網絡中傳染病的傳播閾值

1、網絡中傳染病傳播的閾值Claudio Castellano 和 Romualdo Pastor-SatorrasIstituto dei Sistemi Complessi (CNR-ISC), UOS Sapienza and Dip. di Fisica, Sapienza Universita di Roma,P.le A. Moro 2, I-00185 Roma, Italy2Departament de F´sica i Enginyeria Nuclear, Universitat Politecnica de Catalunya, Campus Nord B4, 08

2、034Barcelona, Spain （接收時間：2010.6.25; 出版時間:2010.11.17）我們研究淬火網絡里傳染模型的閾值，且此網絡的度分布由一個冥律給定。對SIS模型來說，活躍閾值在任何與系統(tǒng)規(guī)模相偏離的最大度為的網絡上的大規(guī)模限制中，會消失，這與異質平均場(HMF)理論相背離。閾值的消失與網絡的無標度特性無關，但是莖代替系統(tǒng)中最大的樞紐，對任何傳播速率都很積極且扮演了一個自給資源的角色，此角色可以將傳染病傳播給系統(tǒng)的剩余部分。SIR模型反而顯示出與HMF理論以及標度豐富網絡上的一個有限閾值的一致性。我們猜想：在淬火標度豐富網絡上，一般的傳染模型的閾值正在消失或是有限的，依靠

3、一個穩(wěn)態(tài)的存在或缺乏。一個網絡的異質模式會對動力學過程在其上進行運轉的行為產生令人矚目的影響1。尤其是，當聯(lián)系數(shù)k的分布(一個元素或頂點的度)呈現(xiàn)長長的尾巴，由一個具有不對稱形式的冥律度表示時2。由于它的實際小世界蘊涵式而吸引大量興趣的一個例子就是傳染病在聯(lián)系網絡上傳播的建模3。最簡單的模型當屬SIS模型4,此模型中，每個頂點(個體)可以是兩個狀態(tài)的其中之一，要么易受感染，要么已被感染。通過接觸已被感染的個體（具有一個與感染接觸數(shù)目乘以一個指定傳播速率成比例的速率）而使易受感染體成為已被感染體。另一方面，感染個體可再次成為健康的，以一個可以任意規(guī)定成與單元相等的速率的情況下。此模型允許這樣的個

4、體去接觸傳染源，并且在無限網絡規(guī)模限制下，再次導致一個持續(xù)的被感染穩(wěn)態(tài)，在值大于流行閾值值的情況下。另一方面，在SIR模型中4，被感染個體一旦恢復(或者死亡)，就不能再進一步地改變它們的狀態(tài)。沒有哪個穩(wěn)態(tài)現(xiàn)在是被允許的，但是，一個閾值依然存在，若超過了這個閾值，被感染個體的總數(shù)，以一個非常小的傳染種子開始，到達網絡的一個有限的部分。以上的和其他模型的分析，通過一個改進的平均場理論為我們展示出，考慮到網絡基質的異質性5,6而導致深遠的結論：拓撲波動，由于靠度分布的二階矩而測得，在許多動力學類型中具有意義深遠的影響1,6。因此，例如，在SIS模型中，在平均場標準下，閾值的取法為：。對于一個具有冥律

5、形式的長尾度分布，二階矩會偏離()，且包含熱力學限制中消失的流行閾值的明顯的結果。這些結論已經導致了廣泛的信仰，即的無標度網絡間的區(qū)別，這些網絡的拓撲學具有極高的相關性，以及的標度豐富網絡，這些網絡的動力學過程展示了一個本質上均勻的平均場行為。這篇建立在一些預先報導過的結論上的文章中，我們呈現(xiàn)了這樣的證明，即這種信仰對在淬火網絡(即鄰接矩陣被及時修復的網絡)上的SIS模型來說是不正確的，以及聯(lián)系模式的無標度性并未對流行閾值產生至關重要的作用。我們調查了這個結論的物理起源，它的對一般網絡結構的正確性和它的重要性。另一方面，我們說明了對SIR模型來說，其圖片是不一樣的，一個零閾值只發(fā)生在無標度淬火

6、網絡中。 當異質平均場(HMF)理論在退火網絡上是準確的(即臨界矩陣只有在平均下才是確定的網絡)，對越過在淬火網絡(QN)上SIS過程的HMF理論的結果已在不同的文中出現(xiàn)過，且?guī)е鞣N各樣的精確水平。在2003年，Wang等7已經討論了在一個任意未受指導的曲線圖上，流行閾值由鄰接矩陣的最大本征值設定，即(1)參見8,9。方程(1)的關聯(lián)會變得明顯，當由等10(他計算出了對一個具有度根據(jù)冥律分布的有限曲線圖的種類鄰接矩陣的最大本征值)的結論補充時，得到(2) 這里的N是網絡規(guī)模，是網絡中斷或大多數(shù)連接節(jié)點的度(在許多網絡實現(xiàn)上的平均11)，是規(guī)則常量1。中斷是網絡規(guī)模的增長函數(shù)(對不相關無標度網

7、絡)，如此取值：和12。時，片刻的比率是有限的，且最大本征值由控制。明顯地，這個結論還是正確的，當，在此范圍內時。只有在時，最大本征值由度分布的片刻設定。聯(lián)系方程(1)和(2)，對在一個冥律分布的網絡中的SIS模型，足夠大的規(guī)模下，閾值行為就是(3)參見13。因為以一個N函數(shù)在增長(對任何值)，因此方程(3)的結果是顯而易見的：在任何有冥律分布的連通性的不相關淬火隨機網絡中，對于SIS，流行閾值會隨著網絡規(guī)模的趨向無限大而漸趨零。這與度分布的無標度性無關：只要中斷偏離，這個結論永遠都正確。引人注目地是，對 Erds-Rényi 曲線圖(盡管以對數(shù)方式放慢)來說，一個近似于方程(2)的

8、公式是存在的14。不同的近似值13,15,16也指出了，熱力學限制中，對>0的任何值，系統(tǒng)是活躍的。然而，這些結論在統(tǒng)計物理聯(lián)盟里大部分被忽視了。由方程(3)提出的一個基本問題，其涉及到了這樣一個事實：作為任何臨界點，流行閾值只有在熱力學限制中才會被明確定義。一個有限系統(tǒng)中，動力學總是注定是健康的吸收態(tài)，即使由于隨機波動遠遠大于閾值。對一個規(guī)模為N的有限網絡，閾值必須能分離管理體制，此種情況下，傳染病從管理體制以指數(shù)方式迅速衰減 以致預期中的存活期具有規(guī)則，如此存活期帶著N以指數(shù)方式增長到一些冪，()。 為了驗證這些結論的正確性，我們執(zhí)行在淬火標度豐富網絡(=4.5和最小度為)上的SIS

9、模型的數(shù)值模擬，建立利用不相關結構模型17。為了對比方程(3)這些的結果與預言，這必須被納入考慮范圍，即實際最大度在每個網絡實現(xiàn)中是一個隨機變量，有平均值。尤其是，當時，的平均值和標準偏差的取值范圍皆在 18 ,這暗示了，對度序列的不同實現(xiàn)，總是顯示出大波動。因此，我們首先考慮這樣的網絡：為一個定值，且與對被選擇的系統(tǒng)規(guī)模N，其平均值從數(shù)值上估計是相等的。在圖1中，我們讓密度只有在生存賽跑下才會被計算，對不同值，作為一個N函數(shù)19。轉變應該發(fā)生在一個定值，將變成一個常量()，或以指數(shù)方式衰減()和在轉變中恰好作為一個冥律。一個完全不同的行為被觀測到：對任何值，曲線向上彎曲，表明系統(tǒng)在任何值都是

10、活躍的。這排除了對發(fā)散值N一個有限閾值的存在。方程(1)在任何圖表上都適用SIS的同時，方程(2)被代替獲得一個特定網絡模型(對存在內在關聯(lián)或對則此關聯(lián)不存在12)。對一般拓撲學，這是很簡單就能展示的11，即對于鄰接矩陣的最大特征值，是一個下界。因此我們可以下結論：除非度分布從上級是完全有界的，否則對于任何圖表上的SIS，閾值在熱力學限制中都會消失不見。這些結果到底一般到什么程度呢？Prakash等 9 最近證明了，不管他們特別的微觀細節(jié)，方程(1)對于所有的傳染過程都是有效的。為檢查這個宣言，我們考慮SIR模型。在HFM水平，閾值取這樣的值： 20,21 ，因此對于的標度豐富網絡是是有限的。

11、從方程(3)中分析可得，另一方面，在大網絡限制下它會近似零的小，根據(jù)參考9。我們已經檢查出，這個可能性靠展示在和不同N值的網絡上的SIR模型的數(shù)值模擬，帶著固定值。在這種情況下，HMF估計閾值取值：，不受網絡規(guī)模的限制，當來自于方程(3)的預言是對于不同網絡規(guī)模被考慮時。在圖2中，我們報道了被感染個體的最后密度R作為一個傳播速率的函數(shù)，從一個隨機選擇的單一感染節(jié)點開始。HMF理論的預言似乎在這種情況下比方程(3)的精確得多，違反了在參考9中的一般要求：閾值在大N限制下依然是有限的。 圖1.(在線顏色)。對于長時間在QN上的 圖2.在不同規(guī)模N的QN上的SIR模型中SIS模型里，活性位點的密度作

12、為一個系 的(在線顏色)。被感染個體的總數(shù)作為傳。統(tǒng)規(guī)模為N(和不同參量值)的 播速率的一個函數(shù)。網絡有。函數(shù)。請注意，對于，直線是由于沒有發(fā)生密度是小于1/N的事實。為了理解這兩個模型的不同行為，我們注意不正確的對QN上SIS的HMF預言的起源。從數(shù)學的角度來看，HMF方法等同于，用由一個有平均鄰接矩陣ij的退火網絡給定的鄰接矩陣代替QN6,22。在不相關情況下，這個矩陣減小到，它有一個唯一的非零特征值。因此，退火網絡近似法破壞了QN的特征值范圍的詳細結構，且只有時才保留正確的最大特征值。這個基本的特征和不是(就像參考16里暗示的)不管動力學相關實質上是HMF近似法的不正確。一個更多的物理視

13、野來自一個帶著一個中心連接度1的葉子的星圖。這種情況下，鄰接矩陣的最大特征值是，這暗示了。同樣的結果可以很容易地被發(fā)現(xiàn)，依靠寫下速率等式，對于的中心(葉子)是活躍的，即和。利用穩(wěn)態(tài)條件我們發(fā)現(xiàn)(4) 因此，閾值條件在上面。方程(4)對于一個一般淬火隨機圖表的啟示是強烈的：從所有系統(tǒng)的剩余部分獨立出來，對于，由度為的節(jié)點和它的鄰居組成的子圖是活性狀態(tài)。這個活動的核心提供一個感染的自給資源，因為在全圖里，樞紐的鄰居們不是樹葉，可以轉移活動到它們的其他鄰居上以及用這種方法傳播傳染病給至高點的一個有限小部分。這由圖3確認，顯示在生存賽跑中活躍節(jié)點的數(shù)目，在一個的全網絡和一個相同的星圖上23。對于，在全

14、網絡和星圖上的的值是可比的：次臨界的和子圖以度為為中心的兩個系統(tǒng)都是徘徊在消失前活動。對于，星圖會變得活躍的，漸與成比例。在全網絡中，漸近行為是，表明活態(tài)是地方性的：樞紐傳播活動給整個系統(tǒng)的一個有限部分。要到達徹底的流行狀態(tài)，對于小需要更大的系統(tǒng)，但是對于任何，沒有什么會定性地改變。 圖3.(在線顏色)。在生存賽跑(的值小 圖4.(在線顏色)。對在于由HMF預言的閾值() 和改變中的 )活躍節(jié)點數(shù)作為的一個函數(shù)，與 的網絡中的SIS模型活躍密度的衰減。對于星圖的相同品質相比較。網絡為。了解SIS的行為為我們解開對于SIR事情變得不同的原因。在前者情況下，樞紐再多次被感染的可能性(允許穩(wěn)態(tài)的存在

15、)，提高了他們對動力學的影響。SIR的情況，另一方面，高度頂點只能被感染一次，且這強烈限制了它們在動力學中扮演的角色。根據(jù)這個發(fā)現(xiàn)，很自然的就能推測出流行模型允許一個穩(wěn)態(tài)，例如SIS，這將導致在任何無限QN中的一個無效閾值，當所有模型沒有一個穩(wěn)態(tài)時將符合HMF理論，帶著一個在標度豐富拓撲學上的有限閾值。樞紐在動力學上的深刻影響制造了在SIS模型上更遠的問題。當固定到它的總體平均值時，導致符合在有限系統(tǒng)中一個非零閾值的存在的結果，就像方程(3)暗示的，如果約束被放松了，有大樣本抽樣波動導致的非平凡后果。在圖4中，我們探索這種可變性的效果，靠比較由固定值和不同值的模擬。對于增長的的活動密度的增長表

16、明，閾值(或最大特征值)和中斷之間的關系，方程(3)，實際上可以是精確的且可表達成實際最大度，18。然而，相同和N的網絡的不同實現(xiàn)間，的大變更不會由于N偏離和嚴重阻礙自由值的模擬中閾值的決定而洗去。就如之前提到的，對于，的標準偏差隨著平均值增加18,一直都有一個大樣本來取樣可變性。因此，一個無限制的采樣在確定值無根據(jù)的均分，有不同閾值和有效時標，一些次臨界的和超臨界的網絡，甚至使決定一個定義明確的穩(wěn)態(tài)的存在成為不可能。這個事實在圖4中已被例證，我們?yōu)橛善骄幸粋€自由變化的的網絡而得到的活動密度的對照畫出此圖。對于，這種情況依靠網絡生成的方式，尤其是，度分布的上界增長的方式22。若(無關結構模型

17、17)或者更大，則量會隨著N的增長而急劇消瘦22。若是，因為是在標準結構模型中24，則(閾值也如此)會從實現(xiàn)到實現(xiàn)狂暴地改變，相對波動依照發(fā)散22。注意，在的中間區(qū)域，的平均值大于，但是，因為后者偏離造成的波動，對于一些網絡實現(xiàn)，實際閾值遠遠小于由方程(3)預言的值。我們推斷，除非和，否則沒有平均流行閾值可被恰當?shù)囟x，來自有無限制的的網絡的一個數(shù)值觀點。總之，我們已研究，對于在淬火標度豐富網絡上傳播的傳染模型，閾值由于它們規(guī)模的增大會如何的表現(xiàn)。對于SIS模型，閾值總是在熱力學限制下消失，因為樞紐的原因。這證明沒有關系，與HMF理論的預言不一致，帶著度分布的二階矩的分歧，此分歧是有限的。反而

18、對于SIR模型，只有在無標度拓撲學(無論是淬火還是退火)與HMF理論相一致時，閾值才會消失。我們推測，這些不同類型的行為對于系統(tǒng)控制一個穩(wěn)態(tài)是通用的。對于SIS來說一個消失閾值的結果在淬火網絡上是正確的同時，然而從流行病學的角度它是有限的利益。以上的互動模式，真實的疾病的傳播普遍會在短時間范圍內改變25，因此被退火拓撲學更好地描述6,為此，HMF理論明顯地起作用了，且閾值對于是有限的。反而從統(tǒng)計物理學觀點來看，我們的結論打開了一條有前途的朝向一個對HMF理論的范圍和極限更好的理解的道路，作為一個分析異質網絡上動力學的推理工具。R.P.-S承認來自于西班牙MEC(FEDER)的財政支持，項目編號

19、為 FIS2007-66485-C02-01 和 FIS2010-21781-C02-01；ICREA 學術界，由加泰羅尼亞政府提供資金；Junta de Andalucía，項目編號為P09-FQM4682。我們在此感謝A. Vespignani 和M. A. Munoz。1 A. Barrat, M. Barthe´lemy, and A. Vespignani, Dynamical Processes on Complex Networks (Cambridge University Press, Cambridge, England, 2008).2 R. Albe

20、rt and A.-L. Baraba´si, Rev. Mod. Phys. 74, 47 (2002).3 M. J. Keeling and K. T. D. Eames, J. R. Soc. Interface 2, 295 (2005).4 R. M. Anderson and R. M. May, Infectious Diseases in Humans (Oxford University Press, Oxford, 1992).5 R. Pastor-Satorras and A. Vespignani, Phys. Rev. Lett. 86, 3200 (2

21、001).6 S. N. Dorogovtsev, A.V. Goltsev, and J. F. F. Mendes, Rev. Mod. Phys. 80, 1275 (2008).7 Y. Wang et al., 22nd International Symposium on Reliable Distributed Systems (SRDS03) (IEEE, 2003), p. 25.8 S. Go´mez et al., Europhys. Lett. 89, 38 009 (2010).9 B. A. Prakash et al., arXiv:1004.0060.

22、10 F. Chung, L. Lu, and V. Vu, Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 100, 6313 (2003).11 J. G. Restrepo, E. Ott, and B. R. Hunt, Phys. Rev. E 76, 056119 (2007).12 M. Boguna´, R. Pastor-Satorras, and A. Vespignani, Eur. Phys. J. B 38, 205 (2004).13 A. Ganesh, L. Massoulie´, and D. Towsley, IEEE INFOCOM (2005), p. 1455.14 M. Krivelevich and B. Sudakov, Comb. Probab. Comput. 12, 61 (2003).15 S. Chatterjee and R. Durrett, Ann.