橢圓中三角形

1、橢圓中三角形(四邊形)面積最值求解策略最值問題是一種典型的能力考查題，能有效地考查學生的思維品質(zhì)和學習潛能，能綜合考察學生分析問題和解決問題的能力，體現(xiàn)了高考在知識點交匯處命題的思想，是高考的熱點，本文舉列探求橢圓中三角形(四邊形)面積最值問題的求解策略一 利用橢圓的幾何性質(zhì)(對稱性、取值范圍等) 例1 已知橢圓的右焦點是F（c,0），過原點O作直線與橢圓相交于A,B兩點，求三角形ABF面積的最大值。分析:將三角形ABF的面積分割成兩個三角形的面積之和，并表示成關(guān)于點A的坐標的函數(shù)，然后利用橢圓的取值范圍求解解析:因為直線過原點，由橢圓的對稱性知，A,B兩點關(guān)于原點對稱，設(shè)點A（x0,y0）(

2、y0>0), 設(shè)三角形ABF的面積為S，則S=SAOF+ SBOF=2SAOF=cy0,0<y0b, S=cy0bc.所以三角形ABF面積的最大值是bc。點評: 將三角形ABF的面積表示成關(guān)于點A的坐標（x0,y0）y0的一元一次函數(shù)，再利用橢圓的取值范圍求最大值，是本題的解題技巧，若將三角形ABF的面積表示成關(guān)于直線斜率的函數(shù)，則運算量要大許多。二 利用基本不等式或參數(shù)方程 例2 設(shè)橢圓中心在坐標原點，點A(2，0)，C(0,1)是它的兩個頂點，直線y=kx(k>0)與橢圓相交于B,D兩點，求四邊形ABCD面積的最大值 分析:將四邊形ABCD的面積分割成幾個三角形的面積之和

3、，并表示成關(guān)于k或者點B的坐標的函數(shù)，再求函數(shù)的最大值。解析:因為點A(2，0)，C(0,1)是橢圓的兩個頂點，所以橢圓的方程是，由橢圓的對稱性知，點B,D關(guān)于原點對稱，設(shè)點B（x0,y0）(x0>0),則，即。設(shè)四邊形ABCD的面積為S，則S=SABD+ SBCD=2SAOB+2SCOB=|0A|×y0+|0C|x0=2y0+x0.法一:可設(shè)x0=2cos,y0=sin,S=2y0+x0=2sin+2cos=2sin(+450)2,當且僅當=450時取等號。故四邊形ABCD面積的最大值是2。法二: S=2y0+x0=2，當且僅當2y0=x0=時取等號。故四邊形ABCD面積的最

4、大值是2。點評: 將四邊形ABCD的面積表示成關(guān)于點B的坐標（x0,y0）的二元函數(shù)，再利用基本不等式或參數(shù)求最大值，是本題的解題技巧，若將四邊形ABCD的面積表示成關(guān)于k的函數(shù)，則運算量要大許多。三 巧設(shè)直線方程，簡化運算 例3 已知橢圓C: ，若經(jīng)過橢圓右焦點F2作直線交橢圓于A,B兩點，求面積的最大值。分析: 直線過x軸上的一點，故可設(shè)直線方程為可簡化討論和運算，不會出錯，認真領(lǐng)會。解 :設(shè)直線AB的方程為把代入得顯然設(shè)A，B則又因為，=48令則由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以故即故面積的最大值等于3.點評:解析幾何的最值求解離不開目標函數(shù)的建立，因目標函數(shù)引入變量的背景不同，求法也不同，具體

5、求最值可用到配方法，不等式法，換元法等。四 構(gòu)造關(guān)于k的函數(shù)求最值 例4 過點P(3,0)的直線與橢圓相交于不同的兩點E,F，求OEF（O為坐標原點）面積的最大值.分析:將OEF的面積分割成兩個三角形的面積之差，并表示成關(guān)于k的函數(shù)，然后利用換元法、配方法求最大值。解析:顯然直線的斜率存在，設(shè)直線方程為:y=k(x-3)(k0)代入消去y整理得(k2+3)x2-6k2x+9k2-3=0,36k4-4(k2+3) (9k2-3)>0,得0<k2<.而SOEF=|SOPE-SOPF|=|y1-y2|=×|k|×|x1-x2|=|k|=3令k2=t,則，SOEF

6、=3再令t+3=m, SOEF=3,m(3,3),配方易求得t=時，OEF面積的最大值為。點評:利用面積分割，簡化運算，注意>0是直線與橢圓相交于不同兩點的充要條件，任何時候不能忘，求k取值范圍不能忽視。五 構(gòu)造關(guān)于b的函數(shù)求最值 例5 已知橢圓，過橢圓上的點P(1,)作傾斜角互補的兩條直線PA，PB分別交橢圓于A，B兩點。（1）求證直線AB的斜率為定值（2）求面積的最大值。分析:利用(1)結(jié)論以b為變量構(gòu)造函數(shù)，用弦長和點到直線距離求面積。解析:（1）略（2）由(1)可設(shè)直線AB的方程為:y=x+b代入得4x2+2bx+b2-4=0,b2<8. 設(shè)A，B, AB|=,點P到直線A

7、B的距離d=,=,當且僅當b=±2時取等號,所以面積的最大值是。點評:本題綜合考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，點到直線距離公式，三角形面積求法等知識，六 利用垂直關(guān)系求四邊形面積最值 例6 P,Q,M,N四點都在橢圓上，F(xiàn)為橢圓在y軸正半軸上的焦點，已知=，=，且=0，求四邊形PMQN的面積的最大值和最小值。分析:利用垂直關(guān)系建立面積關(guān)于k的函數(shù)，然后運用單調(diào)性求最值解析:由條件知MN和PQ是橢圓的兩條弦，相交于焦點F(0，1)，且PQMN,直線PQ,MN中至少有一條存在斜率，不妨設(shè)PQ的斜率為k，又PQ過點F(0，1)，故PQ方程為y=kx+1.代入橢圓中得(2+k2)x2+2kx-1

8、=0, 設(shè)P，Q則|PQ|=當k0時，MN的斜率為-，用-代換k可推得|MN|=，故四邊形面積S=|PQ|MN|=，令u=k2+,得S=，因為u=k2+2，當k=±1時，u=2,S=且S是以u為自變量的增函數(shù)，所以S<2，當k=0時，MN為橢圓長軸，|MN|=2，|PQ|=，S=|PQ|MN|=2，綜合知，四邊形PMQN面積的最大值為2，最小值為。點評:本題綜合考查了向量共線、垂直，弦長求法，直線與橢圓的位置關(guān)系，四邊形面積，函數(shù)最值求法等知識。分類討論思想及綜合運用知識解題能力。7，已知拋物線x2=4y的焦點為F，過焦點F且不平行于x軸的動直線交拋物線于A,B兩點，拋物線在A

9、,B兩點處的切線交于點M。(1)求證:A,M,B三點的橫坐標成等差數(shù)列；(2)設(shè)直線MF交該拋物線于C,D兩點，求四邊形ABCD面積的最小值。解析:(1)由已知，得F（0，1），顯然直線AB的斜率存在且不為0，則可設(shè)直線AB的方程為y=kx+1(k0), A，B,由，消去y，得x2-4kx-4=0,顯然=16k2+16>0.x1+x2=4k, x1x2=-4,由x2=4y，得y=x2, =x, 直線AM的斜率為kAM=x1. 直線AM的方程為y-y1=x1(x-x1),又x12=4y1, 直線AM的方程為x1x=2(y+y1)同理，直線BM的方程為x2x=2(y+y2)由-并據(jù)x1x2，得，點M的橫坐標x=( x1+x2).即A,M,B三點的橫坐標成等差數(shù)列。（2）由易得y=-1, 點M的坐標為(2k,-1) (k0)