《分式的基本性質(zhì)》典型例題

1、分式的基本性質(zhì)典型例題例 1下列分式的變形是否正確，為什么？（1） bab（ ） bbcaa22aca例 2寫出下列等式中的未知分子或未知分母。（1） a b ( )（ ） a22a 1 a 1ab2a 2b32a3 1( )例 3 不改變分式的值，將下列各分式中的分子和分母中的各項(xiàng)系數(shù)都化為整數(shù) .（1） 0.2x 0.3y0.2x1 y（ ）y0.5x0.02y221xy4 3例 4 不改變分式的值，使下列各分式中的分子、分母的最高次項(xiàng)系數(shù)為正數(shù) .（1） 1 a a2（2）x 31 a2a3x23x 2例 5已知不論 x 取什么數(shù)時(shí)，分式 ax3 （ bx 50 ）都是一個(gè)定值，求bx5

2、a 、 b 應(yīng)滿足的關(guān)系式，并求出這個(gè)定值.例 6 已知一個(gè)圓臺(tái)的下底面是上底面的 4 倍，將圓臺(tái)放在桌面上，桌面承受壓強(qiáng)為 P 牛頓 / 米 2 ，若將圓臺(tái)倒放，則桌面受到的壓強(qiáng)為多少？例 7不改變分式的值，使下列分式的分子、分母前都不含“”號(hào)：1 x 1 y例 8 不改變分式的值，使分式 23 的分子、分母中的多項(xiàng)式的系數(shù)0.5x 0.4y都是整數(shù)例 9 判定下列分式的變形是不是約分變形，變形的結(jié)果是否正確，并說明理由：（1） ab 11 ；（2） a2b21 ；ababab（3） x32x2x 2x32x ；（ 4） a2b2a1x2bab例 10化簡下列各式：（1）3a3b；（2）a4

3、16；2 328b45a b2a b（3）x 23 xx 23 x2xx 2x 2x6參考答案例 1 分析 分式恒等變形的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)，應(yīng)該嚴(yán)格地用基本性質(zhì)去衡量， M 0 是基本性質(zhì)的生果組成部分，應(yīng)特別注意 .解 （1）已知分式 b/ a 中已隱含了 a0 ，用 a 分別乘以分式的分子、分母，分式的值不變，故（1）是正確的 .（ 2）因?yàn)橐阎质?a / b 中，沒限制 c ， c 可以取任意數(shù)，當(dāng)然也包 括了 c 0 ，當(dāng)分式的分子、分母都乘以 c 0 時(shí)，分式?jīng)] 意義，故（ 2）是錯(cuò)誤的 .例 2 分析 （ 1）式中等號(hào)兩邊的分母都是已知的，所以從觀察分母入手，顯然， a 2b

4、3 是由 ab 2 乘以 ab 得到的，由分式的基本性質(zhì)，ab 也要乘以 ab ，所以括號(hào)內(nèi)應(yīng)填 (ab)ab（2）式中等號(hào)兩邊分子都已知， 所以先觀察分子， a 22a1(a1)2除以 a1 得到右邊分子 a1，按照分式的基本性質(zhì)， (a3 1) (a1)a2a1，故括號(hào)內(nèi)應(yīng)填 a2a1.解：（ 1） a b(ab) abab2a2b3（ 2） a22a1a1a31(a2a 1)例 3 分析 要把分式的分子、分母中各項(xiàng)系數(shù)都化為整數(shù)，可根據(jù)分式的基本性質(zhì)，將分子、分母都乘以一個(gè)恰當(dāng)?shù)牟粸榱愕臄?shù)，怎樣確定這個(gè)數(shù)呢？（1）中分子、分母中的各項(xiàng)系數(shù)是小數(shù)，這個(gè)數(shù)應(yīng)是各項(xiàng)系數(shù)的最小公倍數(shù) .（2）中

5、分子、分母中各項(xiàng)系數(shù)( 0.21 )是分?jǐn)?shù)，這個(gè)數(shù)應(yīng)該是各項(xiàng)系數(shù)的5分母的最小公倍數(shù)，即5， 2， 4， 3 的最小公倍數(shù) 60.解：（1）法 1：原式(0.2x 0.3y) 50(0.5x0.02 y) 5010x15 y25xy法 2：原式(0.2x0.3y) 100(0.5x0.02 y) 10020x30 y 10 x15 y50x2 y25xy(1 x1 y)6012x30 y（2）原式521215x40 yy)60( x34說明在將分式的分子、分母都乘以（或除以）同一個(gè)不為零的數(shù)時(shí)，要遍乘分子分母的每一項(xiàng)，防止漏乘 .例 4分析 （ 1）式中分子要變號(hào)， 分母也要變號(hào)，所以應(yīng)該同時(shí)

6、改變分子、分母的符號(hào) .（2）式中分母需要變號(hào)，分子不需要變號(hào)，所以需要同時(shí)改變分母和分式本身的符號(hào) .解：（1） 1aa2(1aa2 )a2a11 a2a3(1 a2a3 ) a3a21（2）x3x3x323x 2( x23x 2) x23x 2x例 5分析在研究某些有關(guān)特值的數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們可以不考慮一般值，而是直接利用取符合條件特殊值代入研究解決，這就是所謂的特殊值法.解：當(dāng) x0 時(shí)， ax33bx55x1 時(shí)， ax3a3bx5b5不論 x 取什么實(shí)數(shù)， ax3 是一個(gè)定值 a33 ， 5abx5153a 15b553 b 5a3b a5把 a 3 b 代入原式，得5ax33 bx3

7、3 (bx5)355bx5bx5bx55 a 、 b 的關(guān)系為5a3b ；定值為35例6解：設(shè)圓臺(tái)的壓力為G 牛頓，下底面積為S1 米 2 ，上底面積為S2米2.則P G ,S1 4S2 S1 G PS1 4PS2當(dāng)圓臺(tái)倒放時(shí)，桌面受到的壓強(qiáng)為：G 4S2P4P (牛頓/米2 )S2S2答：桌面受到的壓強(qiáng)為 4P 牛/ 米 2 .說明運(yùn)用分式知識(shí)，有助于解決物理中問題（1） 5m ；（ 2） 4b ； （3）3x；（4）a b2na6xy2a 3b例 7 分析 根據(jù) “分式的變號(hào)法則：分子、分母、分式的符號(hào)中，同時(shí)改變其中任意兩個(gè)，分式的值不變 ”解：（1）同時(shí)改變分子和分式的符號(hào)，得5m5m

8、 ；2n2n（2）同時(shí)改變分母和分式的符號(hào)，得4b4b ；aa（3）先確定是分母的符號(hào)，再變號(hào)，得3x3x3x；6 xy6xy6xy（4）先確定是分子的符號(hào)，然后變號(hào)，得2a3b2a3b2a3b ababab說明 1分式中的分?jǐn)?shù)線實(shí)際上起到了括號(hào)的作用如果分式的分子或分母是多項(xiàng)式，要把它看成是一個(gè)整體，考慮這個(gè)整體的符號(hào)，如（3），（4）題，千萬不可誤解成3x3x或2a3b2a3b ；6xy6xyabab2對(duì)于（ 4）題，也可處理成2a3b3b2a 的形式abab例 8 分析 此分式分子中各系數(shù)的最小公倍數(shù)是 6，分母中各系數(shù)的最小公倍數(shù)是 10，而 10 和 6 的小公倍數(shù)是 30于是可利用

9、分式的基本性質(zhì)：分子、分母同時(shí)乘以 30111130xyxy10 y 解： 232315x0.5x0.4 y1 x2 y3015x12 y25說明 1利用分式基本性質(zhì)將分式的分子、分母化成整系數(shù)形式，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)化繁為簡的策略，并為分式作進(jìn)一步處理，提供了便利條件2操作過程中， 用數(shù) 30 的確定是問題的關(guān)鍵所在 因此不僅要考慮到分子、分母，還要考慮分式，使化成整系數(shù)一次到位例 9 分析 約分變形的前提是分子、分母有公因式解：（1）、（ 2）、（ 3）題的變形都不是約分，結(jié)果都是錯(cuò)誤的（1）分式的分子和分母分別是一個(gè)整式，利用分式的基本性質(zhì)， “除以一個(gè)整式 a ”是對(duì)分子、分母的整體進(jìn)行的而只

10、對(duì)分子和分母中的某一項(xiàng)進(jìn)行，就違背了分式基本性質(zhì)的使用前提，所以是錯(cuò)誤的（2）分式的分母是個(gè)平方和的形式，不能分解因此分子、分母沒有公因式，它是最簡分式故此題的變形是毫無根據(jù)的（3）當(dāng)分子、分母都是乘積的形式， 才有約分的可能，而這里 x32x2 與 x2是和的形式，因此不能進(jìn)行約分正確的結(jié)果解法是：x32x2x 2 x2 x 2x 2x 2x2 1x21x 2x2x2（4）此題是約分變形因此分母化成 ab ab 的形式，與分子約去公因式 ab 可得說明1對(duì)于代數(shù)式的恒等變形形式多樣，但每一種變形卻是運(yùn)用定義、定理，并根據(jù)法則規(guī)范操作，而絕不能隨心所欲；2對(duì)（ 1）、（2）、（3）題的變形錯(cuò)誤，實(shí)際上也可以舉反例說明如（1）題：當(dāng) a2 ， b3 時(shí)，211 （2）、（3）題同理233例 10 分析 化簡就是把分式的分子、分母中的公因式約去使其成為最簡公式因此對(duì)分子、分母是單項(xiàng)式時(shí)候，先分別化成與公因式的乘積形式；對(duì)于多項(xiàng)式仍然要先分解因式解：（1）3a3b3a2b aa；45a2 33a2b 15b215b2b（2） a4 16a24 a244a24 ；2a2b8b2b a22b（3） x23x x 23x 2x x 3 x 1 x 21x x2 x 2x 6x 1x x 2