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1、普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué) 人教版 高三新數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案(講座31)不等式性質(zhì)及證明一課標(biāo)要求:1不等關(guān)系通過(guò)具體情境,感受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系,了解不等式(組)的實(shí)際背景;2基本不等式:(a,b0)探索并了解基本不等式的證明過(guò)程;會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大(?。﹩?wèn)題。二命題走向不等式歷來(lái)是高考的重點(diǎn)內(nèi)容。對(duì)于本將來(lái)講,考察有關(guān)不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法,而且還考察邏輯推理能力、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。本將內(nèi)容在復(fù)習(xí)時(shí),要在思想方法上下功夫。預(yù)測(cè)2007年的高考命題趨勢(shì):1從題型上來(lái)看,選擇題、填空題都有可能考察,把不等式的性質(zhì)與函數(shù)、三角結(jié)合起來(lái)綜合考察
2、不等式的性質(zhì)、函數(shù)單調(diào)性等,多以選擇題的形式出現(xiàn),解答題以含參數(shù)的不等式的證明、求解為主;2利用基本不等式解決像函數(shù)的單調(diào)性或解決有關(guān)最值問(wèn)題是考察的重點(diǎn)和熱點(diǎn),應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練。三要點(diǎn)精講1不等式的性質(zhì)比較兩實(shí)數(shù)大小的方法求差比較法;。定理1:若,則;若,則即。說(shuō)明:把不等式的左邊和右邊交換,所得不等式與原不等式異向,稱(chēng)為不等式的對(duì)稱(chēng)性。定理2:若,且,則。說(shuō)明:此定理證明的主要依據(jù)是實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則及兩正數(shù)之和仍是正數(shù);定理2稱(chēng)不等式的傳遞性。定理3:若,則。說(shuō)明:(1)不等式的兩邊都加上同一個(gè)實(shí)數(shù),所得不等式與原不等式同向;(2)定理3的證明相當(dāng)于比較與的大小,采用的是求差比較法;(3)定理
3、3的逆命題也成立; (4)不等式中任何一項(xiàng)改變符號(hào)后,可以把它從一邊移到另一邊。定理3推論:若。說(shuō)明:(1)推論的證明連續(xù)兩次運(yùn)用定理3然后由定理2證出;(2)這一推論可以推廣到任意有限個(gè)同向不等式兩邊分別相加,即:兩個(gè)或者更多個(gè)同向不等式兩邊分別相加,所得不等式與原不等式同向;(3)同向不等式:兩個(gè)不等號(hào)方向相同的不等式;異向不等式:兩個(gè)不等號(hào)方向相反的不等式。定理4如果且,那么;如果且,那么。推論1:如果且,那么。說(shuō)明:(1)不等式兩端乘以同一個(gè)正數(shù),不等號(hào)方向不變;乘以同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)方向改變;(2)兩邊都是正數(shù)的同向不等式的兩邊分別相乘,所得不等式與原不等式同向;(3)推論可以推廣到
4、任意有限個(gè)兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘。這就是說(shuō),兩個(gè)或者更多個(gè)兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘,所得不等式與原不等式同向。推論2:如果, 那么 。定理5:如果,那么 。2基本不等式定理1:如果,那么(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”)。說(shuō)明:(1)指出定理適用范圍:;(2)強(qiáng)調(diào)取“”的條件。定理2:如果是正數(shù),那么(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”)說(shuō)明:(1)這個(gè)定理適用的范圍:;(2)我們稱(chēng)的算術(shù)平均數(shù),稱(chēng)的幾何平均數(shù)。即:兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。3常用的證明不等式的方法(1)比較法比較法證明不等式的一般步驟:作差變形判斷結(jié)論;為了判斷作差后的符號(hào),有時(shí)要把這個(gè)差變形為一個(gè)常數(shù),或者變
5、形為一個(gè)常數(shù)與一個(gè)或幾個(gè)平方和的形式,也可變形為幾個(gè)因式的積的形式,以便判斷其正負(fù)。(2)綜合法利用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式(例如算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理)和不等式的性質(zhì),推導(dǎo)出所要證明的不等式,這個(gè)證明方法叫綜合法;利用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式和不等式的性質(zhì)時(shí)要注意它們各自成立的條件。綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是:,及從已知條件出發(fā),逐步推演不等式成立的必要條件,推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論。(3)分析法證明不等式時(shí),有時(shí)可以從求證的不等式出發(fā),分析使這個(gè)不等式成立的充分條件,把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問(wèn)題,如果能夠肯定這些充分條件都已具備,那么就可以斷定原不等式成立,這種方法通常
6、叫做分析法。(1)“分析法”是從求證的不等式出發(fā),分析使這個(gè)不等式成立的充分條件,把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問(wèn)題,即“執(zhí)果索因”;(2)綜合過(guò)程有時(shí)正好是分析過(guò)程的逆推,所以常用分析法探索證明的途徑,然后用綜合法的形式寫(xiě)出證明過(guò)程。四典例解析題型1:考查不等式性質(zhì)的題目例1(1)(06上海文,14)如果,那么,下列不等式中正確的是( )(A) (B) (C) (D)(2)(06江蘇,8)設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù),則下列等式中不恒成立的是(A)(B)(C) (D)解析:(1)答案:A;顯然,但無(wú)法判斷與的大??;(2)運(yùn)用排除法,C選項(xiàng),當(dāng)ab<0時(shí)不成立,運(yùn)用公式一定
7、要注意公式成立的條件,如果,如果a,b是正數(shù),那么點(diǎn)評(píng):本題主要考查.不等式恒成立的條件,由于給出的是不完全提干,必須結(jié)合選擇支,才能得出正確的結(jié)論。例2(1)(2003京春文,1)設(shè)a,b,c,dR,且a>b,c>d,則下列結(jié)論中正確的是( )A.a+c>b+d B.ac>bd C.ac>bd D.(2)(1999上海理,15)若a<b<0,則下列結(jié)論中正確的命題是( )A和均不能成立B.和均不能成立C.不等式和(a+)2>(b+)2均不能成立D.不等式和(a+)2>(b+)2均不能成立解析:(1)答案:A;a>b,c>d,a
8、+c>b+d;(2)答案:B解析:b<0,b>0,ab>a,又ab<0,a<0,。故不成立。a<b<0,|a|>|b|,故不成立。由此可選B。另外,A中成立.C與D中(a+)2>(b+)2成立。其證明如下:a<b<0,<0,a+<b+<0,|a+|>|b+|,故(a+)2>(b+)2。點(diǎn)評(píng):本題考查不等式的基本性質(zhì)。題型2:基本不等式例3(06浙江理,7)“ab0”是“ab”的( )(A)充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件(C)充分必要條件 (D)既不允分也不必要條件解析:A;中參數(shù)的取
9、值不只是指可以取非負(fù)數(shù)。均值不等式滿(mǎn)足。點(diǎn)評(píng):該題考察了基本不等式中的易錯(cuò)點(diǎn)。例4(1)(2001京春)若實(shí)數(shù)a、b滿(mǎn)足a+b=2,則3a+3b的最小值是( )A.18 B.6 C.2 D.2(2)(2000全國(guó),7)若ab1,P,Q(lgalgb),Rlg(),則( )A.RPQ B.PQRC.QPRD.PRQ解析:(1)答案:B;3a+3b2=6,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)取等號(hào)。故3a+3b的最小值是6;(2)答案:B;lgalgb0,(lgalgb),即QP,又ab1,(lgalgb),即RQ,有PQR,選B。點(diǎn)評(píng):本題考查不等式的平均值定理,要注意判斷等號(hào)成立的條件。題型3:不等式的證明例
10、5已知a0,b0,且a+b=1 求證 (a+)(b+)。證法一: (分析綜合法)欲證原式,即證4(ab)2+4(a2+b2)25ab+40,即證4(ab)233(ab)+80,即證ab或ab8 a0,b0,a+b=1,ab8不可能成立1=a+b2,ab,從而得證。證法二: (均值代換法)設(shè)a=+t1,b=+t2。a+b=1,a0,b0,t1+t2=0,|t1|,|t2|,顯然當(dāng)且僅當(dāng)t=0,即a=b=時(shí),等號(hào)成立。證法三:(比較法)a+b=1,a0,b0,a+b2,ab,證法四:(綜合法)a+b=1, a0,b0,a+b2,ab, 。證法五:(三角代換法) a0,b0,a+b=1,故令a=si
11、n2,b=cos2,(0,),點(diǎn)評(píng):比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個(gè)步驟,變形的主要方向是因式分解、配方,判斷過(guò)程必須詳細(xì)敘述:如果作差以后的式子可以整理為關(guān)于某一個(gè)變量的二次式,則考慮用判別式法證。例6求使a(x0,y0)恒成立的a的最小值。分析:本題解法三利用三角換元后確定a的取值范圍,此時(shí)我們習(xí)慣是將x、y與cos、sin來(lái)對(duì)應(yīng)進(jìn)行換元,即令=cos,=sin(0,這樣也得asin+cos,但是這種換元是錯(cuò)誤的 其原因是:(1)縮小了x、y的范圍;(2)這樣換元相當(dāng)于本題又增加了“x、y=1”這樣一個(gè)條件,顯然這是不對(duì)的。除了解法一經(jīng)常用的重要不等式外,解法二的方法也很典型,即
12、若參數(shù)a滿(mǎn)足不等關(guān)系,af(x),則amin=f(x)max 若 af(x),則amax=f(x)min,利用這一基本事實(shí),可以較輕松地解決這一類(lèi)不等式中所含參數(shù)的值域問(wèn)題。還有三角換元法求最值用的恰當(dāng)好處,可以把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化。解法一:由于a的值為正數(shù),將已知不等式兩邊平方,得:x+y+2a2(x+y),即2(a21)(x+y),x,y0,x+y2, 當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),中有等號(hào)成立。比較、得a的最小值滿(mǎn)足a21=1,a2=2,a= (因a0),a的最小值是。解法二:設(shè) x0,y0,x+y2 (當(dāng)x=y時(shí)“=”成立),1,的最大值是1。從而可知,u的最大值為,又由已知,得au,a的最小值為,解法三
13、:y0,原不等式可化為+1a,設(shè)=tan,(0,)。tan+1a,即tan+1asecasin+cos=sin(+),又sin(+)的最大值為1(此時(shí)=)。由式可知a的最小值為。點(diǎn)評(píng):本題考查不等式證明、求最值函數(shù)思想、以及學(xué)生邏輯分析能力。該題實(shí)質(zhì)是給定條件求最值的題目,所求a的最值蘊(yùn)含于恒成立的不等式中,因此需利用不等式的有關(guān)性質(zhì)把a(bǔ)呈現(xiàn)出來(lái),等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想是解決題目的突破口,然后再利用函數(shù)思想和重要不等式等求得最值。題型4:不等式證明的應(yīng)用例7(06浙江理,20)已知函數(shù)f(x)=x+ x,數(shù)列x(x0)的第一項(xiàng)x1,以后各項(xiàng)按如下方式取定:曲線(xiàn)x=f(x)在處的切線(xiàn)與經(jīng)過(guò)(0,0)和(
14、x,f (x))兩點(diǎn)的直線(xiàn)平行(如圖).求證:當(dāng)n時(shí),()x()。證明:(I)因?yàn)樗郧€(xiàn)在處的切線(xiàn)斜率因?yàn)檫^(guò)和兩點(diǎn)的直線(xiàn)斜率是所以.(II)因?yàn)楹瘮?shù)當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增,而,所以,即因此又因?yàn)榱顒t因?yàn)樗砸虼斯庶c(diǎn)評(píng):本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識(shí),以及不等式的證明,同時(shí)考查邏輯推理能力。例8(2002江蘇,22)已知a0,函數(shù)f(x)axbx2。(1)當(dāng)b0時(shí),若對(duì)任意xR都有f(x)1,證明a2;(2)當(dāng)b1時(shí),證明:對(duì)任意x0,1,|f(x)|1的充要條件是b1a2;(3)當(dāng)0b1時(shí),討論:對(duì)任意x0,1,|f(x)|1的充要條件。()證明:依設(shè),對(duì)任意xR,都有f(x)1,f(
15、x),1,a0,b0,a2()證明:必要性:對(duì)任意x0,1,|f(x)|11f(x),據(jù)此可以推出1f(1),即ab1,ab1;對(duì)任意x0,1,|f(x)|1f(x)1,因?yàn)閎1,可以推出f()1,即a·11,a2;b1a2充分性:因?yàn)閎1,ab1,對(duì)任意x0,1,可以推出:axbx2b(xx2)xx1,即axbx21;因?yàn)閎1,a2,對(duì)任意x0,1,可以推出axbx22xbx21,即axbx21。1f(x)1。綜上,當(dāng)b1時(shí),對(duì)任意x0,1,|f(x)|1的充要條件是b1a2()解:因?yàn)閍0,0b1時(shí),對(duì)任意x0,1:f(x)axbx2b1,即f(x)1;f(x)1f(1)1ab1
16、,即ab1,ab1f(x)(b1)xbx21,即f(x)1。所以,當(dāng)a0,0b1時(shí),對(duì)任意x0,1,|f(x)|1的充要條件是ab122.解:原式(xa)(xa2)0,x1a,x2a2。當(dāng)a=a2時(shí),a=0或a=1,x,當(dāng)aa2時(shí),a1或a0,axa2,當(dāng)aa2時(shí)0a1,a2xa,當(dāng)a0時(shí)axa2,當(dāng)0a1時(shí),a2xa,當(dāng)a1時(shí),axa2,當(dāng)a=0或a=1時(shí),x。點(diǎn)評(píng):此題考查不等式的證明及分類(lèi)討論思想。題型5:課標(biāo)創(chuàng)新題例9(06上海理,12)三個(gè)同學(xué)對(duì)問(wèn)題“關(guān)于的不等式25|5|在1,12上恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍”提出各自的解題思路。甲說(shuō):“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”;乙
17、說(shuō):“把不等式變形為左邊含變量的函數(shù),右邊僅含常數(shù),求函數(shù)的最值”;丙說(shuō):“把不等式兩邊看成關(guān)于的函數(shù),作出函數(shù)圖像”;參考上述解題思路,你認(rèn)為他們所討論的問(wèn)題的正確結(jié)論,即的取值范圍是 。答案:a10。點(diǎn)評(píng):該題通過(guò)設(shè)置情景,將不等式知識(shí)蘊(yùn)含在一個(gè)對(duì)話(huà)情景里面,考查學(xué)生閱讀能力、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。例10(06湖南文,20)在m(m2)個(gè)不同數(shù)的排列P1P2Pn中,若1ijm時(shí)PiPj(即前面某數(shù)大于后面某數(shù)),則稱(chēng)Pi與Pj構(gòu)成一個(gè)逆序. 一個(gè)排列的全部逆序的總數(shù)稱(chēng)為該排列的逆序數(shù). 記排列的逆序數(shù)為an,如排列21的逆序數(shù),排列321的逆序數(shù)。()求a4、a5,并寫(xiě)出an的表達(dá)式;
18、()令,證明,n=1,2,。解()由已知得,。()因?yàn)椋?又因?yàn)?,所?=。綜上,。點(diǎn)評(píng):該題創(chuàng)意新,知識(shí)復(fù)合到位,能很好的反映當(dāng)前的高考趨勢(shì)。五思維總結(jié)1不等式證明常用的方法有:比較法、綜合法和分析法,它們是證明不等式的最基本的方法。(1)比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個(gè)步驟,變形的主要方向是因式分解、配方,判斷過(guò)程必須詳細(xì)敘述:如果作差以后的式子可以整理為關(guān)于某一個(gè)變量的二次式,則考慮用判別式法證;(2)綜合法是由因?qū)Ч治龇ㄊ菆?zhí)果索因,兩法相互轉(zhuǎn)換,互相滲透,互為前提,充分運(yùn)用這一辯證關(guān)系,可以增加解題思路,開(kāi)擴(kuò)視野。2不等式證明還有一些常用的方法:換元法、放縮法、反證法、函數(shù)單調(diào)性法、判別式法、數(shù)形結(jié)合法等。換元法主要有三角代換,均值代換兩種,在應(yīng)用換元法時(shí),要注意代換的等價(jià)性。放縮性是不等式證明中最重要的變形方法之一,放縮要有的放矢,目標(biāo)可以從要證的結(jié)論中考查。有些不等式,從正面證如果不易說(shuō)清楚,可以考慮反證法 凡是含有“至少”、“惟一”或含有其他否定詞的命題,適宜用反證法。證明不等式時(shí),要依據(jù)題設(shè)、題目
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