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1、1。解：由題意可知從而知故2。證明：由分析知。如果有重?cái)?shù)大于2的非零根，在有重?cái)?shù)大于1的非零根，根據(jù)的表達(dá)式可知沒有非零重根，從而沒有重?cái)?shù)大于2的非零根3。解：由于，又可知從而知即，從而知4。解；由于從而當(dāng)時(shí)，可逆由于當(dāng)時(shí)，從而的特征多項(xiàng)式為故，又從而，從而，故的最小多項(xiàng)式能整除，從而無重根，從而可對(duì)角化5。證明：若時(shí)，顯然滿足。若時(shí)，由于，由于為正定矩陣，從而，即，從而等號(hào)成立時(shí)，即為對(duì)角矩陣時(shí)候成立顯然為充要條件若小于時(shí)成立，且等號(hào)成立時(shí)候充要條件為對(duì)角矩陣。令，則為階正定矩陣，從而存在且也為正定矩陣。又從而為正定矩陣，且有，根據(jù)正定和正定可知：，當(dāng)?shù)忍?hào)成立時(shí)候，由歸納假設(shè)可知，等號(hào)成立時(shí)

2、候充要條件為對(duì)角矩陣，從而可知等號(hào)成立充要條件為為對(duì)角矩陣。6.證明：由分析考慮的塊，則存在實(shí)可逆矩陣，有若則，從而，其中則有從而可知7。證明：當(dāng)時(shí)，由即，先讓，從而對(duì)任何均有，即和有相同的特征多項(xiàng)式。8。證明：由于為冪零矩陣，從而，則存在實(shí)可逆矩陣，有，又由于則可知即就有，即9：解；從而的特征值為和，解可得基礎(chǔ)解系為正交化后得解可得基礎(chǔ)解系為標(biāo)準(zhǔn)化后可得從而可知存在正交矩陣矩陣使十：證明：任取一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，令線性變換在此標(biāo)準(zhǔn)正交基下的矩陣分別為，則均為對(duì)稱矩陣，對(duì)于可有，存在正交矩陣有，由于則有，則由于為對(duì)稱矩陣，從而對(duì)于任何均為對(duì)稱矩陣，則對(duì)于，可知存在正交矩陣有令，從而為正交矩陣且若取則可知，取，則可知

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