泰勒級(jí)數(shù)羅朗級(jí)數(shù)

1、冪級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)小結(jié)1對(duì)于冪級(jí)數(shù)， 必然存在一個(gè)以展開(kāi)中心為圓心的圓，在圓內(nèi)級(jí)數(shù)收斂，而在圓外級(jí)數(shù)發(fā)散。這個(gè)圓稱為該冪級(jí)數(shù)的收斂圓，圓的半徑R稱為收斂半徑。（在收斂圓周上各點(diǎn)冪級(jí)數(shù)是否收斂，則需要具體情況具體分析。）收斂半徑（比值判別法和根值判別法）：，2. 冪級(jí)數(shù)在其收斂圓內(nèi)一致收斂：冪級(jí)數(shù)在以b為圓心、任何一個(gè)略小于收斂圓的閉圓（ 略小于收斂圓的半徑）內(nèi)一致收斂。3. 冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓內(nèi)是一解析函數(shù)：冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)在其收斂圓內(nèi)解析。 因此冪級(jí)數(shù)在其收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)求導(dǎo)至任意階，同時(shí)不改變收斂半徑。冪級(jí)數(shù)的系數(shù)與其和函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)之間有如下關(guān)系：3. 復(fù)變函數(shù)的泰勒展開(kāi)【劉連壽、王正

2、清編著數(shù)學(xué)物理方法P50-55】(一)泰勒定理：設(shè)函數(shù)在以為圓心、為半徑的圓內(nèi)解析，則對(duì)于圓內(nèi)任一點(diǎn)z，函數(shù)f(z)能展開(kāi)成以為中心的冪級(jí)數(shù)：，且展開(kāi)式為唯一的。證明：設(shè)為圓內(nèi)的任意一點(diǎn)，作一個(gè)圓周（如圖）：，使點(diǎn)含于內(nèi), 并且在圓周上解析。 由柯西積分公式得：【注意： 】而 （推廣的柯西積分公式），其中 。唯一性：設(shè)另有 ， 兩邊對(duì)求階導(dǎo)數(shù)：。(二)將解析函數(shù)展開(kāi)成泰勒級(jí)數(shù)的方法1直接計(jì)算展開(kāi)系數(shù)：2泰勒級(jí)數(shù)的唯一性使我們可以用任何方便的方法來(lái)求泰勒展開(kāi)系數(shù)，而不一定要用來(lái)求。例如利用初等函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)（特別是，三角函數(shù)等的泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)）：例1：求在的泰勒展式。解：在復(fù)平面上解析，在時(shí)的

3、泰勒系數(shù)為，于是有。例2：求在的泰勒展開(kāi)式。解：， 【】。例3：求在的泰勒展開(kāi)式。解：令，則 。例4：求在的泰勒展開(kāi)式。解：，由于在內(nèi)一致收斂于，。例5：求在的泰勒展開(kāi)式。解：，當(dāng) 時(shí)，在時(shí)，級(jí)數(shù)收斂且，所以如果規(guī)定時(shí)，就有 。4.羅朗級(jí)數(shù)【劉連壽、王正清編著數(shù)學(xué)物理方法P55-61】泰勒定理告訴我們:如果函數(shù)在圓內(nèi)解析，在圓內(nèi)必可展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)。如果函數(shù)在內(nèi)有奇點(diǎn)時(shí)，能否展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)或展開(kāi)成類似于冪級(jí)數(shù)的形式？羅朗定理告訴我們，如果函數(shù)在內(nèi)有奇點(diǎn)，一般不能展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)的形式，但有可能能夠展開(kāi)成羅朗級(jí)數(shù)的形式。（一）羅朗級(jí)數(shù)的定義和收斂區(qū)域1羅朗級(jí)數(shù)： 在前面講的冪級(jí)數(shù)中，冪次均為正，若一個(gè)級(jí)數(shù)

4、既包括正冪項(xiàng)也包含負(fù)冪項(xiàng)，即有形式：，則稱為其為以為中心的羅朗級(jí)數(shù)。 冪級(jí)數(shù)在解析，而對(duì)于羅朗級(jí)數(shù)，是它的奇點(diǎn)。2羅朗級(jí)數(shù)的收斂區(qū)域?qū)⒘_朗級(jí)數(shù)分成兩部分：正冪部分：，羅朗級(jí)數(shù)的正則或解析部分，負(fù)冪部分：， 稱為羅朗級(jí)數(shù)的主要部分。對(duì)于正冪部分，設(shè)它的收斂圓為，在內(nèi)，正冪部分是一個(gè)解析函數(shù)。對(duì)于負(fù)冪部分，可作變換 則負(fù)冪部分變?yōu)榈膬缂?jí)數(shù)：。設(shè)它的收斂圓為。 當(dāng)時(shí)，負(fù)冪部分是收斂的，且為區(qū)域內(nèi)的解析函數(shù)。 當(dāng)時(shí)，由于，不能同時(shí)成立，故正冪部分與負(fù)冪部分不存在公共收斂區(qū)域，從而羅朗級(jí)數(shù)不存在收斂區(qū)域，羅朗級(jí)數(shù)發(fā)散。當(dāng)時(shí)，正冪部分與負(fù)冪部分有公共收斂區(qū)域： 圓環(huán). 在此圓環(huán)內(nèi)，羅朗級(jí)數(shù)是收斂的, 其和

5、為該圓環(huán)內(nèi)的一解析函數(shù)。根據(jù)上面的討論, 我們得到一個(gè)重要的結(jié)論： 羅朗級(jí)數(shù)如果收斂的話， 其收斂區(qū)域必為以展開(kāi)中心為圓心的一個(gè)圓環(huán)型區(qū)域：.圓環(huán)的外半徑由級(jí)數(shù)的正冪部分決定，內(nèi)半徑由級(jí)數(shù)的負(fù)冪部分決定：, 例. 求羅朗級(jí)數(shù)的收斂區(qū)域。解：正冪部分的收斂區(qū)域?yàn)橐詾閳A心的圓，其半徑為：。負(fù)冪部分的收斂區(qū)域?yàn)橐詾閳A心的圓外部區(qū)域，圓心的半徑為：.正冪部分與負(fù)冪部分的公共收斂區(qū)域?yàn)閳A環(huán)：. （二）圓環(huán)內(nèi)的解析函數(shù)的羅朗級(jí)數(shù)展開(kāi)羅朗定理：在圓環(huán)內(nèi)解析的函數(shù)必可展開(kāi)成以為中心的羅朗級(jí)數(shù)：，其中稱為羅朗系數(shù)， ，是圓環(huán)內(nèi)任一以為圓心的圓周 ，。 （定理的證明從略，不講）zCR2CR1R1R2z0C幾點(diǎn)說(shuō)明

6、： （1）在羅朗展開(kāi)式中，；（2）羅朗級(jí)數(shù)中，展開(kāi)中心可能是的奇點(diǎn)，也可能不是奇點(diǎn)；（3）泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)可以看作是羅朗級(jí)數(shù)展開(kāi)的特例。如果函數(shù)在大圓的整個(gè)內(nèi)部都是解析的，根據(jù)柯西定理，羅朗級(jí)數(shù)的負(fù)冪部分的展開(kāi)系數(shù)必為零（即，羅朗級(jí)數(shù)回到泰勒級(jí)數(shù)。 （4）如果函數(shù)只是在圓環(huán)內(nèi)解析，在小圓內(nèi)存在奇點(diǎn)，則函數(shù)只能作羅朗級(jí)數(shù)展開(kāi)。羅朗展開(kāi)的唯一性：如果函數(shù)能夠在圓環(huán)內(nèi)展開(kāi)成羅朗級(jí)數(shù)，則展開(kāi)式是唯一的。 羅朗展開(kāi)的唯一性使我們不一定要用積分來(lái)求系數(shù)。常用的羅朗展開(kāi)方法仍是利用已知級(jí)數(shù)，不過(guò)要注意展開(kāi)的形式和收斂區(qū)域。羅朗定理的證明（略，不講）：設(shè)為內(nèi)任意取定的一點(diǎn)，總可以找到含于內(nèi)的兩個(gè)圓周()和（），使

7、含于圓環(huán)內(nèi)。因在閉圓環(huán) 上解析，由柯西積分公式，得：對(duì)于第一個(gè)積分，由泰勒展開(kāi)定理的證明可知， 利用 ，對(duì)于第二個(gè)積分，我們考慮: ，當(dāng)時(shí)，上式可展開(kāi)成一致收斂的級(jí)數(shù)，兩邊沿逐項(xiàng)積分，并乘以，得，。由復(fù)連通區(qū)域的柯西定理，可得：，為圓環(huán)內(nèi)任一以為圓心的圓周。，。唯一性：設(shè)在圓環(huán)內(nèi)又可展成下式：則它在圓環(huán)內(nèi)一致收斂，從而在圓周：上一致收斂，乘以上的有界函數(shù)仍然一致收斂，可以逐項(xiàng)積分：，而（前面的例題），從而： ，。羅朗展開(kāi)的唯一性使我們可以用任何方便的方法來(lái)求羅朗級(jí)數(shù)展開(kāi)系數(shù)。最常見(jiàn)的方法是利用簡(jiǎn)單初等函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù)或羅朗級(jí)數(shù)展開(kāi)來(lái)較復(fù)雜函數(shù)的羅朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式，如利用，三角函數(shù)等的泰勒或羅朗級(jí)數(shù)展

8、開(kāi)式：例1：求函數(shù)在內(nèi)的羅朗展開(kāi)。解：在內(nèi)，于是，例2：求在內(nèi)的羅朗展開(kāi)。解：。例3：將在，及內(nèi)分別展成以為中心的羅朗級(jí)數(shù)。解：（i）在內(nèi)，于是，無(wú)負(fù)冪項(xiàng)，這是因?yàn)樵趦?nèi)，是解析的，所以展成的是泰勒級(jí)數(shù)。（ii）在內(nèi)，于是。（）在內(nèi)，于是。例4： 將在內(nèi)展成以為中心的羅朗級(jí)數(shù)?！炯凑钩傻男问健拷猓?，而 （），。，。例5： 將在及內(nèi)分別展成以為中心的羅朗級(jí)數(shù)?！炯凑钩傻男问健拷猓海╥）在內(nèi),，于是，；（ii）在內(nèi)，于是，；從而。本 章 重 點(diǎn)1 冪級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)（收斂圓，收斂半徑）; 羅朗級(jí)數(shù)的收斂區(qū)域2 復(fù)變函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)（泰勒級(jí)數(shù)）的條件、方法3 復(fù)變函數(shù)展開(kāi)成羅朗級(jí)數(shù)的條件、方法第四章習(xí)題1、求下列級(jí)數(shù)的收斂半徑: a. ； b. （為常數(shù)）； c. 2、將下列函數(shù)按的