汽車懸架雙質量系統(tǒng)的傳遞特性仿真研究

1、實例13 汽車懸架雙質量系統(tǒng)的傳遞特性仿真研究根據汽車理論可知懸架雙質量系統(tǒng)微分方程為 (13-1) 對式（13-3）和式（13-4）進行拉氏變換并整理，可得 (13-2)由上式可得和之間的傳遞函數為 (13-3)另將(13-3)代入(13-2),可得到與路面激勵q的傳遞函數為 (13-4)13.1 車身位移z2與路面激勵位移q的傳遞函數現在可分析車輪與車身雙質量系統(tǒng)的傳遞函數。由式（13-3）（13-4）相乘可以得到車身位移z2與路面激勵位移q的傳遞函數為 （13-5）由于傳遞函數分母為高階多項式相乘，計算量比較大，因此可利用MATLAB多項式計算函數求出分母N的系數。具體程序如下：m2=3

2、17.5;m1=45.4;k=22000;kt=192e3;c=1.5e3;a1=c k;a2=m2 c k;a3=m1 c k+kt;n1=conv(a3,a2);N1=poly2sym(n1);n2=conv(a1,a1);N2=poly2sym(n2);nn=N1-N2;pretty(nn);a1=c*kt k*kt;den=28829/2,544350,68943800,288000000,4224000000;sys=tf(a1,den);w=0.1:.1:100;>> figure(1)>> h,w1=freqs(a1,den,w);>> fre

3、qs(a1,den,w);運行可得到傳遞函數表達式以及傳遞函數的頻率響應特性圖：Transfer function: 2.88e008 s + 4.224e009-1.441e004 s4 + 544350 s3 + 6.894e007 s2 + 2.88e008 s + 4.224e009 由圖（13-1）中的頻率響應幅值（Magnitude）可以清楚的看到，在0.1到100rad/s的頻率范圍內，有兩個明顯的共振峰值，由汽車理論可知，這兩個共振峰值是由汽車雙質量系統(tǒng)兩個主頻率和決定的。下面進一步具體計算汽車雙質量系統(tǒng)兩個主頻率和。具體程序如下：m2=317.5;m1=45.4;k=2200

4、0;kt=192e3;c=1.5e3;a1=c*kt k*kt;den=28829/2,544350,68943800,288000000,4224000000;sys=tf(a1,den);w=0.1:.1:100;h,w1=freqs(a1,den,w);freqs(a1,den,w);title('z2/z0')mag=abs(h);margin(sys);j=0;for i=1:length(w)-1;if (mag(i+1)-mag(i)<0&(mag(i)-mag(i-1)>0;j=j+1;magmax(1)=mag(i);wm(1)=w(i);

5、elseif(mag(i+1)-mag(i)<0&abs(mag(i)-mag(i-1)<0.0001;j=j+1;magmax(2)=mag(i);wm(2)=w(i);endendwm1=wm(1)/2/pi;wm2=wm(2)/2/pi;magm1=magmax(1);magm2=magmax(2);>> i1=wm1/f0;>> i2=wm2/f0;>> fprintf('汽車雙質量懸架系統(tǒng)主頻率1（低頻）w1=%3.3f HZ n',wm1)汽車雙質量懸架系統(tǒng)主頻率1（低頻）w1=1.210 HZ >>

6、; fprintf('汽車雙質量懸架系統(tǒng)主頻率2（高頻）w2=%3.3f HZ n',wm2)汽車雙質量懸架系統(tǒng)主頻率2（高頻）w2=9.390 HZ >> fprintf('汽車雙質量懸架系統(tǒng) 低頻共振峰值 Mag1=%3.3f n',magm1)汽車雙質量懸架系統(tǒng) 低頻共振峰值 Mag1=2.413 >> fprintf('汽車雙質量懸架系統(tǒng) 高頻共振峰值 Mag2=%3.3f n',magm2)汽車雙質量懸架系統(tǒng) 高頻共振峰值 Mag2=0.155 >> fprintf('主頻率1（低頻）w1與車

7、身系統(tǒng)固有頻率f0之比i1=%3.3f n',i1)主頻率1（低頻）w1與車身系統(tǒng)固有頻率f0之比i1=0.913 >> fprintf('主頻率2（高頻）w2與車身系統(tǒng)固有頻率f0之比i2=%3.3f n',i2)主頻率2（高頻）w2與車身系統(tǒng)固有頻率f0之比i2=7.088 由仿真計算結果可以看出，汽車雙質量懸架系統(tǒng)主頻率（低頻）與汽車車身系統(tǒng)固有頻率f0比較接近，而汽車雙質量懸架系統(tǒng)主頻率（高頻）與汽車車輪系統(tǒng)固有頻率f1比較接近。由上圖容易得出系統(tǒng)參數。幅值穩(wěn)定裕度：Gm=16.9dB。穿越頻率：g=65rad/s。相位角穩(wěn)定裕度：Pm=65.9度。

8、剪切頻率：c=11.6rad/s。13.2車身加速度對車輪速度的傳遞函數車身加速度對車輪速度的傳遞函數H1(s)為 (13-6)式(13-6)可理解為車身加速度與車輪加速度的傳遞函數H1(s)是傳遞函數G(s)與環(huán)節(jié)(s+0)串聯形成，現在利用matlab進行傳遞函數H1(s)的頻率響應分析。具體程序如下：m2=317.5;m1=45.4;k=22000;kt=192e3;c=1.5e3;a1=c k;a2=m2 c k;a3=m1 c k+kt;n1=conv(a3,a2);N1=poly2sym(n1);n2=conv(a1,a1);N2=poly2sym(n2);nn=N1-N2;pre

9、tty(nn);a1=c*kt k*kt;den=28829/2,544350,68943800,288000000,4224000000;sys=tf(a1,den)*tf(1,0,0,1);w0=(k/m2)0.5;f0=w0/2/pi;wt=(k+kt)/m1)0.5;ft=wt/2/pi;kexi=c/2/sqrt(k*m2);w=0.1:.1:100;figure(1)mag,phase=bode(sys,w);margin(sys);grid onj=0;for i=1:length(w)-1;if (mag(i+1)-mag(i)<0&(mag(i)-mag(i-1

10、)>0;j=j+1;magmax(1)=mag(i);wm(j)=w(i);elseif(mag(i+1)-mag(i)<0&abs(mag(i)-mag(i-1)<0.0001;j=j+1;magmax(2)=mag(i);wm(2)=w(i);endendwm1=wm(1)/2/pi;wm2=wm(2)/2/pi;magm1=magmax(1);magm2=magmax(2);i1=wm1/f0;i2=wm2/f0; fprintf('汽車車身系統(tǒng)固有頻率f0=%3.3f HZ n',f0)fprintf('汽車車輪系統(tǒng)固有頻率ft=%3.

11、3f HZ n',ft)fprintf('汽車車身加速度對車輪速度主頻率1 (低頻)w1=%3.3f n',w1)fprintf('汽車車身加速度對車輪速度主頻率2（高頻)w2=%3.3f n',w2)fprintf('汽車雙質量懸架系統(tǒng) 低頻共振峰值 Mag1=%3.3f n',magm1)fprintf('汽車雙質量懸架系統(tǒng) 高頻共振峰值 Mag2=%3.3f n',magm2)fprintf('主頻率1（低頻）w1與車身系統(tǒng)固有頻率f0之比i1=%3.3f n',i1)fprintf('主頻率

12、2（高頻）w2與車身系統(tǒng)固有頻率f0之比i2=%3.3f n',i2)運行程序可以得到下述結果和圖13-3：Transfer function: 2.88e008 s2 + 4.224e009 s-1.441e004 s4 + 544350 s3 + 6.894e007 s2 + 2.88e008 s + 4.224e009 汽車車身系統(tǒng)固有頻率f0=1.325 HZ 汽車車輪系統(tǒng)固有頻率ft=10.927 HZ 汽車車身加速度對車輪速度主頻率1 (低頻)w1=1.289 汽車車身加速度對車輪速度主頻率2（高頻)w2=10.027 汽車雙質量懸架系統(tǒng) 低頻共振峰值 Mag1=9.364

13、 汽車雙質量懸架系統(tǒng) 高頻共振峰值 Mag2=9.364 主頻率1（低頻）w1與車身系統(tǒng)固有頻率f0之比i1=0.973 主頻率2（高頻）w2與車身系統(tǒng)固有頻率f0之比i2=7.568 圖13-3 車身加速度對車輪速度的傳遞函數相對動載荷，靜載荷為.則對q的傳遞函數為將上式代入式（13-8）可以寫為 （13-9）式（13-9）是非常復雜的多項式，可以先利用MATLAB符號計算方法先將傳遞函數分子分母計算出來后再進行頻率響應仿真分析。具體程序如下：m2=317.5;m1=45.4;k=22000;kt=192e3;c=1.5e3;a1=c k;a2=m2 c k;a3=m1 c k+kt;n1=

14、conv(a3,a2);N1=poly2sym(n1);n2=conv(a1,a1);N2=poly2sym(n2);N=N1-N2;pretty(N);w0=(k/m2)0.5;f0=w0/2/pi;wt=(k+kt)/m1)0.5;ft=wt/2/pi;kexi=c/2/sqrt(k*m2);s2=m1*k+m2*(k+kt);num2=m2*kt,c*kt,k*kt;num2=poly2sym(num2);num=collect(num2-N);運行程序可以得到一下結果：num =- (28829*x4)/2 - 544350*x3 - 7983800*x2即傳遞函數分子的系數矩陣為nu

15、m=-28829/2,-544350,-7983800,0,0.*kt./(m1+m2)./9.8應該注意的是分子系數矩陣的一次項和常數項皆為0。結合第13.1節(jié)計算得到的傳遞函數分母系數，就容易得到Fd/G對q的傳遞函數H2(s)。具體程序如下：num=-28829/2 -544350 -7983800 0 0.*kt./(m1+m2)./9.8;den=28829/2 544350 68943800 288000000 4224000000;sys=tf(num,den);運算得到以下結果：Transfer function: -7.782e005 s4 - 2.939e007 s3 -

16、4.31e008 s2-1.441e004 s4 + 544350 s3 + 6.894e007 s2 + 2.88e008 s + 4.224e009由此得到了對動載傳遞函數H2(s)，應用與第13.1節(jié)相同的算法，可以很容易地得到傳遞函數的頻率響應及共振頻率值等性能指標。具體程序如下：m2=317.5;m1=45.4;k=22000;kt=192e3;c=1.5e3;a1=c k;a2=m2 c k;a3=m1 c k+kt;n1=conv(a3,a2);N1=poly2sym(n1);n2=conv(a1,a1);N2=poly2sym(n2);N=N1-N2;pretty(N)w0=(

17、k/m2)0.5;f0=w0/2/pi;wt=(k+kt)/m1)0.5;ft=wt/2/pi;kexi=c/2/sqrt(k*m2);s2=m1*k+m2*(k+kt);num2=m2*kt,c*kt,k*kt;Num2=poly2sym(num2);Num=collect(Num2-N)num=-28829/2 -544350 -7983800,0,0*kt/(m1+m2)/9.8den=28829/2,544350,68943800,288000000,4224000000;sys=tf(num,den)w=0.1:.1:100;figure(1)h,w1=freqs(num,den,w

18、);bode(sys);mag=abs(h);j=0;for i=1:length(w)-1;if(mag(i+1)-mag(i)<0&(mag(i)-mag(i-1)>0;j=j+1;magmax(j)=mag(i);wm(j)=w(i);endendwm1=wm(1)/2/pi;wm2=wm(2)/2/pi;magm1=magmax(1);magm2=magmax(2);i1=wm1/f0;i2=wm2/f0;fprintf('汽車相對動載對車輪速度主頻率1(低頻)w1=%3.3fHZn',wm1)fprintf('汽車相對動載對車輪速度主頻率2

19、(高頻)w2=%3.3fHZn',wm2)fprintf('汽車雙質量懸架系統(tǒng)低頻共振峰值 Mag1=%3.3f n',magm1)fprintf('汽車雙質量懸架系統(tǒng)高頻共振峰值 Mag2=%3.3f n',magm2)fprintf('主頻率1（低頻）w1與車身系統(tǒng)固有頻率f0之比i1=%3.3fn',i1)fprintf('主頻率1（高頻）w1與車身系統(tǒng)固有頻率f0之比i2=%3.3fn',i2)運行程序可得到如下結果及圖13-4。汽車相對動載對車輪速度主頻率1(低頻)w1=1.369HZ汽車相對動載對車輪速度主頻率

20、2(高頻)w2=11.443HZ汽車雙質量懸架系統(tǒng)低頻共振峰值 Mag1=14.663 汽車雙質量懸架系統(tǒng)高頻共振峰值 Mag2=116.700 主頻率1（低頻）w1與車身系統(tǒng)固有頻率f0之比i1=1.033主頻率1（高頻）w1與車身系統(tǒng)固有頻率f0之比i2=8.63813.3懸架動擾度對q的傳遞特性仿真懸架動擾度對q的傳遞函數為將式（13-6）與式（13-7）代入上式，得 （13-10）式（13-10）是一個非常復雜的多項式。與前兩節(jié)計算方法相同，可以利用MATLAB符號計算方法先將傳遞函數分子分母系數計算出來后，再進行頻率響應仿真分析。具體程序如下：m2=317.5;m1=45.4;k=2

21、2000;kt=192e3;c=1.5e3;a1=c k;a2=m2 c k;a3=m1 c k+kt;n1=conv(a3,a2);N1=poly2sym(n1);n2=conv(a1,a1);N2=poly2sym(n2);nn=N1-N2;pretty(nn)w0=(k/m2)0.5;f0=w0/2/pi;wt=(k+kt)/m1)0.5;ft=wt/2/pi;kexi=c/2/sqrt(k*m2);s2=m1*k+m2*(k+kt);a1=c*kt k*kt;a2=m2*kt c*kt k*kt;A1=poly2sym(a1);A2=poly2sym(a2);Num=collect(A

22、1-A2);運行程序可得到一下結果：Num = (-60960000)*x2即傳遞函數分子的系數矩陣為num=-60960000,0,0.*kt應該注意的是分子系數矩陣的一次項和常數項皆為0。結合第13.1節(jié)計算得到的傳遞函數分母系數，就容易得到fd對q的傳遞函數H3(s)。具體程序如下：num=-60960000,0,0.*kt;den=28829/2,544350,68943800,288000000,4224000000;sys=tf(num,den);運行程序可得到如下結果：Transfer function: -1.17e013 s2-1.441e004 s4 + 544350 s3

23、 + 6.894e007 s2 + 2.88e008 s + 4.224e009由此得到了對動載傳遞函數H3(s)，應用與第13.1節(jié)相同的算法，可以很容易地得到傳遞函數的頻率響應及共振頻率值等性能指標。具體程序如下：w=0.1:.1:100;h,w1=freqs(num,den,w);freqs(num,den,w);mag=abs(h);bode(sys);j=0;for i=1:length(w)-1;if(mag(i+1)-mag(i)<0&&(mag(i)-mag(i-1)>0;j=j+1;magmax(j)=mag(i);wm(j)=w(i);enden

24、dwm1=wm(1)/2/pi;wm2=wm(2)/2/pi;magm1=magmax(1);magm2=magmax(2);i1=wm1/f0;i2=wm2/f0;fprintf('汽車車身部分阻尼比 kexi=%3.3f n',kexi)fprintf('汽車車身系統(tǒng)固有頻率f0=%3.3f HZn',f0)fprintf('汽車車輪系統(tǒng)固有頻率ft=%3.3f HZn',ft)fprintf('汽車懸架撓度對車輪速度主頻率1（低頻）w1=%3.3f n',wm1)fprintf('汽車懸架撓度對車輪速度主頻率2（高頻

25、）w2=%3.3f n',wm2)fprintf('主頻率1（低頻）w1與車身系統(tǒng)固有頻率f0之比i1=%3.3fn',i1)fprintf('主頻率1（高頻）w1與車身系統(tǒng)固有頻率f0之比i2=%3.3fn',i2)運行結果如下：汽車車身部分阻尼比 kexi=0.284 汽車車身系統(tǒng)固有頻率f0=1.325 HZ汽車車輪系統(tǒng)固有頻率ft=10.927 HZ汽車懸架撓度對車輪速度主頻率1（低頻）w1=1.353 汽車懸架撓度對車輪速度主頻率2（高頻）w2=10.059 主頻率1（低頻）w1與車身系統(tǒng)固有頻率f0之比i1=1.021主頻率1（高頻）w1與車身系統(tǒng)固有頻率f0之比i2=7.5