利用軸對稱性質(zhì)求幾何最值

1、無軸對稱中幾何動點(diǎn)最值問題總結(jié)軸對稱中幾何動點(diǎn)最值問題總結(jié)軸對稱的作用是“搬點(diǎn)移線”，可以把圖形中比較分散、缺乏聯(lián)系的元素集中到“新的圖形”中，為應(yīng)用某些基本定理提供方便。比如我們可以利用軸對稱性質(zhì)求幾何圖形中一些線段和的最大值或最小值問題。利用軸對稱的性質(zhì)解決幾何圖形中的最值問題借助的主要基本定理有三個(gè)：（1）兩點(diǎn)之間線段最短；（2）三角形兩邊之和大于第三邊；（3）垂線段最短。初中階段利用軸對稱性質(zhì)求最值的題目可以歸結(jié)為：兩點(diǎn)一線，兩點(diǎn)兩線，一點(diǎn)兩線三類線段和的最值問題。下面對三類線段和的最值問題進(jìn)行分析、討論。（1 1）兩點(diǎn)一線的最值問題兩點(diǎn)一線的最值問題: :（兩個(gè)定點(diǎn)兩個(gè)定點(diǎn)+ +一個(gè)

2、動點(diǎn)）一個(gè)動點(diǎn)）問題特征：已知兩個(gè)定點(diǎn)位于一條直線的同一側(cè)，在直線上求一動點(diǎn)的位置，使動點(diǎn)與定點(diǎn)線段和線段和最短。核心思路：這類最值問題所求的線段和線段和中只有一個(gè)動點(diǎn)，解決這類題目的方法是找出任一定點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)，連結(jié)這個(gè)對稱點(diǎn)與另一定點(diǎn)，交直線于一點(diǎn)，交點(diǎn)即為動點(diǎn)滿足最值的位置。變異類型：實(shí)際考題中，經(jīng)常利用本身就具有對稱性質(zhì)的圖形，比如等腰三角形，等邊三角形、正方形、圓、二次函數(shù)、直角梯形等圖形，即其中一個(gè)定點(diǎn)的對稱點(diǎn)就在這個(gè)圖形上。1. 如圖,等邊ABC 的邊長為 6,AD 是 BC 邊上的中線,M 是 AD 上的動點(diǎn),E 是 AC 邊上一點(diǎn),若 AE=2,EM+CM 的最小值為(

3、)A4B.8C.D.無2. 如圖，等邊ABC 的邊長為 4，AD 是 BC 邊上的中線，F(xiàn) 是 AD 邊上的動點(diǎn)，E 是 AC 邊上一點(diǎn)，若 AE=2，當(dāng) EF+CF 取得最小值時(shí)，則ECF 的度數(shù)為（ ）A15B.22.5C.30D. 453. 如圖，RtABC 中，AC=BC=4，點(diǎn) D，E 分別是 AB，AC 的中點(diǎn)，在 CD 上找一點(diǎn) P，使 PA+PE最小，則這個(gè)最小值是 _.4. （2006河南）如圖，在ABC 中，AC=BC=2，ACB=90，D 是 BC 邊的中點(diǎn)，E 是 AB 邊上一動點(diǎn)，則 EC+ED 的最小值是_.無5.如圖,在正方形 ABCD 中,E 是 AB 上一點(diǎn),

4、BE=2,AE=3BE,P 是 AC 上一動點(diǎn),則 PB+PE 的最小值是()AB.C.D. 106.（2009撫順）如圖所示，正方形 ABCD 的面積為 12，ABE 是等邊三角形，點(diǎn) E 在正方形 ABCD 內(nèi)，在對角線 AC 上有一點(diǎn) P，使 PD+PE 的和最小，則這個(gè)最小值為（ ）A23B. 26C. 3D. 6無（2 2）一點(diǎn)兩線的最值問題一點(diǎn)兩線的最值問題: :（兩個(gè)動點(diǎn)兩個(gè)動點(diǎn)+ +一個(gè)定點(diǎn)）一個(gè)定點(diǎn)）問題特征：已知一個(gè)定點(diǎn)位于平面內(nèi)兩相交直線之間，分別在兩直線上確定兩個(gè)動點(diǎn)使線段和最短。核心思路：這類問題實(shí)際上是兩點(diǎn)兩線段最值問題的變式，通過做這一定點(diǎn)關(guān)于兩條線的對稱點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)

5、“搬點(diǎn)移線” ，把線段“移”到同一直線上來解決。變異類型：例 1 ：如圖 6，接力賽場上，甲同學(xué)站在 L1、L2 兩條交叉跑道之間的任意一點(diǎn) A 處，要將接力棒傳給站在 L1 跑道上的乙同學(xué)，乙同學(xué)要將接力棒傳給站在 L2 跑道上的丙同學(xué)，丙同學(xué)跑回 A 處，試找出乙丙同學(xué)所站的最佳位置使比賽的路程最短。1. 如圖，已知AOB 的大小為，P 是AOB 內(nèi)部的一個(gè)定點(diǎn)，且 OP=2，點(diǎn) E、F 分別是OA、OB 上的動點(diǎn)，若PEF 周長的最小值等于 2，則=（ ）A30B.45C.60D.902. 如圖，AOB=30，內(nèi)有一點(diǎn) P 且 OP=，若 M、N 為邊 OA、OB 上兩動點(diǎn)，那么PMN的

6、周長最小為（ ）A26B.6C. 6/2D. 6無3. 如圖，在ABC 中，C=90，CB=CA=4，A 的平分線交 BC 于點(diǎn) D，若點(diǎn) P、Q 分別是 AC 和 AD 上的動點(diǎn)，則 CQ+PQ 的最小值是_4. 在銳角三角形 ABC 中，AB=4，BAC=60，BAC 的平分線 BC 于 D，M、N 分別是 AD 與 AB上動點(diǎn)，則 BM+MN 的最小值是 _ （3 3）兩點(diǎn)兩線的最值問題兩點(diǎn)兩線的最值問題: :（兩個(gè)動點(diǎn)兩個(gè)動點(diǎn)+ +兩個(gè)定點(diǎn)）兩個(gè)定點(diǎn)）問題特征：兩動點(diǎn)，其中一個(gè)隨另一個(gè)動（一個(gè)主動，一個(gè)從動） ，并且兩動點(diǎn)間的距離保持不變。核心思路：用平移方法，可把兩動點(diǎn)變成一個(gè)動點(diǎn)，

7、轉(zhuǎn)化為“兩個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)動點(diǎn)”類型來解。變異類型：例 1如圖 4，河岸兩側(cè)有、兩個(gè)村莊，為了村民出行方便，計(jì)劃在河上修一座橋，橋修在何處才能兩村村民來往路程最短？無解析：設(shè)橋端兩動點(diǎn)為、，那么點(diǎn)隨點(diǎn)而動，等于河寬，且垂直于河岸。將向上平移河寬長到， 線段與河北岸線的交點(diǎn)即為橋端點(diǎn)位置。 四邊形為平行四邊形，此時(shí)值最小。那么來往、兩村最短路程為：。2如圖，在直角坐標(biāo)系中有線段 AB，AB=50cm，A、B 到 x 軸的距離分別為 10cm 和 40cm，B 點(diǎn)到 y軸的距離為 30cm，現(xiàn)在在 x 軸、y 軸上分別有動點(diǎn) P、Q，當(dāng)四邊形 PABQ 的周長最短時(shí)，則這個(gè)值為（ ）A50B.505C

8、. 50（5-1）D. 50（5-1）3. (2010 年天津市中考)在平面角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)、分別在軸、軸的正半軸上，為邊的中點(diǎn)。（1）若為邊上的一個(gè)動點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹荛L最小時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若，為邊上的兩個(gè)動點(diǎn)，且，當(dāng)四邊形的周長最小時(shí)，求點(diǎn)，的坐標(biāo)。無解析：作點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，則，。（1）連接交軸于點(diǎn)，連接，此時(shí)的周長最小。由可知，那么，則。（2）將向左平移 2 個(gè)單位（）到點(diǎn)，定點(diǎn)、分別到動點(diǎn)、的距離和等于為定點(diǎn)、到動點(diǎn)的距離和，即。從而把“兩個(gè)定點(diǎn)和兩個(gè)動點(diǎn)”類問題轉(zhuǎn)化成“兩個(gè)定點(diǎn)和一個(gè)動點(diǎn)”類型。在上截取，連接交軸于，四邊形為平行四邊形，。此時(shí)值最小，則四邊形的周

9、長最小。由、可求直線解析式為，當(dāng)時(shí)，即，則。（也可以用（1）中相似的方法求坐標(biāo)）（4 4）兩點(diǎn)兩線的最值問題兩點(diǎn)兩線的最值問題: :（兩個(gè)動點(diǎn)兩個(gè)動點(diǎn)+ +兩個(gè)定點(diǎn)）兩個(gè)定點(diǎn)）問題特征：兩動點(diǎn)分別在兩條直線上獨(dú)立運(yùn)動，一動點(diǎn)分別到一定點(diǎn)和另一動點(diǎn)的距離和最小。核心思路：利用軸對稱變換，使一動點(diǎn)在另一動點(diǎn)的對稱點(diǎn)與定點(diǎn)的線段上（兩點(diǎn)之間線段最短） ，且這條線段垂直于另一動點(diǎn)的對稱點(diǎn)所在直線（連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短）時(shí)，兩線段和最小，最小值等于這條垂線段的長。變異類型：演變?yōu)槎噙呅沃荛L、折線段等最值問題。例 5（2009 年陜西省中考）如圖 6，在銳角中，的平分線交于點(diǎn)

10、，、分別是和上的動點(diǎn)，則的最小值為 4 。無解析： 角平分線所在直線是角的對稱軸，上動點(diǎn)關(guān)于的對稱點(diǎn)在上，當(dāng)時(shí)，最小。作于，交于，作交于，2：如圖 9，在矩形 ABCD 中，AB=20cm，BC10cm，在 AC，AB 上各取一點(diǎn) M，N，使 BMMN 的值最小，求這個(gè)最小值。分析：在ABC 中， AB=20cm， BC10cm， 由勾股定理得 AC=105cm， 由 ACBO=ABBC， 得 BO=45cm，所以 BB=85cm。 由ABCBNB，得 BN16cm ，即 BMMN 的最小值為 16cm 。3 ：如圖 5，MON=30，邊 OM、ON 分別有定點(diǎn) A、D，OA=2，OD=5，在 ON、OM 邊上確定動點(diǎn) B、C 的位置，使折線 ABCD 的長度最短，這時(shí)折線 ABCD 的長度為（）分析：若 A 位于 ON 的另一側(cè)，D 位于 OM 的另一側(cè)，則連接 AD 與 OM、ON 邊相交可得 B、C 點(diǎn)的位置?？梢韵霟o辦法在保持線段 AB、CD 長度不變的情況下，將點(diǎn) A“搬搬”至 ON 的另一側(cè)，將點(diǎn) D“搬搬”至 OM 的另