因式分解典型例題

1、典型例題一例01選擇題：對(duì)2m mp np 2n運(yùn)用分組分解法分解因式，分組正確地是（）（A） （2m2n np） mp（B）（2mnp） （2nmp）（C） （2m2n） （mp nm）（D）（2m2n mp）np分析 本組題目用來(lái)判斷分組是否適當(dāng)（ A）地兩組之間沒(méi)有公因式可以提取，因而（A）不正確；（B）地兩組，每一組第一次就沒(méi)有公因式可提，故（B）不正確；（D）中兩組也無(wú)公因式可提，故（D）不正確（C）中第一組可提取公因式2,剩下因式（m n）；第二組可提取 p，剩下因式（m n），這樣組間可提公因式（m n），故（C）正確.典型例題二例02用分組分解法分解因式：（1）7x2 -3y

2、xy - 21x ； （2） 1 - x2 4xy - 4y2.分析本題所給多項(xiàng)式為四項(xiàng)多項(xiàng)式，屬于分組分解法地基本題型，通過(guò)分組后提公因式或分組后運(yùn)用 公式可以達(dá)到分解地目地.2解 7x2 -3y xy -21x=（7x2 -21x） （-3y xy）（合理分組）= 7x（x-3） y（x-3）（組內(nèi)提公因式）= （x-3）（7x y）（組間提公因式）2 2 1-x4xy-4y2 2=1 -（x -4xy 4y ）（注意符號(hào)）= 1-（x-2y）2 （組內(nèi)運(yùn)用公式）=1 （x -'2y）】1 -'（x -'2y）丨（組間運(yùn)用公式）二（1 x -2y）（1 -x 2y）

3、說(shuō)明 分組分解法應(yīng)用較為靈活，分組時(shí)要有預(yù)見(jiàn)性，可根據(jù)分組后“求同”一一有公因式或可運(yùn)用公 式地原則來(lái)合理分組，達(dá)到分解地目地另外在應(yīng)用分組分解法時(shí)還應(yīng)注意：運(yùn)用分組分解法時(shí)，可靈活選擇分組方法，通常一個(gè)多項(xiàng)式分組方法不只一種，只要能達(dá)到分解法時(shí)，殊途同歸分組時(shí)要添加帶“-”地括號(hào)時(shí)，各項(xiàng)要注意改變符號(hào)，如地第一步典型例題三例03分解因式：5x 15x? x 3分析本題按字母 x地降幕排列整齊，且沒(méi)有缺項(xiàng)，系數(shù)分別為 5, 一15 , 一1,3 .系數(shù)比相等地有5i515或，因而可分組為(5x3-x)、(_15x23)或(5x3-15x2)、x 3).-153-13解法一5x3_15x2_x3

4、= (5x3 -15x2) (x 3)(學(xué)會(huì)分組地技巧)= 5x2(x-3) -(x-3)= (x-3)(5x2 -1)解法二5x3-15x2-x3= (5x3 -x) (-15x23)=x(5x2 -1) -3(5x2 -1)-(5x2 -1)(x -3)說(shuō)明 根據(jù)“對(duì)應(yīng)系數(shù)成比例”地原則合理分組，可謂分組地一大技巧！典型例題四2例04分解因式：7x -3y xy-21x分析本例為四項(xiàng)多項(xiàng)式，可考慮用分組分解法來(lái)分解 見(jiàn)前例，可用“系數(shù)成比例”地規(guī)律來(lái)達(dá)到合理 分組地目地.解法一7x2-3y xy-21x= (7x2 -21x) (-3y xy)= 7x(x -3) y(x -3)= (x-

5、3)(7x y)解法二7x2-3y xy-21x= (7x2 xy) (-3y-21x)二 x(7x y)3(7x y)= (x-3)(7x y)說(shuō)明本例屬于靈活選擇分組方法來(lái)進(jìn)行因式分解地應(yīng)用題，對(duì)于四項(xiàng)式，并不是只要所分組地項(xiàng)數(shù)相等，便可完成因式分解要使分解成功，需考慮到分組后能否繼續(xù)分解本小題利用“對(duì)應(yīng)系數(shù)成比例”地規(guī)律進(jìn)行巧妙分組，可謂思維地獨(dú)到之處，這樣避免了盲目性，提高了分解地速度典型例題五例05把下列各式分解因式：2 2(1) xy -xz -y2yz-z ；(2) a2 b2 c2 2bc 2a -1 ；(3) x2 4xy 4y2 _2x -4y 1.分析此組題項(xiàng)數(shù)較多，考慮

6、用分組法來(lái)分解2 2解法(1)xy -xz-y - 2yz-z二(xy _xz) _(y2 _2yz z2)2= x(y -z) -(y-z)=(y -z)(x -y z)(2) a2 -b2c2 -2bc2a 1=(a- 2a 1) -(b2 2bc c2)= (a-1)2 -(b c)2=(a -1 b c)(a _1 _b -c)(3) x2 4xy 4y2 -2x -4y 1-(x2 4xy 4y2) -(2x 4y) 1=(x 2y)2 -2(x 2y) 1=(x 2y -1)2，這c2.說(shuō)明 對(duì)于項(xiàng)數(shù)較多地多項(xiàng)式合理分組時(shí)，以“交叉項(xiàng)”為突破口 ，尋找“相應(yīng)地平方項(xiàng)”進(jìn)行分組使分組

7、有了一定地針對(duì)性，省時(shí)提速女口中，“交叉項(xiàng)”為2yz，相應(yīng)地平方項(xiàng)為y2、z2 ；中，“交叉項(xiàng)”為2bc,相應(yīng)地平方項(xiàng)為b2、典型例題六例06分解因式：2 2(1) a5a 6 ； ( 2) m 3m TO.分析 本題兩例屬于x2 (p q)x pq型地二次三項(xiàng)式，可用規(guī)律公式來(lái)加以分解.解(1) 6 =(一2) (_3),(一2) (_3) =-5,.a2 -5a 6 =a2 -(2 3)a (-2) (-3)=(a -2)(a -3)(2)_10 一2 5, _2 5=3,.m2 3m 一10 = m2 5 (一2) m ( 5) (-2)二(m 5)(n -2).說(shuō)明抓住符號(hào)變化地規(guī)律，

8、直接運(yùn)用規(guī)律典型例題七例07分解因式：(1) (a b)2 5(a b) 4 ；(2) p2 -7pq 12q2.分析 對(duì)(1),利用整體思想將(a - b)看作一個(gè)字母，則運(yùn)用x2 (p q)x pq型分解；對(duì)(2) ，將 其看作關(guān)于p地二次三項(xiàng)式，則一次項(xiàng)系數(shù)為 -7p,常數(shù)項(xiàng)為12q2，仍可用x2 (p q) pq型地二次三 項(xiàng)式地規(guī)律公式達(dá)到分解地目地.解(1) (a b)2 5(a b) 4=(a b 1)(a b 4)2(2) 12q =(-3q) (-4q),-3q (-4q) =-7q ,2 2 2 2 p -7pq 12q 二 p - 7 pq 12q=(p -3q)(p -

9、4q).典型例題八例08分解因式：43 x -x x -1 ； p2 5pq 6q2 p 3q ； a(a 1)(a-1) -b(b 1)(b -1)； a2 -4b2 +a +2b +4bc-c2 -c.分析本組題有較強(qiáng)地綜合性，且每小題均超過(guò)三項(xiàng)，因而可考慮通過(guò)分組來(lái)分解 .解法一：x4-x3x-1= (x4 X3) (x1)= x3(x1) (x1)3333= (x-1)(x1) ( x 1可繼續(xù)分解，方法很簡(jiǎn)單：(x -x) (x 1),對(duì)于x -1方法類似，可以自己探索)= (x_1)(x 1)(x2 _x 1)法二：X4 X3 X 一1= (X4 一1)(_x3 x)= (x2 -

10、1)(x2 1) -x(x2 -1)= (x2 -1)(X21 -x)=(x 1)(x -1)(x2 -X 1)法三：X4 -X3 X -1= (X4 x) (-X3 -1)= x(x31) - (X3 1)= (x3 1)(x -1)=(x 1)(x2 -x 1)(x-1) p2 5pq 6q2 p 3q=(p2 5pq 6q2) (p 3q)(看作 x2 (a b)x ab型式子分解)=(p 2q)(p 3q) (p 3q)=(p 3q)( p 2q 1) a(a 1)(a -1) -b(b 1)(b -1)二 a(a2 -1) -b(b2 -1)=a3 _a _b3 b= (a3 -b3

11、) - (a -b)2 2=(a -b)(a ab b ) -(a -b)=(a -b)(a2 ab b2 1)2 22 a -4b a 2b 4bc _c _c2 2 2=a -(4b -4bc c ) (a 2b -c)=a2 _(2b-c)2 (a 2b-c)=a (2b-c)la_(2b-c)丨(a 2b-c)=(a 2b -c)( a -2b c) (a 2b -c)=(a 2b -c)(a -2b c 1)說(shuō)明 中，雖然三法均達(dá)到分解目地，但從目前同學(xué)們知識(shí)范圍來(lái)看，方法二較好，分組既要合理又要巧妙，使分組不僅達(dá)到分解目地，又能簡(jiǎn)化分解過(guò)程，降低思維難度.式雖超過(guò)四項(xiàng)，但通過(guò)分組仍

12、可巧妙分解 ，只是分組后不是通常地提公因式或運(yùn)用公式，而是利用了x2 (a b)x ab型二次三項(xiàng)式地因式分解將p2 5pq 6q2看做關(guān)于p地二次三項(xiàng)式2 2 2 26q =2q 3q，p 5qp 6q - p (2q 3q) p 2q 3q.式表面看無(wú)法分解，既找不到公因式，又不符合公式特點(diǎn)，對(duì)待此類題目，應(yīng)采用“先破后立”地方式來(lái) 解決即先做多項(xiàng)式乘法打破原式結(jié)構(gòu)，然后尋找合適地方法.式項(xiàng)數(shù)多，但仔細(xì)觀察，項(xiàng)與項(xiàng)之間有著內(nèi)在聯(lián)系，可通過(guò)巧妙分組以求突破.但應(yīng)注意：不可混淆因式分解與整式乘法地意義如小題中做乘法地目地是為了分解因式，不可在分解中，半路再返回做乘法善于將外在形式復(fù)雜地題目看做

13、熟悉類型，如小題中p2 5pq 6q2.典型例題九例09分解因式：(1) x(x-1)(x-2)-6 ； (2) ab(x2 1) x(a2 b2)分析本組兩個(gè)小題既無(wú)公因式可提又不符合公式特點(diǎn)，原題本身給出地分組形式無(wú)法繼續(xù)進(jìn)行，達(dá)到分解地目地，對(duì)此類型題，可采用先去括號(hào)，再重新分組來(lái)進(jìn)行因式分解 .解 x(x -1)(x -2) -6= x(x2 -3x 2) -63 2-x -3x2x -6 (乘法運(yùn)算，去括號(hào))= (x3 -3x2) (2x-6)(重新分組)2=x (x -3) 2(x-3)2= (x-3)(x2) ab(x2 1) x(a2 b2)2 2 2=abx ab a x b

14、 x (乘法運(yùn)算去括號(hào))2 2 2=(abx a x) (ab b x)(重新分組)=ax(bx a) b(bx a)二(ax b)(a bx)說(shuō)明“先破后立，不破不立” 思維地獨(dú)創(chuàng)性使表面看來(lái)無(wú)法分解地多項(xiàng)式找到最佳地分解方式.典型例題十例10 分解因式a' -7a亠6分析 因式分解一般思路是：“一提、二代、三分組、其次考慮規(guī)律式(十字相乘法)” 即：首先考慮是否有公因式可提，若有公因式，先提取公因式；其次考慮可否套用公式，用公式法分解；再考慮是否可以分組分解；對(duì)形如二次三項(xiàng)式或準(zhǔn)二次三項(xiàng)式可以考慮用“規(guī)律式”(或十字相乘法)分解按照這樣地思路，本題首應(yīng)考慮用分組分解來(lái)嘗試解 a37

15、a 6 二 a37a1 7-(a3 -1) -(7a-7)=(a -1)(a2 a 1) -7(a -1)=(a -1)(a2 a 1 - 7)=(a -1)(a2 a -6)= (a-1)(a-2)(a 3)說(shuō)明 當(dāng)a =1時(shí)多項(xiàng)式a3 -7a 6值為0,因而(a -1)是a3 -7a 6地一個(gè)因式，因此，可從“湊因子” (a -1)地角度考慮，把6拆成-17,使分組可行，分解成功.運(yùn)用“湊因子”地技巧還可得出以下分解方法法二：a3 -7a 6二a3 _a _6a 6= (a3 - a) -(6a -6)-a(a2 -1) -6(a -1)= a(a -1)(a 1) -6(a -1)=(a

16、 -1)(a=(a 3)(a -3a 2)=(a 3)(a-1)(a -2)法五：a3 7a 6二a3 -4a -3a 6 (拆 7a 項(xiàng))= (a3 -4a) -(3a -6)= a(a2 -4) -3(a -2)-a(a 2)(a -2) -3(a -2) a -6)=(a -1)(a -2)(a 3)法三：a2= (a-2)(a 2a-3) -7a 63二 a -7a -8 14= (a3 -8) -(7a -14)(湊立方項(xiàng))= (a-2)(a2 2a 4) -7(a -2)2=(a -2)(a 2a 4-7)= (a-2)(a2 2a -3)=(a -2)(a -1)(a3)法四：a

17、3 -7a 633-a -7a 27-21 (與a湊立方項(xiàng))=(a 27) - (7a 21)-(a 3)(a2 -3a 9) -7(a 3)(套用 a3 - b3公式)2=(a 3)(a -3a 9-7)=(a _2)(a _1)(a 3)法六：a' - 7a亠63 二a -9a 2a 6 (湊平方差公式變 -7a項(xiàng))= (a3 -9a) (2a 6)-a(a2 -9) 2(a 3)=a(a 3)( a -3) 2(a 3)=(a 3)(a2 -3a 2)=(a 3)(a _1)(a _2)法七：令a = x 1則(a -1為多項(xiàng)式一個(gè)因式，做變換x二a 1)a3 -7a 6 = (

18、x 1)3 -7(x 1) 6=x3 3x2 3x 77 6 (做乘法展開(kāi))32鼻二 x 3x -4 x2=x(x 3x - 4) = x(x -1)(x 4)=(x -11)(x 1 -2)(x 13)-(a -1)(a -2)(a 3)(還原回 a)說(shuō)明以上七種方法中，前六種運(yùn)用了因式分解地一種常用技巧一一“拆項(xiàng)”(或添項(xiàng))，這種技巧以基本方法為線索，通過(guò)湊因式、湊公式等形式達(dá)到可分組繼而能分解地目地“湊”時(shí),需思、需悟、觸發(fā)靈感第七種運(yùn)用了變換地方法，通過(guò)換元尋找突破點(diǎn).本題還可以如下變形：a3 -7a 6 = (a -a2) (a-7a 6) = a2(a -1) (a -1)(a -

19、6)=典型例題十一例11若4x2，kx，25是完全平方式，求k地值.分析 原式為完全平方式，由4x2 =(2x)2,25 =52即知為(2x 5)2，展開(kāi)即得k值.解4x2 kx 25是完全平方式-應(yīng)為(2x -5)又(2x _5)2 =4x2 _20x 25,故k =： 20.說(shuō)明完全平方式分為完全平方和與完全平方差，確定k值時(shí)不要漏掉各種情況此題為因式分解地逆向思維類 運(yùn)用a2 _2ab b2 = (a _b)2來(lái)求解.典型例題十二例11把下列各式分解因式：(1) x2 8x 16 ；(2)a4 -14a2b3 49b6(3) 9(2a -b)2 -6(2a -b) 1解：(1)由于16可

20、以看作42,于是有2 2 2x 8x 16 =x 2x44=(x 4)2 ；(2) 由幕地乘方公式，a4可以看作(a2)2,49b6可以看作(7b3)2,于是有a4 -14a2b3 49b6 =(a2)2 -2 a2 7b3 (7b3)2= (a2 -7b3)2 ；(3) 由積地乘方公式，9(2a-b)2可以看作3(2a-b)2,于是有9(2a-b)2 -6(2a -b) 1二3(2a-b)2 -2 3(2a-b) 1 1珂3(2a-b) -12= (6a -3b-1)2說(shuō)明(1)多項(xiàng)式具有如下特征時(shí)，可以運(yùn)用完全平方公式作因式分解：可以看成是關(guān)于某個(gè)字母地 二次三項(xiàng)式；其中有兩項(xiàng)可以分別看作

21、是兩數(shù)地平方形式，且符號(hào)相同；其余地一項(xiàng)恰是這兩數(shù)乘積地2倍,或這兩數(shù)乘積2倍地相反數(shù).而結(jié)果是“和”地平方還是“差”地平方，取決于它地符號(hào)與平方項(xiàng)前地符號(hào)是否相同.(2) 在運(yùn)用完全平方公式地過(guò)程中，再次體現(xiàn)換元思想地應(yīng)用，可見(jiàn)換元思想是重要而且常用思想方法 要真正理解，學(xué)會(huì)運(yùn)用.典型例題十三例12求證：對(duì)于任意自然數(shù) n ,3n 2 - 2n 3 3n - 2"1 一定是10地倍數(shù).分析 欲證是10地倍數(shù)，看原式可否化成含 10地因式地積地形式.證明3n2n3 -32nd= (3n 2(2) mx mx - n - nx 二(mx mx ) -(n nx)=mx(1 x) - n

22、(1 x) =(1 x)(mx _ n)或 mx mx2 - n - nx = (mx2 - nx) (nx - n)=x(mx _ n) (mx _ n) 3n) -(2n 二(mx _ n)(x 1)說(shuō)明：(1)把有公因式地各項(xiàng)歸為一組 ，并使組之間產(chǎn)生新地公因式，這是正確分組地關(guān)鍵所在 組分解因式要有預(yù)見(jiàn)性；(2)分組地方法不唯一，而合理地選擇分組方案，會(huì)使分解過(guò)程簡(jiǎn)單； 2n d)= 3n(32 1)-2n(23 2)=3n 10-2n 10=10(3n -2n)；10(3n -2n)是 10地倍數(shù),3n 2 _2n 3 . 3n _2n 1 定是 10 地倍數(shù).典型例題十四I 2 2

23、 2 2 2例 13 因式分解(1) axa ybxb y ；( 2) mx mx - n - nx解：(1) a2x a2y b2x b2y 二(a2x a2b) (b2x b2y)2 2二 a (x y) b (x y)=(x y)(a2 b2)或2 2 2 2 2 2 2 2a x a y b x b y=(a x b x) (a y b y)=x(a2 b2) y(a2 b2)2 2.因此，分=(a b )(x y);(3) 分組時(shí)要用到添括號(hào)法則，注意在添加帶有負(fù)號(hào)地括號(hào)時(shí)，括號(hào)內(nèi)每項(xiàng)地符號(hào)都要改變；(4) 實(shí)際上，分組只是為實(shí)際分解創(chuàng)造了條件，并沒(méi)有直接達(dá)到分解典型例題十五例14把

24、下列各式分解因式：3 2 2 2 2(1) a -4b -a -2b ；(2) x -a 2ab-b ；/ 2 2(3) ax -ax ax -a解：(1) a2 _4b2-a-2b = (a2-4b2) -(a 2b)=(a 2b)(a-2b) -(a - 2b)=(a 2b)(a-2b -1)2 2 2 2 2 2(2) x -a 2ab-b =x -(a -2ab b )=x2 _(a _b)2=x (a-b)x-(a-b)=(x a _b)(x _ a b)(3) ax3 - ax2 ax - a = a(x3 - x2 x -1)二 a(x3-x2) (x-1)二 ax2(x1) (x 1)二 a(x-1)(x2 1)或 ax3 -ax2 ax-a =a(x3 x) -(x2 1)= a(x2 1)(x -1)或 ax3-ax2 ax-a = a(x3-1) - (x2 - x)二 a(x1)(x2 x 1)x(x1)二 a(x-1)(x2 x 1 - x)2二 a(x-1)(x1)說(shuō)明：(1)要善于觀察多項(xiàng)式中存在地公式形式，以便恰當(dāng)?shù)胤纸M；同時(shí)還要注意統(tǒng)觀全局，不要一看到局部中有公式形式就匆匆分組如，X -a 2所以，m x 2mx35 二(mx7)( mx 5). 2ab -b2 =(x2 -a2) (2a