2020屆江蘇省蘇州市高三上學期期末考試數學

1、12020屆江蘇省蘇州市高三上學期期末考試數學數 學（滿分 160 分，考試時間 120 分鐘）2020. 2參考公式：錐體的體積 V = gsh,其中 S 為錐體的底面積，h 是錐體的高.3球的體積 V = 4nr3,其中 r 表示球的半徑.3一、 填空題：本大題共 14 小題，每小題 5 分，共 70 分.1. 已知集合 A = x|x 1, B = 1, 0, 1, 4，貝 U A A B =_ .2. 已知 i 是虛數單位，復數 z= （1 + bi）（2 + i）的虛部為 3,則實數 b 的值為_ .3從 2 名男生和 1 名女生中任選 2 名參加青年志愿者活動，則選中的恰好是一男一

2、女的概率為_ .4.為了了解蘇州市某條道路晚高峰時段的車流量情況，隨機抽查了某天單位時間內通過的車輛數，得到以下頻率分布直方圖（如圖）.已知在5 , 7）之間通過的車輛數是 440 輛，則在8 , 9）之間通過的車輛數是 _ .（第 4 題）ft23（第 5 題）5如圖是一個算法流程圖，若輸入的x 值為 5,則輸出的 y 值為_ .6.已知等比數列an中，ai0，則aiva2”是a3Va5”的_條件.（填充分不必要” “必要不充分” “充要”或“既不充分又不必要”）x2v2、Fi, F2是雙曲線2=1(a1(a0 0,b 0)的左、右焦 a b點，點 P 的坐標為（0,b b）.右/F FiP

3、F2= 120,則該雙曲線的離心率為 _x 0,8.若 x, y 滿足約束條件 x y0)的圖象在 y 軸右側的公共點從左到右依次為A1, A2,若點 A1的橫坐標為 1,則點 A2的橫坐標為12.如圖，在平面四邊形 ABCD 中，已知 AD = 3, BC = 4, E, F 為 AB , CD 的中點，P,Q 為對角線 AC , BD 的中點，貝 U PQ EF 的值為_.13._已知實數 x, y滿足 x(x + y) = 1 + 2y2，則 5x2 4y2的最小值為 _3a|f(x)| + 2a2= 0 恰有 5 個相異的實根，則實數a 的取值范圍是 _ .二、 解答題：本大題共6 小

4、題，共 90 分解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.15.(本小題滿分 14 分)3已知向量 a= (sin x , 4), b= (cos x, 1).x 2).若關于 x 的方程 f2(x)ex，5(1)當 a II b 時，求 tan 2x 的值;n(2)設函數 f(x) = 2(a+b) b,且 x (0,-),求 f(x)的最大值以及對應的x 的值.16.（本小題滿分 14 分）如圖，在三棱柱 ABCAiBiCi中，CA = CB, D, E 分別是 AB , BiC 的中點. 求證：DE /平面ACCiAi;（2）若 DE 丄 AB，求證：AB 丄 BiC.i7.（本小

5、題滿分 i4 分）為響應“生產發(fā)展、生活富裕、鄉(xiāng)風文明、村容整潔、管理民主”的社會主義新農村建 設，某自然村將村邊一塊廢棄的扇形荒地（如圖）租給蜂農養(yǎng)蜂、產蜜與售蜜.已知扇形AOB中，/ AOB = OB = 2 3（百米），荒地內規(guī)劃修建兩條直路AB , 0C,其中點 C 在 AB 上3（C 與 A , B 不重合），在小路 AB 與 0C 的交點 D 處設立售蜜點，圖中陰影部分為蜂巢區(qū)，空白部分為蜂源植物生長區(qū)設/BDC =0,蜂巢區(qū)的面積為 S（平方百米）.6（1）求 S 關于0的函數關系式；（2）當0為何值時，蜂巢區(qū)的面積 S 最小，并求此時 S 的最小值.618.(本小題滿分 16

6、分)如圖，定義：以橢圓中心為圓心，長軸為直徑的圓叫做橢圓的“輔圓”過橢圓第一象限內一點 P 作 x 軸的垂線交其“輔圓”于點 Q,當點 Q 在點 P 的上方時，稱點 Q 為點 P 的“上 輔點” 已知橢圓 E： a2+ b2= i(ab0)上的點(1, -23)的上輔點為(1,3)(1) 求橢圓 E 的方程；1(2) 若厶 OPQ 的面積等于 2,求上輔點 Q 的坐標；(3) 過上輔點 Q 作輔圓的切線與 x 軸交于點 T,判斷直線 PT 與橢圓 E 的位置關系，并 證明你的結論.719.（本小題滿分 16 分）已知數列an滿足 2Sn= nan+ ai, a3= 4，其中 Sn是數列an的前

7、 n 項和.（1）求 ai和 a2的值及數列an的通項公式；11 1 1*設T Tn=齊+冇+齊+ R（n nN N）1若 Tk= T2T3，求 k 的值；2求證：數列Tn中的任意一項總可以表示成該數列其他兩項之積.820.(本小題滿分 16 分)已知函數 f(x) =a+ln X(a R).X(1)求函數 f(x)的單調區(qū)間；當函數 f(x)與函數 g(x) = In x 圖象的公切線 I 經過坐標原點時，求實數 a 的取值集合；(3)求證：當 a (0, 時，函數 h(x) = f(x) ax 有兩個零點 xi, X2,且滿足+ 2xix2a92020屆高三模擬考試試卷數學附加題（滿分 4

8、0 分，考試時間 30 分鐘）21.【選做題】 在 A , B, C 三小題中只能選做兩題，每小題 10 分，共 20 分.若多做, 則按作答的前兩題計分解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.A.（選修 42 :矩陣與變換）,1 a. c 2a b已知矩陣 M =的逆矩陣為 M =，求矩陣 N=的特征值.b 10 dcdB.（選修 44:坐標系與參數方程）x=cos0,在平面直角坐標系 xOy 中，已知 A（1 , 0）, P 為半圓 C:（0為參數，00y=sin0n）上的點，AP 的長度為n3 .以 O 為極點，x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系.（1）求點 P 的極坐標；（2）求

9、直線 AP 的極坐標方程.C.(選修 45:不等式選講)若 x ( 5, 4)，求證： 5 + x + 8 2x 3 3.10【必做題】 第 22, 23 題，每小題 10 分，共 20 分解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.22.如圖，在長方體 ABCDAiBiCiDi中，已知 DA = 4, DDi= 6, DC = 6, E 為棱 BC 的 中點，F 為線段 DiE 的中點，G 是棱 AB 上的一個動點(包含端點).(1) 若 G 為 AB 的中點，求異面直線 FG 與 DE 所成角的余弦值；(2) 若二面角 GDFE 的平面角的余弦值為 請，求點 G 的位置.23.已知 f

10、(n) = ( 2- i)n, n N*.(i)若 f(5) = a+ b . 2,其中 a, b Z,求 a+ b 的值；求證：對任意的正整數n, f(n)可以寫成.m m- 1 的形式，其中 m 為正整數.112020屆高三模擬考試試卷（蘇州）數學參考答案及評分標準6.充分不必要7. -2 8. 3 9.16（1）472 4110. m 0, yo0.因為點 P, Q 分別在弓+ y2= 1 與 x2+ y2= 4 上, 所以 x2+ 4yo= 4, xo+ yQ= 4,解得 yQ= 2yo.141xoyoSOPQ= 2 Xo|yQ yo|= 21將 yo=代入 x0+ 4y0= 4 后，

11、得到(x2 2)2= 0,X0由 Xo 0 可知 X0= .2,即有 P(.2,三2 2)，所以 Q(.2,2). (9 分)(3)直線 PT 與橢圓相切.證明：由可設 P(XO,yo), Q(XO,2yo)，其中XO0, yo0.Xo24 c、由 QT: y =廠 x+, T(, 0).2y0yoX02 2由(1)(1)得S Sn= T =n(nn(n1)1)所以 s+n = n (n + 1) ,( (7 分)因為12,所以 Xoyo= 1.(6 分)15所以直線PT的方程為y=4y0(x X；)=盤(4 xx0). (12 分)x2+ 4y2= 4,1聯立方程組1得 x22(16 + x

12、2x0 8xx0)= 4,y=亦(4 4xx0),4y4y0即(時)八等+守=0.(14 分)因為 x2+ 4y2= 4, 所以x x2 2yfyf+審=0 0，即(x(x- X。)2= 0，得到 X = X0.綜上可知，直線 PT 與橢圓相切.(16 分)19.解：(1) n = 2 時，2S2= 2a2+ a1= 2(a1+ a2)，所以 a1= 0.n= 3 時，2S3= 3a3+ a1= 12,所以 a1+ a2+ a3= 6,所以 a2= 2.(2 分)由2S2Sn= nan+ a1= nan，所以 2Sn+1= (n + 1)an+1.由一得2a2an+1= (n + 1)an+1

13、 nan, 即卩 nan= (n 1)an+1.(4 分)當 n2 時，(n 1)an-1= (n 2)an，由一得(n 1)an+1+ (n 1)an-1= 2(n 1)an, 即卩 an+1+ an-1= 2an,所以數列an是首項為 0,公差為 2 的等差數列，故數列an的通項公式是 ch= 2n 2.(6 分)又直線 PT 的斜率 kPT=y04X0X0X0y0X0y0X0 x0 4 = 4y2= 4y0所以T11T Tn=1X2+2X3+1n (n + 1)=(1(1- 2)+(2 - 3)+11 _ 1( (n n + 1) )=1 1n+ 1nn +1. .(9 分)1Tk=T2

14、T3=2 2X3 3=-3 4 2 k+12(證法 1)若存在kzn, tzn, k豐t,k, t N，使得 Tn= TkTt,n + 1 k + 1 t + 1J，所以 k= 1.(10 分)只需倉=k-占，所以 n111r1111即1 1+- =(1(1+以1 1+7),即 1= 1+-+k，則t =守丄.(13 分)k n16再設直線 I: y=x x與函數ef(x)的圖象切于點(Xi, yi),取 k= n + 1,貝 U t = n(n+ 2),所以對數列中的任意一項T Tn= &，都存在T Tn+1=宦和丁n2+ 2nTn2+2n=( n+ 1)2使得 Tn= Tn+1 T

15、n2+2n.(16 分)*n n (n+1) n (n + 2)( (證法2)2)對于任意n n N ,T Tn= n+ 1 =2(n2+ 2n)+ 1 n+ 2n+ 1In2+2n Tn+1,所以對數列Tn中的任意一項 Tn=二二+，都存在 Tn+1n + 1 十n2+ 2nn+2 和T Tn2+2n= ( n+ 1)2，使得 Tn= Tn+1 Tn2+2n.(16 分)1 1a alnln x x= 0 時，有 X = e1-a,20. (1)解：因為 f (xx)x2當 f (0 時，In xv1 a,解得 當f (v) 0 時，In x 1 a,解得 所以函數 f(x)的單調增區(qū)間為(

16、0,(2)解：設直線 I: y= kx 與函數1k =,則x x0解得 X0= e,y0= kx0= In X0,0vxve1 a；xe1a.e1a),單調減區(qū)間為y= In x 的圖象切于點k= e.(6 分)(2 分)(e1a，+m). (4 分) (xo,yo),11 a In X1k k= e 則x21y1=孑1=a+ In X1X12若 X1.有=1 a In x1= a + In X1,e即近=a+ In x e11=2 解得X1=,a= In X1= 如所以實數a 的取值集合為2ln 2 .(9 分)證明:a+ In x由=axax,X得 In x a(x2 1) = 0.1 一

17、 2ax2h(x) = In x a(x2 1)(x0),貝 U h (x=-X1 1.由0 0va av2，得,2a1.1.Ovxv,h (x) 0, h(x)單調遞增;,h (x)v0, h(x)單調遞減.x當 x13t2 t +1(t t2)2+4 .2=2 0.t2t217因為 av1,所以 h(1)1=-lnln a a+a a-1=u u（a a）vu u=0 0，所以1QV0.1 1因為函數 h(x)的圖象在莎，a 上連續(xù)不間斷,所以由零點存在性定理可知？X2所以函數 h(x)有兩個零點 xi= 1,1 1cj2a，a），使得 h（x2）=0.（14 分）1 1X X2（2a，a

18、）-111因為0 0va av2，X7+QV1 1+2a2a，1其中 0v2av1,舌舌2,111所以書+x;va.（1616分）182020屆高三模擬考試試卷（蘇州）數學附加題參考答案及評分標準_1 ac 221. A.解：由題意，MM1=b 10 dc= 1,a= 2,2+ ad= 0,b= 0,20所以解得所以 N =.（5bc= 0,c= 1,112b+ d= 1,d= 1,入+ 20令 N 的特征多項式f（入=1=（卅2 2）（）（1）= 0,有X=-2 或X=1,所以 N 的特征值為2 和 1.（10 分）B.解：（1）由已知得半圓 C 的直角坐標方程為x2+ y2= 1（y 0）

19、, 因為 A（1 , 0）, AP 的長度為-n，所以在極坐標系中，點3n即點 P 的極坐標為（1 , 3）. （4 分）1 3（2）由（1）知，在平面直角坐標系中，點P 的坐標為（？，2），因為 A（1 , 0），所以直線 AP 的直角坐標方程是 y = .3x + 3, （8 分）所以直線 AP 的極坐標方程是 psin（葉-3） 23.（10 分）C.證明：由柯西不等式可得（1 5+ x+i 2 . 4 x）2W（1 + 2）（5 + x+ 4 x）= 27,因為 x （ 5, 4），所以+ , 8 2x 3 3.（10 分）22.解：在長方體 ABCDA1B1C1D1中，DA , DC

20、, DD1兩兩垂直，以DA , DC , DD1為正交基底建立空間直角坐標系（如圖）,（1 分）c 2+ ad be2b+ dnP 極徑等于 1，極角為,319可得 A(4 , 0, 0), B(4, 6, 0), C(0, 6, 0), Di(0, 0, 6). 由 E 為棱 BC 的中點，得 E(2 ,6, 0).由 F 為線段 DIE 的中點，得 F(1 , 3, 3).(1)因為 G 為 AB 的中點，所以 G(4, 3, 0),此時 FG= (3, 0, - 3), DE = (2, 6, 0).設異面直線 FG 與 DE 所成的角為a,即異面直線 FG 與 DE 所成角的余弦值為，

21、.梓分）(2)根據題意,DF = (1 , 3, 3)，設 G(4 , t , 0)(0 t|=FG DE =6=5|FG| |DE|3 3 J J，2 2X21021010108所以 G(4, 0, 0)，即點 G 的位置與點 A 重合.(10 分)23. (1)解：因為 f(2) = ( 2 1)2= 3- 2 2,所以 f(4) = (3-2 2)2= 17- 12 2, f(5) = f(4)f(1) =(17- 12 2)( 2- 1) =- 41 + 29 2,即 a=- 41, b= 29, a+ b=- 12.(3 分)(2)證明：(證法 1)因為(2 + 1)n= Q+ C.2+ Cn ( . 2)2+ C ( 2)3+, 所以設(2+ 1)n= a+2b,其中 a= 1 + Cn ( 2)2+ Cn ( 2)4+為正奇數， b= Cn+ 2 出出+ + 4 疵疵+ +為正整數，貝V (1 2)n= a叮2所以(a+ 2b)(a - 2b)= ( 2+ 1)n(1 - ,2)n= ( - 1)n.(6 分)1當 n 為偶數時，a2= 2b2