2020屆湖北省武漢市武昌區(qū)高三元月調(diào)研考試數(shù)學(xué)(文)試題(解析版)

1、第1頁共 20 頁2020屆湖北省武漢市武昌區(qū)高三元月調(diào)研考試數(shù)學(xué)(文)試題一、單選題21已知集合A x|x x 20,B x| 2 x 0，則AI B()A ( 2, 1)B.( 1,0)C (0,2)D ( 1,2)【答案】B【解析】先求解不等式x2x 20,再根據(jù)交集的定義求解即可【詳解】由題，因為x2x 2 0,所以1 x 2,即A x| 1 x 2,所以A B x| 1 x 0,故選:B【點睛】本題考查集合的交集運算，考查解一元二次不等式2 .已知復(fù)數(shù) z 滿足(1 i)z 2i，則 z 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于()C第三象限D(zhuǎn) 第四象限a bi的形式，即可得到復(fù)數(shù)的坐標(biāo)形式A 第一象

2、限B 第二象限【答案】A【解析】由題丄，利用除法法則整理為1 i，進(jìn)而求解即可【詳解】2i由題,z1 i2i 1 ii，所以 z 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為1,1故選:A【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示，考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面的位置，考查復(fù)數(shù)的除法法則的應(yīng)用13已知an是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1 - ,a32a?1，則a.(3A 3n 1B.3n 2C 2n 1D 2n 2【答案】B第2頁共 20 頁【詳解】第 2 頁共 20 頁1a 一【解析】利用等比數(shù)列的通項公式可得3，解得q,進(jìn)而求得通項公式印q22印q 1【詳解】1a 由題，3，解得q 3或q 1,印q2印q 1因為an的各項均為正數(shù)，所以q

3、3,n 11n 1 n 2所以ana1q33,3故選:B【點睛】本題考查等比數(shù)列的通項公式，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題4 .已知a logo.10.2,b log1.10.2,c 1.10.2，則a,b, c的大小關(guān)系為（）A. a b cB.a c bC.c b aD.cab【答案】D【解析】 分別判斷出a,b,c的范圍，可得a,b,c的大小關(guān)系.【詳解】log。/a log0.10.2 log0.10.1，即0 a 1;b log1.10.2 log1.110,c 1.10.21.101, 可得cab, 故選：D.【點睛】本題考查了指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于基礎(chǔ)題5等腰直角三角形ABC

4、中，ACB ,2AC BC2，點P是斜邊AB上一點，且BP 2PA，那么uuu uiu uuuuuuCPCA CP CB()A .4B.2C. 2D . 4【答案】Duuu umruur【解析】 將CP用CA與CB進(jìn)行表示，代入可得答案2第4頁共 20 頁本題主要考查平面向量的基本定理及平面向量的數(shù)量積，相對不難6為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4 種顏色的花中任選 2 種花種在一個花壇中，余下的 2 種花種在另一個花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是1125A B.C D -3236【答案】C【解析】試題分析：將 4 種顏色的花種任選 2 種種在一個花壇中,花壇中，有 6 種種法，其中紅

5、色和紫色的花不在同一個花壇的種數(shù)有2為一，選 C.3【考點】古典概型行列舉UJU解：由題意得：CPuuu uuu uu urnCP CA CP CB故選：D.【點睛】UCMCluC趙4 4一3 31-31-3 8 8一3 3LrnBuucMB山c1 1 - -3 32 2 - -3 3余下 2 種種在另一個4 種，故所求概率【名師點睛】 作為客觀題形式出現(xiàn)的古典概型試題般難度不大，解答中的常見錯誤是在用列舉法計數(shù)時出現(xiàn)重復(fù)或遺漏，避免此類錯誤發(fā)生的有效方法是按照一定的標(biāo)準(zhǔn)2第5頁共 20 頁當(dāng)n2時,anSnSn 13n 2,當(dāng)n 1時,a11,符合,【詳解】7已知數(shù)列an中,和為 （）nA

6、3n 1【答案】Aai 1，Sn卻23nB.3n 11 .n，設(shè)bn21anan 1n 1C 3n 23n 3D 3n 2【解析】根an的通項公式，即an3n 2,則bna*an 13n 2 3n1，再利用裂項相消法求和即可則數(shù)列bn的前n項第6頁共 20 頁所以an3n2,則bn1111 31 1anan 13n2 3n3n 2 3n 1設(shè)為數(shù)列bn的前n項和，1111 ,11則Tn1-L34473n 23n 111-133n1n3n 1，故選:A【點睛】本題考查由an與Sn的關(guān)系求通項公式，考查裂項相消法求數(shù)列的和8 已知三棱錐S ABC的所有頂點都在球 0 的球面上，SA平面ABC，BA

7、C 120,SA AB AC 2，則球 O 的表面積為（）在VABC中因為AB AC 2,BAC 120,所以ACB 30所以球O的表面積為4 R220故選:C【點睛】本題考查棱錐的外接球問題，考查球的體積，考查空間想象能力C 20 nD.36 n【答案】C【解析】先利用正弦定理求得VABC的外接圓半徑，再由SA平面ABC得到2SA2r2，求解即可所以VABC所在的截面圓的半徑r滿足2r又因為SA平面ABC,所以球O的半徑RABsin ACB2，解得r=2,sin30SA2一r2 5,【詳?shù)?頁共 20 頁2 29 .已知雙曲線 L 1的左焦點為F，點P為其右支上任意一點，點45(1,3)，貝

8、U PMF周長的最小值為()得PF PF 4,進(jìn)而PMF的周長C FM PM PF FM PM PF 4,從而當(dāng)PM PF最小時，周長最小，求解即可【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點為F,由題,F 3,0,F 3,0, 由雙曲線定義可知PF| |PF| 2a 4,所以PF| | PF| 4,PMF的周長為C FM PM PF FM PM PF 4,當(dāng)PM PF MF時,PMPF最小,此時周長最小為/ 2 2 1 2 2:C FM PF4J310 33 10 349 V13,故選：D【點睛】本題考查雙曲線定義的應(yīng)用，考查雙曲線中三角形周長的最值問題，考查兩點間距離公式的應(yīng)用n10 函數(shù)f(x) Asin(

9、 x )(A0,0,0一)的部分圖象如圖所示，2給出下列說法：5n1直線x為函數(shù) f(x)的一條對稱軸；M的坐標(biāo)為A.5,10B.10C.5.13【答案】DD.9 J3F 3,0，則由雙曲線定義可【解析】由雙曲線方程可知F3,0，設(shè)雙曲線的右焦點為第8頁共 20 頁122n2點(,0)為函數(shù) f(x)的一個對稱中心；33函數(shù) f (x)的圖象向右平移 丄個單位后得到函數(shù)y ,2s in 2x的圖象3其中，正確說法的個數(shù)是()第9頁共 20 頁n對于,f(x)的圖像向右平移 一個單位，即為3【解析】先由圖像得到f x x2sin2x3,利用整體法判斷，將x2&代入求解判斷，由圖像的平移法

10、則可判斷 【詳由圖，最小值為2,所以A、2，因為x 是對稱軸，,0是對稱中心312,則121T,即卩T4所以2T由對稱軸，可2 122k ,kZ,所以2k ,k Z,3因為0n，所以當(dāng)0時,所以f x、.2sin 2x對于,fx的對稱軸為2x,kZ,即X石與,k Z，5 n 是對稱軸，則12512石亍即kZ,故正確;對于，將x2代入3中可得2 sin- 2sin2n0,所以點(亍。)為函數(shù)f(x)的一個對稱中心，故正確;【答案】C第10頁共 20 頁y 2sin 2 x2 sin 2x,故錯誤；333故正確的是：，即有 2 個是正確的,故選:C【點睛】本題考查由圖像求解析式，考查正弦型函數(shù)的對

11、稱性的應(yīng)用，考查三角函數(shù)的平 移變換11.已知直線I與拋物線y26x交于不同的兩點A,B，直線OA,OB的斜率分別為ki,k2，且K k2.3, 則直線I恒過定點()A.( 6.3,0)B.( 3、3,0)C.( 2.3,0)D. (3,0)【答案】C【解析】設(shè)直線I為x my n,與拋物線方程聯(lián)立可得寸6my 6n 0,即yiy26n,利用斜率公式代入kik2中即可求得n,進(jìn)而得出結(jié)論【詳解】x my n2設(shè)直線I為x my n,聯(lián)立2，消去x可得y26my 6n 0,y 6x設(shè)A xi, yi,B x2,y2，所以yiy?6n,yi y3636廠一yiy23因為k,k2.3,即T 73,所

12、以yi2y22yiy26n,XX266所以n 2 3,所以x my 2.3,所以直線I一定過點2-.3,0,故選:C【點睛】本題考查直線恒過定點問題，考查直線與拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用ax i,x 0,i2 .已知函數(shù)f(X)小 若函數(shù) f(x)的圖像上存在關(guān)于坐標(biāo)原點對稱的點，In x,x 0.則實數(shù)a的取值范圍是(4第11頁共 20 頁可【詳解】y ax 1則，所以Inx ax 1，即yy In x設(shè)y ax 1與y In x的切點為 冷,In x1則切線斜率為a yx xo,yx xo:Xo又有In X。1dxo1,所以 xo1,即 a 1,Xo所以當(dāng)yInx與y ax 1有交點時，a 1

13、,故選:B【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，考查圖像的對稱點問題，考查數(shù)形結(jié)合思想、填空題A .(,0【答案】BB.(,11C.訐【解析】存在兩對稱點M x, y,N, c、y ax 1x, y,(x 0)則，即in x ax 1,y In xIn X與y ax 1有交點，先求得yax 1與y In x相切時的斜率，進(jìn)而求解即由題，設(shè)兩對稱點M x, y,Nx, y,(x 0)In x與y ax 1有交點,13.函數(shù)y cosx cos2x(xR）的最大值為9【答案】-【解析】利用二倍角公式可得y2cos2x cosx 1,由二次函數(shù)的性質(zhì)求得最值即可【詳由題,y cosx 2cos2x

14、12cos2x cosx 12 cosx4第12頁共 20 頁因為cosx 1,17第13頁共 20 頁9故答案為：-8【點睛】本題考查含cosx的最值問題，考查二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用14 若直線I:x my 3m 2 0被圓C ：x2y22x 24 0截得的線段最短，則 實數(shù)m的值為_.【答案】1【解析】由直線方程可得直線I恒過定點P2,3,轉(zhuǎn)化圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，則圓心C【詳解】所以點P2,3在圓C內(nèi),故答案為【點睛】定點的應(yīng)用所以當(dāng)cosx1時，ymax4為1,0,當(dāng)CP l時截得線段最短，利用斜率公式求解即可由題，直線l為x m y 320,所以直線I恒過定點P2,3,將2,3代入圓的方

15、程中，因為240,因為圓C為x2y22x 240,所以其標(biāo)準(zhǔn)方程為y225,所以圓心C為1,0,半徑為 5,當(dāng)CPI時，截得的線1,所以m1,本題考查過圓內(nèi)一點的弦長最短問題的應(yīng)用，考查直線的垂直關(guān)系的應(yīng)用，考查直線恒過15 .已知一組數(shù)據(jù) 10, 5, 4, 2, 2, 2,x，且這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與眾數(shù)的和是中位數(shù)的 2 倍,則x所有可能的取值為【答11或 3 或 17【解求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與眾數(shù)，分中位數(shù)進(jìn)行討論可得x 的取值.7第14頁共 20 頁由題意可得這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)10 5 4 2 2 2 x25 x丁，【詳解】第15頁共 20 頁故答案為：11或 3 或 17.【點睛】 本題

16、考查平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)，考查數(shù)據(jù)處理能力和運算求解能力16 如圖，已知平行四邊形ABCD中，BAD 60，AB 2AD,E為邊AB的中點，將ADE沿直線DE翻折成AQE.若M為線段AQ的中點，則在ADE翻折 過程中，有下列三個命題：1線段BM的長是定值；2存在某個位置，使DE A,C；3存在某個位置，使MB/平面ADE.其中正確的命題有_.（填寫所有正確命題的編號）【答案】【解析】取CD中點F連接MF,BF,利用中位線的性質(zhì)去證明平面MFB /平面ADE,即可證明MB/平面ADE；由平面MFB/平面ADE可得A1DEMFB,由余弦定理可得MB2MF2FB22MF FB cos MFB,進(jìn)而求

17、證即可；由題可證得 DE EC,若DEAC成立，則DE平面AEC,與厶A,DE是等邊三角形矛盾，即可判斷【詳解】取CD中點F，連接MF,BF,M2，可得至必24，可得x11；x 4，則中位數(shù)為 X,可得2x25 x72，可得x 3;4，則中位數(shù)為 4,可得2 425 x72，可得x17,第16頁共 20 頁則MF /AD,BF/DE,所以平面MFB/平面ADE,因為MB平面MFB，所以MB/平面ADE,故正確；1由題AE AD,則ADEA|DE 60，由AQEMFB,MFA|D定2值,FB DE定值,故由余弦定理可得MB2MF2FB22MF FB cos MFB,所以MB是定值，故正確；由題,

18、VADE是等邊三角形，則 AED 60 ,又平行四邊形ABCD,所以EBC 120,EB BC,所以CEB 30，所以 DEC 90，即 DE EC,若DE AiC,則DE平面AEC,所以DE AE,與厶ADE是等邊三角形矛盾，故錯誤；故答案為：【點睛】本題考查利用面面平行證明線面平行，考查余弦定理的應(yīng)用，考查線線垂直三、解答題17 .在銳角ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，且asin B cosB b cos Asin Bc.2(1) 求B;(2) 若b 2，求ABC的面積的最大值.【答案】(1) Bn33【解析】(1)利用正弦定理化邊為角可得si nAs in B cosB s

19、i n B cos A si nB3si nC,進(jìn)而利用和角公式化簡即可；2(2)由余弦定理可得b2a2c22accos B,進(jìn)而利用均值定理求ac的最大值，即可 求得ABC的面積的最大值【詳解】第-17頁共 20 頁( ()由正弦定理，可得sin Asin BcosB sin BcosAsin B因為sinC 0,所以sin B3,2所以 Bn3(2)由余弦定理，可得b2a2c22accosB,即4 a2c22accos,3所以4 a2c2ac 2ac ac ac,當(dāng)且僅當(dāng)a c時取等號，所以ac 4,所以SABC-acsin B .3,2所以ABC的面積的最大值為 3【點睛】本題考查利用正

20、弦定理化角為邊，考查余弦定理的應(yīng)用，考查利用均值定理求三角形面積的最大值(2)求直線BE與平面B-DE所成角的正弦值【解【解析】(-)先證得DE AF, ,再由平面圖形性質(zhì)可得DB-AF, ,進(jìn)而證明A-FUsinC2即sin B sin AcosB cos As in Bsin C，所以sin Bsin( AB)TsinC，18.如圖，在直三棱柱ABC AB-C-中，ACAB,A-A AB AC 2,D,【答案】(。證明見解析(2)-05F分別為AB,BC,B-B的中點.第 i3 頁共 20 頁面B-DE;第 i3 頁共 20 頁(2)取AA的中點G，連結(jié)BG交BiD于H，可證得BG平面BQ

21、E，連結(jié)EH,則BEH為直線BE與平面BDE所成的角,進(jìn)而求解即可【詳解】解:( 1)因為D,E,F分別為AB,BC,BiB的中點,所以DE/ /AC,因為ACAB，所以DE AB,因為AA平面ABC,DE平面ABC,所以AADE,因為AB I AA A，所以DE平面AAiBiB因為AF平面AABiB,所以DE AiF,因為VARF也VBiBD,所以A FBiBQB,所以A1FB1DB1BB1DBDB1B90,即DB1AF,因為DBiDE D,所以AF平面B1DE(2)取AA的中點G，連結(jié)BG交BiD于H，顯然四邊形AIGBF是平行四邊形 由(1)知A|F平面DDE,因為BG/AF,所以BG平

22、面BiDE,連結(jié)EH，則BEH為直線在Rt BBD,可得BB1BD又因為BE、2，所以sinBE與平面BiDE所成的角，275,BiD BH,所以BHBEH聖邁BE 5第20頁共 20 頁【點睛】本題考查線面垂直的證明，考查幾何法求線面角，考查推理論證能力19 為了增強消防意識，某部門從男，女職工中各隨機抽取了20 人參加消防知識測試(滿分為 100 分)，這 40 名職工測試成績的莖葉圖如下圖所示男85 5 6 S 99 7 6 2 7 0 12 2 3 4 5 6 6 8987765411214 452 110 0g0(1)根據(jù)莖葉圖判斷男職工和女職工中，哪類職工的測試成績更好？并說明理由

23、;(2)(i)求這 40 名職工成績的中位數(shù)m，并填寫下面列聯(lián)表：超過m的人數(shù)不超過m的人數(shù)男職工女職工(ii)如果規(guī)定職工成績不少于m 定為優(yōu)秀，根據(jù)(i)中的列聯(lián)表，能否有 99%的把握認(rèn)為消防知識是否優(yōu)秀與性別有關(guān)？n(ad be)2(a b)(e d)(a e)(b d)2P (K2k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】(1)男職工的成績更好，理由見解析(2) (i) 80 ,表見解析(ii)有99%的把 握認(rèn)為消防知識是否優(yōu)秀與性別有關(guān)附:K2第21頁共 20 頁【解析】(1)由莖葉圖的數(shù)據(jù)比較男女職工的中位數(shù)，平均數(shù)，75%的成績，數(shù)據(jù)的分布等

24、來判斷即可；1男職工的成績的中位數(shù)為85.5 分，女職工的成績的中位數(shù)為73.5 分;2男職工的成績的的平均數(shù)髙于80 分,女職工的成績的平均數(shù)低于80 分；3男職工的成績中，有75%的成績不少于 80 分，女職工的成績中，有75%的成績至多 79 分;4男職工的成績分布在莖 8 上的最多，關(guān)于莖 8 大致呈對稱分布；女職工的成績的分布在莖 7 上的最多,關(guān)于莖 7 大致呈對稱分布;因此，男職工的成績更好(ii )由表中數(shù)據(jù)，則K240 (15 15 5 5)106.635,所以有99%的把握認(rèn)為消防知識是否優(yōu)20 20 20 20秀與性別有關(guān)【點睛】本題考查莖葉圖的應(yīng)用，考查K2的應(yīng)用，考查

25、數(shù)據(jù)處理能力超過m不超過m男職工155女職工515(2)(i)由莖葉圖可知:80，列表如下:(2) ( i)由莖葉圖可得中位數(shù)79 9180進(jìn)而填表即可;(ii)將數(shù)據(jù)代入K2n(ad be)2(a b)(c d)(a c)(b d)中,結(jié)果與 6.635 比較大小即可得到結(jié)論【詳解:(1)由莖葉圖可知，男職工的成績更好，理由如下:79 91第22頁共 20 頁2 220 .已知橢圓E:1(a b 0)的兩焦點與短軸一端點組成一個正三角形的a b三個頂點，且焦點到橢圓上的點的最短距離為1.(1)求橢圓E的方程；第 i6 頁共 2頁(2)過點M(4,)的直線|與橢圓交于A, B 兩點，點A關(guān)于x

26、軸的對稱點為 A，求證：直線A B過定點，并求出該定點的坐標(biāo)【答案】2(i)4(2)證明見解析,定點(1,).【解析】(1)由題可得(2)設(shè)直線|的方程為(3m24) y 24my則直線A B的方程為 yXim% 4,x2my?整理即可得到所過定點【詳解】b解：(i)由題,則ca所以橢圓E的方程為36yi漿，利用a2imy4,聯(lián)立,則yiy2jxX2Xi,yb2x2X4c2my2y3求解即可;4可得i24m3m24Xi)，可整理為24m3m24,yi,yiy2363m4,由A%汀y?y2X2上(xXixiy2X2yi)，將y2yi亠代入3m24xiy2X2yi中,y2yi.3，因為ix2b2c

27、2，所以2,b x 3,(2)證明：設(shè)直線|的方程為x my4,聯(lián)立x2X4my2y_322消去x可得(3m4)y 24my36,設(shè)A(xi, %),B(X2, y2)，則y出24m3m24,yi設(shè)A (xi,yi),所以kABy2yix2xi，所以直線AB的方程為yiy2yiX2(X Xi), Xi即y灶上(x xi)X2xi晉護(hù)所以y沆(xX2第 i6 頁共 2頁36第 i25頁共 20 頁my 4 y2my?4 % 2m%y24 % y?也(x 1)，所以直線AB過定點(1,0)X2Xi【點睛】置關(guān)系的應(yīng)用，考查運算能力i2i .已知函數(shù)f(x) (a i)lnxax 2.x(i)討論

28、f (x)的單調(diào)性；的取值范圍.4e【答案】(i)見解析(2)3 3ln3, ee i【解析】(i)先求得f(x)電a(XD,分別討論ao與a 0X XXii的情況，令f X0, ,則X i或 X , ,討論丄丄與i及 o 的關(guān)系，進(jìn)而求解即可；aa(2)由(i)可得當(dāng)a i時,f (x)有兩個極值點xi,x?(xix?)且至少存在兩個零點，if()0可得ea可得ef(i) 04ag(a)-a i【詳解】解：(i)由題，f(x)的定義域為(0,),將Ximyi4,X2my?4,% y?24m3m2,yiy?3 m24代入，所以y2m363m2424m3m24X2Xi24 m3m24則為丫2x?

29、yi整理可得y本題考查由橢圓的幾何性質(zhì)求橢圓的方程，考查直線恒過定點問題，考查直線與橢圓的位(2)若 f (x)有兩個極值點xi,x2(xiX2)，且至少存在兩個零點，求f(Xi) f(X2)XiX2可得極值點為a 3,由f (Xi)f (x?)(a i)(i In a)Xx24a廠alna,設(shè)a In a(e a 3),進(jìn)而求解的范圍即可36第 i26頁共 20 頁a i f(x)x丄2X2ax a i x2X(x i)(ax i)第 i27頁共 20 頁x 1當(dāng)a 0時，f x廠，廠，則當(dāng)x 1時, ,f x0, ,當(dāng)0 x 1時, ,f x 0, ,所以xf x在0,1上單調(diào)遞減，在 1

30、,上單調(diào)遞增；1當(dāng)a0時，令f (x)0,得x 1或x -,a1當(dāng) a 0 時，-0,所以 f (x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,)上單調(diào)遞增；a11當(dāng)0 a 1時,即一1時，所以 f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1-)上單調(diào)遞增，在aa(,)上單調(diào)遞減;a當(dāng) a1 時，fx0在(0,)上恒成立，所以f(x)在(0,)上單調(diào)遞減；當(dāng)a 1時,011,所以 f (x)在(0,1)上單調(diào)遞減1，在 ( (丄丄，1)上單調(diào)遞增，在(1,)上aaa單調(diào)遞減(2)由( 1) 知,因為 f (x)有兩個極值點x,x2(X1X2), ,所以0 a 1或a 1,因為f(1) 3 a 0,所以0 a 1不合題意;11a 1時，f(x)在(0,丄)上單調(diào)遞減，在(丄，1)上單調(diào)遞增，在(1)上單調(diào)遞減，aa4e所以g(3) g(a) g(e),解得3 3In3 g(a)e,e 1f (x-i)f (x2), .一4e所以，i-的取值范圍為3 3In3, e治X2e 1因為所以f(1)af(1)(a 1)(1 Ina) 03 a 0解得3,此時f (xjf(X2)3 a (a 1)(1 Ina)至alnaa 1記g(a)匹alna(ea 1a 3),則g (a)4 (a 1)2(1 Ina)(a 1)2因為