暑期班第5講平面向量與解三角形理科學(xué)生版

1、第五講平面向量與解三角形高考要求平面向量與解三角形要求層次重難點(diǎn)平面向量的相關(guān)概念B平面向量平面向量的實(shí)際背景及基本概念了解向量的實(shí)際背景理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義理解向量的幾何表示向量的線性運(yùn)算掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示了解平面向量的基本定理及其意義掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件平面向量的數(shù)量積理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系掌

2、握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系向量的應(yīng)用會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題解三角形正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題應(yīng)用能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識(shí)和方法解決一些與測(cè)量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題向量加法與減法C向量的數(shù)乘C兩個(gè)向量共線B平面向量的基本定理A平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示B用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算C用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件C數(shù)量積C數(shù)量積的坐標(biāo)表示C用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角B用數(shù)

3、量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系C用向量方法解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題B正弦定理、余弦定理B解三角形B知識(shí)精講板塊一：平面向量（一） 知識(shí)內(nèi)容一、平面向量1向量的概念向量既有大小又有方向的量用或來(lái)表示，向量的長(zhǎng)度記作或零向量長(zhǎng)度為的向量，記為，它的方向不確定，通常規(guī)定與任意向量平行單位向量：長(zhǎng)度為的向量平行向量（共線向量）方向相同或相反的向量向量平行于，記作相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量，記為2向量的運(yùn)算向量加法運(yùn)用“三角形法則”與“平行四邊形法則”（以及多邊形法則）；向量的加法滿(mǎn)足交換律與結(jié)合律；向量的減法：向量加上的相反向量叫做與的差，可以表示為從的終點(diǎn)指向的終點(diǎn)的向量（、有共同起點(diǎn)）數(shù)乘向量：實(shí)數(shù)

4、與向量的積是一個(gè)向量，記作，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相同；當(dāng)時(shí)，的方向與的方向相反；當(dāng)時(shí)，方向是任意的數(shù)乘向量滿(mǎn)足：，3向量共線的條件：平行向量基本定理：向量與非零向量共線有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得4平面向量的基本定理如果是一個(gè)平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)使：其中不共線的向量叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底5平面向量的直角坐標(biāo)坐標(biāo)：在直角坐標(biāo)系中，分別取與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量作為基底，該平面內(nèi)的任一向量可表示成，把叫做向量的坐標(biāo)，記作平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：若，；二、平面向量的數(shù)量積兩個(gè)非零向量的夾角已知非零向量與，作，則（）叫

5、與的夾角，記作當(dāng)時(shí)，與垂直，記數(shù)量積的概念已知兩個(gè)非零向量與，它們的夾角為，則叫做與的數(shù)量積（或內(nèi)積）向量的數(shù)量積滿(mǎn)足交換律、對(duì)數(shù)乘的結(jié)合律以及與對(duì)加減法的分配律向量的投影：稱(chēng)為向量在向量方向上的投影，其中數(shù)量積等于的長(zhǎng)度與在的方向上的投影的乘積向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算：；（二）典例分析： 【例1】 給出下列命題：若，則；若是不共線的四點(diǎn)，則是四邊形為平行四邊形的充要條件；若，則；的充要條件是且；若，則；其中正確的序號(hào)是【例2】 （2008湖南理）設(shè)、分別是的三邊、上的點(diǎn)，且，則與（ ）A反向平行B同向平行C互相垂直D既不平行也不垂直【例3】 （2008江西理）直角坐標(biāo)平面上三點(diǎn)、，若為線段的三等

6、分點(diǎn)，則【例4】 （2007浙江文9）若非零向量，滿(mǎn)足，則（ ）AB C D【例5】 （2008江蘇啟東期中）設(shè)向量、滿(mǎn)足，若，則的值是_【例6】 點(diǎn)、分別是的邊、上的點(diǎn)，若、分別是、的中點(diǎn)，線段與的交點(diǎn)為，求；若是的角平分線，求若，線段與交于點(diǎn)，求【例7】 （2006湖南理）如圖所示，點(diǎn)在由射線、線段及的延長(zhǎng)線圍成的陰影區(qū)域內(nèi)（不含邊界）運(yùn)動(dòng)，且，則的取值范圍是；當(dāng)時(shí)，的取值范圍是【例8】 已知兩單位向量與的夾角為，若，試求與的夾角（2007山東11）在直角中，是斜邊上的高，則下列等式不成立的是（ ）A BC D【例9】 （2007陜西理15文16）如圖，平面內(nèi)有三個(gè)向量，其中與的夾角為，與

7、的夾角為，且，若，則的值為【例10】 （2005北京），且，則向量與的夾角為（ ）ABCD【例11】 （2009西城一模）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量將繞著點(diǎn)按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到向量，則的坐標(biāo)為正方形對(duì)角線交點(diǎn)為，坐標(biāo)原點(diǎn)不在正方形內(nèi)部，且，則（ ）A B C D【例12】 （2007四川）設(shè)，為坐標(biāo)平面上三點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若與在方向上的投影相同，則與滿(mǎn)足的關(guān)系式為（ ）A B C D板塊二：解三角形（一） 知識(shí)內(nèi)容在中，、為其內(nèi)角，、分別表示、的對(duì)邊解三角形：由三角形的六個(gè)元素（即三條邊和三個(gè)內(nèi)角）中的三個(gè)元素（其中至少有一個(gè)是邊）求其他未知元素的問(wèn)題叫做解三角形廣義地，這里所說(shuō)的元素還可以包括三角形

8、的高、中線、角平分線以及內(nèi)切圓半徑、外接圓半徑、面積等等解斜三角形的主要依據(jù)是：角與角關(guān)系：；邊與邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊；邊與角關(guān)系：正弦定理（為外接圓半徑）；余弦定理，；面積公式：（二）典例分析： 【例13】 在中，則角等于（ ）A或 B C D以上答案都不對(duì)在中，若，則的形狀是_【例14】 在中，根據(jù)下列條件解三角形，則其中有兩個(gè)解的是（ ）A BC D【例15】 （2006安徽）如果的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別等于的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，則（ ）A和都是銳角三角形B和都是鈍角三角形C是鈍角三角形，是銳角三角形D是銳角三角形，是鈍角三角形【例16】 （2008浙江理）在中，角

9、，所對(duì)的邊分別為，若，則_【例17】 （2008遼寧）在中，內(nèi)角對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是，已知，若的面積等于，求；若，求的面積【例18】 （2008山東理15）已知為的三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，向量，若，且，則角【例19】 （2008上海）如圖，某住宅小區(qū)的平面圖呈圓心角為的扇形，小區(qū)的兩個(gè)出入口設(shè)置在點(diǎn)及點(diǎn)處，且小區(qū)里有一條平行于的小路，已知某人從沿走到用了分鐘，從沿走到用了分鐘，若此人步行的速度為每分鐘米，求該扇形的半徑的長(zhǎng)（精確到米）【例20】 在中，已知角為銳角，向量，向量時(shí)，求；求的最大值若，求的三個(gè)內(nèi)角和邊的長(zhǎng)【例21】 （2009西城一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)在軸正半軸上，直線的傾斜角為，設(shè)，用表示點(diǎn)的坐標(biāo)及；若，求的值家庭作業(yè)習(xí)題 1. （2008新課標(biāo)海南寧夏）平面向量，共線的充要條件是（ ）A，方向相同 B，兩向量中至少有一個(gè)為零向量C， D存在不全為零的實(shí)數(shù)，習(xí)題 2. 中，若，則點(diǎn)在（ ）A平分線所在直線上 B線段中垂線上C邊所在直線上 D邊的中線上習(xí)題 3. 已知點(diǎn)和，試推斷能否在軸上找到一點(diǎn)，使？若能，求點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，說(shuō)明理由習(xí)題 4. 在中，若，則的值是_習(xí)題 5. 在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，已知，求的值；若，求的值月