2020屆全國大聯(lián)考高三第一次大聯(lián)考數(shù)學(xué)(理)試題(解析版)

1、3 3 【解析】先求出不定積分，再代入上下限來求定積分第 1 1 頁共 1818 頁2020 屆全國大聯(lián)考高三第一次大聯(lián)考數(shù)學(xué)(理)試題一、單選題21 1 已知集合A x| 2 x 3,xN, B x|x 1A，則集合Al B()【答案】A A【解析】化簡集合A, ,B，按交集定義，即可求解 【詳解】集合A x| 2 x 3,x N 0,1,2,B x|x 1 或 x1，則Al B 2. .故選: :A.A.【點睛】本題考查集合間的運算，屬于基礎(chǔ)題 22 2命題“x 0,x(x 1) (x 1)”的否定為()A A x20,x(x 1) (x 1)B B x, 0,x(x1)(x1)2C C

2、x0,x(x 1), (x 1)2D D x, 0, x( x1)(x1)2【答案】C C【解析】套用命題的否定形式即可. .【詳解】命題“x M , p(x)”的否定為“x M ,P(x)”，所以命題x 0,x(x1) (x 1)”的否定為 “x0,x(x 1) (x 1)2”故選：C C【點睛】 本題考查全稱命題的否定，屬于基礎(chǔ)題3dx(1x 2A A 2B B. 1,0,1C C 2,2D D 1,0,1,2A A 2 In2B B.3 In2C C6 In2D D 6 In43 3 【解析】先求出不定積分，再代入上下限來求定積分第 1 1 頁共 1818 頁【答案】D D第3 3頁共

3、1818 頁212i2廠2 dx 2x ln(x 2)1(4 In 4)( 2 ln1) 6 In 4. .故選：D D【點睛】 本題考查定積分的運算，屬于基礎(chǔ)題A A .充分不必要條件B B 必要不充分條件【詳解】由題，4 4 設(shè)集合A、B是全集U的兩個子集，則“AB”是 “AlQBC C .充要條件D D .既不充分也不必要條件【答案】C C【解析】作出韋恩圖，數(shù)形結(jié)合，即可得出結(jié)論 【詳解】如圖所示，A B AejB同時AQJB故選: :c.c.【點睛】本題考查集合關(guān)系及充要條件，注意數(shù)形結(jié)合方法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題. .2x,x, 05 5 已知函數(shù)f (x)，若f X。2，則xc的取值

4、范圍是(Vx 4, x 0A A.(, 1)B B.( 1,0【答案】B【解析】對Xo分類討論，代入解析式求出【詳解】2x,x 0函數(shù)f(x)，由f x0Vx 4, x 0C C.( 1,)D D.(f (x0)，解不等式，即可求解),0)22x3dx第4 4頁共 1818 頁第5 5頁共 1818 頁2診2或Xo,0Xo0解得1 Xo, 0. .故選: :B.B.【點睛】 本題考查利用分段函數(shù)性質(zhì)解不等式，屬于基礎(chǔ)題1X6 6.已知p：Xo1,log!Xo-;q: x R,e x，則下列說法中正確的是()22A.p q是假命題B.p q是真命題C C.p q是真命題D D.p q是假命題【答

5、案】D D【解析】舉例判斷命題 p p 與 q q 的真假，再由復(fù)合命題的真假判斷得答案.【詳解】當(dāng)XOi時，sgxoo,故p命題為假命題；2記 f f (x x)= e eX-X的導(dǎo)數(shù)為 ff (X)= e eXi,易知 f f(x x)= e ex- x x在(-汽 o o)上遞減，在(o o ,+p 上遞增,p q是假命題故選 D D【點睛】本題考查復(fù)合命題的真假判斷，考查全稱命題與特稱命題的真假，考查指對函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.7 7 .已知集合A x | 1 x 剟 2, B x|1x?5，定義集合A* B z|z x y,x A, y B，則B*( A* B)等于()A A.X

6、| 6 x, 1B B.X|1 x, 12C C.x| 11 x, 0D D.x| 5 x, 6【答案】C C【解析】 根據(jù)A* B定義，求出A* B，即可求出結(jié)論 【詳解】 f f (x x) f f (o o)=1 o o，即x R, exx，故q命題為真命題;第6 6頁共 1818 頁因為集合B x|1 剟 x 5，所以B x| 5 剟 X1,則A* B x| 6 x, 1，所以B*(A*B) x| 11 x, 0. .故選: :C.C.【點睛】本題考查集合的新定義運算，理解新定義是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題A A .( 1,1)B B.(,1)C C.(1,)D.( 1,)【答案】D D【

7、解析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性用方程法求出f (x), g(x)的解析式,進(jìn)而求出a，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求出結(jié)論 . .【詳解】依題意有f (x)g(x) axax2f( x) g( x)xxaa 2f(x)g(x),得f (x)axax, g(x)2,又因為g(2) a,所以a 2, f (x)2x2x, f f (x)(x)在R上單調(diào)遞增, 所以函數(shù)f x22x的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,). .故選: :D.D.【點睛】本題考查求函數(shù)的解析式、函數(shù)的性質(zhì)，要熟記復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷方法，屬于中檔題. .x2bx a的部分圖象，則函數(shù)g(x) alnx f (x)的零8 8.已知R上的奇函數(shù) f

8、(X)f(X)和偶函數(shù)g(x)滿足f (x)g(x)(a 0且a 1)，若g(2)a，則函數(shù)f x22x的單調(diào)遞增區(qū)間為(9 9 .如圖是二次函數(shù)f (x)A A.4,2B B.1 1, ,1 1C C.(1,2)D D.(2,3)第7 7頁共 1818 頁【答案】B B【解析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的對稱軸得出b范圍，y軸截距，求出a的范圍，判斷g(x)在區(qū)間端點函數(shù)值正負(fù)，即可求出結(jié)論 【詳解】2 f(x) x bx a，結(jié)合函數(shù)的圖象可知,1, /f (x) 2x b,所以g(x)aln xf (x)aln x 2xb在(0,)上單調(diào)遞增又因為g1 a In1-1b 0,g(1)aln1 2b

9、 0,221 1所以函數(shù)g(x)的零點所在的區(qū)間是2,i2,i故選: :B.B.【點睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及函數(shù)的零點，屬于基礎(chǔ)題出 f f (x)(x)在(，1)單調(diào)性，即可求出結(jié)論【詳解】 對于任意x R，函數(shù) f(x)f(x)滿足f(2 x) f(x),因為函數(shù) f(x)f(x)關(guān)于點(1,0)對稱，當(dāng)x 1時，f(x)一匚是單調(diào)增函數(shù),二次函afOb - 2X1010 對于任意f (x),x 1. .若a f1 ,b f122A A bc aB B.b a c【答案】 A A【解析】 由已知可得1, )的單調(diào)性， 再由x) f (x)，且當(dāng)xT時，函數(shù)1,c f -，則a,b,c大

10、小關(guān)系是()3C C cabD D c b af (2 x) f (x)可得 f f (x)(x)對稱性，可求第8 8頁共 1818 頁所以 f(x)f(x)在定義域R上是單調(diào)增函數(shù). .第9 9頁共 1818 頁1111因為232，所以f2b c a. .故選: :A.A.【點睛】本題考查利用函數(shù)性質(zhì)比較函數(shù)值的大小，解題的關(guān)鍵要掌握函數(shù)對稱性的代數(shù)形式, 屬于中檔題.故選：A A1111.已知函數(shù)f(x)2，則函數(shù)yf (x 1)的圖象大致為(【解析】用排除法，通過函數(shù)圖像的性質(zhì)逐個選項進(jìn)行判斷,找出不符合函數(shù)解析式的圖像，最后剩下即為此函數(shù)的圖像【詳設(shè)g(x)f(x 1)-，由于gIn

11、x x 12ln2 20， 排除B B 選項；g(e)2二，所以g(e)，排除 C C 選項；由于當(dāng)x時,g(x)0，排除D D 選項. .故 A A 選項正確. .第1010頁共 1818 頁【點睛】本題考查了函數(shù)圖像的性質(zhì)，屬于中檔題第1111頁共 1818 頁ax24ax In x，則 f f (x)(x)在(1,4)上不單調(diào)的一個充分不必要條件可以是( )1c11、1c1A A aB B 0 a C C a或a 0D D a 21616216【答案】D D出結(jié)論 【詳解】若 f f (x)(x)在(1,4)上不單調(diào)，令g(x) 2ax24ax 1,則函數(shù)g(x) 2ax24ax 1對稱

12、軸方程為x 1在區(qū)間(1,4)上有零點(可以用二分法求得) 當(dāng)a 0時，顯然不成立；a 0當(dāng)a 0時，只需g(1) 2a 10g(4)16a 1 0a 011或g(1) 2a 10，解得a或a. .162g16a 1 0故選: :D.D.【點睛】中檔題 、填空題1313 如圖，直線I是曲線y f (x)在x 3處的切線，貝U f (3)_1212 已知函數(shù)f(X)【解先求函數(shù)在(1,4)上不單調(diào)的充要條件，即f (x)0在(1,4)上有解，即可得f (x)2ax 4a -x2ax24ax 1x本題考查含參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性及充分不必要條件,要注意二次函數(shù)零點的求法，屬于第1212頁共 1818

13、頁2【解析】 求出切線I的斜率，即可求出結(jié)論【詳解】由圖可知直線I過點(3,3), 0,3,232可求出直線I的斜率|321,3 021由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知，f (3)丄. .21故答案為：- -. .2【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)與曲線的切線的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題. .1414 已知集合A x|x| 4,xZ, B 1,m，若AB A，且3 m A，則實數(shù)m所有的可能取值構(gòu)成的集合是 _ . .【答案】0,2,3. .【解析】 化簡集合A，由B A，以及3 m A，即可求出結(jié)論 【詳解】集合A 3, 2, 1,0,1,2,3，若A B A,則m的可能取值為3, 2, 1, 0 0, 2 2, 3 3

14、,又因為3 m A,所以實數(shù)m所有的可能取值構(gòu)成的集合是0,2,3. .故答案為：0,2,3. .【點睛】本題考查集合與元素的關(guān)系，理解題意是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題第1313頁共 1818 頁1515設(shè)函數(shù)f(x)3x26x在區(qū)間a,b上的值域是9,3，則b a的取值范圍是【答案】2,42,4【解析】f(x) 3x26x配方求出頂點，作出圖像，求出f(x)9對應(yīng)的自變量,結(jié)合函數(shù)圖像，即可求解 【詳解】f (x)3x26x 3(x 1)23，頂點為(1,3)因為函數(shù)的值域是9,3，令3x26x 9，可得x 1或x 3. .又因為函數(shù)f(x) 3x26x圖象的對稱軸為x 1，且f(1)3，所以b

15、 a的取值范圍為2,4.2,4.故答案為: :2,4.2,4.【點睛】本題考查函數(shù)值域，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題. .1616 如圖，養(yǎng)殖公司欲在某湖邊依托互相垂直的湖岸線CA、CB圍成一個三角形養(yǎng)殖區(qū) ACB.ACB.為了便于管理，在線段AB之間有一觀察站點M,M到直線BC,CA的距離分別為 8 8 百米、1 1 百米，則觀察點M至到點A、B距離之和的最小值為 _百米 【答案】5.5第1414頁共 1818 頁【解析】 建系，將直線AB用方程表示出來，再用參數(shù)表示出線段AB的長度，最后利用導(dǎo)數(shù)來求函數(shù)最小值【詳解】以C為原點，CA,CB所在直線分別作為X,y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則M(

16、8,1). .1 8k設(shè)直線AB: y 1 k(x 8)，即y kx 1 8k，則A,0 , B(0,18k)，k所以1 8kk0，所以k 0,1 8k 021 8kAB2(1 8k)2f (k)(k 0),k則f(k)(1 8k)211-(k0)，則f (k)2(1 8k)(8)1右(18k)2(2)?2(138k) 8k 12(18k) 2k 1 4k22k 1k3k311當(dāng)x，時，f (x)0，則 f(x)f(x)單調(diào)遞減，當(dāng)x - ,0時，f (x)0，22則 f f (x)(x)單調(diào)遞增，1所以當(dāng)k一時，AB最短，此時 ABAB 5 5 5.5.2故答案為：5.5【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)

17、的實際應(yīng)用，屬于中檔題 三、解答題2x11717.已知集合A x|y .-1，集合B x| 1 剟 x a 2. .V x 1(1) 求集合A;(2)若B A，求實數(shù)a的取值范圍. .【答案】(1 1)A x|x1 或 x-2；(2 2)(, 3U(3,). .第1515頁共 1818 頁【解析】(1 1)求出函數(shù)y.2x 11的定義域，即可求出結(jié)論；V x 1(2)化簡集合B，根據(jù)B A確定集合B的端點位置，建立a的不等量關(guān)系，即可求解 【詳解】2x 1x 2(1)由10,即得x 1或x 2,x 1x 1所以集合 A A x|xx|x 1 1 或x-2. .(2) 集合B x| 1剟收a 2

18、x| 1 a剟收2 a,由B A得2 a 1或1 a2，解得a 3或a, 3,所以實數(shù)a的取值范圍為(，3U(3,). .【點睛】本題考查集合的運算，集合間的關(guān)系求參數(shù)，考查函數(shù)的定義域，屬于基礎(chǔ)題21818.已知p : x R,m 4x 1 x；q : x 2,8, mlog2x 1-0. .(1) 若P為真命題，求實數(shù)m的取值范圍；(2) 若P q為真命題且P q為假命題，求實數(shù)m的取值范圍. .11【答案】(1 1)-,-,(2 2)mv-1或 m m 44【解析】(1 1)根據(jù)P為真命題列出不等式，進(jìn)而求得實數(shù)m的取值范圍；(2 2)應(yīng)用復(fù)合命題真假判定的口訣：真非”假，假 非”真，一

19、真 或”為真，兩真 且”才真 【詳解】2(1 1)Q x R m 4x 1 x,m 0且116m20，解得m -4所以當(dāng)p為真命題時，實數(shù)m的取值范圍是丄,4(2 2) 由x 2,8, m log2x 10,可得x 2,8, m1log2x第1616頁共 1818 頁又當(dāng)x1ro pi n-+1,1,2,8時，log2x31. .第1717頁共 1818 頁T當(dāng)p q為真命題，且P q為假命題時,二P與q的真假性相同，1m 當(dāng)P假q假時，有4，解得m 1；14，解得m1故當(dāng)P q為真命題且P q為假命題時，可得m 1或m4【點睛】本題主要考查結(jié)合不等式的含有量詞的命題的恒成立問題，存在性問題，

20、考查復(fù)合命題的真假判斷，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和分析推理能力1919已知f(x) x33ax2bx a2(a 1)的圖象在x1處的切線方程為y 0. .(1)求常數(shù)a,b的值;a 2【答案】(1 1);(2 2)c = 0或c4. .b 9【解析】(1 1)求出f (x)，由f ( 1)0, f ( 1)0，建立a,b方程求解，即可求出結(jié)論;(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值，做出函數(shù)在4,1的圖象，即可求解【詳解】(1 1)f (x)23x 6ax b，由題意知f ( 1) 013 6a b 0f( 1) 01 3a b a20，a 1a 2解得(舍去)或b 3b 9(2 2) 當(dāng)a2

21、,b9時，f (x) 3x212x 93(x 3)(x 1)故方程f (x)0有根，根為x 3或x 1,當(dāng)p真q真時，有(2)若方程f (x)c在區(qū)間4,1上有兩個不同的實根，求實數(shù)第1818頁共 1818 頁x(,3)3(3, 1)1(1,)f (x)+ +0 0- -0 0+ +f(x)f(x)Z極大值極小值Z由表可見，當(dāng)x 1時，f(x)f(x)有極小值 0.0.由上表可知 f(x)f(x)的減函數(shù)區(qū)間為(3, 1),遞增區(qū)間為(，3),( 1,). .因為f( 4)0, f( 3) 4,f( 1)0, f (0)4，f (1) 20 由數(shù)形結(jié)合可得c = 0或c 4. .本題考查導(dǎo)數(shù)的

22、幾何意義，應(yīng)用函數(shù)的圖象是解題的關(guān)鍵，意在考查直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)計算能力，屬于中檔題 x22020.已知函數(shù)f(x)2 ,g(x) x 2ax. .(1) 當(dāng)a 1時，求函數(shù)y f (g(x)( 2剟收3)的值域. .(2) 設(shè)函數(shù)h(x)f(x),x b，若ab 0,且h(x)的最小值為2，求實數(shù)a的取g(x),x b2第1919頁共 1818 頁(1)令x22x,y 2，求出u的范圍，再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可求 出結(jié)論;(2(2)對a分類討論，分別求出 f(x)f(x)以及g(x)的最小值或范圍，與h(x)的最小值 二2建2【詳解】函數(shù)的值域是丄,2562(2 2)當(dāng)a 0時，則b

23、 0,g(x)在(，a)上單調(diào)遞減，在(a,b)上單調(diào)遞增，所以g(x)的最小值為g( a) a20, f f (x)(x)在b,)上單調(diào)遞增，最小值為2b201,而h(x)的最小值為2，所以這種情況不可能. .2當(dāng) a a 0 0 時，則b 0,g(x)在(，b)上單調(diào)遞減且沒有最小值，f(x)f(x)在b,)上單調(diào)遞增最小值為2b,所以h(x)的最小值為2b2解得b1(滿足題意)221 1所以g(b) g -aT1丄2，解得a,2 224224所以實數(shù)a的取值范圍是-2 24【答(1(1)-,256; (2 2)21 224【解立方程關(guān)系,求出b的值，進(jìn)而求出a的取值關(guān)系. .(1)1時,

24、2f(g(x)2x 2x( 2 剟 x 3)，/ xx22x,y2,3 1,8,2是增函數(shù),1 剟”256，第2020頁共 1818 頁【點睛】第2121頁共 1818 頁【解析】(1 1)求出 f(x)f(x)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)判斷函數(shù)f(x)f(x)的單調(diào)性，再利用函數(shù)單調(diào)性解函數(shù)型不等式；(2 2)構(gòu)造函數(shù)(x) f (x) x，利用導(dǎo)數(shù)判斷(x)在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞減，結(jié)合0 s t 2可得結(jié)果. .【詳解】(x) 1 -，x x(x)在(0,2)上單調(diào)遞減,又Q0本題考查復(fù)合函數(shù)的值域與分段函數(shù)的最值,鍵，屬于中檔題 熟練掌握二次函數(shù)圖像和性質(zhì)是解題的關(guān)22121 .已知函

25、數(shù)f(x) (x a)(1) 若a 0，求不等式f(x)(2) 證明：對任意的0 s t【答案】(1 1)x|x 12xln x，其導(dǎo)函數(shù)為f (x),1的解集；2，恒有 3 山1. .s t(2(2)證明見解析(1)若a 0,則f (x) x22xln x, f (x) 2x 2(1 In x). .設(shè)h(x) 2x 2(1 In x)，則h(x)所以h(x)在(0,1)上)上單調(diào)遞增 又當(dāng)x 0時，h(x);當(dāng)x1時,h(x)0;當(dāng)x時，h(x)所以h(x) 0所以f(x)f(x)在(0,)上又f(1)1，所以不等式f (x)1的解集為(2)設(shè)g(x) f (x)，再令(x) g(x)2

26、2ln x 2a第2222頁共 1818 頁g(s) g(t) s t,(s)(t),g(s)s g(t) t,第2323頁共 1818 頁st 0,g(s) g(t)1s t即f(s) f(t)1s t【點睛】本題考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性來解決不等式問題，屬于較難題 2222已知函數(shù)g(x) ex(a 1)x2bx 1(a,b R)，其中e為自然對數(shù)的底數(shù) (1) 若函數(shù)f (x) g (x)在區(qū)間0,1上是單調(diào)函數(shù)，試求a的取值范圍；(2) 若函數(shù)g(x)在區(qū)間0,1上恰有 3 3 個零點，且g(1)0，求a的取值范圍. .3e【答案】(1 1)，-1,; (2 2)(e 1,2). .22【解析】(1 1)求出g (x) f (x)，再求f (x)0,x0,1恒成立，以及f (x)0,x0,1恒成立時，a的取值范圍；(2 2)由已知g(1)g(0)0,g(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)恰有一個零點，轉(zhuǎn)化為f(x) g (x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)恰有兩個零點，由(1 1)的結(jié)論對a分類討論，根據(jù) f f (x)(x)單調(diào)性，結(jié)合 零點存在性定理，即可求出結(jié)論 【詳解】(1 1)由題意得f(x) ex2(a 1)x