浴缸問題分析1

1、1. 問題的重述一個人在一個水容器中洗澡，但是隨著溫度的降低，會使人感覺到不舒服，由于浴缸不是一個具有二次加熱系統(tǒng)和循環(huán)射流的水療浴缸（溫泉式的桶），所以浴缸中的人增加了一個連續(xù)不斷提供熱流的水龍頭，并且當浴缸快要達到它的額定容積時，多余的水通過溢漏流出。要使人體在浴缸中達到滿意的舒適度，需要控制熱水龍頭的溫度、出水的流速以及出水的流速。（1）建立一個最基本的數(shù)學模型，得到溫度在人不運動時的分布模型。（2）如果人運動，必將影響水在浴缸中的蒸發(fā)速度，得到更優(yōu)的溫度分布模型。（3）在問題（1）的情況下，如果考慮熱水龍頭在浴缸中各向熱傳導系數(shù)不同，得到另一個溫度分布模型。（4）如果浴缸的形狀、體積改

2、變以及人的形狀、體積、溫度改變，最終影響的也是熱傳導系數(shù)，所以不建立模型，只作說明。2模型的假設與符號說明2.1 模型的假設與說明（1）浴缸中的初始水溫已經達到恒溫，在各位置的溫度都是相同的。（2）浴缸中的水的溫度在空間和時間上分布是連續(xù)的。（3）忽略浴缸中的水與器壁的熱量交換（4）假設人在水中的運動是有規(guī)律的，并且頭部始終保持在水面上方。說明：（1）對于假設（2），由于熱水進入時熱量不能驟變，并且單位時間內傳遞的熱量很多，故視其為連續(xù)函數(shù)是合理的，從而可以把優(yōu)化問題歸結為熱傳導、熱擴散問題。（2）對于假設（3），為了避免在浴缸中洗澡喪失更多的熱量，浴缸的器壁可以看成一個恒溫物體，與浴缸中 的

3、水溫相同，不進行熱量交換，或者交換的熱量忽略不計。2.2 符號的使用和說明3 符號的說明： 表示水的比熱容 表示水的密度 表示熱水龍的的截面面積 表示從水龍頭進入浴缸的水的初始溫度 表示浴缸內水溫關于空間和時間的函數(shù) 表示浴缸內（x,y,z）處水的熱流密度的影響系數(shù) 表示溢漏水管的截面面積 表示溢出水的溫度3.模型前的準備3.1建模前的公式運用準則解決這一問題的關鍵之一是認識到水分子的擴散運動，以及熱傳導的兩個方程、一個定理，以及運用能量守恒定律。由此可以得到下列的準則和定理。準則1：孤立系統(tǒng)的能量永遠守恒。定理1：凈吸收的熱量=散發(fā)出的熱量 顯然，凈吸熱為熱源出提供的熱量減去流出的熱量，散發(fā)

4、出的熱量為水蒸發(fā)和傳遞給人的熱量，能量總體平衡。準則2：在整個以浴缸、人、熱源、空氣為整個系統(tǒng)中，滿足熱傳導方程。定理2：傅里葉定律：熱流向量與溫度梯度成正比，方向相反。，其中 稱為材料的導熱系數(shù)。說明：傅里葉定律適用于穩(wěn)態(tài)和非穩(wěn)態(tài)的、無熱源和有熱源的溫度場，也適用于常物性和物性隨溫度改變的情況。3.2浴缸初始溫度的選取及數(shù)據(jù)處理根據(jù)大量資料顯示，不同的人群適應浴缸水溫不同，舒適度也不同，如圖所示：4. 問題的分析對于任何一個問題，需要解決的問題就是建立一個在空間和時間上的分布模型，并且各處的溫度接近初始溫度。并且針對每一個問題我都可以用熱傳導方程和能量守恒定律進行求解。4.1 對沒有人運動的

5、模型分析定義4.1.1 定義浴缸中的人為一個方形物體，長為，寬為高為，此時傳遞給人的能量主要通過上下、左右、前后表面的截面面積，定義人是各向同性的物體，滿足傅里葉定律的熱傳導方程，由此可以得到以下結論：結論1 人接受的能量是均勻的，結論2 人在浴缸中能量主要通過呼吸、各器官消耗。結論3 人體的皮膚表面溫度肯定升高4.2 對人運動過后的模型分析在人運動過后的階段，隨著水表面波動較大以及人的位置發(fā)生變化，促使浴缸中的水的熱傳導系數(shù)改變，引起浴缸中的人采取措施的原因主要有兩方面：（1） 人體在浴缸中的舒適度明顯降低，（2） 熱量散發(fā)的太快。水的溫度驟降加快以后兩個方面又都受人體運動的影響，關系如圖所

6、示：水與空氣熱量交換加快提高入水速度改變溫度接近初始溫度人運動降低出水速度 傳遞給人的熱量降低 提高入水溫度在實際中，影響了多個方向的導熱系數(shù)，溫度分布影響肯定受到很大影響，因此，需處理出水溫度、出水流速、入水流速，更大程度地彌補熱量的流失。所以，在做定量分析計算時，可以先用定性分析方法確定各因素間的函數(shù)關系，在求解過程中利用參數(shù)辨識方法確定其中的參數(shù)。4.3傳導過程中熱導系數(shù)不同模型的分析對于各向同異性物體，對人而言，在嚴格意義上講是不均勻的，水中的成分不同，這些對熱導系數(shù)也有影響。可以利用傅里葉的推廣對各向同異性物體進行求解分析。題目要求即使人運動過后也盡可能地接近初始溫度，而且并不改變人

7、體的舒適度，因此，需要處理這個物體運動的模型，根據(jù)查閱大量資料文獻，人體的運動可以看做一個質點，模擬質點的運動情形一 當人體上下擺動時，導致浴缸中的水對人和空氣的導熱系數(shù)改變，增大了與空氣的交換次數(shù)。溫度下降更快。情形二 當人體左右擺動時，導致浴缸中的水對人和空氣的導熱系數(shù)改變，增大了與空氣的交換次數(shù)。溫度下降更快。情形三 當人體前后擺動時，導致浴缸中的水對人和空氣的導熱系數(shù)改變，增大了與空氣的交換次數(shù)。溫度下降更快5模型的建立與求解5.1 問題（1）的解決方案及模型參數(shù)的確定：溫度定為初始T0，人體表面溫度T3，浴缸長度1.8m，寬度0.8 m，高度0.5米，熱水龍頭出水恒定溫度為T1，熱水

8、龍頭的恒定流速為v1，溢漏出水的溫度為T4, 溢漏出水的恒定流速v4，浴缸的水的溫度在空間和時間的函數(shù)關系：，人的為人的身高為1.8米，人的下半身在水中（認為頭部在水上），人為一個長方形物體，人的運動看成一個長方體來回翻轉運動，長1.5米，寬0.45米，高。米，建立第一個模型5.1.2 確定能量守恒定律的根據(jù)能量的守恒，綜合上述討論，可以得到在人不運動前的熱量傳播（溫度擴散）模型熱水龍頭流入的熱量 =洗澡水在浴室中蒸發(fā)的熱量+浴缸中人交換的熱量+溢漏水的熱量xzy1.80.5O0.8 一：求解問題：浴缸的設計標準：1. 當浴缸里達到容積,多余的水通過一個排水管中流走。2. 浴缸中的水盡量與初始

9、溫度一致。3. 額外：如果一個人使用一個泡泡浴添加劑雖然一開始填滿浴缸協(xié)助清理,這將如何影響您的模型的結果嗎?二：影響因素：1. 單個水龍頭的流速2. 排水管的流速3. 浴缸形狀、體積的影響，體積大，水溫冷卻快，所需熱水增多，形狀分為圓形、三角形、心型，長方形。形狀不同，高度不同，長度不同，寬度不同，對浴缸中的水溫也有影響。4. 人的重量(體積)影響浴缸的容積，人的形狀分高低、胖瘦影響水浴缸的容積。5. 浴缸形采取方形，符合人體結構設計。6. 溫度定為初始T0，人體表面溫度T3，浴缸長度1.8m，寬度0.8 m，高度0.5米，熱水龍頭出水恒定溫度為T1，熱水龍頭的恒定流速為v1，溢漏出水的溫度

10、為T4, 溢漏出水的恒定流速v4，浴缸的水的溫度在空間和時間的函數(shù)關系：，人的為人的身高為1.8米，人的下半身在水中（認為頭部在水上），人為一個長方形物體，人的運動看成一個長方體來回翻轉運動，長1.5米，寬0.45米，高。米，建立第一個模型參數(shù)確定：通過曲面 （人的上表面）進入 （人的體積）內的熱量 由熱量守恒定律得： 其中稱為非齊次項（自由項）列出導熱偏微分方程由于有熱源， 2.如果在溫度在水中分布不同，溫度靠近熱源的較高，遠離熱源的較低，導致導熱在各方向傳播不一致，導熱系數(shù)也不一致，建立模型二 x 方向的溫度變化率對x 方向熱流密度的影響系數(shù)； y 方向的溫度變化率對x 方向熱流密度的影響

11、系數(shù)； y 方向的溫度變化率對x 方向熱流密度的影響系數(shù)； x 方向的溫度變化率對y 方向熱流密度的影響系數(shù)； y 方向的溫度變化率對y 方向熱流密度的影響系數(shù)； z 方向的溫度變化率對y 方向熱流密度的影響系數(shù)； x 方向的溫度變化率對z 方向熱流密度的影響系數(shù)； y 方向的溫度變化率對z 方向熱流密度的影響系數(shù)； z 方向的溫度變化率對z 方向熱流密度的影響系數(shù)； 將將上式展開 各方向導熱系數(shù)不同建立熱傳導方程 各向異性介質的熱傳導方程： 流出的熱量Q4 三、人運動后的溫度分布模型水蒸發(fā)的熱量Q2流入的熱量Q1人吸收的熱量Q3分析: 人運動產生的影響：1. 浴缸中的水蒸發(fā)的速率變快，釋放到

12、空氣中的熱量Q2增大，2. 溢漏出的熱量Q4減少，3. 人吸收的熱量Q3減少，4. 浴缸中的水的溫度降低，熱水龍頭流入的熱量 =洗澡水在浴室中蒸發(fā)的熱量 +浴缸中人交換的熱量 +溢漏水的熱量 由于即使熱量相互傳遞，但是人明顯感覺變涼了，所以必須想辦法提高浴室的溫度，并且盡可能地接近初始溫度T0，即使采取措施，也會對溫度的均衡分布造成很大影響，為了更好的接近初始溫度與使人感到舒服。建立一個方案，建立一個模型。方案由來：找到入水流速、出水流速、入水溫度對溫度分布擴散的影響，通過發(fā)現(xiàn)三者間的聯(lián)系，找出一個最佳方案，此時入水流速為 ，出水流速為，入水溫度為，建立人運動后的模型三由熱量守恒定律得：其中

13、稱為非齊次項（自由項）列出導熱偏微分方程由于有熱源，要畫出:浴缸的水的溫度與流入的水的溫度的圖形；浴缸內水的溫度與流入的水的流速之間的圖形。浴缸內水的溫度與流出水的溫度之間的圖形，模型的假設及符號說明1. 假設2. 3. 4. 符號的說明： 表示水的比熱容 表示水的密度 表示熱水龍的的截面面積 表示從水龍頭進入浴缸的水的初始溫度 表示浴缸內水溫關于空間和時間的函數(shù) 表示浴缸內（x,y,z）處水的熱流密度的影響系數(shù) 表示溢漏水管的截面面積表示溢出水的溫度模型的求解： ，浴缸體積為720L，人的體積大約為60L，初始狀態(tài)浴缸中水的體積為516L，假設留出0.1m高度的水。 水溫度（）0102030

14、4050607080導熱系數(shù)(w/m.k)0.500.580.600.620.640.650.660.670.68水的比熱容的物理意義是：1kg水溫度升高（或降低）1所吸收（或放出）的熱量是4.2103J(C=4.2103J）水的密度=1.0103 kg/m3（忽略水在不同溫度下的微小影響）水龍頭的出水截面積為0.003 m2,出水時的速度為5L/min。溢漏出水的截面積為為0.003m2,出水時的速度為4L/min。控制單一變量，發(fā)現(xiàn)浴缸中水的溫度與流水溫度、入水的流速、出水流速。設入水速度為、出水速度為 、入水溫度 、浴缸水的初始溫度為 入水質量為 、出水質量 、浴缸中水的質量為 浴缸516L，盛水516KG。假設初始各狀態(tài)均在人不運動前取值即取=16.7m/s、=13.3 m/s、= 當、不變時，變化與的關系c ( )=c