求導(dǎo)法則及求導(dǎo)公式

1、§2 求導(dǎo)法則上一節(jié)我們講述了導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識,要求大家：深刻理解導(dǎo)數(shù)概念,能準確表達其定義;明確其物理、幾何意義,會求曲線上一點的切線方程;能夠從定義出發(fā)求某些函數(shù)的導(dǎo)數(shù);知道導(dǎo)數(shù)與導(dǎo)函數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系;明確導(dǎo)數(shù)與單側(cè)導(dǎo)數(shù),可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系.特別要注意,要學(xué)會從導(dǎo)數(shù)定義出發(fā)求某些導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù).例如,我們上節(jié)課已計算出左邊所列的導(dǎo)函數(shù),并且我們知道,計算函數(shù)在一點的導(dǎo)數(shù)或某區(qū)間上的導(dǎo)函數(shù)歸結(jié)為極限的計算.因此,從理論上來講,給了一個函數(shù)（不管它是簡單函數(shù),還是復(fù)雜函數(shù)）,總可用定義求其導(dǎo)數(shù)（只要極限存在）.但從我們計算左邊幾個函數(shù)的經(jīng)驗知道,用定義計算函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是比較繁瑣的.試想對基本初等

2、函數(shù)的導(dǎo)數(shù)計算（用定義求導(dǎo)）都如此繁瑣,對一般的初等函數(shù)更是不可想象. 因此,我們不能滿足于只用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo)數(shù),而應(yīng)去尋找一些求導(dǎo)數(shù)的一般方法,以便能較方便地求出初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).在給出較一般的方法之前,先看以下函數(shù)如何求導(dǎo)數(shù)： 一、導(dǎo)數(shù)的四則運算問題1 設(shè),求.分析 利用導(dǎo)數(shù)的定義及極限的四則運算知,.即一般地,有如下和的導(dǎo)法則：定理1（和的導(dǎo)數(shù)） 設(shè),在點可導(dǎo),則 （求導(dǎo)是線性運算）證明 令 問題2 設(shè),則對嗎？分析 一般地,有如下乘積的求導(dǎo)法則：定理2（積的導(dǎo)數(shù)）設(shè),在點可導(dǎo),則 （它導(dǎo)它不導(dǎo),它不導(dǎo)它導(dǎo),然后加起來）證明 令 推論1 .推論2 若函數(shù)在知可導(dǎo),C為常數(shù),則.問題3 設(shè),求

3、.一般地,存如下商的運算法則：定理3（商的導(dǎo)數(shù)） 設(shè),在點可導(dǎo),則.證明 令 給出（3）.推論 (1) . (2) . (3) .利用導(dǎo)數(shù)的四則運算法則舉例.例1 ,求,. 例2 ,求. 例3 證明：,. 例4 證明：,.例5 證明：,.利用導(dǎo)數(shù)的四則運算法則求導(dǎo)數(shù)舉例：1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5; 6;7; 8; 9.二、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題1 設(shè),求.定理4 設(shè)在區(qū)間上連續(xù),嚴格上升,在點可導(dǎo),且, .則反函數(shù)在點可導(dǎo),且.注 若在可導(dǎo),導(dǎo)數(shù),則反函數(shù)存在,且 .這里導(dǎo)數(shù)可推出嚴格上升（下降）,反函數(shù)之導(dǎo)數(shù)公式也可寫成 .定理的證明 要證存在,注意到這個比式是函數(shù) 與 的復(fù)合,由定理條

4、件知 .再由反函數(shù)連續(xù)性,時,由復(fù)合函數(shù)求極限定理得 . 例6 ,求. 解 ,反過來,如果已知,也可求 . 例7 ,求.解 ,.例8 ,求.解 , 例9 ,求.例10 ,求.三、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題1 設(shè),求;2）. 設(shè),求;3）. 設(shè),求.定理5 設(shè)與存在,則復(fù)合函數(shù)在點可導(dǎo),且 .注 若的定義域包含的值域,兩函數(shù)在各自的定義域上可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù)在的定義域上可導(dǎo),且（懷中抱月）或 , . 定理的證明 定義函數(shù) 在點連續(xù),. 由恒等式,我們有 令,得 .我們引進是為了避免再直接寫表達式中當(dāng)時,可能會出現(xiàn) 情況.例1 ,求.解 例2 ,求.解 .例3 ,求.解 .例4 ,求.解 . 例5 ,求. 解 時,; 時, 時,. 例6 ,求.解 .四、 隱函數(shù)微分法 若可微函數(shù)滿足方程,則其導(dǎo)數(shù)可以從求出.一個方程何時能唯一決定一個可微函數(shù),留待日后解決,現(xiàn)在我們通常假定能唯一決定一個可微函數(shù),考慮如何求出導(dǎo)函數(shù)問題. 例7 ,求過點的切線方程. 解 對方程求導(dǎo),心中記住是的函數(shù),得 ， ，在點上,過切線方程為 , ,即 .五、 對數(shù)微分法 我們結(jié)合例子研究對數(shù)微分法 例8 ,求.解 函數(shù)定義域和,取對數(shù) ,兩邊對求導(dǎo),采用隱函數(shù)微分法,得 ,所以 . 例9 ,求.解 取對數(shù),得,兩邊求導(dǎo),得 ,. 如,.六、雙曲函數(shù)及其反函數(shù)之導(dǎo)數(shù) , , 性質(zhì) 由 反雙曲函數(shù) 不是單值函數(shù),可選一個分