史上最好固體物理復(fù)習(xí)資料

1、第一章 晶體的結(jié)構(gòu)a) 晶體的共性：i. 長程有序：晶體中的原子按一定規(guī)則排列ii. 自限性：晶體自發(fā)地形成封閉幾何多面體的特性，晶面夾角守恒定律iii. 各向異性：晶體的物理性質(zhì)是各向異性的，是區(qū)別晶體與非晶體的中要特征。b) 密堆積：i. 正方堆積：最簡單的堆積方式ii. 體心立方堆積：iii. 立方堆積和六角堆積：配位數(shù)為12c) 配位數(shù)和致密度：i. 配位數(shù)：一個原子球與最近鄰的相切原子的個數(shù)，如配位數(shù)為12即與1個原子求與相鄰的12個原子相切。ii. 致密度：晶胞中所包含的原子體積與晶胞體積的比值。d) 布喇菲空間點陣 原胞和晶胞i. 布喇菲點陣：對實際晶體結(jié)構(gòu)的抽象成無數(shù)相同的點的

2、分布，把這些點構(gòu)成的總體稱為布喇菲點陣。ii. 原胞：晶體中體積最小的重復(fù)單元稱為原胞，他們并不是唯一的，但是體積總是相等的。iii. 晶胞（布喇菲原胞）：晶體中體積不一定是最小的，但是能夠反映出晶體對稱的特征的重復(fù)單元稱為晶胞。iv. 原胞基矢：原胞重復(fù)單元的邊長稱為原胞基矢，以a1、a2、a3表示。v. 晶胞基矢：晶胞重復(fù)單元的邊長稱為晶胞基矢，以a、b、c表示。e) 立方晶系：i. 簡立方：晶胞和原胞是統(tǒng)一的，對應(yīng)一個結(jié)點。ii. 體心立方：原胞體積V= a1 ·（a2*a3） / 2 = a3 / 2，a是晶胞邊長，又稱晶格常數(shù)。一個體心立方晶胞對應(yīng)兩個格點。iii. 面心立

3、方：原胞體積 V=a1 ·（a2*a3）= a3 / 4；為晶胞體積的1/4，一個面心立方晶胞對應(yīng)4個格點。iv. NaCl結(jié)構(gòu)：簡立方結(jié)構(gòu)，一個原胞對應(yīng)一個基元，包含一個鈉離子一個氯離子。v. 金剛石結(jié)構(gòu)：構(gòu)成面心立方結(jié)構(gòu)，vi. 簡單晶格：基元包含一個原子的晶格，又稱布喇菲格子。vii. 復(fù)式晶格：基元包含兩個或者以上的原子的晶格。f) 晶列、晶面指數(shù)：i. 晶列的特征：1. 取向；2. 格點的周期。ii. 原胞基矢的晶列指數(shù)：設(shè) R= l1a1+l2a2+l3a3，其中l(wèi)1，12，l3互質(zhì)。那么稱l1l2l3為晶列指數(shù)。晶列指數(shù)的周期為，|R|。iii. 晶胞基矢的晶列指數(shù)：設(shè)

4、 R=ma1+na2+pa3，其中 m、n、p互質(zhì)。那么稱 mnp 稱為晶列指數(shù)。iv. 晶面：所有的格點都分布在相互平行的一平面族上，每一個平面族都有格點分布，稱這樣的平面為晶面。v. 晶面特征：1. 方位；2. 晶面的間距。vi. 晶面指數(shù)：設(shè)基矢末端落在距離遠(yuǎn)點h1d、h2d，h3d的晶面上，則基矢的與法向量的方向余弦的比值有：cosa1,n:cosa2,n:cosa3,n= h1a1:h2a2:h3a3由于晶體機構(gòu)確定，則晶體常數(shù)也確定了，因此只要h1、h2、h3確定下來，就能確定整個晶面的方位，故把 (h1h2h3) 稱為晶面指數(shù)。這里應(yīng)該強調(diào)的一個物理意義是，基矢a1，a2，a3被

5、分別被平均為h1，h2，h3份。參考P14頁的1.22圖。vii. 米勒指數(shù)：在晶面指數(shù)中，利用晶胞基矢計算出來的晶面指數(shù)稱為米勒指數(shù)，常計為(hkl)。對于立方晶體晶列指數(shù) hkl 與晶面指數(shù) (hkl) 正交。g) 倒格空間：i. 倒格基矢：倒格基矢具有與正格基矢倒逆的量綱，以 b1、b2、b3 表示。ii. 倒格矢：倒格矢是倒格基矢的線性組合，一般用 Kh 表示。由倒格基矢平移組成的格子稱為倒格子，倒格子構(gòu)成原胞稱為倒格原胞。iii. 倒格子和正格子的性質(zhì)：1. 正格原胞的體積與倒格原胞的體積之積等于(2)3;2. 正格子與倒格子互為對方倒格子。3. 倒格矢Kh = h1b1 + h2b

6、2 +h3b3 與正格子晶面族 (h1h2h3)正交。4. 倒格矢Kh 的模與晶面族 (h1h2h3) 的間距dh1h2h3成正比。dh1h2h3=2|Kh|h) 晶體對稱性：i. 對稱操作：一個晶體在某一個變換后，晶格在空間的分布保持不變，這一變換稱為對稱變換。ii. 空間群：若包括平移，有230種對稱類型。點群：不包括平移，有32鐘宏觀對稱類型。iii. 正交變換：在對稱操作變換中，晶體兩點間距離保持不變的變換。正交變換的變換矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣AT即為A的逆矩陣A-1，即 AT = A-1類型有：1. 轉(zhuǎn)動: 使晶體沿x軸轉(zhuǎn)角度，變換矩陣為A= 1000cos-sin0sincos2. 中心

7、反演：從 (x,y,z) -> (-x,-y,-z)的變換，變換矩陣為：A= -1000-1000-13. 鏡像操作：以x=0的平面為晶面，將任一點從 (x,y,z) -> (-x,y,z)，變換矩陣為：A= -100010001iv. 晶列的周期：值相鄰的結(jié)點之間的距離，并不是指晶列距離。晶列的旋轉(zhuǎn)操作限制：受晶列周期的限制，晶體只允許按照一定的角度進行選擇，分別是選擇：2n, n=1、2、3、4、6 這些角度，晶體的周期性不允許有5度的旋轉(zhuǎn)角。v. n度旋轉(zhuǎn)角：其中的n為1、2、3、4、6。vi. n度旋轉(zhuǎn)反演角：表示經(jīng)過n度旋轉(zhuǎn)之后再反演，通常用1、2、3、4、6表示。其中1

8、 常被稱為 i 表示，2 用 m 表示。vii. 測量立方晶體介電常數(shù)：垂直于x軸或者y軸或者z軸切下一薄片晶體，在晶體主表面鍍上電極，測量出他們的電容，即可求出介電常數(shù)。i) 晶體結(jié)構(gòu)的分類：i. 七大晶系：立方晶系，六角晶系，四方晶系，三角晶系，正交晶系，單斜晶系，三斜晶系。ii. 十四鐘布喇菲格子晶胞：1.簡單三斜、2.簡單單斜、3.底心單斜、4.簡單正交、5.底心正交、6.體心正交、7.面心正交、8.六角、9.菱面三角、10.簡單四方、11.體心四方、12.簡單立方、13.體心立方、14.面心立方。j) 晶體X光衍射：i. Sii. Siii. S第二章 晶體的結(jié)合-à價電子

9、的相互作用決定了原子間相互作用的性質(zhì)a) 原子的電負(fù)性：i. 核外電子分布原則：遵循泡利不相容原理，能量最低原理和洪特規(guī)則。1. 泡利不相容原理：包括自旋在內(nèi)，不可能存在量子態(tài)全同的兩個電子。2. 能力最低原理：在任何穩(wěn)定的體系中，其能力最低。3. 洪特規(guī)則：電子隨著能量由低到高依次進入軌道并先單一自旋平行地占據(jù)盡量多的等價軌道。ii. 電離能：使原子失去一個電子所需要的能量。iii. 電子親和能：一個中性原子獲得一個電子稱為負(fù)離子所釋放的能量。iv. 電負(fù)性：用來度量原子吸引電子的能力。v. 電負(fù)性的特征：1. 周期表從上往下，元素的電負(fù)性逐漸減小。2. 一個周期內(nèi)重金屬的電負(fù)性差別較小。

10、vi. 金屬性：易于失去電子的傾向稱為金屬性；易于獲得電子的傾向稱為非金屬性。b) 晶體的結(jié)合類型：共價結(jié)合、離子結(jié)合、金屬結(jié)合、分子結(jié)合、氫鍵結(jié)合。i. 共價結(jié)合：兩個電負(fù)性較大的原子可以各出一個電子，形成電子共享的形式，它們的自旋是相反的，稱為配對原子，而配對方式稱為共價鍵。特點：硬度高，熔點高，熱膨脹系數(shù)小，導(dǎo)電能力差。如金剛石、C、Si。ii. 離子結(jié)合：一邊電負(fù)性小，一邊電負(fù)性大，因此相互吸引結(jié)合的方式，稱為離子鍵。結(jié)合動力為正負(fù)離子之間的庫侖力，特點：硬度高，熔點高，熱膨脹系數(shù)小，導(dǎo)電性差。如NaCl。iii. 金屬結(jié)合：特點：導(dǎo)電性，導(dǎo)熱性良好。如：Au、Ag。iv. 分子結(jié)合：

11、結(jié)合力為范德瓦爾斯力，極性分子之間的結(jié)合是庫侖力；極性與非極性的結(jié)合也是庫侖力；非極性分子之間的結(jié)合是電偶極矩的一種相互作用。如氫氣。v. 氫鍵結(jié)合：氫原子電負(fù)性很大，先誘導(dǎo)電負(fù)性大的原子形成共價鍵結(jié)合，后來由于氫核與負(fù)電中心不重合，由產(chǎn)生極化現(xiàn)象，此時具有正點的氫鍵的一端和通過庫侖力與另一個電負(fù)性較大的原子結(jié)合。表示為：A-H-B；冰是典型的氫鍵晶體。c) 結(jié)合力及結(jié)合能i. 結(jié)合力的共性：隨著距離的增加，排斥勢比結(jié)合勢更快地減少，即排斥勢是短程效應(yīng)。ii. 原子之間的相互作用力：吸引力是由庫倫引力引起的；排斥力有庫倫斥力和泡利不相容原理引起而定。 . .可以看出，當(dāng)原子相距很遠(yuǎn)的時候，相互

12、作用力為零；當(dāng)原子逐漸靠近時，原子間出現(xiàn)引力；當(dāng)r = rm的時候，吸引力達(dá)到最大，接著吸引力開始減少，當(dāng)r = r0的時候排斥力與吸引力相等，合力為0，對應(yīng)勢能最低點。iii. 分子解體的臨界距離：即rm，因為從這個點之后吸引力隨傳播距離而減少。 iv. 結(jié)合能：自由粒子結(jié)合成晶體過程中釋放出的能量，或者把晶體拆散成一個個自由粒子所提供的能量。粒子的結(jié)合能 = 原子動能 + 原子間相互作用勢能。當(dāng)溫度在0K時，原子動能約為0，故結(jié)合能 = 原子間相互作用的勢能。d) 分子力結(jié)合：三種分子吸引勢都與 （r6） 成反比。i. 極性分子結(jié)合：極性分子之間存在著永久偶極矩每一個極性分子就是一個電偶極

13、子，因此產(chǎn)生相互作用力。ii. 非極性分子結(jié)合：非極性分子間的相互作用時瞬間偶極矩與瞬間感應(yīng)矩的作用。iii. 極性分子和非極性分子的結(jié)合：非極性分子的電子云容易被極性分子的偶機電場所極化從而產(chǎn)生誘導(dǎo)偶極矩。e) 共價結(jié)合：i. 理論基礎(chǔ)：只有當(dāng)電子的自旋相反時兩個氫原子才結(jié)合成穩(wěn)定的分子。ii. 共價鍵定義：自旋相反的兩電子稱為配對原子，稱配對的電子結(jié)構(gòu)為共價鍵。這種共享配對電子的結(jié)合方式稱為共價結(jié)合。f) 離子結(jié)合：離子晶體的結(jié)合能主要來自庫倫能，排斥能僅是庫倫能絕對值的1 / n。離子的庫倫作用只與r的一次方成反比。第三章 晶格振動與晶體熱學(xué)性質(zhì)：a) 晶格振動：晶體中的原子每時每刻都在

14、其平衡位置附近做微振動。它決定了晶體的宏觀熱學(xué)性質(zhì)。b) 第二章、第三章和第五章的聯(lián)系：i. 離子實質(zhì)量比電子大很多，那么電子運動速度比離子實快很多，離子實可以看作為靜止在平衡位置，研究電子在離子實的勢場的運動規(guī)律。使用固體電子論。ii. 當(dāng)考慮離子實的運動時，電子運動很快，能跟上離子實的運動，相當(dāng)于中性分子，做微小運動。用晶格振動理論。iii. 考慮以上兩者的相互作用時，用能帶理論。iv. 一維晶格的相互作用力：1. 第n個原子和第n+1個原子的互作用力：f= -(un+1-un)u 是位移，是常數(shù)，稱為彈性恢復(fù)力系數(shù)，大于0時是向右的吸引力，向左是小于0的排斥力。2. 波恩-卡門條件：在實

15、際原子鏈的兩端接上了全同的原子鏈之后，由于電子之間的相互作用力主要取決于近鄰，所以除兩端極少原子的受力與實際情況不符合以外，其他絕大多數(shù)的原子的運動并不受假想原子鏈的影響。3. 格波：在任意時刻，原子的位移有一定的周期分布，也就是原子的位移構(gòu)成了波，這種波稱為格波。4. 格波角頻率： w=2m 0.5sin(qa2)顯然：qa / 2 = m 時，w的值并不會變化，出現(xiàn)周期性，即q = 2n / a時w不會變化，且n為負(fù)數(shù)時，也成立，那么可以稱w具有反演對稱性。設(shè)格波傳播速度為v，則傳播速度由 v = w / q，以及 q = 2 / 得到： v=m 0.5sin(a) 故波傳播的速度是波長的

16、函數(shù)，波長不同格波傳播速度不同，故把w和q的關(guān)系成為色散關(guān)系。由伯恩卡門條件有：周期勢場，即第N個原子的位移與第n個原子相等。q= 2lNa代入 / a < q < / a周期條件有： -N /2 < l < N / 2，表示格波中允許存在的波矢數(shù)目為N，即晶格振動的波矢數(shù)目等于晶體原胞數(shù)，振動譜是分離譜。當(dāng) q -> 0時，sin(qa / 2) qa / 2；則有： v=am 1/25. 截止頻率：當(dāng) q = +- ( / a) 時，w的頻率稱為截止頻率，此時w為最大值： wmax= 2m 1/2v. 二維復(fù)式格子：研究質(zhì)量為m和M的兩種原子的相互作用。1.

17、一維復(fù)式格子的格波解：對格波相互作用力的影響利用波動方程可以解得：(1+2-M2)-(1+2e-iqa)-(1+2eiqa)(1+2-m2)=0有： 故說明二維復(fù)式格子存在著兩種格波，一個頻率較高，一個頻率較低，但兩者仍然具有空間反演性和周期性。即w(q+2 / a) = w(q) 以及 w(-q) = w(q)。由波恩-卡門邊界條件：即 u2(n+N)=u2n 。得到： qNa = 2l 即波矢的數(shù)目等于晶體原胞的數(shù)目。由于一個波矢對應(yīng)二維復(fù)式格子格波的兩個頻率，故格波模式總數(shù)為2N 。而2N 是總原子的數(shù)目，即晶格振動的模式數(shù)目等于原子自由度的總和。2. 聲學(xué)波和光學(xué)波：當(dāng) q ->

18、 0時，較低頻率的格波和波束可以化為: 顯然這里Va是常數(shù)，而波束為常數(shù)是彈性波的特點，而長聲學(xué)波就是彈性波。故稱wA 為聲學(xué)波。如圖：二維復(fù)式格子的格波的Wo 波段的最低頻率都比Wa最高頻率都要大，因為為這種格波一般工作在光波頻率范圍，因此稱為光學(xué)波。3. 兩種格波的振幅之比：對于聲學(xué)波： 當(dāng) q -> 0，Wa - >0，即 B / A -> 1。對于光學(xué)波： 當(dāng) q -> 0，AM + Bm = 0 。4. 聲學(xué)波和光學(xué)波的物理意義：對于長聲學(xué)波，原胞內(nèi)的不同原子以相同的振幅和位相作整體運動，因此長聲學(xué)波代表了質(zhì)心的運動。對于長光學(xué)波，原胞中不同的原子作相對振動，

19、質(zhì)量大的振幅小，質(zhì)量小的振幅大，保持質(zhì)心不動。光學(xué)波對應(yīng)的是原胞內(nèi)原子的相互作用，聲學(xué)波是原胞間作用。5. 網(wǎng)上找的理解：在長波極限下（q趨近0）：（1）對于光學(xué)波w+，有大小原子振幅比等于負(fù)的小大原子的質(zhì)量比（B/A=-m/M）即Am+BM=0.所以光學(xué)波在長波極限下，描述的是原胞（大小原子）質(zhì)心不動，大小原子相對于質(zhì)心的振動，由于是負(fù)號，所以大小原子振幅方向相反，就像一個大人和一個小孩玩蹺蹺板一樣，你上我下，你下我上。 “這就是你所問的描述的兩個原子的運動！”（2）對于聲學(xué)波w-，有大小原子振幅比等于+1，即振幅大小和方向都相同。所以大小原子可以看成是一個整體，就像一個大人抱著一個小孩一起

20、掛在一根彈簧下，一起做上下振動。就是原胞的質(zhì)心在震動啦！ “這就是你所問的一個原胞的振動，其實就是兩個原子振動方向大小相同，看做是一個啦！c) 三維晶格振動：考慮由n種原子構(gòu)成的晶體，每一種原子的個數(shù)都為N1、N2、N3，則總數(shù)為N=N1N2N3，那么波矢數(shù)也為N。而一個波矢對應(yīng)的聲學(xué)波的數(shù)目為3，表示沿三個即基矢的方向的振動；光學(xué)波的數(shù)目為(3n-3)，表示n種原子之間的內(nèi)部的相互振動；那么總的波的模式數(shù)位：N*(3n-3) + N*3 = 3nN。 故證明下面兩個特點：特點（必背）：1. 晶格的波矢數(shù)目等于原子總數(shù)N=N1N2N3。2. 晶體的格波的模式數(shù)等于晶體中所有原子數(shù)的自由度之和3

21、nN。i. 簡正振動模式、簡正振動數(shù)目、格波數(shù)目或格波振動模式數(shù)目的關(guān)系：1. 簡正振動模式：為了使問題既簡化又能抓住主要矛盾，在分析討論晶格振動時，將原子間互作用力的泰勒級數(shù)中的非線形項忽略掉的近似稱為簡諧近似。在簡諧近似下， 由N個原子構(gòu)成的晶體的晶格振動，可等效成3N個獨立的諧振子的振動。每個諧振子的振動模式稱為簡正振動模式， 它對應(yīng)著所有的原子都以該模式的頻率做振動，它是晶格振動模式中最簡單最基本的振動方式。原子的振動，或者說格波振動通常是這3N個簡正振動模式的線形迭加。2. 簡正振動數(shù)目、格波數(shù)目或格波振動模式數(shù)目：簡正振動數(shù)目、格波數(shù)目或格波振動模式數(shù)目是一回事， 這個數(shù)目等于晶體

22、中所有原子的自由度數(shù)之和, 即等于3N。3. 晶格振動能與聲子：頻率為wi的諧振子的振動能為： i=ni+12hwi那么這些諧振子的能量的集合就是晶體的晶格振動能。聲子：顯然晶格振動能是離散的，分成每一份的。如果假設(shè)一種粒子，它具有hwi的能量，那么可以把這種粒子作為研究晶格振動能的量子，被稱為聲子，這是一種準(zhǔn)粒子。如果把仿照光子的定義，那么可以得出聲子的動量為hq，稱為準(zhǔn)動量。但聲子是虛設(shè)的粒子，因此并沒有真正攜帶真實的動量，因此聲子并沒有攜帶真實動量。4. 影響振動能高低的因素：a) 聲子的數(shù)目多少；b) 能量大的聲子數(shù)目多。5. 頻率為w的平均聲子數(shù)： nw= 1ehw/kBT-1因此，

23、只有當(dāng)T > 0 K時，才會出現(xiàn)聲子。當(dāng)T >> 0 K 時， nw=kBThw d) 晶格振動譜的實驗測定方法：i. 光子散射；ii. 中子散射；e) 長波近似：指 q à 0時的近似方式。i. 長聲學(xué)波分析：1. 長聲學(xué)波：在長波近似的條件下,化作： 振幅關(guān)系： 最后得到帶入波動微分方程得到：其中：2. 結(jié)論：微觀波動方程與宏觀彈性波方程具有相同的形式，也就是說長聲學(xué)波就是彈性波。ii. 長光學(xué)波分析：à類比于極化波1. 長光學(xué)波的原因：由于正負(fù)離子相對振動而形成的，當(dāng)波長很長的時候，兩截面之間相隔了很多原子平面，整個晶體被這些節(jié)面分割成很多薄層，由于

24、正負(fù)電子的位移方向相反，因此在每個薄層處出現(xiàn)極化電池，整個晶體被分層極化，因此離子晶體中的長光學(xué)波可以看作為極化波。2. 長光學(xué)波的LST關(guān)系：a) 表述：wLO2wTO2= ss：相對靜電介電常數(shù)。 ：高頻測得的相對介電常數(shù)。b) 特征：i. 因為s> ，故wLO > wTO，即光學(xué)縱波頻率比光學(xué)橫波頻率要高。這是由于離子的位移引起極化電場，電場的方向是阻礙電子位移的，即宏觀電場對離子位移起到了一個排斥力的作用，相當(dāng)于彈簧振子系統(tǒng)中彈簧變硬，有效的恢復(fù)力系數(shù)變大，是縱波頻率升高。ii. 有一些晶體在某一溫度下，其介電常數(shù)s會突然變得很大，即s->，即產(chǎn)生自發(fā)極化。由于s-&

25、gt;，但是實際上原子具有一定的質(zhì)量，因此wLO不可能趨向無窮大，而 又是常數(shù)，因此只能wTO->0，因為 w0.5，那么 0，即恢復(fù)力系數(shù)消失，因此離子回不到原來的位置，到達(dá)新的平衡位置，即晶體結(jié)構(gòu)發(fā)生改變。在這個新的結(jié)構(gòu)中，正負(fù)離子存在固定位移偶極矩，即產(chǎn)生自發(fā)極化。iii. 由于長光學(xué)橫波可以和電磁場耦合，因此把長光學(xué)波橫波聲子稱為電磁聲子。長光學(xué)波縱波聲子稱為極化聲子。f) 晶格振動熱容理論：i. 晶體比熱的實驗規(guī)則：1. 在高溫時，晶體的比熱為3NkB，kB為玻爾茲曼常量，N為晶體原子個數(shù)。2. 在低溫時，晶體比熱按T3趨向零。ii. 絕緣體：跟溫度有關(guān)的內(nèi)能是晶格振動能。金屬

26、：與溫度有關(guān)的內(nèi)能有兩部分：1. 晶格振動能；2. 價電子熱動能。iii. 定容熱容定義： E 為晶體平均內(nèi)能。 Cva是晶格振動比熱，Cve是晶體電子比熱。一般情況下，晶格振動比熱遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于電子比熱，因此只討論晶格振動比熱。iv. 愛因斯坦模型：1. 假設(shè)前提：晶體中所有原子都以相同的頻率做振動，即認(rèn)為3N個諧振子是全同的。2. 推導(dǎo)：由于每個聲子的能量為hw，w頻率種類的n種，粒子數(shù)為3N，那么晶體的晶格熱振動能為： E=3Nheh/kBT-1代入：有： CV=3NkBET 2eE/T(eE/T-1) 2其中愛因斯坦溫度定義： E=hkB。因此愛因斯坦溫度反饋的是頻率的因子。 E 在100K

27、300K的范圍。3. 高溫近似： 有： TE。CV=3NkB低溫近似： 有： eE/T1。 CV=3NkBET 2e-E/T4. 低溫近似誤差大的原因：在低溫時，低頻聲子居多，頻率低的振動對熱容量貢獻(xiàn)更大，因此在低溫下，晶體的比熱主要由長聲學(xué)波決定的。而愛因斯坦把所有的格波都視為高頻的光學(xué)波，自然導(dǎo)致了在甚低溫時的愛因斯坦模型跟實驗誤差較大。v. 德拜模型：1. 基本思想：晶體視為連續(xù)介質(zhì)，格波視為彈性波。（長聲學(xué)波），并在甚低溫時忽略掉長光學(xué)波的貢獻(xiàn)。2. 模式密度：一支格波的模式密度為：dw= VC223v3VC 為晶體的體積。對于彈性波，有三個格波，分別是一支縱波和兩支橫波，故總模式密度

28、為：Dw= 3VC223vp3=VC223vT3+VC223vT3+VC223vL33vp3= 2vT3+1vL3 3. 截止頻率wm（德拜頻率wD）：wD=wm=(62NVC) 1/3vp 4. 德拜溫度：D= hwDkB濃度高的、聲速大的固體德拜溫度高；一般在 200K400K。5. 高溫近似：CV=3NkB低溫近似： CV= 124NkB5(TD) 36. 測量德拜溫度的方法有二：a) 實驗確定聲速，由德拜頻率的計算公式和德拜溫度的定義確定德拜溫度。b) 測出材料的熱容量，由低溫近似的熱容量公式計算出德拜溫度。7. 德拜模型的缺陷：a) 忽略了各向異性。b) 忽略了光學(xué)支的振動。第四章

29、晶體電子能帶理論a) 布洛赫波函數(shù)i. 布洛赫定理：1. 晶體中電子的波函數(shù)是按晶格周期調(diào)幅的平面波。2. 它的數(shù)學(xué)形式是：其中k是電子的波矢，R是電子的格矢。ii. 布洛赫定理的條件：1. 假設(shè)每個電子的運動看成獨立地在一個等效勢場中的運動。2. 由于晶格的周期性，因此晶體中的等效勢場V(r)，滿足周期性的條件，即： V(R) = V(r + R) iii. 布洛赫定理的證明：1. 證明哈密頓函數(shù)也是周期性的，即：H(r) = H(r + R) 2. 證明平移操作算符 T(R)f(r) = f(r+R) 與 哈密頓算符 H(r) 是對易的。即：T(R)H(r)f(r) = H(r+R)f(r

30、+R) = H(r)T(R)f(r) 那么 T(R)和H(r) 具有共同的本征函數(shù)f(r)。3. 根據(jù)T和H的本征函數(shù)的特征，解出本質(zhì)值的表達(dá)式。 最后有：kr+R= eikRk(r)可以看出平面波函數(shù)滿足上式，這里的k 具有波矢的意義（參考題）。k 是倒格基矢構(gòu)成的波矢。4. 證明振幅的周期性：kr= eikruk(r)由上式得到：ukr= uk(r+R)iv. 簡約布里淵區(qū)：1. 證明kr和k+Kr描述的是同一個電子態(tài)。即：kr= k+Kr2. 同一個電子態(tài)應(yīng)該具有同一個能量：即E(k) = E(k+K)故一個能量本征值E(k) 對應(yīng)了無數(shù)個本征函數(shù)k+Kr，因此把波矢的取值限制在一個倒格

31、原胞區(qū)間內(nèi)，那么就稱這一個區(qū)域稱為簡約布里淵區(qū)。3. 一個波矢的體積為：b1(b2×b3)N1N2N3 = *N= (2) 3Vc 故波矢密度為：p =Vc / (2)3 ；由于每一個波矢占有的體積為*N，但是由于N數(shù)目很大，因此每一個波矢占有的體積很小，因此可以在簡約布里淵區(qū)看成準(zhǔn)連續(xù)。b) 近自由電子近似：i. 把V(x) 展開成傅立葉級數(shù)：Vx= nVneinx，由市場周期性條件V(x) = V(x+a)，得到n= 2an，可以得到零級能量和零級波函數(shù)，E0k= (hk) 22mk0k= 1Leikxii. 特征：根據(jù)近自由電子近似得到的勢場表達(dá)式，當(dāng)k=n / a，散射波很強

32、，當(dāng)k 遠(yuǎn)離n / a時，散射波很弱，此時波函數(shù)主要由平面波決定的，能量主要為0級能量，類似于自由電子。c) 一維晶格的布拉格反射：i. 根據(jù)上節(jié)所說的k=n / a 發(fā)生激烈的散射，設(shè)k為前進波，則-k為后退波，那么由于每個格點的波程差相差為波長的整數(shù)倍，因此各散射波之間出現(xiàn)相干的現(xiàn)象，導(dǎo)致出現(xiàn)強烈的散射波。ii. 當(dāng)電子遭受最強的散射的時候，電子會出現(xiàn)兩個能態(tài)，兩個能級的差值為：=2Vniii. 禁帶寬度：由于這個能級導(dǎo)致的能量間隙稱。出現(xiàn)的地方為±na處。iv. 一個能帶最多容納2N個電子；序號小的能態(tài)密度大，序號大的能態(tài)密度最大。d) 平面波方法：求解三維勢場i. 在布里淵區(qū)邊界的能態(tài)分布：E+ = (hk) 22m+V (Kn)E- = (hk) 22m-V (Kn)=2V (Kn)ii. 特點：當(dāng)電子波矢落在布里淵區(qū)邊界上時，電子將遭受與布里淵區(qū)邊界平行的晶面族的強烈散射。e) 布