chǎn)品性能的影響，這4種特定的配方方案就是產(chǎn)品性能這一試驗因素的4個水平。 因素水平可用代表該因素的字母加下標(biāo)1,2,n來表示，如A1,A2,B1,B2,。5.3.4 試驗處理事先設(shè)計好的實施在試驗單位上的具體項目稱為試驗處理（treatment），簡稱處理。在單因素試驗中，實施在試驗單位上的具體項目就是試驗因素的某一水平。例如進行配方方案的比較試驗時，實施在試驗單位（某種配方方案）上的具體項目就是對該配方方案所生產(chǎn)的產(chǎn)品

14、性能進行檢測。所以進行單因素試驗時，試驗因素的一個水平就是一個 處理。在多因素試驗中，實施在試驗單位上的具體項目是各因素的某一水平組合。例如進行3種配方方案和3個技術(shù)工人對產(chǎn)品性能影響的兩因素試驗，整個試驗共有3×3=9個水平組合，實施在試驗單位（產(chǎn)品性能）上的具體項目就是某配方方案與某技術(shù)工人逐一搭配的結(jié)果。所以，在進行多因素試驗時，試驗因素的一個水平組合就是一個處理。5.4 單因素方差分析5.4.1 單因素方差分析基本概念當(dāng)方差分析只涉及一個分類試驗因素對試驗指標(biāo)有影響時，可稱為單因素方差分析。如檢驗不同地區(qū)的某商品的市場銷售潛力是否相等，或檢驗不同區(qū)域某品牌連鎖店的服務(wù)認可度是

15、否相等，兩個例子中均只涉及“區(qū)域”這一個因素，故其屬于單因素方差分析。5.4.2 問題描述在單因素方差分析中，所考慮的因素單一，但包含若干種水平，而不同水平之間有可能存在系統(tǒng)性差異，需要通過檢驗才能驗證這種系統(tǒng)性差異是否確實存在。在檢驗過程中，需要分析某種因素下的不同水平間的差異到底是隨機性差異，還是系統(tǒng)性差異，若是后者，則說明不同水平間確實存在本質(zhì)性差異。5.4.3 分析步驟為檢驗同一因素下的不同水平對試驗指標(biāo)是否有顯著影響，首先需要設(shè)定一個假設(shè)，即假設(shè)“不同水平對試驗指標(biāo)沒有顯著影響”。第一步，提出假設(shè)。：（假設(shè)各水平間沒有顯著差異，也即試驗因素對試驗指標(biāo)無顯著 影響）。：不全相等（i=1

16、,2,）（假設(shè)各水平間有顯著差異，也即試驗因素對試驗指標(biāo)有顯著影響）。第二步，構(gòu)造統(tǒng)計量。（1）計算各水平（各總體）的樣本均值。記水平下的樣本均值為, 即（5.11）（2）計算所有水平（所有總體）下的全部樣本的均值。記因素下的所有樣本的均值為，即，其中，=+（5.12）（3）計算各誤差平方和。總平方和： （5.13）組間平方和：（5.14）組內(nèi)平方和：（5.15）（4）計算統(tǒng)計量。由于各誤差平方和的大小與觀測值的個數(shù)有關(guān)，為了消除觀測值個數(shù)對誤差平方和大小的影響，需要將其平均，也即用各平方和除以其所對應(yīng)的自由度，這一結(jié)果稱為均方。ST的自由度為n-1，其中n為全部觀測值的個數(shù)；SA的自由度為k

17、-1，其中k為因素水平的個數(shù)；SE的自由度為n-k。在方差分析中，由于只需比較組間誤差和組內(nèi)誤差的大小，故只需計算兩種誤差的均方，其中，用表征組間均方，用表征組內(nèi)均方。= （5.16）= （5.17）F (-1,-) （5.18）第三步，統(tǒng)計決策。根據(jù)給定的顯著性水平，在F分布表中查找與分子自由度-1、分母自由度-相應(yīng)的臨界值。若F>，則拒絕原假設(shè)，表明各水平之間存在顯著差異，也即試驗因素對試驗指標(biāo)有顯著影響。若F<，則接受原假設(shè)，表明各水平之間不存在顯著差異，也即沒有證據(jù)證明試驗因素對試驗指標(biāo)有顯著影響。5.4.4 方差試驗表表5.1 方差分析表誤差來源平方和自由度均方

18、F值 組間k-1/組內(nèi)n-k總和n-1例5.3 采用4種不同產(chǎn)地的原料萘，按同樣的工藝條件合成萘酚，測定所得產(chǎn)品的熔點如表5.2所示，問原料萘的產(chǎn)地是否顯著影響產(chǎn)品的熔點。 表5.2 萘的熔點單位：產(chǎn)地1產(chǎn)地2產(chǎn)地3產(chǎn)地4124.0121.5123.0123.0121.0123.5123.5123.0123.0121.0123.0解：經(jīng)過計算得到表5.3所示的萘的熔點方差分析表。表5.3 萘的熔點方差分析表方差來源平方和自由度均方F比F臨界值原料產(chǎn)地4.657231.55241.81743.07誤差5.979270.8542總和10.636410由表5.3可知，接受原假設(shè)，即原料萘的產(chǎn)地對萘酚

19、熔點無顯著影響。5.5 雙因素方差分析5.5.1 雙因素方差分析基本概念當(dāng)方差分析涉及兩個分類試驗因素對試驗指標(biāo)有影響時，可稱為雙因素方差分析?；诮虒W(xué)目標(biāo)需要，本章只介紹無交互作用的雙因素方差分析。5.5.2 問題描述在雙因素分析中，所考慮的因素有兩個，各因素又包含若干種水平，而不同水平之間有可能存在系統(tǒng)性差異，只是需要通過檢驗才能驗證這種系統(tǒng)性差異是否確實存在。在檢驗過程中，需要分析兩種因素下的不同水平間的差異是否顯著存在。5.5.3 分析步驟第一步，提出假設(shè)。對A因素提出的假設(shè)如下。：(假設(shè)A因素各水平間沒有顯著差異，也即A因素對試驗指標(biāo)無顯著影響)。：不全相等（i=1,2,k）（假設(shè)A

20、因素各水平間有顯著差異，也即A因素對試驗指標(biāo)有顯著影響）。對B因素提出的假設(shè)如下。：(假設(shè)B因素各水平間沒有顯著差異，也即B因素對試驗指標(biāo)無顯著影響)。：不全相等（i=1,2,r）(假設(shè)B因素各水平間有顯著差異，也即B因素對試驗指標(biāo)有顯著影響）。第二步，構(gòu)造統(tǒng)計量。計算各誤差平方和?？偲椒胶停海?.19）組間平方和：（5.20）組內(nèi)平方和：（5.21）第三步，計算統(tǒng)計量。的自由度為kr-1；，其中k為因素水平的個數(shù)的自由度為k-1；的自由度為r-1；的自由度為(k-1)(r-1)。= （5.22）= （5.23）= （5.24）(k-1，) （5.25）(r-1，) （5.26）第四步，統(tǒng)計決

21、策。根據(jù)給定的顯著性水平a，在F分布表中可得臨界值和。若>，則拒絕原假設(shè)，表明A因素各水平之間存在顯著差異，也即A因素對試驗指標(biāo)有顯著影響。若<，則接受原假設(shè)，表明A因素各水平之間不存在顯著差異，也即沒有證據(jù)證明A因素對試驗指標(biāo)有顯著影響。若>，則拒絕原假設(shè)，表明B因素各水平之間存在顯著差異，也即B因素對試驗指標(biāo)有顯著影響。若<，則接受原假設(shè)，表明B因素各水平之間不存在顯著差異，也即沒有證據(jù)證明B因素對試驗指標(biāo)有顯著影響。5.5.4 方差試驗表雙因素的方差分析表如表5.4所示。表5.4 雙因素的方差分析表誤差來源平方和自由度均方F值 A因素-1/B因素-1/誤差(-1)(-1)總和-15.6 Excel在方差分析中的應(yīng)用本節(jié)主要介紹單因素方差分析。5.6.1 用Excel進行單因素方差分析方差分析的結(jié)果以方差分析表呈現(xiàn)，如表5.5所示。表5.5 方差分析表誤差來源平方和自由度均方F值 P值F臨界值組間k-1/組內(nèi)n-k總和n-15.6.2 實例應(yīng)用1.實例的數(shù)據(jù)描述例5.9 為比較不同肥料對樹苗生長有無顯著影響，某農(nóng)場施用4種不同肥料進行育苗試驗并得到相關(guān)的試驗結(jié)果，假設(shè)苗高服從正態(tài)分布，且方差相等，。表5.6 不同肥料施