波動(dòng)方程或稱波方程

1、波動(dòng)方程或稱波方程（英語：wave equation）是一種重要的偏微分方程，主要描述自然界中的各種的波動(dòng)現(xiàn)象，包括橫波和縱波，例如聲波、光波、無線電波和水波。波動(dòng)方程抽象自聲學(xué)、物理光學(xué)、電磁學(xué)、電動(dòng)力學(xué)、流體力學(xué)等領(lǐng)域。歷史上許多科學(xué)家，如達(dá)朗貝爾、歐拉、丹尼爾·伯努利和拉格朗日等在研究樂器等物體中的弦振動(dòng)問題時(shí)，都對(duì)波動(dòng)方程理論作出過重要貢獻(xiàn)。波動(dòng)方程是雙曲形偏微分方程的最典型代表，其最簡形式可表示為：關(guān)于位置x 和時(shí)間t 的標(biāo)量函數(shù)u（代表各點(diǎn)偏離平衡位置的距離）滿足：這里c通常是一個(gè)固定常數(shù)，代表波的傳播速率。在常壓、20°C的空氣中c為343米/秒（參見音速）。

2、在弦振動(dòng)問題中，c 依不同弦的密度大小和軸向張力不同可能相差非常大。而在半環(huán)螺旋彈簧（一種玩具，英文商標(biāo)為 Slinky）上，波速可以慢到1米/秒。在針對(duì)實(shí)際問題的波動(dòng)方程中，一般都將波速表示成可隨波的頻率變化的量，這種處理對(duì)應(yīng)真實(shí)物理世界中的色散現(xiàn)象。此時(shí)，c 應(yīng)該用波的相速度代替：實(shí)際問題中對(duì)標(biāo)準(zhǔn)波動(dòng)方程的另一修正是考慮波速隨振幅的變化，修正后的方程變成下面的非線性波動(dòng)方程：另需注意的是物體中的波可能是疊加在其他運(yùn)動(dòng)（譬如介質(zhì)的平動(dòng)，以氣流中傳播的聲波為例）上的。這種情況下，標(biāo)量u 的表達(dá)式將包含一個(gè)馬赫因子（對(duì)沿流動(dòng)方向傳播的波為正，對(duì)反射波為負(fù)）。三維波動(dòng)方程描述了波在均勻各向同性彈性

3、體中的傳播。絕大多數(shù)固體都是彈性體，所以波動(dòng)方程對(duì)地球內(nèi)部的地震波和用于檢測固體材料中缺陷的超聲波的傳播能給出滿意的描述。在只考慮線性行為時(shí)，三維波動(dòng)方程的形式比前面更為復(fù)雜，它必須同時(shí)考慮固體中的縱波和橫波:式中：· 和 被稱為彈性體的拉梅常數(shù)（也叫“拉梅模量”，英文Lamé constants 或 Lamé moduli），是描述各向同性固體彈性性質(zhì)的參數(shù)；· 表示密度；· 是源函數(shù)（即外界施加的激振力）；· 表示位移；注意在上述方程中，激振力和位移都是矢量，所以該方程也被稱為矢量形式的波動(dòng)方程。其他形式的波動(dòng)方程還能在量子力學(xué)和

4、廣義相對(duì)論理論中用到。目錄 隱藏 · 1 標(biāo)量形式的一維波動(dòng)方程 o 1.1 波動(dòng)方程的推導(dǎo)o 1.2 初值問題的解· 2 標(biāo)量形式的三維波動(dòng)方程 o 2.1 球面波 § 2.1.1 時(shí)間箭頭的討論o 2.2 廣義初值問題的解· 3 標(biāo)量形式的二維波動(dòng)方程· 4 邊值問題 o 4.1 一維情形o 4.2 多維情形· 5 注釋· 6 參考文獻(xiàn)· 7 參看· 8 外部鏈接標(biāo)量形式的一維波動(dòng)方程編輯波動(dòng)方程的推導(dǎo)編輯一維波動(dòng)方程可用如下的方式推導(dǎo)：一列質(zhì)量為m的小質(zhì)點(diǎn)，相鄰質(zhì)點(diǎn)間用長度h的彈

5、簧連接。彈簧的彈性系數(shù)（又稱“倔強(qiáng)系數(shù)”）為k：其中u(x) 表示位于x的質(zhì)點(diǎn)偏離平衡位置的距離。施加在位于x+h 處的質(zhì)點(diǎn)m 上的力為：其中代表根據(jù)牛頓第二定律計(jì)算的質(zhì)點(diǎn)慣性力，代表根據(jù)胡克定律計(jì)算的彈簧作用力。所以根據(jù)分析力學(xué)中的達(dá)朗貝爾原理，位于x+h 處質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為：式中已注明u(x) 是時(shí)間t 的顯函數(shù)。若N 個(gè)質(zhì)點(diǎn)間隔均勻地固定在長度L = N h 的彈簧鏈上，總質(zhì)量M = N m，鏈的總體勁度系數(shù)為K = k/N，我們可以將上面的方程寫為：取極限 N , h 就得到這個(gè)系統(tǒng)的波動(dòng)方程：在這個(gè)例子中，波速。初值問題的解編輯一維標(biāo)量形式波動(dòng)方程的一般解是由達(dá)朗貝爾給出的。原方程可

6、以寫成如下的算子作用形式：從上面的形式可以看出，若F 和G 為任意函數(shù)，那么它們以下形式的組合必然滿足原方程。上面兩項(xiàng)分別對(duì)應(yīng)兩列行波（"行"與在"行動(dòng)"中同音）F 表示經(jīng)過該點(diǎn)（x 點(diǎn)）的右行波，G 表示經(jīng)過該點(diǎn)的左行波。為完全確定F 和G 的最終形式還需考慮如下初始條件：經(jīng)帶入運(yùn)算，就得到了波動(dòng)方程著名的達(dá)朗貝爾行波解，又稱達(dá)朗貝爾公式：在經(jīng)典的意義下，如果并且則。但是，行波函數(shù)F和G 也可以是廣義函數(shù)，比如狄拉克函數(shù)。在這種情況下，行波解應(yīng)被視作左行或右行的一個(gè)脈沖?；静▌?dòng)方程是一個(gè)線性微分方程，也就是說同時(shí)受到兩列波作用的點(diǎn)的振幅就是兩列波振幅

7、的相加。這意味著可以通過把一列波分解成它的許求解中很有效。標(biāo)量形式的三維波動(dòng)方程編輯三維波動(dòng)方程初值問題的解可以通過求解球面波波動(dòng)方程得到。求解結(jié)果可用于推導(dǎo)二維情況的解。球面波編輯球面波方程的形式不隨空間坐標(biāo)系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)而變化，所以可以將它寫成僅與距源點(diǎn)距離r 相關(guān)的函數(shù)。方程的三維形式為：將方程變形為：此時(shí)，因變量ru 滿足一維波動(dòng)方程，于是可以利用達(dá)朗貝爾行波法將解寫成：其中F 和G 為任意函數(shù)，可以理解為以速度c 從中心向外傳播的波和從外面向中心傳播的波。這類從點(diǎn)源傳出的波強(qiáng)度隨距點(diǎn)源距離r 衰減，并且屬于無后效波，可以清晰地搭載信號(hào)。這種波僅在奇數(shù)維空間中存在（原因?qū)⒃谙乱恍」?jié)中詳細(xì)解

8、釋）。幸運(yùn)的是，我們生活的空間是三維的，所以我們可以清晰地通過聲波和電磁波（都屬于球面波）來互相交流。時(shí)間箭頭的討論編輯上面方程的解里面，分成了兩部分，一部分表示向外傳播的波，一部分則是向內(nèi)。很明顯，只要將t換成-t，就可以在這兩部分之間轉(zhuǎn)換。這體現(xiàn)了原始方程對(duì)于時(shí)間是對(duì)稱的，任意的一個(gè)解在時(shí)間軸上倒過來看仍然是一個(gè)解。然而，我們所觀察到的實(shí)際的波，都是屬于向外傳播的。除非精心地加以調(diào)整，我們無法在自然界觀察到向內(nèi)的波，盡管它們也是波動(dòng)方程的合法的解。關(guān)于這個(gè)現(xiàn)象，引起了不少討論。有人認(rèn)為，實(shí)際上它們即使存在，也無法加以觀察。想想如果四周的光向一個(gè)物體集中，則因?yàn)闆]有光到達(dá)我們的眼睛，我們不可

9、能看見這個(gè)物體或者發(fā)現(xiàn)這個(gè)現(xiàn)象（見參考文獻(xiàn)2 ）。廣義初值問題的解編輯波動(dòng)方程中u 是線性函數(shù)，并且不隨時(shí)間和空間坐標(biāo)的平移而改變。所以我們可以通過平移與疊加球面波獲得方程各種類型的解。令 (,) 為任意具有三個(gè)自變量的函數(shù)，球面波形F 為狄拉克函數(shù)（數(shù)學(xué)語言是：F 是一個(gè)在全空間積分等于1且非零區(qū)間收縮至原點(diǎn)的連續(xù)函數(shù)的弱極限）。設(shè)(,)位一族球面波的源點(diǎn)，r 為距源點(diǎn)的徑向距離，即：可定義稱為三維波動(dòng)方程的影響函數(shù)，其意義為(,)點(diǎn)在t=0 時(shí)刻受到短促脈沖函數(shù)作用后向空間中傳出的波的影響，系數(shù)分母 4c 是為方便后續(xù)處理而加上的。若u 是這一族波函數(shù)的加權(quán)疊加，且權(quán)函數(shù)為 ，則從函數(shù)的定

10、義可知，u 還能寫成式中、 和 是單位球面S 上點(diǎn)的坐標(biāo)，d 為S 上的面積微元。該結(jié)果的意義為：u(t,x,y,z) 是以(x,y,z) 為圓心，ct 為半徑的球面上 的平均值的t 倍：從上式易得平均值是關(guān)于t 的偶函數(shù)，所以若那么以上得出的便是波動(dòng)方程初值問題的解。從中可以看出，任意點(diǎn)P 在t 時(shí)刻受到的波擾動(dòng)只來自以P 為圓心，ct 為半徑的球面上，而這個(gè)球的內(nèi)部點(diǎn)在這一時(shí)刻對(duì)P 點(diǎn)的狀態(tài)完全沒有影響（因?yàn)樗鼈兊挠绊懼熬鸵呀?jīng)傳過P 點(diǎn)了）。換一個(gè)角度分析，假設(shè)三維空間中任意點(diǎn)P' 在t=0 時(shí)刻受到一個(gè)脈沖擾動(dòng)，那么由此發(fā)出的球面波在傳過空間中的任意其它點(diǎn)Q 后，便再也不會(huì)對(duì)Q

11、 的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)產(chǎn)生影響，這就是在物理學(xué)中也非常著名的惠更斯原理（Huygens' principle），也稱為無后效現(xiàn)象，表示傳過的球面波不會(huì)留下任何后續(xù)效應(yīng)。下面我們便可以解釋上一小節(jié)中留下的問題了。事實(shí)上，前面所得到的球面波解僅在奇數(shù)維空間中存在。偶數(shù)維空間中波動(dòng)方程的解是彌散的，也就是說波陣面掠過區(qū)域仍然會(huì)受其影響。以下面的二維波動(dòng)方程（極坐標(biāo)形式，注意和上一小節(jié)三維形式的差別）為例：可以從三維形式的解通過降維法得到二維波動(dòng)方程的影響函數(shù)：其中設(shè)點(diǎn)M(x,y) 到點(diǎn)(,) 距離為d，那么從影響函數(shù)中可以看出，當(dāng)t >d /c 即初始擾動(dòng)已傳過M 點(diǎn)后，M 仍在受到它的影響。二

12、維球面波（柱面波）的這一性質(zhì)決定了它不能作為傳遞信號(hào)的工具，因?yàn)檫@種波（事實(shí)上包括所有偶數(shù)維空間中的球面波）經(jīng)過的點(diǎn)受到的是交織在一起的各個(gè)不同時(shí)刻的擾動(dòng)。標(biāo)量形式的二維波動(dòng)方程編輯二維波動(dòng)方程的直角坐標(biāo)形式為：如前所述，我們可以從三維波動(dòng)方程的解中將u 視為與其中一個(gè)自變量無關(guān)（降維法）來得到二維形式的解。將初始條件改寫為則三維形式的解就變成其中 和 是單位球面上點(diǎn)的頭兩個(gè)坐標(biāo)分量，d 是球面上的面積微元。此積分可變換為在(x,y) 為中心， ct 為半徑的圓域D 上的積分：從這個(gè)結(jié)果也能得到上一小節(jié)最后的結(jié)論。二維波動(dòng)方程解的一個(gè)例子是緊繃的鼓面的運(yùn)動(dòng)。邊值問題編輯一維情形編輯一根自身繃緊

13、，兩端分別固定于x=0 和x=L 的彈性弦在t>0 時(shí)刻，0 < x < L 上運(yùn)動(dòng)滿足波動(dòng)方程。在邊界點(diǎn)處，可以要求u 滿足各種邊界條件。通常遇到的邊界條件都可歸納成下列形式：其中a、b 非負(fù)。若要弦的兩端固定不動(dòng)，對(duì)應(yīng)上面式子中a、b 趨于無窮大。求解偏微分方程的分離變量法要求尋找以下形式的解：將上述假設(shè)形式代入原方程中可以得到：為使邊值問題有非平凡解，本征值 須滿足這是固有值問題的斯圖姆-劉維爾理論的一個(gè)特例。若a、b 為正數(shù)，則對(duì)應(yīng)的所有本征值均為正數(shù)，方程的解為三角函數(shù)。使u 和ut 滿足平方可積條件的解可以通過適當(dāng)選取u 和ut 三角級(jí)數(shù)展開來求得。多維情形編輯一

14、維初始值-邊值理論可以拓展至任意維空間中?？紤]m 維空間（坐標(biāo)簡寫為x）中的域D ，B為D的邊界。 當(dāng)0<t 時(shí)，位于D 內(nèi)的點(diǎn)x 滿足波動(dòng)方程。在D 的邊界上，解u 須滿足其中n 是B 上指向域外的法向矢量，a 是定義在B 上的非負(fù)函數(shù)。要求u 在B 上始終為0的邊界條件相當(dāng)于令a 趨于無窮。初始條件為其中f 和g 是定義在D 內(nèi)的函數(shù)。這個(gè)問題可以通過將f 和g 展開成域D 內(nèi)拉普拉斯算子滿足邊界條件的本征函數(shù)系的疊加來求解（這是分離變量法的一般步驟）。也就是求解在域D 內(nèi)滿足在邊界B 上滿足的本征函數(shù)系v 。在二維情形下，上述本征函數(shù)系可以理解成繃緊地張?jiān)谶吔鏐 上的鼓面的自由振動(dòng)

15、模態(tài)。若B 是一個(gè)圓，則這些本征函數(shù)是關(guān)于極角自變量 的三角函數(shù)與關(guān)于極軸自變量r 的整階貝塞爾函數(shù)的乘積。更詳細(xì)的說明參見英文版條目亥姆霍茲方程。在三維形式下，若邊界是空間中的球面，那么本征函數(shù)是關(guān)于球坐標(biāo)下兩個(gè)極角自變量的球面調(diào)和函數(shù)，乘以關(guān)于徑向自變量 的半奇數(shù)階貝塞爾函數(shù)。注釋編輯參考文獻(xiàn)編輯· 1 嚴(yán)鎮(zhèn)軍編，數(shù)學(xué)物理方程，第二版，中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，合肥，2002，第210頁第224頁，ISBN 7-312-00799-6/O·177· 2 英胡·普賴斯著，肖巍譯，時(shí)間之矢與阿基米德之點(diǎn)物理學(xué)時(shí)間的新方向，上海科學(xué)技術(shù)出版社，上海，2001， ISBN 7-5323-5737-6· 3 M. F. Atiyah, R. Bott, L. Garding, Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients I, Acta Math., 124 (1970), 109189.· 4 M.F. Atiya