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文檔簡介

1、有理數(shù)基礎(chǔ)知識正數(shù)和負數(shù)正數(shù)和負數(shù)的概念負數(shù) 比0小的數(shù);正數(shù) 比0大的數(shù) 0既不是正數(shù),也不是負數(shù)注意:字母a可以表示任意數(shù),當a表示正數(shù)時,-a是負數(shù);當a表示負數(shù)時,-a是正數(shù);當a表示0時,-a仍是0。(如果出判斷題為:帶正號的數(shù)是正數(shù),帶負號的數(shù)是負數(shù),這種說法是錯誤的,例如+a,-a就不能做出簡單判斷)正數(shù)有時也可以在前面加“+”,有時“+”省略不寫。所以省略“+”的正數(shù)的符號是正號。2. 具有相反意義的量若正數(shù)表示某種意義的量,則負數(shù)可以表示具有與該正數(shù)相反意義的量,比如:零上8表示為:+8;零下8表示為:-83.0表示的意義0表示“ 沒有”,如教室里有0個人,就是說教室里沒有人

2、;0是正數(shù)和負數(shù)的分界線,0既不是正數(shù),也不是負數(shù)有理數(shù)1. 有理數(shù)的概念正整數(shù)、0、負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)(0和正整數(shù)統(tǒng)稱為自然數(shù))正分數(shù)和負分數(shù)統(tǒng)稱為分數(shù)正整數(shù),0,負整數(shù),正分數(shù),負分數(shù)都可以寫成分數(shù)的形式,這樣的數(shù)稱為有理數(shù)。理解:只有能化成分數(shù)的數(shù)才是有理數(shù)。是無限不循環(huán)小數(shù),不能寫成分數(shù)形式,不是有理數(shù)。有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)都可化成分數(shù),都是有理數(shù)。注意:引入負數(shù)以后,奇數(shù)和偶數(shù)的范圍也擴大了,像-2,-4,-6,-8也是偶數(shù),-1,-3,-5也是奇數(shù)。2. 有理數(shù)的分類總結(jié):正整數(shù)、0統(tǒng)稱為非負整數(shù)(也叫自然數(shù)) 負整數(shù)、0統(tǒng)稱為非正整數(shù) 正有理數(shù)、0統(tǒng)稱為非負有理數(shù) 負有理數(shù)、0統(tǒng)

3、稱為非正有理數(shù)四對定義:正負數(shù)負數(shù) 比0小的數(shù);正數(shù) 比0大的數(shù);0既不是正數(shù),也不是負數(shù)奇偶數(shù)整數(shù)中,能表示成2的整數(shù)倍的數(shù),都是偶數(shù);否則就是奇數(shù)。注意:0是偶數(shù)非正數(shù)、非負數(shù)非正數(shù) 就是 0 和 所有負數(shù) 的合稱。非負數(shù) 就是 0 和 所有正數(shù) 的合稱。有理數(shù)、無理數(shù)有理數(shù):有理數(shù)分為正有理數(shù),負有理數(shù),0。有理數(shù)都可以化為小數(shù),其中整數(shù)可以看作小數(shù)點后面是零的小數(shù),只要是無限循環(huán)小數(shù)的都叫有理數(shù)無理數(shù):無限不循環(huán)小數(shù)。1. 正負數(shù)例1:按要求選擇下列各數(shù): 8,3,0,-1.5,-0.037,+0.62,-3,+2,-7屬于整數(shù)集合的有_ 屬于分數(shù)集合的有_屬于正數(shù)集合的有_ 屬于負數(shù)

4、集合的有_屬于正整數(shù)集合的有_ 屬于負整數(shù)集合的有_正分數(shù)集合的有_ 屬于負分數(shù)集合的有_屬于非整數(shù)集合的有_ 屬于非負數(shù)集合的有_屬于非負整數(shù)集合的有_ 屬于非正整數(shù)集合的有_ 例2 主動學習網(wǎng)飲料公司生產(chǎn)的一種瓶裝飲料外包裝上印有“600±30(mL)”字樣,請問“±30mL”是 什么含義?質(zhì)檢局對該產(chǎn)品抽查5瓶,容量分別為603mL,611mL,589mL,573mL,627mL,問抽查產(chǎn)品的容量是否合格?練習: 1.若密云水庫的水位比標準水位高出3cm記為3cm,某月的水位記錄中顯示,1日水位為5cm,2日水位為1cm,3日水位為4cm,則( )A.1日與2日水位相

5、差6cm B.1日與3日水位相差1cm C.2日與3日水位相差5cm D.均不正確2.籃球的質(zhì)量,超過標準質(zhì)量的克數(shù)記為正數(shù),不足標準質(zhì)量的克數(shù)記為負數(shù),檢查的結(jié)果如下表:籃球編號12345與標準質(zhì)量的差(克)+4+7-3-8+9最接近標準質(zhì)量的是號籃球;質(zhì)量最大的籃球比質(zhì)量最小的籃球重克.3.判斷:1)最小的自然數(shù)是1;2)最小的整數(shù)是1;3)一個有理數(shù)的倒數(shù)等于它本身,則這個數(shù)是1;數(shù)軸數(shù)軸的概念規(guī)定了原點,正方向,單位長度的直線叫做數(shù)軸。注意:數(shù)軸是一條向兩端無限延伸的直線;原點、正方向、單位長度是數(shù)軸的三要素,三者缺一不可;同一數(shù)軸上的單位長度要統(tǒng)一;數(shù)軸的三要素都是根據(jù)實際需要規(guī)定的

6、。2.數(shù)軸上的點與有理數(shù)的關(guān)系所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點來表示,正有理數(shù)可用原點右邊的點表示,負有理數(shù)可用原點左邊的點表示,0用原點表示。數(shù)軸上的點不都表示有理數(shù),也就是說,有理數(shù)與數(shù)軸上的點不是一一對應(yīng)關(guān)系。(如,數(shù)軸上的點不是有理數(shù))3.利用數(shù)軸表示兩數(shù)大小在數(shù)軸上數(shù)的大小比較,右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大;正數(shù)都大于0,負數(shù)都小于0,正數(shù)大于負數(shù);兩個負數(shù)比較,距離原點遠的數(shù)比距離原點近的數(shù)小。4.數(shù)軸上特殊的最大(小)數(shù)最小的自然數(shù)是0,無最大的自然數(shù)最小的正整數(shù)是1,無最大的正整數(shù)最大的負整數(shù)是-1,無最小的負整數(shù)5.a可以表示什么數(shù)a>0表示a是正數(shù);反之,a是正數(shù),則a>

7、;0;a<0表示a是負數(shù);反之,a是負數(shù),則a<0a=0表示a是0;反之,a是0,則a=06.數(shù)軸上點的移動規(guī)律根據(jù)點的移動,向左移動幾個單位長度則減去幾,向右移動幾個單位長度則加上幾,從而得到所需的點的位置。2.數(shù) 軸例3在數(shù)軸上表示下列各數(shù),再按大小順序用“”號連接起來. -4,0,-4.5,-,2,3.5,1,例4如右圖所示,數(shù)軸的一部分被墨水污染了,被污染的部分內(nèi)含有的整數(shù)為 練習:1、 實數(shù)在數(shù)軸上表示如圖所示,則結(jié)論錯誤的是 A. B. C. D.2. 數(shù)軸上有一點到原點的距離是5.5,那么這個點表示的數(shù)是 _.3. 一個點從數(shù)軸的原點開始,先向右移3個單位長度,再向左

8、移動5個單位長度,則終點表示的數(shù)是_.4.數(shù)軸上點A對應(yīng)的數(shù)為-3,那么與A相距1個長度的點B所對應(yīng)的數(shù)是_.相反數(shù)相反數(shù)只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù),其中一個是另一個的相反數(shù),0的相反數(shù)是0。注意:相反數(shù)是成對出現(xiàn)的;相反數(shù)只有符號不同,若一個為正,則另一個為負;0的相反數(shù)是它本身;相反數(shù)為本身的數(shù)是0。2.相反數(shù)的性質(zhì)與判定任何數(shù)都有相反數(shù),且只有一個;0的相反數(shù)是0;互為相反數(shù)的兩數(shù)和為0,和為0的兩數(shù)互為相反數(shù),即a,b互為相反數(shù),則a+b=03.相反數(shù)的幾何意義在數(shù)軸上與原點距離相等的兩點表示的兩個數(shù),是互為相反數(shù);互為相反數(shù)的兩個數(shù),在數(shù)軸上的對應(yīng)點(0除外)在原點兩旁,并且

9、與原點的距離相等。0的相反數(shù)對應(yīng)原點;原點表示0的相反數(shù)。說明:在數(shù)軸上,表示互為相反數(shù)的兩個點關(guān)于原點對稱。4.相反數(shù)的求法求一個數(shù)的相反數(shù),只要在它的前面添上負號“-”即可求得(如:5的相反數(shù)是-5);求多個數(shù)的和或差的相反數(shù)是,要用括號括起來再添“-”,然后化簡(如;5a+b的相反數(shù)是-(5a+b)?;喌?5a-b);求前面帶“-”的單個數(shù),也應(yīng)先用括號括起來再添“-”,然后化簡(如:-5的相反數(shù)是-(-5),化簡得5)5.相反數(shù)的表示方法一般地,數(shù)a 的相反數(shù)是-a ,其中a是任意有理數(shù),可以是正數(shù)、負數(shù)或0。當a>0時,-a<0(正數(shù)的相反數(shù)是負數(shù))當a<0時,-

10、a>0(負數(shù)的相反數(shù)是正數(shù))當a=0時,-a=0,(0的相反數(shù)是0)6.多重符號的化簡多重符號的化簡規(guī)律:“+”號的個數(shù)不影響化簡的結(jié)果,可以直接省略;“-”號的個數(shù)決定最后化簡結(jié)果;即:“-”的個數(shù)是奇數(shù)時,結(jié)果為負,“-”的個數(shù)是偶數(shù)時,結(jié)果為正。4. 相反數(shù) 例5(1)3與 互為相反數(shù);0的相反數(shù)是 .(2)的相反數(shù)是 ,的相反數(shù)是 ,的相反數(shù)是 . (3)已知那么的相反數(shù)是 .已知,則a的相反數(shù)是 .例6如果,化簡下列各數(shù)的符號,并說出是正數(shù)還是負數(shù)(1) (2)(3)(4)例7一個數(shù)的相反數(shù)的倒數(shù)是-4,這個數(shù)是_如果與-3互為相反數(shù),那么等于( ) 絕對值絕對值的幾何定義一般

11、地,數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做a的絕對值,記作|a|。2.絕對值的代數(shù)定義一個正數(shù)的絕對值是它本身; 一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù); 0的絕對值是0.可用字母表示為:如果a>0,那么|a|=a; 如果a<0,那么|a|=-a; 如果a=0,那么|a|=0。可歸納為:a0,<> |a|=a (非負數(shù)的絕對值等于本身;絕對值等于本身的數(shù)是非負數(shù)。)a0,<> |a|=-a (非正數(shù)的絕對值等于其相反數(shù);絕對值等于其相反數(shù)的數(shù)是非正數(shù)。)3.絕對值的性質(zhì)任何一個有理數(shù)的絕對值都是非負數(shù),也就是說絕對值具有非負性。所以,a取任何有理數(shù),都有|a|0。0的絕對

12、值是0;絕對值是0的數(shù)是0.即:a=0 <> |a|=0;一個數(shù)的絕對值是非負數(shù),絕對值最小的數(shù)是0.即:|a|0;任何數(shù)的絕對值都不小于原數(shù)。即:|a|a;絕對值是相同正數(shù)的數(shù)有兩個,它們互為相反數(shù)。即:若|x|=a(a>0),則x=±a;互為相反數(shù)的兩數(shù)的絕對值相等。即:|-a|=|a|或若a+b=0,則|a|=|b|;絕對值相等的兩數(shù)相等或互為相反數(shù)。即:|a|=|b|,則a=b或a=-b;若幾個數(shù)的絕對值的和等于0,則這幾個數(shù)就同時為0。即|a|+|b|=0,則a=0且b=0。(非負數(shù)的常用性質(zhì):若幾個非負數(shù)的和為0,則有且只有這幾個非負數(shù)同時為0)4.有理

13、數(shù)大小的比較利用數(shù)軸比較兩個數(shù)的大?。簲?shù)軸上的兩個數(shù)相比較,左邊的總比右邊的小;利用絕對值比較兩個負數(shù)的大?。簝蓚€負數(shù)比較大小,絕對值大的反而??;異號兩數(shù)比較大小,正數(shù)大于負數(shù)。5.絕對值的化簡當a0時 |a|=a 當a0時 |a|=-a 6.已知一個數(shù)的絕對值,求這個數(shù)一個數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點到原點的距離,一般地,絕對值為同一個正數(shù)的有理數(shù)有兩個,它們互為相反數(shù),絕對值為0的數(shù)是0,沒有絕對值為負數(shù)的數(shù)。5. 絕對值 例7:求絕對值.:(1)0.5; (2);(3)(3);(4)1.5.例8已知x=4,y=6,求代數(shù)式x+y的值.練習:1、 的倒數(shù)是 2.計算=_. 3.絕對值

14、不大于3的整數(shù)有 4.已知有理數(shù)的加減法1.有理數(shù)的加法法則同號兩數(shù)相加,取相同的符號,并把絕對值相加;絕對值不相等的異號兩數(shù)相加,取絕對值較大的加數(shù)的符號,并用較大的絕對值減去較小的絕對值;互為相反數(shù)的兩數(shù)相加,和為零;一個數(shù)與零相加,仍得這個數(shù)。2.有理數(shù)加法的運算律加法交換律:a+b=b+a加法結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c)在運用運算律時,一定要根據(jù)需要靈活運用,以達到化簡的目的,通常有下列規(guī)律:互為相反數(shù)的兩個數(shù)先相加“相反數(shù)結(jié)合法”;符號相同的兩個數(shù)先相加“同號結(jié)合法”;分母相同的數(shù)先相加“同分母結(jié)合法”;幾個數(shù)相加得到整數(shù),先相加“湊整法”;整數(shù)與整數(shù)、小數(shù)與小數(shù)相加“同形

15、結(jié)合法”。3.加法性質(zhì)一個數(shù)加正數(shù)后的和比原數(shù)大;加負數(shù)后的和比原數(shù)?。患?后的和等于原數(shù)。即 當b>0時,a+b>a 當b<0時,a+b<a 當b=0時,a+b=a4.有理數(shù)減法法則減去一個數(shù),等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。用字母表示為:a-b=a+(-b)。5.有理數(shù)加減法統(tǒng)一成加法的意義在有理數(shù)加減法混合運算中,根據(jù)有理數(shù)減法法則,可以將減法轉(zhuǎn)化成加法后,再按照加法法則進行計算。在和式里,通常把各個加數(shù)的括號和它前面的加號省略不寫,寫成省略加號的和的形式。如:(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.6.有理數(shù)加減混合運算中運用結(jié)合律時的一些技巧:.把符

16、號相同的加數(shù)相結(jié)合(同號結(jié)合法).把和為整數(shù)的加數(shù)相結(jié)合 (湊整法).把分母相同或便于通分的加數(shù)相結(jié)合(同分母結(jié)合法).既有小數(shù)又有分數(shù)的運算要統(tǒng)一后再結(jié)合(先統(tǒng)一后結(jié)合).把帶分數(shù)拆分后再結(jié)合(先拆分后結(jié)合).分組結(jié)合2-3-4+5+6-7-8+9+66-67-68+69.先拆項后結(jié)合(1+3+5+7+99)-(2+4+6+8+100)有理數(shù)的加法(1)67+(-73); (2)(-84)+(-59); (3)33+48; (4)(-56)+37(5) (-0.9)+(-2.7); (6)3.8+(-8.4); (7)(-0.5)+3;(8)3.29+1.78; 有理數(shù)的減法(1) -30-

17、(+8)-(+6)-(-17) (2) -15-(-2)-(-5)(3) -0.8-(-0.08)-(-0.8)-(-0.92)-(-9) (4)10-(-8)+(-3)-(-5) (5)-1-(6-9)-(1-13)有理數(shù)的混合運算(有括號的先算括號里面的) (1)25.3(7.3)(13.7)7.3 (2)(3) 4.273.80.731.2 (4)33.110.7(22.9)(5)(-6)-(+6)-(-7) (6)0-(+8)+(-27)-(+5)(7) (-)+(+0.25)+(-)-(+) (8) (+3)+(+4)-(+1)+(-3)(9)10-(-8)+(-3)-(-5) (1

18、0)-1-(6-9)-(1-13)(11) 1.8-(-1.2+2.1)-0.2-(-1.5) (12) -(-)-(-)+(-)有理數(shù)的乘除法1.有理數(shù)的乘法法則法則一:兩數(shù)相乘,同號得正,異號得負,并把絕對值相乘;(“同號得正,異號得負”專指“兩數(shù)相乘”的情況,如果因數(shù)超過兩個,就必須運用法則三)法則二:任何數(shù)同0相乘,都得0;法則三:幾個不是0的數(shù)相乘,負因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時,積是正數(shù);負因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時,積是負數(shù);法則四:幾個數(shù)相乘,如果其中有因數(shù)為0,則積等于0.2.倒數(shù)乘積是1的兩個數(shù)互為倒數(shù),其中一個數(shù)叫做另一個數(shù)的倒數(shù),用式子表示為a·=1(a0),就是說a和互為倒數(shù)

19、,即a是的倒數(shù),是a的倒數(shù)。注意:0沒有倒數(shù);求假分數(shù)或真分數(shù)的倒數(shù),只要把這個分數(shù)的分子、分母點顛倒位置即可;求帶分數(shù)的倒數(shù)時,先把帶分數(shù)化為假分數(shù),再把分子、分母顛倒位置;正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù),負數(shù)的倒數(shù)是負數(shù)。(求一個數(shù)的倒數(shù),不改變這個數(shù)的性質(zhì));倒數(shù)等于它本身的數(shù)是1或-1,不包括0。3.有理數(shù)的乘法運算律乘法交換律:ab=ba乘法結(jié)合律:(ab)c=a(bc).乘法分配律:a(b+c)=ab+ac4.有理數(shù)的除法法則(1)除以一個不等0的數(shù),等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。(2)兩數(shù)相除,同號得正,異號得負,并把絕對值相除。0除以任何一個不等于0的數(shù),都得05.有理數(shù)的乘除混合運算(1)乘除混合

20、運算往往先將除法化成乘法,然后確定積的符號,最后求出結(jié)果。(2)有理數(shù)的加減乘除混合運算,如無括號指出先做什么運算,則按照先乘除,后加減的順序進行。有理數(shù)的乘除1. (1)5×(4)= ;(2)(-6)×4= ;(3)(-7)×(-1)= ;(4)(-5)×0 = ; (5) ;(6) ;(7)(-3)× 2、填空:(1)-7的倒數(shù)是 ,它的相反數(shù)是 ,它的絕對值是 ;(2) 的倒數(shù)是 ,-2.5的倒數(shù)是 ;(3) 倒數(shù)等于它本身的有理數(shù)是 。(4) 的倒數(shù)的相反數(shù)是 。3、計算:(1); (2)(-6)×5×;(3)(-4

21、)×7×(-1)×(-0.25) (4)(5); (6);(7) (8)。(9) (10)。(11) (12)(13)(85)×(25)×(4); (14)9×(11)+12×(9)有理數(shù)的除法(1) ;(2)= ;(3) ;(4) ;(5) ;(6) .2、化簡下列分數(shù):(1);(2);(3);(4).3、計算:(1) (2) (3);(4) (5) (6); (7) (8);(9) (10).(11)11+(22)3×(11) 有理數(shù)的乘方1.乘方的概念求n 個相同因數(shù)的積的運算,叫做乘方,乘方的結(jié)果叫做冪。在

22、 中,a 叫做底數(shù),n 叫做指數(shù)。2.乘方的性質(zhì)(1)負數(shù)的奇次冪是負數(shù),負數(shù)的偶次冪的正數(shù)。(2)正數(shù)的任何次冪都是正數(shù),0的任何正整數(shù)次冪都是0。一選擇題1、118表示( )A、11個8連乘 B、11乘以8 C、8個11連乘 D、8個別1相加2、32的值是( )A、9 B、9 C、6 D、63、下列各對數(shù)中,數(shù)值相等的是( )A、 32 與 23 B、23 與 (2)3 C、32 與 (3)2 D、(3×2)2與3×224、下列說法中正確的是( )A、23表示2×3的積 B、任何一個有理數(shù)的偶次冪是正數(shù) C、32 與 (3)2互為相反數(shù) D、一個數(shù)的平方是,這

23、個數(shù)一定是5、下列各式運算結(jié)果為正數(shù)的是( )A、24×5 B、(12)×5 C、(124)×5 D、1(3×5)66、如果一個有理數(shù)的平方等于(2)2,那么這個有理數(shù)等于( )A、2 B、2 C、4 D、2或27、一個數(shù)的立方是它本身,那么這個數(shù)是( )A、 0 B、0或1 C、1或1 D、0或1或18、如果一個有理數(shù)的正偶次冪是非負數(shù),那么這個數(shù)是( )A、正數(shù) B、負數(shù) C、 非負數(shù) D、任何有理數(shù)9、24×(22)×(2) 3=( )A、 29 B、29 C、224 D、22410、兩個有理數(shù)互為相反數(shù),那么它們的次冪的值(

24、)A、相等 B、不相等 C、絕對值相等 D、沒有任何關(guān)系11、一個有理數(shù)的平方是正數(shù),則這個數(shù)的立方是( )A、正數(shù) B、負數(shù) C、正數(shù)或負數(shù) D、奇數(shù)12、(1)2001(1)2002÷(1)2003的值等于( )A、0 B、 1 C、1 D、2二、填空題1、(2)6中指數(shù)為 ,底數(shù)為 ;4的底數(shù)是 ,指數(shù)是 ;的底數(shù)是 ,指數(shù)是 ,結(jié)果是 ;2、根據(jù)冪的意義,(3)4表示 ,43表示 ;3、平方等于的數(shù)是 ,立方等于的數(shù)是 ;4、一個數(shù)的15次冪是負數(shù),那么這個數(shù)的2003次冪是 ;5、平方等于它本身的數(shù)是 ,立方等于它本身的數(shù)是 ;6、 , , ;7、,的大小關(guān)系用“”號連接可

25、表示為 ;8、如果,那么是 ;9、 ;10、如果一個數(shù)的平方是它的相反數(shù),那么這個數(shù)是 ;如果一個數(shù)的平方是它的倒數(shù),那么這個數(shù)是 ;11、若,則 0計算題1、 2、 3、 4、5、 6、 7、 8、 9、 10、有理數(shù)的混合運算做有理數(shù)的混合運算時,應(yīng)注意以下運算順序:1.先乘方,再乘除,最后加減;2.同級運算,從左到右進行;3.如有括號,先做括號內(nèi)的運算,按小括號,中括號,大括號依次進行。 科學記數(shù)法把一個大于10的數(shù)表示成 的形式(其中, n是正整數(shù)),這種記數(shù)法是科學記數(shù)法。一、選擇題1、57000用科學記數(shù)法表示為(    )A、57×103&

26、#160;  B、5.7×104     C、5.7×105    D、0.57×1052、3400=3.4×10n,則n等于(    )A、2     B、3     C、4       D、53、72010000000= ,則的值為(    )A、7201 

27、0;   B、7.201     C、7.2      D、7.2014、若一個數(shù)等于5.8×1021,則這個數(shù)的整數(shù)位數(shù)是(    )A、20     B、21       C、22      D、235、我國最長的河流長江全長約為6300千米,用科學記數(shù)法表示為(  

28、0; )A、63×102千米         B、6.3×102千米  C、6.3×103千米        D、6.3×104千米6、今年第一季度我國增值稅、消費稅比上年同期增收3.07×1010元,也就是說增收了(   )A、30.7億元    B、307億元   C、3.07億元   D、3070億元二、填空題1、3.65×10175是        位數(shù),0.12×1010是        位數(shù);2、把3900000用科學記數(shù)法表示為          ,把1020000用科學記數(shù)法表示為  

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