利用圖形的旋轉(zhuǎn)變換解題舉例

1、.利用圖形的旋轉(zhuǎn)變換解題舉例這一輪課程改革,對幾何作了較大幅度的調(diào)整,印象較深之一是加強(qiáng)了"幾何變換"的內(nèi)容,即從變換的角度去認(rèn)識傳統(tǒng)幾何中的證題術(shù)。初中幾何涉及的變換主要有平移、對稱和旋轉(zhuǎn),本文從"旋轉(zhuǎn)"這一角度舉些例子,供大家參考。我們知道,圖形的旋轉(zhuǎn)變換不改變圖形的形狀、大小,只改變圖形的位置,故解題時可充分利用圖形的旋轉(zhuǎn)變換的這一特點,把圖形位置進(jìn)展改變,從而到達(dá)優(yōu)化圖形構(gòu)造,進(jìn)一步整合圖形題設(shè)信息的目的,使較為復(fù)雜的問題得以順利求解。例1、如圖1分別以正方形ABCD的邊AB、AD為直徑畫半圓,假設(shè)正方形的邊長為 ,求陰影部分的面積。解:連AC、

2、BD如右圖,那么繞AD中點將圖中逆時針旋轉(zhuǎn) 到圖中,將圖中繞AB中點順時針方向旋轉(zhuǎn) 到圖中,那么原圖中陰影部分的面積就和DBC的面積相等,所以圖中陰影部分的面積=SDCB = S 正方形ABCD= 。這里我們用旋轉(zhuǎn)變換的方法改變了圖中和的位置,從而順利地完成了計算。例2、如圖所示,在ABC中,AB=AC,BAC= ,D是BC上任一點,試說明 。證法一非旋轉(zhuǎn)法:過A點作AEBC于E,如圖,那么容易證明AE=BE=EC,又BD=BE-DE,DC=CE+DE,所以 , ,所以 = + = ,而在直角三角形ADE中,存在 ,所以 ,這是傳統(tǒng)的證明方法。此題考慮到BD、DC、AD三線段分散在兩個三角形中

3、,而且構(gòu)成平方和的條件不明顯,假設(shè)利用旋轉(zhuǎn)變換,將BD、DC放到一個三角形中,假設(shè)這個三角形是直角三角形,那么創(chuàng)造 就更能接近所證的目的了.證法二旋轉(zhuǎn)法: 將ADC繞A點順時針方向旋轉(zhuǎn) 到AEB,如圖, 連DE, 易知ADE、DBE均為直角三角形,且AE=AD,BE=DC, 所以在RtEBD中有 ,在RtAED中有 ,所以 。例3、 如圖所示,P為正方形內(nèi)一點,且PA=1,BP=2,PC=3,求APB的大小解: 如圖6,將BPC繞B點逆時針旋轉(zhuǎn) 到BEA, 連EP易知PBE= 且AE=PC=3 BE=BP=2,在RtBEP中, ,且EPB= ,在AEP中 ,又 ,所以APE是直角三角形,即AP

4、E= ,APB=APE+EPB= + = ,即APB為 。傳統(tǒng)幾何中,有許多旋轉(zhuǎn)的例子,尤其是正方形和等腰三角形中。如圖7,正方形ABCD的邊長為1,AB、AD上各有一點P、Q,假如APQ的周長為2,求PCQ的度數(shù)。將CDQ繞C點逆時針旋轉(zhuǎn)90°像圖8那樣,立即可得QA+AB+BE=2,由APQ周長為2得 PQ=PE,進(jìn)一步可得CPQCPE,PCQ=PCE,又QCE=90°,所以PCQ=45°。又如圖9,ABC中,AB=AC,P為三角形內(nèi)一點,且APBAPC,求證:PCPB。將APB繞A點逆時針旋轉(zhuǎn)成右圖那樣,不難得到條件APBAPC變成了PQCQPC,從而PCC

5、Q,由旋轉(zhuǎn)關(guān)系,PCPB。最能表達(dá)旋轉(zhuǎn)法的莫過于下面這個問題了:如圖10,四邊形ABCD中,AB=AD,A=C=90°,其面積為16,求A到BC的間隔 。通過旋轉(zhuǎn)變換,將圖10變成圖11,答案可以脫口而出:間隔 為4!觀察內(nèi)容的選擇，我本著先靜后動，由近及遠(yuǎn)的原那么，有目的、有方案的先安排與幼兒生活接近的，能理解的觀察內(nèi)容。隨機(jī)觀察也是不可少的，是相當(dāng)有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛蟲等，孩子一邊觀察，一邊提問，興趣很濃。我提供的觀察對象，注意形象逼真，色彩鮮明，大小適中，引導(dǎo)幼兒多角度多層面地進(jìn)展觀察，保證每個幼兒看得到，看得清?？吹们宀拍苷f得正確。在觀察過程中指導(dǎo)。我注意幫助幼兒學(xué)習(xí)正

6、確的觀察方法，即按順序觀察和抓住事物的不同特征重點觀察，觀察與說話相結(jié)合，在觀察中積累詞匯，理解詞匯，如一次我抓住時機(jī)，引導(dǎo)幼兒觀察雷雨，雷雨前天空急劇變化，烏云密布，我問幼兒烏云是什么樣子的，有的孩子說：烏云像大海的波浪。有的孩子說“烏云跑得飛快。我加以肯定說“這是烏云滾滾。當(dāng)幼兒看到閃電時，我告訴他“這叫電光閃閃。接著幼兒聽到雷聲驚叫起來，我抓住時機(jī)說：“這就是雷聲隆隆。一會兒下起了大雨，我問：“雨下得怎樣?幼兒說大極了，我就舀一盆水往下一倒，作比較觀察，讓幼兒掌握“傾盆大雨這個詞。雨后，我又帶幼兒觀察晴朗的天空，朗讀自編的一首兒歌：“藍(lán)天高，白云飄，鳥兒飛，樹兒搖，太陽公公咪咪笑。這樣抓

7、住特征見景生情，幼兒不僅印象深化，對雷雨前后氣象變化的詞語學(xué)得快，記得牢，而且會應(yīng)用。我還在觀察的根底上，引導(dǎo)幼兒聯(lián)想，讓他們與以往學(xué)的詞語、生活經(jīng)歷聯(lián)絡(luò)起來，在開展想象力中開展語言。如啄木鳥的嘴是長長的，尖尖的，硬硬的，像醫(yī)生用的手術(shù)刀樣，給大樹開刀治病。通過聯(lián)想，幼兒可以生動形象地描繪觀察對象。類似的例子可以舉出許多,這里不再贅述。宋以后，京師所設(shè)小學(xué)館和武學(xué)堂中的老師稱謂皆稱之為“教諭。至元明清之縣學(xué)一律循之不變。明朝入選翰林院的進(jìn)士之師稱“教習(xí)。到清末，學(xué)堂興起，各科老師仍沿用“教習(xí)一稱。其實“教諭在明清時還有學(xué)官一意，即主管縣一級的教育生員。而相應(yīng)府和州掌管教育生員者那么謂“教授和“學(xué)正?！敖淌凇皩W(xué)正和“教諭的副手一律稱“訓(xùn)導(dǎo)。于民間，特別是漢代以后，對于在“?；颉皩W(xué)中傳授經(jīng)學(xué)者也稱為“經(jīng)師。在一些特定的講學(xué)場合，比方書院、皇室，也稱老師為“院長、西席、講席等。綜上可見,正確利用圖形的旋轉(zhuǎn)變換可大大進(jìn)步解題效率,不過在使用這一方法解題時還需注意圖形旋轉(zhuǎn)變換的根底,即存在相等的線段,故這種方法一般常用于等腰三角形,正方形圖形中。死記硬背是一種傳統(tǒng)的教學(xué)方式,在我國有悠久的歷史。但隨著素質(zhì)教育的