MATLAB實(shí)現(xiàn)抽樣定理探討及仿真

1、應(yīng)用 MATLAB實(shí)現(xiàn)抽樣定理探討及仿真一 課程設(shè)計(jì)的目的利用MATLAB，仿模信號(hào)抽樣與恢復(fù)系統(tǒng)的實(shí)際實(shí)現(xiàn)，探討過(guò)抽樣和欠抽樣的信號(hào)以及抽樣與恢復(fù)系統(tǒng)的性能。二 課程設(shè)計(jì)的原理模擬信號(hào)經(jīng)過(guò) (A/D) 變換轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號(hào)的過(guò)程稱為采樣，信號(hào)采樣后其頻譜產(chǎn)生了周期延拓，每隔一個(gè)采樣頻率 fs，重復(fù)出現(xiàn)一次。為保證采樣后信號(hào)的頻譜形狀不失真，采樣頻率必須大于信號(hào)中最高頻率成分的兩倍，這稱之為采樣定理。時(shí)域采樣定理從采樣信號(hào)恢復(fù)原信號(hào)必需滿足兩個(gè)條件： (1) 必須是帶限信號(hào)，其頻譜函數(shù)在 各處為零；（對(duì)信號(hào)的要求，即只有帶限信號(hào)才能適用采樣定理。）(2) 取樣頻率不能過(guò)低，必須 2 （或 2）。

2、（對(duì)取樣頻率的要求，即取樣頻率要足夠大，采得的樣值要足夠多，才能恢復(fù)原信號(hào)。）如果采樣頻率大于或等于，即（為連續(xù)信號(hào)的有限頻譜），則采樣離散信號(hào)能無(wú)失真地恢復(fù)到原來(lái)的連續(xù)信號(hào) 。一個(gè)頻譜在區(qū)間（- ，）以外為零的頻帶有限信號(hào)，可唯一地由其在均勻間隔 （ ）上的樣點(diǎn)值所確定。根據(jù)時(shí)域與頻域的對(duì)稱性，可以由時(shí)域采樣定理直接推出頻域采樣定理。(a)(b) (c)圖2.1抽樣定理a) 等抽樣頻率時(shí)的抽樣信號(hào)及頻譜（不混疊）b) 高抽樣頻率時(shí)的抽樣信號(hào)及頻譜（不混疊）c) 低抽樣頻率時(shí)的抽樣信號(hào)及頻譜（混疊）2.1信號(hào)采樣 如圖1所示，給出了信號(hào)采樣原理圖信號(hào)采樣原理圖（a） 由圖1可見，其中，沖激采樣

3、信號(hào)的表達(dá)式為： 其傅立葉變換為，其中。設(shè)，分別為，的傅立葉變換，由傅立葉變換的頻域卷積定理，可得 若設(shè)是帶限信號(hào)，帶寬為， 經(jīng)過(guò)采樣后的頻譜就是將在頻率軸上搬移至處（幅度為原頻譜的倍）。因此，當(dāng)時(shí)，頻譜不發(fā)生混疊；而當(dāng)時(shí)，頻譜發(fā)生混疊。2.1.3信號(hào)重構(gòu)設(shè)信號(hào)被采樣后形成的采樣信號(hào)為，信號(hào)的重構(gòu)是指由經(jīng)過(guò)內(nèi)插處理后，恢復(fù)出原來(lái)信號(hào)的過(guò)程。又稱為信號(hào)恢復(fù)。若設(shè)是帶限信號(hào)，帶寬為，經(jīng)采樣后的頻譜為。設(shè)采樣頻率，則由式（9）知是以為周期的譜線?，F(xiàn)選取一個(gè)頻率特性（其中截止頻率滿足）的理想低通濾波器與相乘，得到的頻譜即為原信號(hào)的頻譜。顯然，與之對(duì)應(yīng)的時(shí)域表達(dá)式為 （10）而將及代入式（10）得 （1

4、1）式（11）即為用求解的表達(dá)式，是利用MATLAB實(shí)現(xiàn)信號(hào)重構(gòu)的基本關(guān)系式，抽樣函數(shù)在此起著內(nèi)插函數(shù)的作用。三、抽樣定理的仿真和探討3.1.1 的臨界采樣及重構(gòu)圖當(dāng)采樣頻率小于一個(gè)連續(xù)的同信號(hào)最大頻率的2倍，即時(shí)，稱為臨界采樣. 修改門信號(hào)寬度、采樣周期等參數(shù)，重新運(yùn)行程序，觀察得到的采樣信號(hào)時(shí)域和頻域特性，以及重構(gòu)信號(hào)與誤差信號(hào)的變化。程序運(yùn)行結(jié)果：3.1.2 的過(guò)采樣及重構(gòu)當(dāng)采樣頻率大于一個(gè)連續(xù)的同信號(hào)最大頻率的2倍，即時(shí)，稱為過(guò)采樣.在不同采樣頻率的條件下，觀察對(duì)應(yīng)采樣信號(hào)的時(shí)域和頻域特性，以及重構(gòu)信號(hào)與誤差信號(hào)的變化。程序運(yùn)行結(jié)果：3.1.3 Sa(t)的欠采樣及重構(gòu)當(dāng)采樣頻率小于一

5、個(gè)連續(xù)的同信號(hào)最大頻率的2倍，即時(shí)，稱為過(guò)采樣。利用頻域?yàn)V波的方法修改實(shí)驗(yàn)中的部分程序，完成對(duì)采樣信號(hào)的重構(gòu)。程序運(yùn)行結(jié)果：誤差分析：絕對(duì)誤差error已大為增加，其原因是因采樣信號(hào)的頻譜混疊，使得在區(qū)域內(nèi)的頻譜相互“干擾”所致。四、課題研討的小結(jié)該課程設(shè)計(jì)使我們對(duì)采樣定理的一些基本公式得到了進(jìn)一步鞏固。在整個(gè)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，我們查閱了很多相關(guān)知識(shí)，從這些書籍中我們受益良多。雖然學(xué)習(xí)過(guò)采樣過(guò)程和恢復(fù)過(guò)程，但是認(rèn)識(shí)不深，實(shí)踐能力也有所欠缺，通過(guò)這次實(shí)驗(yàn)對(duì)采樣過(guò)程和恢復(fù)過(guò)程有了進(jìn)一步掌握。通過(guò)實(shí)驗(yàn)的設(shè)計(jì)使我們對(duì)采樣定理和信號(hào)的重構(gòu)有了深一步的掌握，也讓我們?cè)趯?shí)踐的過(guò)程中了解到團(tuán)隊(duì)合作的重要性。雖然在實(shí)

6、驗(yàn)過(guò)程中出現(xiàn)很多錯(cuò)誤，但是在老師的幫助和團(tuán)隊(duì)成員的齊心協(xié)力下，不斷的修正錯(cuò)誤，同時(shí)也學(xué)會(huì)了MATLAB中信號(hào)表示的基本方法及繪圖函數(shù)的調(diào)用。雖然剛開始我們對(duì)MATLAB的基本使用方法沒有太深刻的認(rèn)識(shí)，但是該實(shí)驗(yàn)使我們對(duì)MATLAB函數(shù)程序的基本結(jié)構(gòu)有所了解，也提高了我們獨(dú)立完成實(shí)驗(yàn)的能力和理論聯(lián)系實(shí)際的應(yīng)用能力。通過(guò)這次課程設(shè)計(jì)，我們不僅學(xué)到了學(xué)科知識(shí)，鍛煉了實(shí)踐能力，更重要的是學(xué)到了學(xué)習(xí)的方法和團(tuán)隊(duì)合作的重要性。我們團(tuán)隊(duì)分工有序，每個(gè)人都能按時(shí)完成各自的任務(wù)。在遇到問(wèn)題時(shí)，大家都能夠互相理解，互相幫助，最后圓滿完成課題！附錄：一、的臨界采樣及重構(gòu)1.Sa(t)的臨界采樣及重構(gòu)程序代碼；wm=

7、1;wc=wm; Ts=pi/wm; ws=2.4*pi/Ts; n=-100:100; nTs=n*Ts; f=sinc(nTs/pi);Dt=0.005;t=-20:Dt:20;fa=f*Ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t);subplot(311);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)');title('sa(t)=sinc(t/pi)的原信號(hào)');grid;t1=-20:0.5:20;f1=sinc(t1

8、/pi);subplot(312);stem(t1,f1);xlabel('kTs');ylabel('f(kTs)');title('sa(t)=sinc(t/pi)的臨界采樣信號(hào)');grid;subplot(313);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)');title('由sa(t)=sinc(t/pi)的臨界采樣信號(hào)重構(gòu)sa(t)');grid;2.程序運(yùn)行運(yùn)行結(jié)果圖與分析圖3.1.1 的臨界采樣及重構(gòu)圖運(yùn)行結(jié)果分析：為了比較由采樣信號(hào)恢復(fù)后的信號(hào)與原信號(hào)

9、的誤差，可以計(jì)算出兩信號(hào)的絕對(duì)誤差。當(dāng)t選取的數(shù)據(jù)越大，起止的寬度越大。二、的過(guò)采樣及重構(gòu)1.Sa(t)的過(guò)采樣及重構(gòu)程序代碼；wm=1;wc=1.1*wm; Ts=1.1*pi/wm;ws=2*pi/Ts;n=-100:100;nTs=n*Ts;f=sinc(nTs/pi);Dt=0.005;t=-10:Dt:10;fa=f*Ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t);subplot(411);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)'

10、);title('sa(t)=sinc(t/pi)的原信號(hào)');grid;error=abs(fa-sinc(t/pi);t1=-10:0.5:10;f1=sinc(t1/pi);subplot(412);stem(t1,f1);xlabel('kTs');ylabel('f(kTs)');title('sa(t)=sinc(t/pi)的采樣信號(hào)');grid;subplot(413);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)');title('由sa(t)=s

11、inc(t/pi)的過(guò)采樣信號(hào)重構(gòu)sa(t)');grid;subplot(414);plot(t,error);xlabel('t');ylabel('error(t)');title('過(guò)采樣信號(hào)與原信號(hào)的誤差error(t)');grid;2.程序運(yùn)行運(yùn)行結(jié)果圖與分析。圖3.1.2 的過(guò)采樣信號(hào)、重構(gòu)信號(hào)及兩信號(hào)的絕對(duì)誤差圖運(yùn)行分析：將原始信號(hào)分別修改為抽樣函數(shù)Sa(t)、正弦信號(hào)sin(20*pi*t)+cos(20*pi*t)、指數(shù)信號(hào)e-2tu(t)時(shí)，在不同采樣頻率的條件下，可以觀察到對(duì)應(yīng)采樣信號(hào)的時(shí)域和頻域特性，以及重構(gòu)信

12、號(hào)與誤差信號(hào)的變化。三、Sa(t)的欠采樣及重構(gòu)1.Sa(t)的欠采樣及重構(gòu)程序代碼；wm=1;wc=wm; Ts=2.5 *pi/wm;ws=2*pi/Ts;n=-100:100;nTs=n*Ts;f=sinc(nTs/pi);Dt=0.005;t=-20:Dt:20;fa=f*Ts*wc/pi*sinc(wc/pi)*(ones(length(nTs),1)*t-nTs'*ones(1,length(t);error=abs(fa-sinc(t/pi);subplot(411);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)');title('sa(t)=sinc(t/pi)的原信號(hào)');grid;t1=-20:0.5:20;f1=sinc(t1/pi);subplot(412);stem(t1,f1);xlabel('kTs');ylabel('f(kTs)');title('sa(t)=sinc(t/pi)的采樣信號(hào)sa(t)');grid;subplot(413);plot(t,fa)xlabel('t');ylabel('fa(t)');title('