中線倍長法和截長補短法學

1、幾何證明-常用輔助線(一)中線倍長法： 例1、求證：三角形一邊上的中線小于其他兩邊和的一半。已知：如圖， ABC中，AD是BC邊上的中線，求證：AD < - (AB+AC)21分析：要證明AD <丄(AB+AC),就是證明AB+AO2AD也就是證明兩條線段之和2大于第三條線段，而我們只能用“三角形兩邊之和大于第三邊” ，但題中的三條 線段共點，沒有構成一個三角形，不能用三角形三邊關系定理，因此應該進行轉 化。待證結論AB+AO2AI中，出現(xiàn)了 2AD即中線AD應該加倍。證明：延長 AD至E,使DE=AD連CE貝U AE=2AD在厶 ADBffiA EDC中,AAD= DEZADB二

2、 ZEDCBD= DC ADBA EDC(SAS) AB=CE又在厶ACE中,AC+C&AE AC+AB>2AD 即 AD < 寸(AB+AC) 小結：(1)涉及三角形中線問題時，常采用延長中線一倍的辦法，即中線倍長法AB AC和兩個角/ BAD和/CAD集中于同一個三它可以將分居中線兩旁的兩條邊 角形中，以利于問題的獲解。課題練習：ABC中，AD是 BAC的平分線，且 BD=CD求證AB=ACA例2:中線一倍輔助線作法 ABC 中AD是BC邊中線AD方式1:延長AD到E,使 DE=AD連接BE方式2:間接倍長E作CF丄AD于F,作BE! AD的延長線于E連接BEN延長MD

3、到N,使 DN=MD 連接CD例 3:A ABC中, AB=5AC=3求中線AD的取值范圍例4:已知在 ABC中，AB=AC D在AB上, E在AC的延長線上,求證：BD=CEDE交 BC于 F,且 DF=EFADF課堂練習：已知在 ABC中，AD是BC邊上的中線,AC于 F,求證：AF=EFE是AD上一點，且 BE=AC延長 BE交例5：已知：如圖，在 ABC中，AB 交 AE于點 F, DF=AC.求證：AE平分 BACAC，D、E 在 BC上，且 DE=EC 過 D作 DF /BA第1題圖課堂練習：已知 CD=ABZ BDA=/ BAD AE是厶ABD的中線，求證：/ C=Z BAE作業(yè)

4、：1、在四邊形 ABCD中, AB/ DC E為BC邊的中點，/ BAE=/ EAF, AF與DC的延長線相交于 點F。試探究線段AB與AF、CF之間的數(shù)量關系，并證明你的結論D2、已知：如圖，ABC中，C=90 , CM AB于M, AT平分 BAC交CM于 D,交BC于T,過D作 DE/AB 交 BC于 E,求證：CT=BE.3:已知在 ABC中，AD是BC邊上的中線,求證：AF=EFCBE是AD上一點，且 BE=AC延長BE交AC于F,4:已知 CD=ABZ BDA=/ BAD AE 是厶 ABD的中線，求證：/ C=Z BAE5、在四邊形 ABCD中, AB/ DC E為BC邊的中點，

5、/ BAE=/ EAF, AF與DC的延長線相交于 點F。試探究線段AB與AF、CF之間的數(shù)量關系，并證明你的結論D（二）截長補短法例1.已知，如圖1-1 ,在四邊形 ABCD中, BO AB At=DC BD平分/ ABC圖1-1求證：/ BAD/BCD180° .分析：因為平角等于180。，因而應考慮把兩個不在一起的通過全等轉 化成為平角，圖中缺少全等的三角形，因而解題的關鍵在于構造直角三角形， 可通過“截長補短法”來實現(xiàn) E證明：過點D作DE垂直BA的延長線于點 E,作DF丄BC于點F,如圖1-2 BD平分/ ABC： DE=DF在 RtA ADE與 RtA CDF中,DE D

6、FAD CD Rt ADE RtA CDF HD，DAE/ DCF又/ BAD/ DAE=180°,./ BAD/ DCI=180°,即/ BAD/ BCD180°例2.如圖 2-1 , AD/ BC 點 E在線段 AB上,/ ADE/ CDE / DCE/ ECB求證：Ct=ADBC圖2-1C例3.已知，如圖3-1，/仁/ 2, P為BN上一點，且 PDL BC于點D, AE+B&2BD求證：/ BAF+Z BCP180° .圖3-1例4.已知：如圖 4-1，在 ABC中,Z C= 2Z B,Z 1 = Z 2.求證：AB=AQCD圖4-1作業(yè)

7、：1、已知：如圖， ABCD是正方形，/ FAt=/FAE求證：BBDFAEDFC2、五邊形 ABCD中, AB=AE BGDE=CD / ABC/ AED180°,求證：AD平分/ CDE（三）其它幾種常見的形式:1、有角平分線時，通常在角的兩邊截取相等的線段，構造全 等三角形。例：如圖1:已知ABC的中線，且/ 1 = / 2, / 3=/ 4,求證：BE CF> EF02、有以線段中點為端點的線段時，常延長加倍此線段，構造全 等三角形。例：如圖 2： AD ABC的中線，且/ 1 = / 2,/ 3=/4,求證：BECF> EFA練習：已知 ABC AD是BC邊上的中線，分別以 AB邊、AC邊為直角邊各 向形外作等腰直角三角形，如圖 4,求證EF= 2ADF圖43、延長已知邊構造三角形：例如：如圖6:已知AC= BD, ADLAC于A , BCLBD于B, 求證：AD= BCC4、連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉化成為三角形來解 決。D7例如：如圖 7: AB/ CD AD/ BC 求證：AB=CD5、有和角平分線垂直的線段時，通常把這條線段延長。例如：如圖 8:在 Rt ABC中，AB= AC / BAC= 90 的延長于E。求證：BD= 2C