高三數(shù)學(xué)講座不等式性質(zhì)及證明 新人教版

1、普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué) 人教版 高三新數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案（講座31）不等式性質(zhì)及證明一課標(biāo)要求：1不等關(guān)系通過(guò)具體情境，感受在現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系，了解不等式（組）的實(shí)際背景；2基本不等式：（a,b0）探索并了解基本不等式的證明過(guò)程；會(huì)用基本不等式解決簡(jiǎn)單的最大（?。﹩?wèn)題。二命題走向不等式歷來(lái)是高考的重點(diǎn)內(nèi)容。對(duì)于本將來(lái)講，考察有關(guān)不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法，而且還考察邏輯推理能力、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。本將內(nèi)容在復(fù)習(xí)時(shí)，要在思想方法上下功夫。預(yù)測(cè)2007年的高考命題趨勢(shì)：1從題型上來(lái)看，選擇題、填空題都有可能考察，把不等式的性質(zhì)與函數(shù)、三角結(jié)合起來(lái)綜合考察

2、不等式的性質(zhì)、函數(shù)單調(diào)性等，多以選擇題的形式出現(xiàn)，解答題以含參數(shù)的不等式的證明、求解為主；2利用基本不等式解決像函數(shù)的單調(diào)性或解決有關(guān)最值問(wèn)題是考察的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，應(yīng)加強(qiáng)訓(xùn)練。三要點(diǎn)精講1不等式的性質(zhì)比較兩實(shí)數(shù)大小的方法求差比較法；。定理1：若，則；若，則即。說(shuō)明：把不等式的左邊和右邊交換，所得不等式與原不等式異向，稱(chēng)為不等式的對(duì)稱(chēng)性。定理2：若，且，則。說(shuō)明：此定理證明的主要依據(jù)是實(shí)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)法則及兩正數(shù)之和仍是正數(shù)；定理2稱(chēng)不等式的傳遞性。定理3：若，則。說(shuō)明：（1）不等式的兩邊都加上同一個(gè)實(shí)數(shù)，所得不等式與原不等式同向；（2）定理3的證明相當(dāng)于比較與的大小，采用的是求差比較法；（3）定理

3、3的逆命題也成立； （4）不等式中任何一項(xiàng)改變符號(hào)后，可以把它從一邊移到另一邊。定理3推論：若。說(shuō)明：（1）推論的證明連續(xù)兩次運(yùn)用定理3然后由定理2證出；（2）這一推論可以推廣到任意有限個(gè)同向不等式兩邊分別相加，即：兩個(gè)或者更多個(gè)同向不等式兩邊分別相加，所得不等式與原不等式同向；（3）同向不等式：兩個(gè)不等號(hào)方向相同的不等式；異向不等式：兩個(gè)不等號(hào)方向相反的不等式。定理4如果且，那么；如果且，那么。推論1：如果且，那么。說(shuō)明：（1）不等式兩端乘以同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)方向不變；乘以同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變；（2）兩邊都是正數(shù)的同向不等式的兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向；（3）推論可以推廣到

4、任意有限個(gè)兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘。這就是說(shuō)，兩個(gè)或者更多個(gè)兩邊都是正數(shù)的同向不等式兩邊分別相乘，所得不等式與原不等式同向。推論2：如果， 那么 。定理5：如果，那么 。2基本不等式定理1：如果，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”）。說(shuō)明：（1）指出定理適用范圍：；（2）強(qiáng)調(diào)取“”的條件。定理2：如果是正數(shù)，那么（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）說(shuō)明：（1）這個(gè)定理適用的范圍：；（2）我們稱(chēng)的算術(shù)平均數(shù)，稱(chēng)的幾何平均數(shù)。即：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。3常用的證明不等式的方法（1）比較法比較法證明不等式的一般步驟：作差變形判斷結(jié)論；為了判斷作差后的符號(hào)，有時(shí)要把這個(gè)差變形為一個(gè)常數(shù)，或者變

5、形為一個(gè)常數(shù)與一個(gè)或幾個(gè)平方和的形式，也可變形為幾個(gè)因式的積的形式，以便判斷其正負(fù)。（2）綜合法利用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式（例如算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的定理）和不等式的性質(zhì)，推導(dǎo)出所要證明的不等式，這個(gè)證明方法叫綜合法；利用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式和不等式的性質(zhì)時(shí)要注意它們各自成立的條件。綜合法證明不等式的邏輯關(guān)系是：，及從已知條件出發(fā)，逐步推演不等式成立的必要條件，推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論。（3）分析法證明不等式時(shí)，有時(shí)可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問(wèn)題，如果能夠肯定這些充分條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法通常

6、叫做分析法。（1）“分析法”是從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的充分條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些充分條件是否具備的問(wèn)題，即“執(zhí)果索因”；（2）綜合過(guò)程有時(shí)正好是分析過(guò)程的逆推，所以常用分析法探索證明的途徑，然后用綜合法的形式寫(xiě)出證明過(guò)程。四典例解析題型1：考查不等式性質(zhì)的題目例1（1）（06上海文，14）如果，那么，下列不等式中正確的是（ ）（A） （B） （C） （D）（2）（06江蘇，8）設(shè)a、b、c是互不相等的正數(shù)，則下列等式中不恒成立的是（A）（B）（C） （D）解析：（1）答案：A；顯然，但無(wú)法判斷與的大??；（2）運(yùn)用排除法，C選項(xiàng)，當(dāng)ab<0時(shí)不成立，運(yùn)用公式一定

7、要注意公式成立的條件，如果，如果a,b是正數(shù)，那么點(diǎn)評(píng)：本題主要考查.不等式恒成立的條件，由于給出的是不完全提干，必須結(jié)合選擇支，才能得出正確的結(jié)論。例2（1）（2003京春文，1）設(shè)a，b，c，dR，且a>b，c>d，則下列結(jié)論中正確的是（ ）A.a+c>b+d B.ac>bd C.ac>bd D.（2）（1999上海理，15）若a<b<0，則下列結(jié)論中正確的命題是（ ）A和均不能成立B.和均不能成立C.不等式和（a+）2>（b+）2均不能成立D.不等式和（a+）2>（b+）2均不能成立解析：（1）答案：A；a>b，c>d，a

8、+c>b+d；（2）答案：B解析：b<0，b>0，ab>a，又ab<0，a<0，。故不成立。a<b<0，|a|>|b|，故不成立。由此可選B。另外，A中成立.C與D中（a+）2>（b+）2成立。其證明如下：a<b<0，<0，a+<b+<0，|a+|>|b+|，故（a+）2>（b+）2。點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的基本性質(zhì)。題型2：基本不等式例3（06浙江理，7）“ab0”是“ab”的（ ）(A)充分而不必要條件 (B)必要而不充分條件(C)充分必要條件 (D)既不允分也不必要條件解析：A；中參數(shù)的取

9、值不只是指可以取非負(fù)數(shù)。均值不等式滿(mǎn)足。點(diǎn)評(píng)：該題考察了基本不等式中的易錯(cuò)點(diǎn)。例4（1）（2001京春）若實(shí)數(shù)a、b滿(mǎn)足a+b=2，則3a+3b的最小值是（ ）A.18 B.6 C.2 D.2（2）（2000全國(guó)，7）若ab1，P，Q（lgalgb），Rlg（），則（ ）A.RPQ B.PQRC.QPRD.PRQ解析：（1）答案：B；3a+3b2=6，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)取等號(hào)。故3a+3b的最小值是6；（2）答案：B；lgalgb0，（lgalgb），即QP，又ab1，（lgalgb），即RQ，有PQR，選B。點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式的平均值定理，要注意判斷等號(hào)成立的條件。題型3：不等式的證明例

10、5已知a0，b0，且a+b=1 求證 (a+)(b+)。證法一： (分析綜合法）欲證原式，即證4(ab)2+4(a2+b2)25ab+40，即證4(ab)233(ab)+80，即證ab或ab8 a0，b0，a+b=1，ab8不可能成立1=a+b2，ab，從而得證。證法二： (均值代換法)設(shè)a=+t1，b=+t2。a+b=1，a0，b0，t1+t2=0，|t1|，|t2|，顯然當(dāng)且僅當(dāng)t=0，即a=b=時(shí)，等號(hào)成立。證法三：(比較法)a+b=1，a0，b0，a+b2，ab，證法四：(綜合法)a+b=1， a0，b0，a+b2，ab， 。證法五：(三角代換法) a0，b0，a+b=1，故令a=si

11、n2，b=cos2，(0，)，點(diǎn)評(píng)：比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個(gè)步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過(guò)程必須詳細(xì)敘述：如果作差以后的式子可以整理為關(guān)于某一個(gè)變量的二次式，則考慮用判別式法證。例6求使a(x0，y0)恒成立的a的最小值。分析：本題解法三利用三角換元后確定a的取值范圍，此時(shí)我們習(xí)慣是將x、y與cos、sin來(lái)對(duì)應(yīng)進(jìn)行換元，即令=cos，=sin(0，這樣也得asin+cos，但是這種換元是錯(cuò)誤的 其原因是：(1)縮小了x、y的范圍；(2)這樣換元相當(dāng)于本題又增加了“x、y=1”這樣一個(gè)條件，顯然這是不對(duì)的。除了解法一經(jīng)常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即

12、若參數(shù)a滿(mǎn)足不等關(guān)系，af(x)，則amin=f(x)max 若 af(x)，則amax=f(x)min，利用這一基本事實(shí)，可以較輕松地解決這一類(lèi)不等式中所含參數(shù)的值域問(wèn)題。還有三角換元法求最值用的恰當(dāng)好處，可以把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化。解法一：由于a的值為正數(shù)，將已知不等式兩邊平方，得：x+y+2a2(x+y)，即2(a21)(x+y)，x，y0，x+y2， 當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，中有等號(hào)成立。比較、得a的最小值滿(mǎn)足a21=1，a2=2，a= (因a0)，a的最小值是。解法二：設(shè) x0，y0，x+y2 (當(dāng)x=y時(shí)“=”成立)，1，的最大值是1。從而可知，u的最大值為，又由已知，得au，a的最小值為，解法三

13、：y0，原不等式可化為+1a，設(shè)=tan，(0，)。tan+1a，即tan+1asecasin+cos=sin(+)，又sin(+)的最大值為1(此時(shí)=)。由式可知a的最小值為。點(diǎn)評(píng)：本題考查不等式證明、求最值函數(shù)思想、以及學(xué)生邏輯分析能力。該題實(shí)質(zhì)是給定條件求最值的題目，所求a的最值蘊(yùn)含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有關(guān)性質(zhì)把a(bǔ)呈現(xiàn)出來(lái)，等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想是解決題目的突破口，然后再利用函數(shù)思想和重要不等式等求得最值。題型4：不等式證明的應(yīng)用例7（06浙江理，20）已知函數(shù)f(x)=x+ x，數(shù)列x(x0)的第一項(xiàng)x1，以后各項(xiàng)按如下方式取定：曲線(xiàn)x=f(x)在處的切線(xiàn)與經(jīng)過(guò)（0，0）和（

14、x,f (x)）兩點(diǎn)的直線(xiàn)平行（如圖）.求證：當(dāng)n時(shí)，()x（）。證明：（I）因?yàn)樗郧€(xiàn)在處的切線(xiàn)斜率因?yàn)檫^(guò)和兩點(diǎn)的直線(xiàn)斜率是所以.（II）因?yàn)楹瘮?shù)當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，而，所以，即因此又因?yàn)榱顒t因?yàn)樗砸虼斯庶c(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，以及不等式的證明，同時(shí)考查邏輯推理能力。例8（2002江蘇，22）已知a0，函數(shù)f（x）axbx2。（1）當(dāng)b0時(shí)，若對(duì)任意xR都有f（x）1，證明a2；（2）當(dāng)b1時(shí)，證明：對(duì)任意x0，1，|f（x）|1的充要條件是b1a2；（3）當(dāng)0b1時(shí)，討論：對(duì)任意x0，1，|f（x）|1的充要條件。（）證明：依設(shè)，對(duì)任意xR，都有f（x）1，f（

15、x），1，a0，b0，a2（）證明：必要性：對(duì)任意x0，1，|f（x）|11f（x），據(jù)此可以推出1f（1），即ab1，ab1；對(duì)任意x0，1，|f（x）|1f（x）1，因?yàn)閎1，可以推出f（）1，即a·11，a2；b1a2充分性：因?yàn)閎1，ab1，對(duì)任意x0，1，可以推出：axbx2b（xx2）xx1，即axbx21；因?yàn)閎1，a2，對(duì)任意x0，1，可以推出axbx22xbx21，即axbx21。1f（x）1。綜上，當(dāng)b1時(shí)，對(duì)任意x0，1，|f（x）|1的充要條件是b1a2（）解：因?yàn)閍0，0b1時(shí)，對(duì)任意x0，1：f（x）axbx2b1，即f（x）1；f（x）1f（1）1ab1

16、，即ab1，ab1f（x）（b1）xbx21，即f（x）1。所以，當(dāng)a0，0b1時(shí)，對(duì)任意x0，1，|f（x）|1的充要條件是ab122.解：原式（xa）（xa2）0，x1a，x2a2。當(dāng)a=a2時(shí)，a=0或a=1，x，當(dāng)aa2時(shí)，a1或a0，axa2，當(dāng)aa2時(shí)0a1，a2xa，當(dāng)a0時(shí)axa2，當(dāng)0a1時(shí)，a2xa，當(dāng)a1時(shí)，axa2，當(dāng)a=0或a=1時(shí)，x。點(diǎn)評(píng)：此題考查不等式的證明及分類(lèi)討論思想。題型5：課標(biāo)創(chuàng)新題例9（06上海理，12）三個(gè)同學(xué)對(duì)問(wèn)題“關(guān)于的不等式25|5|在1，12上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍”提出各自的解題思路。甲說(shuō)：“只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值”；乙

17、說(shuō)：“把不等式變形為左邊含變量的函數(shù)，右邊僅含常數(shù)，求函數(shù)的最值”；丙說(shuō)：“把不等式兩邊看成關(guān)于的函數(shù)，作出函數(shù)圖像”；參考上述解題思路，你認(rèn)為他們所討論的問(wèn)題的正確結(jié)論，即的取值范圍是 。答案：a10。點(diǎn)評(píng)：該題通過(guò)設(shè)置情景，將不等式知識(shí)蘊(yùn)含在一個(gè)對(duì)話(huà)情景里面，考查學(xué)生閱讀能力、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。例10（06湖南文，20）在m（m2）個(gè)不同數(shù)的排列P1P2Pn中，若1ijm時(shí)PiPj（即前面某數(shù)大于后面某數(shù)），則稱(chēng)Pi與Pj構(gòu)成一個(gè)逆序. 一個(gè)排列的全部逆序的總數(shù)稱(chēng)為該排列的逆序數(shù). 記排列的逆序數(shù)為an，如排列21的逆序數(shù)，排列321的逆序數(shù)。（）求a4、a5，并寫(xiě)出an的表達(dá)式；

18、（）令，證明，n=1,2,。解（）由已知得，。（）因?yàn)椋?又因?yàn)?，所?=。綜上，。點(diǎn)評(píng)：該題創(chuàng)意新，知識(shí)復(fù)合到位，能很好的反映當(dāng)前的高考趨勢(shì)。五思維總結(jié)1不等式證明常用的方法有：比較法、綜合法和分析法，它們是證明不等式的最基本的方法。（1）比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個(gè)步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過(guò)程必須詳細(xì)敘述：如果作差以后的式子可以整理為關(guān)于某一個(gè)變量的二次式，則考慮用判別式法證；（2）綜合法是由因?qū)Ч治龇ㄊ菆?zhí)果索因，兩法相互轉(zhuǎn)換，互相滲透，互為前提，充分運(yùn)用這一辯證關(guān)系，可以增加解題思路，開(kāi)擴(kuò)視野。2不等式證明還有一些常用的方法：換元法、放縮法、反證法、函數(shù)單調(diào)性法、判別式法、數(shù)形結(jié)合法等。換元法主要有三角代換，均值代換兩種，在應(yīng)用換元法時(shí)，要注意代換的等價(jià)性。放縮性是不等式證明中最重要的變形方法之一，放縮要有的放矢，目標(biāo)可以從要證的結(jié)論中考查。有些不等式，從正面證如果不易說(shuō)清楚，可以考慮反證法 凡是含有“至少”、“惟一”或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法。證明不等式時(shí)，要依據(jù)題設(shè)、題目